2017-2018学年江西省南昌市第十中学高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年江西省南昌市第十中学高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

‎2017—2018学年下学期南昌十中高二期中考试 数学试题（理科）‎ 时间:120分钟 分值:150分 ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）‎ ‎1.已知为虚数单位，若为纯虚数，则a的值为 A. 2 B. 1 C. D. ‎ ‎2.已知函数，则的值为 A. B. 0 C. D. 1‎ ‎3．某校教学大楼共有5层，每层均有2个楼梯，则由一楼至五楼的不同走法共有(　　)‎ A．24种　　　　B．52种C．10种 D．7种 ‎4.设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎5．设m=,n=则m, n, p的大小顺序为（ ）‎ ‎ A. m>p>n B. p>n>m C. n>m>p D. m>n>p ‎6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A. 若，则B. 若，则 C. 若，则D. 若则 ‎7.在正方体中，E是AD的中点，则异面直线与BC所成的角的余弦值是 A. B. C. D. ‎ ‎8.设则（ ）‎ A． 都小于 B．都大于 C.至少有一个不小于 D．至少有一个不大于 ‎9.已知是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱的中点点到平面的距离 A. B. C. D. ‎ ‎10.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为 A. 1 B. C. D. 2‎ ‎11．设函数，．若f(x)的三个零点为，且，则 (　　)‎ A．x1＜－2 B．x2＞0 C．x3＜1 D．x3＞2‎ ‎12.已知三棱锥D-的四个顶点都在同一球面上，和所在的平面互相垂直，,则此球的体积等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.设复数,______ ；‎ ‎14.如上图，直角梯形中，,将该梯形绕边旋转一周，则所形成的几何体的表面积等于；‎ 第16题 ‎15．给出以下数对序列 ‎（1，1）‎ ‎（1，2），（2，1）‎ ‎（1，3），（2，2），（3，1）‎ ‎（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）‎ ‎…………‎ 记第m行的第n个数对为，如，则=；‎ ‎16.如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面平面，已知，，且当规定主（正）视方向垂直平面时，该几何体的左（侧）视图的面积为．若、分别是线段、上的动点，则的最小值为． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分10分）如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝CD＝4，AD1＝5，M是B1D1的中点．‎ ‎(1)求证：BM∥平面D1AC；‎ ‎(2)求直线DD1与平面D1AC所成角的正弦值．‎ ‎18.已知函数在点处取得极值.‎ ‎(1)求，的值；‎ ‎(2)若有极大值，求在上的最小值．‎ ‎19.如图，在三棱柱中，在底面ABC的射影为BC的中点，D是的中点． 证明：平面； 求二面角的平面角的正切值． ‎ ‎20.已知双曲线C：及直线l：． 若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； 若l与C交于两点，且AB中点横坐标为，求AB的长． ‎ ‎21.如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，且平面平面ABCD． Ⅰ求证：；‎ Ⅱ在线段PA上是否存在一点M，使二面角的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． ‎ ‎22.已知函数．‎ ‎(1)若a=1，求曲线在点(1，)处的切线方程；‎ ‎(2)若函数在其定义域内为增函数，求a的取值范围；‎ ‎(3)求证：‎ 南昌十中高二数学期中考试参考答案 ‎1-5 D B A D D 6-10 D C C A C 11-12 D A ‎13. 14.(3+) 15.(5，16) 16.3‎ ‎17.解：(1)证明：在长方体ABCD A1B1C1D1中，‎ ‎∵AD＝4，AD1＝5，‎ ‎∴ --------1分 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设AC的中点为N，联结ND1，‎ 根据题意得A(4，0，0)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，D(0，0，0)，B1(4，4，3)，D1(0，0，3)，B1D1的中点为M(2，2，3)，AC的中点为N(2，2，0)．‎ ‎∴＝(－2，－2，3)，＝(－2，－2，3)，‎ ‎∴∥，∴BM∥ND1.‎ ‎∵BM⊄平面D1AC，ND1⊂平面D1AC，‎ ‎ ∴BM∥平面D1AC. ------5分 ‎(2)易得DD1＝(0，0，3)，＝(－4，4，0)，＝(－4，0，3)， ------7分 设平面D1AC的一个法向量为n＝(x，y，z)，根据已知得 取x＝1，得 ‎∴n＝（1，1，）是平面D1AC的一个法向量， ------9分 ‎∴cos〈，n〉＝＝， ------11分 ‎∴直线DD1与平面D1AC所成角的正弦值等于. ------12分 ‎18.解：(1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b.‎ 由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，‎ 故有即 化简得解得……………………………………4分 ‎(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12.‎ 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2. ……………………………………………5分 当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；‎ 当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；‎ 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．…………8分 可知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.‎ 由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，‎ f(2)＝－16＋c＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4. …………12分 ‎19.证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、所在直线分别为x、y、z轴建系．则， 易知， ， ， ， ， 又， 又平面； 解：设平面的法向量为， 由，得， 取，得， 又平面的法向量为， =，二面角的平面角的正切值 ‎20.解：双曲线C与直线l有两个不同的交点， 则方程组有两个不同的实数根，分 整理得分 ‎ ‎，解得且 （5分） 双曲线C与直线l有两个不同交点时，k的取值范围是分 设交点， 由得，即，解得：． 且分 ． 分  ‎ 21. 证明：过B作，交AD于O，连接OP． 四边形OBCD是矩形， ， ． ． 又平面平面， 平面平面OPB， ． 平面平面ABCD，平面平面， 平面ABCD． 以O为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 假设存在点使得二面角的大小为， 则． 设平面BCM的法向量为，则． ，令 得 平面ABCD， 为平面ABCD的一个法向量． 解得． ．  ‎ ‎22.‎