数学理卷·2017届辽宁省盘锦市辽河油田第二高级中学高三上学期期末考试（2017

数学理卷·2017届辽宁省盘锦市辽河油田第二高级中学高三上学期期末考试（2017

理科数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，B＝{（1，1），（1，－1），（2，2）}，则A∩B＝‎ A．{（1，1）}‎ B．{（－1，1）}‎ C．{（1，－1）}‎ D．{1，－1}‎ ‎2．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）为纯虚数，那么b＝‎ A．1‎ B．2‎ C．4‎ D．－4‎ ‎3．已知a＝（1，2），b＝（－4，t），若a∥b，则实数t＝‎ A．－2‎ B．2‎ C．－8‎ D．8‎ ‎4．直线y＝2x－1被圆x2＋y2＝1截得的弦长等于 A．‎ B．‎ C．‎ D．2‎ ‎5．命题p：∀x∈表示不大于x的最大整数），输出r值为 A．1‎ B．2‎ C．3‎ D．4‎ ‎11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝5，a5＝9，则取得最小值时，n等于 A．6‎ B．5‎ C．4‎ D．3‎ ‎12．已知函数f（x）＝sinx＋cosx，g（x）＝x，直线与函数f（x），g（x）的图象分别交于N、M两点，记，函数h（t）的极大值为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个题目考生都必须作答．第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：‎ ‎13．双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则其离心率为________‎ ‎14．二项式展开式中含x2项的系数为________．‎ ‎15．已知函数．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c且满足，则f（A）的取值范围是________．‎ ‎16．P为正方体ABCD—A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP＝λBD1（λ∈（0，1））．有下面结论：‎ ‎①A1D⊥C1P；②若BD1⊥平面PAC，则；若ΔPAC为钝角三角形，则；④若，则ΔPAC为锐角三角形．‎ 其中正确的结论为________．（写出所有正确结论的序号）‎ 三、解答题：写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 ‎17．Sn是数列{an}的前n项和，数列{an}满足an＋1－2an＝0，且S5＝62．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若bn＝11－2log2an，求b1＋b2＋…＋bn．‎ ‎18．小张、小丽、小方三位同学一起参加同一家公司的招聘考试，合格者现场签约，小张表示合格就签约，小丽和小方两同学约定两人都合格则一同签约，否则都不签约，已知小张考试合格的概率为，小丽和小方考试合格的概率都是，三位同学考试是否合格互不影响．‎ ‎（Ⅰ）求至少有1人考试合格的概率；‎ ‎（Ⅱ）求签约人数X的分布列和数学期望．‎ ‎19．如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝BD＝3．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥PC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A—PC—B的正弦值．‎ ‎20．已知椭圆E：的焦点在x轴上，抛物线C：与椭圆E交于A，B两点，直线AB过抛物线的焦点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程和离心率e的值；‎ ‎（Ⅱ）已知过点H（2，0）的直线l与抛物线C交于M、N两点，又过M、N作抛物线C的切线l1，l2，使得l1⊥l2，问这样的直线l是否存在？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎21．已知函数fn（x）＝2x－nlnx（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）判断fn（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当n＝4时，求f4（x）在点（1，f4（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅲ）是否存在函数，fk（x）＝0在（k，k＋1）上有且只有一个解；若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．‎ ‎（e＝2.78，ln8＝2.079，ln9＝2.197，ln10＝2.302）‎ 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．‎ ‎22．选修4——4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中，曲线C的方程是x2＋y2－2y＝0，以O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立了极坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）．‎ ‎（Ⅰ）将曲线C的直角坐标方程化为极坐标方程 ‎（Ⅱ）设直线l与x轴的焦点是M，N是曲线C上一动点，求得取值范围．‎ ‎23．选修4——5：不等式选讲 已知 ‎（Ⅰ）求不等式f（x）＞5的解集；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≥a2－2a恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎理科数学·参考答案、提示及评分细则 ‎1．C ‎2．A ‎3．C ‎4．A ‎5．A ‎6．B ‎7．B ‎8．A ‎9．D ‎10．D ‎11．A ‎12．C ‎13． ‎ ‎14．135‎ ‎15．‎ ‎16．①②④‎ ‎17．解：（Ⅰ）∵an＋1－2an＝0，即an＋1＝2an，∴数列{an}是以2为公比的等比数列．‎ ‎，a1＝2．‎ ‎∴数列{an}的通项公式an＝2n．‎ ‎（Ⅱ）∵an＝2n，∴bn＝11－2n，‎ ‎∴b1＝9，bn＋1－bn＝－2‎ ‎∴{bn）是公差为－2的等差数列．‎ ‎∴‎ ‎18．解：（Ⅰ）记事件“至少有1人考试合格”为事件A，则事件A的对立事件为“无1人考试合格”．‎ 因，‎ 故．‎ ‎（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，，‎ ‎∴分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故．‎ ‎19．解：（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC．‎ 又因为PA⊥平面ABCD，BDC平面ABCD，所以BD⊥PA．‎ 因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC．∵．∴BD⊥PC．‎ ‎（Ⅱ）方法一：设AC∩BD＝O．过点B作BE⊥PC于点E，连接OE．‎ 由（Ⅰ）得BD⊥平面PAC．∴OB⊥OE，ΔOBE是Rt△．‎ 又BE⊥PC，OE是BE在平面PAC内的射影，‎ ‎∴OE⊥PC则．∠OEB就是二面角A—PC—B的平面角．‎ 易知，，所以．‎ 由，得，则．‎ ‎∴在Rt△BOE中，，即二面角A—PC—－B的正弦值为．‎ 方法二：（向量法）设AC∩BD＝O，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，易知，，，‎ 则点，，．‎ ‎∴，‎ 设n＝（x，y，1）是平面PBC的一个法向量，则由，，得解得，所以．‎ 易知是平面APC的一个法向量．‎ 设二面角A—PC—B为θ，观察图形，可知θ为锐角．‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴二面角A—PC—B正弦值是．‎ ‎20．解：（Ⅰ）∵x2＝2py，∴，∴代入得 ‎∴代点A到得t＝4．‎ ‎∴椭圆E：，a＝2，b＝1，∴，∴离心率．‎ ‎（Ⅱ）依题意，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k（x－2），M（x1，y1），N（x2，y2）．‎ 因为所以 所以切线l1，l2的斜率分别为，．‎ 当l1⊥l2时，，即x1x2＝－2．‎ 由得，‎ 所以，解得．‎ 又恒成立，‎ 所以存在直线l的方程是，即．‎ ‎21．解：（Ⅰ），f′n（x）＝0时，‎ 当时，f′n（x）＜0，fn（x）为减函数，‎ 当时，f′n（x）＞0，fn（x）为增减函数，‎ 故fn（x）的单调减区间为，单调增减区间为 ‎（Ⅱ）∵f4（x）＝2x－4lnx，∴，‎ ‎∴k＝－2，切点（1，2）‎ ‎∴切线：y＝－2x＋4．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知时，函数fn（x）－2x－nlnx（n∈N*）取极小值，即为最小值，．‎ 当n＜6时，，此时，无解，‎ 当n≥6时，，此时，有解 若fk（x）＝0在（k，k＋1）上有且只有一个解，需有fk（k）fk＋1（k＋1）＜0．‎ 又fk（x）在上为单调函数，∴fk（k）＜0，fk＋1（k＋1）＞0，‎ ‎∴由fk（k）＜0，即k（2－lnk）＜0，可得k≥e2，即k≥8，‎ 由fk＋1（k＋1）＞0，即2（k＋1）－kln（k＋1）＞0，‎ 令g（k）－2（k＋1）－kln（k＋1）＞0（k≥8），，‎ 当k≥8时，ln（k＋1）≥2，∴g′（k）＜0，即g（k）在（8，＋∞）为单调减函数．‎ 又g（8）＝18－8ln9＞0，g（9）＝20－9ln10＜0，‎ 故k＝8时，f8（x）＝0在（k，k＋1）上有且只有一个解 ‎22．解：（Ⅰ）∵x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，‎ ‎∴曲线C的极坐标方程为ρ＝sinθ ‎（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得．‎ 令y＝0，得x＝2，即M点的坐标为（2，0）．‎ 又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（0，1），半径r＝1，则．‎ ‎∴．‎ ‎∴范围是 ‎23．解：（Ⅰ）‎ ‎∴2x＋1＞5，x＞2，－2x－1＞5，x＜－3．‎ 得f（x）＞5的解集为 ‎（Ⅱ）∵‎ ‎∴f（x）≥a2－2a，化为a2—2a≤3‎ ‎∴－1≤a≤3即a∈‎