高中数学必修2教案：第三章直线的倾斜角与斜率

高中数学必修2教案：第三章直线的倾斜角与斜率

‎_3.1直线的倾斜角与斜率 ‎3．1.1　倾斜角与斜率 直线的倾斜角 ‎[提出问题]‎ 在平面直角坐标系中，直线l经过点P.‎ 问题1：直线l的位置能够确定吗？‎ 提示：不能．‎ 问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？‎ 提示：无数条．‎ 问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？‎ 提示：倾斜程度不同．‎ ‎[导入新知]‎ ‎1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.‎ ‎2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.‎ ‎3．倾斜角与直线形状的关系 倾斜角 α＝0°‎ ‎0°<α<90°‎ α＝90°‎ ‎90°<α<180°‎ 直线 ‎[化解疑难]‎ 对直线的倾斜角的理解 ‎(1)倾斜角定义中含有三个条件：‎ ‎①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．‎ ‎(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．‎ ‎(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度．‎ ‎(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.‎ 直线的斜率 ‎[提出问题]‎ 日常生活中，常用坡度(坡度＝)表示倾斜程度，例如，“进‎2升3”‎与“进‎2升2”‎比较，前者更陡一些，因为坡度＞.‎ 问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？‎ 提示：可以．‎ 问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？‎ 提示：可以．‎ 问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？‎ 提示：与倾斜角的正切值相等．‎ ‎[导入新知]‎ ‎1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan_α.‎ ‎2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．‎ ‎3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．‎ ‎[化解疑难]‎ ‎1．倾斜角α与斜率k的关系 ‎(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．‎ ‎(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．‎ ‎2．斜率公式 ‎(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说， 如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝.‎ ‎(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．‎ 直线的倾斜角 ‎[例1]　(1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(　　)‎ A．30°　　　　　　　 B．60°‎ C．30°或150° D．60°或120°‎ ‎(2)下列说法中，正确的是(　　)‎ A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0‎ D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α ‎[解析]　(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.‎ ‎(2)对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D.‎ ‎[答案]　(1)D　(2)D ‎[类题通法]‎ 求直线的倾斜角的方法及两点注意 ‎(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．‎ ‎(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.‎ ‎②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.‎ ‎[活学活用]‎ ‎1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是(　　)‎ A．[0°，90°)　　　　　　　　　　 B．[90°，180°)‎ C．(90°，180°) D．(0°，180°)‎ 解析：选C　直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是(90°，180°)．‎ ‎2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　)‎ A．α＋45°‎ B．α－135°‎ C．135°－α D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°‎ 解析：选D　当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角是α＋45°.当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为α－135°，故应选D.‎ 直线的斜率 ‎[例2]　(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；‎ ‎(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________；‎ ‎(3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________．‎ ‎[解析]　(1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，‎ 又k＝，由＝－1，得y＝－5.‎ ‎(2)由斜率公式k＝＝1，得m＝1.‎ ‎(3)当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在．‎ 当m≠3时，k＝＝－＝1，解得m＝0.‎ ‎[答案]　(1)－5　(2)1　(3)0‎ ‎[类题通法]‎ 利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 ‎(1)运用公式的前提条件是“x1≠x‎2”‎，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；‎ ‎(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．‎ ‎[活学活用]‎ ‎3．(2012·河南平顶山高一调研)若直线过点 (1,2)，(4，2＋)，则此直线的倾斜角是(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ 解析：选A　设直线的倾斜角为α，‎ 直线斜率k＝＝，‎ ‎∴tan α＝.‎ 又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°.‎ 直线的斜率的应用 ‎[例3]　已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．‎ ‎[解]　如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．‎ 由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，所以可求得的最大值为2，最小值为.‎ ‎[类题通法]‎ 根据题目中代数式的特征，看是否可以写成的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题．‎ ‎[活学活用]‎ ‎4．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求的取值范围．‎ 解：＝的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．‎ ‎∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，‎ ‎∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)．‎ ‎∵kNA＝，kNB＝－，‎ ‎∴－≤≤.‎ ‎∴的取值范围为[－，]．‎ ‎　　　　 ‎[典例]　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则l的倾斜角的取值范围________；直线l的斜率k的取值范围________．‎ ‎[解析]　如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1，则直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，‎ ‎∴直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°；要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.‎ ‎[答案]　45°≤α≤135°　k≤－1或k≥1‎ ‎[易错防范]‎ ‎1．本题易错误地认为－1≤k≤1，结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA.‎ ‎2.如图，过点P的直线l与直线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而PC所在的直线与线段AB不相交，‎ 所以满足题意的斜率夹在中间，即kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边．‎ ‎[成功破障]‎ 已知直线l过点P(3,4)，且与以A(－1,0)，B(2,1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．‎ 解：∵直线PA的斜率kPA＝＝1，直线PB的斜率kPB＝＝3，∴要使直线l与线段AB有公共点，k的取值范围为[1,3]．‎ ‎[随堂即时演练]‎ ‎1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是(　　)‎ A．任一直线都有倾斜角，都存在斜率 B．倾斜角为135°的直线的斜率为1‎ C．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α D．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)‎ 解析：选D　任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．所以A、C错误；倾斜角为135°的直线的斜率为－1，所以B错误；只有D正确．‎ ‎2．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是(　　)‎ A．5　　　　　　　　　　 B．8‎ C. D．7‎ 解析：选C　由斜率公式可得＝1，解之得m＝.‎ ‎3．直线l经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角为________．‎ 解析：kl＝＝－1，‎ 因此倾斜角为135°.‎ 答案：135°‎ ‎4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－‎9a)在同一条直线上，实数a的值为________．‎ 解析：∵A、B、C三点共线，‎ ‎∴kAB＝kBC，即＝，∴a＝2或.‎ 答案：2或 ‎5．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．‎ 解：由题意直线AC的斜率存在，即m≠－1.‎ ‎∴kAC＝，kBC＝.‎ ‎∴＝3·.‎ 整理得：－m－1＝(m－5)(m＋1)，‎ 即(m＋1)(m－4)＝0，‎ ‎∴m＝4或m＝－1(舍去)．‎ ‎∴m＝4.‎ ‎[课时达标检测]‎ 一、选择题 ‎1．给出下列说法，正确的个数是(　　)‎ ‎①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；‎ ‎②一条直线的倾斜角为－30°；‎ ‎③倾斜角为0°的直线只有一条；‎ ‎④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选A　若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，②错；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．‎ ‎2．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝(　　)‎ A．－ B. C．－1 D．1‎ 解析：选C　tan 45°＝kAB＝，即＝1，所以y＝－1.‎ ‎3.如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为(　　)‎ A．k1＜k2＜k3‎ B．k1＜k3＜k2‎ C．k2＜k1＜k3‎ D．k3＜k2＜k1‎ 解析：选A　根据“斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A正确．‎ ‎4．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(　　)‎ A．m＜1 B．m＞－1‎ C．－1＜m＜1 D．m＞1或m＜－1‎ 解析：选C　∵直线l的倾斜角为锐角，‎ ‎∴斜率k＝＞0，∴－1＜m＜1.‎ ‎5．(2012·广州高一检测)如果直线l过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是(　　)‎ A．[0,1] B．[0,2]‎ C. D．(0,3]‎ 解析：选B　过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时，图象不过第四象限．‎ 二、填空题 ‎6．已知a＞0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.‎ 解析：若平面内三点共线，则kAB＝kBC，即＝，整理得a2－‎2a－1＝0，解得a＝1＋，或a＝1－(舍去)．‎ 答案：1＋ ‎7．如果直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．‎ 解析：因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°.‎ 答案：30°‎ ‎8．已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，的取值范围为________．‎ 解析：的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率，因为点M在函数x＋2y ‎＝6的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB，且A，B，由于kNA＝－，kNB＝，所以的取值范围是∪.‎ 答案：∪ 三、解答题 ‎9．已知直线l过点A(1,2)，B(m,3)，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围．‎ 解：设l的斜率为k，倾斜角为α，‎ 当m＝1时，斜率k不存在，α＝90°，‎ 当m≠1时，k＝＝，‎ 当m＞1时，k＝＞0，此时α为锐角，0°＜α＜90°，‎ 当m＜1时，k＝＜0，此时α为钝角，‎ ‎90°＜α＜180°.‎ 所以α∈(0°，180°)，k∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．‎ ‎10．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)，‎ ‎(1)求直线AB和AC的斜率．‎ ‎(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．‎ 解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.‎ ‎(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.‎ ‎3．1.2　两条直线平行与垂直的判定 两条直线平行 ‎[提出问题]‎ 平面几何中，两条直线平行同位角相等．‎ 问题1：在平面直角坐标中，若l1∥l2，则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？‎ 提示：相等．‎ 问题2：若l1∥l2，则l1，l2的斜率相等吗？‎ 提示：不一定，可能相等，也可能都不存在．‎ 问题3：若l1与l2的斜率相等，则l1与l2一定平行吗？‎ 提示：不一定．可能平行也可能重合．‎ ‎[导入新知]‎ 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.‎ ‎[化解疑难]‎ 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 ‎(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．‎ ‎(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.‎ ‎(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：‎ l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在.‎ 两条直线垂直 ‎[提出问题]‎ 已知两条直线l1，l2，若l1的倾斜角为30°，l1⊥l2.‎ 问题1：上述问题中，l1，l2的斜率是多少？‎ 提示：k1＝，k2＝－.‎ 问题2：上述问题中两直线l1、l2的斜率有何关系？‎ 提示：k1k2＝－1.‎ 问题3：若两条直线垂直且都有斜率，它们的斜率之积一定为－1吗？‎ 提示：一定．‎ ‎[导入新知]‎ 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.‎ ‎[化解疑难]‎ 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 ‎(1)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.‎ ‎(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．‎ ‎(3)判定两条直线垂直的一般结论为：‎ l1⊥l2⇔k1·k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．‎ 两条直线平行的判定 ‎[例1]　根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．‎ ‎(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；‎ ‎(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；‎ ‎(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)；‎ ‎(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)．‎ ‎[解]　(1)由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2.‎ ‎(2)由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合．‎ ‎(3)由题意知，k1＝tan 60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合．‎ ‎(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.‎ ‎[类题通法]‎ 判断两条不重合直线是否平行的步骤 ‎[活学活用]‎ ‎1．试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．‎ 解：由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．kAB＝＝，kCD＝＝，由于AB∥CD，即kAB＝kCD，所以＝，得m＝－2.经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.‎ 两条直线垂直的问题 ‎[例2]　已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值．‎ ‎[解]　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.‎ ‎∵直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，‎ ‎∴l2的斜率存在．‎ 当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题意．当k2≠0时，即a≠5，此时k1≠0，‎ 由k1·k2＝－1，得·＝－1，解得a＝－6.‎ 综上可知，a的值为5或－6.‎ ‎[类题通法]‎ 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤 ‎(1)一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步．‎ ‎(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式．‎ ‎(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．‎ 总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1与l2斜率都存在时，满足k1·k2‎ ‎＝－1.‎ ‎[活学活用]‎ ‎2．已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A、B为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．‎ 解析：以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C(x,0)，则kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，得x＝1或2，所以C(1,0)或(2,0)．‎ 答案：(1,0)或(2,0)‎ 平行与垂直的综合应用 ‎[例3]　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．‎ ‎[解]　由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得kAB＝＝，‎ kCD＝＝，kAD＝＝－3，‎ kBC＝＝－.‎ 所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，‎ 所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．‎ 又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，‎ 所以AB⊥AD，‎ 故四边形ABCD为直角梯形．‎ ‎[类题通法]‎ ‎1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标．‎ ‎2．证明两直线平行时，仅有k1＝k2是不够的，注意排除两直线重合的情况．‎ ‎[活学活用]‎ ‎3．已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点D的坐标．‎ 解：设D(x，y)，则kAB＝＝1，kBC＝＝－，kCD＝，kDA＝.因为AB⊥CD，AD∥BC，‎ 所以，kAB·kCD＝－1，kDA＝kBC，所以 解得即D(10，－6)．‎ ‎　　　　 ‎[典例]　已知直线l1经过A(3，m)，B(m－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，m＋2)．‎ ‎(1)若l1∥l2，求m的值；‎ ‎(2)若l1⊥l2，求m的值．‎ ‎[解题流程]‎ 先求l2的斜率―→由l1∥l2得k1＝k2列关系式检验―→由l1⊥l2讨论k2＝0或k2≠0，再由k1·k2＝－1得出结论 当k2≠0②时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，且k1·k2＝－1，即－·＝－1，解得m＝3或m＝－4，(10分)‎ 所以m＝3或m＝－4时，l1⊥l.(12分)‎ ‎[名师批注]‎ ‎①处易漏掉而直接利用两直线平行或垂直所具备的条件来求m值，解答过程不严谨 ‎②处讨论k2＝0和k2≠0两种情况 ‎③此处易漏掉检验做解答题要注意解题的规范 ‎[活学活用]‎ 已知A(－m－3,2)，B(－‎2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,‎3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．‎ 解：因为A，B两点纵坐标不等，所以AB与x轴不平行．因为AB⊥CD，所以CD与x轴不垂直，故m≠－3.‎ 当AB与x轴垂直时，－m－3＝－‎2m－4，解得m＝－1，而m＝－1时，C，D纵坐标均为－1，所以CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．‎ 当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得kAB＝＝，kCD＝＝.‎ 因为AB⊥CD，所以kAB·kCD＝－1，解得m＝1.‎ 综上，m的值为1或－1.‎ ‎[随堂即时演练]‎ ‎1．下列说法正确的有(　　)‎ ‎①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；‎ ‎②若l1∥l2，则k1＝k2；‎ ‎③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；‎ ‎④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．‎ A．1个　　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选A　若k1＝k2，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于x轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．‎ ‎2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　)‎ A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 解析：选D　设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1.‎ ‎3．已知△ABC中，A(0,3)、B(2，－1)，E、F分别为AC、BC的中点，则直线EF的斜率为________．‎ 解析：∵E、F分别为AC、BC的中点，‎ ‎∴EF∥AB.‎ ‎∴kEF＝kAB＝＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎4．经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．‎ 解析：由题意可知kl＝，又因为kl＝，所以＝，解得m＝.‎ 答案： ‎5．判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系．‎ ‎(1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；‎ ‎(2)l1过点A(3,4)，B(3,100)，l2过点M(－10,40)，N(10,40)；‎ ‎(3)l1过点A(0,1)，B(1,0)，l2过点M(－1,3)，N(2,0)；‎ ‎(4)l1过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2过点M(5，－2)，N(5,5)．‎ 解：(1)k1＝－10，k2＝＝.‎ ‎∵k1k2＝－1，∴l1⊥l2.‎ ‎(2)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．k2＝＝0，‎ 则l2∥x轴，∴l1⊥l2.‎ ‎(3)k1＝＝－1，k2＝＝－1，∴k1＝k2.‎ 又kAM＝＝－2≠k1，∴l1∥l2.‎ ‎(4)∵l1与l2都与x轴垂直，∴l1∥l2.‎ ‎[课时达标检测]‎ 一、选择题 ‎1．已知过点P(3,‎2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．2 D．－2‎ 解析：选B　因为MN∥PQ，所以kMN＝kPQ，即＝ ，解得m＝－1.‎ ‎2．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是(　　)‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以B点为直角顶点的直角三角形 解析：选C　如右图所示，易知kAB＝＝－，kAC＝＝，由kAB·kAC＝－1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形．‎ ‎3．已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标为(　　)‎ A．(0，－6) B．(0,7)‎ C．(0，－6)或(0,7) D．(－6,0)或(7,0)‎ 解析：选C　由题意可设点P的坐标为(0，y)．因为∠APB＝90°，所以AP⊥BP，且直线AP与直线BP的斜率都存在．又kAP＝，kBP＝，kAP·kBP＝－1，‎ 即·(－)＝－1，解得y＝－6或y＝7.所以点P的坐标为(0，－6)或(0,7)．‎ ‎4．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC∥BD；④AC⊥BD中正确的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选C　由题意得kAB＝＝－，kCD＝＝－，kAD＝＝，kAC＝＝，kBD＝＝－4，所以AB∥CD，AB⊥AD，AC⊥BD.‎ ‎5．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是(　　)‎ A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 解析：选B　如图所示，易知kAB＝－，kBC＝0，kCD＝－，kAD＝0，kBD＝－，kAC＝，所以kAB＝kCD，kBC＝kAD，kAB·kAD＝0，kAC·kBD＝－，‎ 故AD∥BC，AB∥CD，AB与AD不垂直，BD与AC不垂直．‎ 所以四边形ABCD为平行四边形．‎ 二、填空题 ‎6．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝________.‎ 解析：∵l1∥l2，且k2＝＝－1，∴k1＝＝－1，∴m＝0.‎ 答案：0‎ ‎7．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2∥l1，且l2过点A(－2，－1)和B(3，a)，则a的值为________．‎ 解析：∵l2∥l1，且l1的倾斜角为45°，∴kl2＝kl1＝tan 45°＝1，即＝1，所以a＝4.‎ 答案：4‎ ‎8．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.‎ 解析：设点D(x,0)，因为kAB＝＝4≠0，所以直线CD的斜率存在．‎ 则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，所以4·＝－1，解得x＝－9.‎ 答案：(－9,0)‎ 三、解答题 ‎9．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(‎2m2‎＋1，m－2)的直线：‎ ‎(1)倾斜角为135°；‎ ‎(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；‎ ‎(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行？‎ 解：(1)由kAB＝＝tan 135°＝－1，解得m＝－，或m＝1.‎ ‎(2)由kAB＝，且＝3.‎ 则＝－，解得m＝，或m＝－3.‎ ‎(3)令＝＝－2，‎ 解得m＝，或m＝－1.‎ ‎10．直线l1经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值．‎ 解：当l1∥l2时，‎ 由于直线l2的斜率存在，则直线l1的斜率也存在，则kAB＝kCD，即＝，解得m＝3；‎ 当l1⊥l2时，‎ 由于直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，则kABkCD＝－1，‎ 即·＝－1，解得m＝－.‎ 综上，当l1∥l2时，m的值为3；‎ 当l1⊥l2时，m的值为－.‎ ‎3．2直线的方程 ‎3．2.1　直线的点斜式方程 ‎[提出问题]‎ 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．‎ 问题1：已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置确定吗？‎ 提示：不确定．从一点可引出多条斜拉索．‎ 问题2：若某条斜拉索过点B(0，b)，斜率为k，则该斜拉索所在直线上的点P(x，y)满足什么条件？‎ 提示：满足＝k.‎ 问题3：可以写出问题2中的直线方程吗？‎ 提示：可以．方程为y－b＝kx.‎ ‎[导入新知]‎ ‎1．直线的点斜式方程 ‎(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．‎ ‎(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，‎ 倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.‎ ‎2．直线的斜截式方程 ‎(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．‎ ‎(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．‎ ‎[化解疑难]‎ ‎1．关于点斜式的几点说明：‎ ‎(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．‎ ‎(2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线．‎ ‎(3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线．‎ ‎2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．‎ 直线的点斜式方程 ‎[例1]　(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．‎ ‎(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________．‎ ‎(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________．‎ ‎[解析]　(1)∵直线平行于y轴，∴直线不存在斜率，∴方程为x＝－5.‎ ‎(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1，又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．‎ ‎(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1,2)，∴直线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.‎ ‎[答案]　(1)x＝－5　(2)y－4＝－(x－3)　(3)2x－y＝0‎ ‎[类题通法]‎ 已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.‎ ‎[活学活用]‎ ‎1．写出下列直线的点斜式方程：‎ ‎(1)经过点A(2,5)，斜率是4；‎ ‎(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；‎ ‎(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．‎ 解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y－5＝4(x－2)．‎ ‎(2)∵直线的倾斜角为45°，‎ ‎∴此直线的斜率k＝tan45°＝1.‎ ‎∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2.‎ ‎(3)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0.‎ ‎∴直线的点斜式方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.‎ 直线的斜截式方程 ‎[例2]　(1)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________．‎ ‎(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．‎ ‎[解析]　(1)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得所求的直线方程为y＝－x－3.‎ ‎(2)由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，‎ 又∵l∥l1，‎ ‎∴l的斜率k＝k1＝－2.由题意知l2在y轴上的截距为－2，∴l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.‎ ‎[答案]　(1)y＝－x－3‎ ‎[类题通法]‎ ‎1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．‎ ‎2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．‎ ‎[活学活用]‎ ‎2．求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且在y轴上的截距是－5的直线方程．‎ 解：∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝.‎ ‎∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5，‎ ‎∴所求直线的方程为y＝x－5.‎ 两直线平行与垂直的应用 ‎[例3]　当a为何值时，‎ ‎(1)两直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直？‎ ‎(2)两直线y＝－x＋‎4a与y＝(a2－2)x＋4互相平行？‎ ‎[解]　(1)设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1＝a，k2＝a＋2.‎ ‎∵两直线互相垂直，‎ ‎∴k1k2＝a(a＋2)＝－1，‎ 解得a＝－1.‎ 故当a＝－1时，两条直线互相垂直．‎ ‎(2)设两直线的斜率分别为k3，k4，‎ 则k3＝－1，k4＝a2－2.‎ ‎∵两条直线互相平行，‎ ‎∴解得a＝－1.‎ 故当a＝－1时，两条直线互相平行．‎ ‎[类题通法]‎ 判断两条直线位置关系的方法 直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.‎ ‎(1)若k1≠k2，则两直线相交．‎ ‎(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，‎ 当b1≠b2时，两直线平行；‎ 当b1＝b2时，两直线重合．‎ ‎(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．‎ ‎(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．‎ ‎[活学活用]‎ ‎3．(1)若直线l1：y＝(‎2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直，则a＝________.‎ ‎(2)若直线l1：y＝－x＋‎2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，则a＝________.‎ 解析：(1)由题意可知kl1＝‎2a－1，kl2＝4.‎ ‎∵l1⊥l2，∴4(‎2a－1)＝－1，解得a＝.‎ ‎(2)因为l1∥l2，所以a2－2＝－1，且‎2a≠2，解得a＝－1，所以a＝－1时两直线平行．‎ 答案：(1)　(2)－1‎ ‎　　　　 ‎[典例]　已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋‎2m＝0，当l1∥l2时，求m 的值．‎ ‎[解]　由题设l2的方程可化为y＝－x－m，‎ 则其斜率k2＝－，在y轴上的截距b2＝－m.‎ ‎∵l1∥l2，∴l1的斜率一定存在，即m≠0.‎ ‎∴l1的方程为y＝－x－.‎ 由l1∥l2，得 解得m＝－1.∴m的值为－1.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．‎ ‎2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合．‎ ‎[成功破障]‎ 当a为何值时，直线l1：y＝－2ax＋‎2a与直线l2：y＝(a2－3)x＋2平行？‎ 解：∵l1∥l2，∴a2－3＝－‎2a且‎2a≠2，‎ 解得a＝－3.‎ ‎[随堂即时演练]‎ ‎1．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于(　　)‎ A．2,3　　　　　　　　　　 B．－3，－3‎ C．－3,2 D．2，－3‎ 答案：D ‎2．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是(　　)‎ A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2‎ C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋3‎ 解析：选A　∵直线l的斜率k＝tan 45°＝1，‎ ‎∴直线l的方程为y＋3＝x－2.‎ ‎3．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________．‎ 解析：α＝60°，k＝tan 60°＝，‎ 由点斜式方程，得y＋4＝(x＋2)．‎ 答案：y＋4＝(x＋2)‎ ‎4．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．‎ 解析：∵直线y＝－3x－4的斜率为－3，‎ 所求直线与此直线平行，‎ ‎∴斜率为－3，又截距为2，∴由斜截式方程可得y＝－3x＋2.‎ 答案：y＝－3x＋2‎ ‎5．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；‎ ‎(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．‎ 解：(1)由y＝2x＋7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线的斜率是2.‎ ‎∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)，‎ 即2x－y－1＝0.‎ ‎(2)由y＝3x－5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线的斜率是－.‎ ‎∴所求直线方程为y＋2＝－(x＋2)，即x＋3y＋8＝0.‎ ‎[课时达标检测]‎ 一、选择题 ‎1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　)‎ A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1‎ B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1‎ C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1‎ D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1‎ 解析：选C　直线的方程可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.‎ ‎2．直线y＝ax－的图象可能是(　　)‎ 解析：选B　由y＝ax－可知，斜率和截距必须异号，故B正确．‎ ‎3．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　)‎ A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4‎ C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4‎ 解析：选D　因为所求直线与y＝2x＋1垂直，所以设直线方程为y＝－x＋b.又因为直线在y轴上的截距为4，所以直线的方程为y＝－x＋4.‎ ‎4．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为(　　)‎ A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0‎ C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0‎ 解析：选A　在斜率存在的条件下，两条直线垂直的充要条件是斜率互为负倒数，则所求直线的斜率为－2，∴所求直线的方程为y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.‎ ‎5．过点(1,0)且与直线y＝x－1平行的直线方程是(　　)‎ A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0‎ C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0‎ 解析：选A　与直线y＝x－1平行的直线方程可设为：y＝x＋c，将点(1,0)代入得0＝＋c，解得c＝－，故直线方程为y＝x－即x－2y－1＝0.‎ 二、填空题 ‎6．过点(－3,2)且与直线y－1＝(x＋5)平行的直线的点斜式方程是________________．‎ 解析：与直线y－1＝(x＋5)平行，故斜率为，所以其点斜式方程是y－2＝(x＋3)．‎ 答案：y－2＝(x＋3)‎ ‎7．直线y＝ax－‎3a＋2(a∈R)必过定点____________．‎ 解析：将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3,2)．‎ 答案：(3,2)‎ ‎8．过点(4，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________．‎ 解析：依题意设l的方程为y＋3＝k(x－4)．‎ 令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝.‎ 因此－4k－3＝.‎ 解得k＝－1或k＝－.‎ 故所求方程为y＝－x＋1或y＝－x.‎ 答案：y＝－x＋1或y＝－x 三、解答题 ‎9．已知三角形的顶点坐标是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程．‎ 解：直线AB的斜率kAB＝＝－，过点A(－5,0)，由点斜式得直线AB的方程为y＝－(x＋5)，即3x＋8y＋15＝0；同理，kBC＝＝－，kAC＝＝，直线BC，AC的方程分别为5x＋3y－6＝0,2x－5y＋10＝0.‎ ‎10．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的方程．‎ 解：由题意知，直线l的斜率为，故设直线l的方程为y＝x＋b，l在x轴上的截距为－b，在y轴上的截距为b，所以－b－b＝1，b＝－，直线l的方程为y＝x－，即15x－10y－6＝0.‎ ‎3．2.2 & ‎3.2.3　‎直线的两点式方程、直线的一般式方程 两点式、截距式 ‎[提出问题]‎ 某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为‎1 km和‎4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A、B两处，并使区商业中心O到A、B两处的距离之和最短．‎ 问题1：在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A、B能否确定？‎ 提示：可以确定．‎ 问题2：根据上图知建立平面坐标系后，A、B两点的坐标值相当于在x轴、y轴上的什么量？‎ 提示：在x轴、y轴上的截距．‎ 问题3：那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗？‎ 提示：可以．‎ ‎[导入新知]‎ 直线的两点式与截距式方程 两点式 截距式 条件 P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1≠x2，y1≠y2‎ 在x轴上截距a，在y轴上截距b 图形 方程 ＝ ＋＝1‎ 适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线 ‎[化解疑难]‎ ‎1．要注意方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．‎ ‎2．直线方程的截距式为＋＝1，x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如：－＝1，＋＝－1就不是直线的截距式方程.‎ 直线方程的一般式 ‎[提出问题]‎ 观察下列直线方程 直线l1：y－2＝3(x－1)‎ 直线l2：y＝3x＋2‎ 直线l3：＝ 直线l4：＋＝1‎ 问题1：上述直线方程的形式分别是什么？‎ 提示：点斜式、斜截式、两点式、截距式．‎ 问题2：上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax＋By＋C＝0的形式吗？‎ 提示：能．‎ 问题3：二元一次方程Ax＋By＋C＝0都能表示直线吗？‎ 提示：能．‎ ‎[导入新知]‎ ‎1．直线与二元一次方程的关系 ‎(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．‎ ‎(2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．‎ ‎2．直线的一般式方程的定义 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．‎ ‎[化解疑难]‎ ‎1．求直线的一般式方程的策略 ‎(1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．‎ ‎(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．‎ ‎2．直线的一般式转化为其他形式的步骤 ‎(1)一般式化为斜截式的步骤 ‎①移项得By＝－Ax－C；‎ ‎②当B≠0时，得斜截式：y＝－x－.‎ ‎(2)一般式化为截距式的步骤 ‎①把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；‎ ‎②当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1；‎ ‎③化为截距式：＋＝1.‎ 由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，‎ 通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．‎ 利用两点式求直线方程 ‎[例1]　三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．‎ ‎[解]　由两点式，直线AB所在直线方程为：＝，即x＋4y＋1＝0.‎ 同理，直线BC所在直线方程为：‎ ＝，即2x＋y－5＝0.‎ 直线AC所在直线方程为：‎ ＝，即3x－2y＋3＝0.‎ ‎[类题通法]‎ 求直线的两点式方程的策略以及注意点 ‎(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．‎ ‎(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．‎ ‎[活学活用]‎ ‎1．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．‎ ‎(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.‎ 解析：(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2.‎ ‎(2)由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为＝，即x＋y－1＝0.又点P(3，m)在直线AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2.‎ 答案：(1)x＝2　(2)－2‎ 直线的截距式方程及应用 ‎[例2]　直线l过点P(，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点．‎ ‎(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程．‎ ‎(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．‎ ‎[解]　(1)设直线l的方程为 ＋＝1(a＞0，b＞0)，‎ 由题意知，a＋b＋＝12.‎ 又因为直线l过点P(，2)，‎ 所以＋＝1，即‎5a2－‎32a＋48＝0，‎ 解得 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0‎ 或15x＋8y－36＝0.‎ ‎(2)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，‎ 由题意知，ab＝12，＋＝1，‎ 消去b，得a2－‎6a＋8＝0，‎ 解得 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.‎ ‎[类题通法]‎ 用截距式方程解决问题的优点及注意事项 ‎(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．‎ ‎(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．‎ ‎(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．‎ ‎[活学活用]‎ ‎2．求经过点A(－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．‎ 解：设直线在x轴、y轴上的截距分别是a、b，‎ 则有S＝|a·b|＝1.‎ ‎∴ab＝±2.设直线的方程是＋＝1.‎ ‎∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得＋＝1，即b＝.‎ ‎∴ab＝＝±2.当＝－2时，化简得a2＋a＋2＝0，方程无解；‎ 当＝2时，化简得a2－a－2＝0，‎ 解得或 ‎∴直线方程是＋＝1或＋＝1，即2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.‎ 直线方程的一般式应用 ‎[例3]　(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；‎ ‎(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(‎2a＋3)y＋2＝0互相垂直？‎ ‎[解]　(1)法一：由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0.‎ l2：mx＋3y－2＝0.‎ ‎①当m＝0时，显然l1与l2不平行．‎ ‎②当m≠0时，l1∥l2，‎ 需＝≠.‎ 解得m＝2或m＝－3.∴m的值为2或－3.‎ 法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.‎ 当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，‎ 显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.‎ 同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，‎ l1与l2不重合，l1∥l2，‎ ‎∴m的值为2或－3.‎ ‎(2)法一：由题意，直线l1⊥l2，‎ ‎①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0，显然垂直．‎ ‎②若‎2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．‎ ‎③若1－a≠0，且‎2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－，当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，‎ 即(－)·(－)＝－1，所以a＝－1.‎ 综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.‎ 法二：由直线l1⊥l2，‎ 所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(‎2a＋3)＝0，‎ 解得a＝±1.‎ 将a＝±1代入方程，均满足题意．‎ 故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.‎ ‎[类题通法]‎ ‎1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，‎ ‎(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B‎1C2－B‎2C1≠0(或A‎1C2－A‎2C1≠0)．‎ ‎(2)若l1⊥l2⇔A‎1A2＋B1B2＝0.‎ ‎2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.‎ ‎[活学活用]‎ ‎3．(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；‎ ‎(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．‎ 解：(1)法一：设直线l的斜率为k，‎ ‎∵l与直线3x＋4y＋1＝0平行，∴k＝－.‎ 又∵l经过点(1,2)，可得所求直线方程为y－2＝‎ ‎－(x－1)，即3x＋4y－11＝0.‎ 法二：设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.‎ ‎∵l经过点(1,2)，‎ ‎∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.‎ ‎∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0.‎ ‎(2)法一：设直线l的斜率为k.‎ ‎∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，‎ ‎∴k·(－2)＝－1，‎ ‎∴k＝.‎ 又∵l经过点A(2,1)，‎ ‎∴所求直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0.‎ 法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.‎ ‎∵直线l经过点A(2,1)，‎ ‎∴2－2×1＋m＝0，‎ ‎∴m＝0.‎ ‎∴所求直线l的方程为x－2y＝0.‎ ‎　　　　 ‎[典例]　求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．‎ ‎[解]　当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0，‎ 满足题意．此时，直线的斜率为，所以直线方程为y＝x.‎ 当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1，又过点A，所以＋＝1(1)．‎ 因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|＝|b|(2)．‎ 由(1)(2)联立方程组，解得或 所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，‎ 化简得直线l的方程为x＋y＝6或x－y＝2.‎ 综上，直线l的方程为y＝x或x＋y＝6或x－y＝2.‎ ‎[多维探究]‎ ‎1．截距相等问题 求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．‎ 解：(1)当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为，所以直线方程为y＝x.‎ ‎(2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1，又过A(4,2)，‎ ‎∴a＝6，‎ ‎∴方程为x＋y－6＝0，‎ 综上，直线方程为y＝x或x＋y－6＝0.‎ ‎2．截距和为零问题 求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．‎ 解：(1)同上 ‎(2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为－＝1.又过A(4,2)，‎ ‎∴＝1，即a＝2，‎ ‎∴x－y＝2.‎ 综上，直线l的方程为y＝x或x－y＝2.‎ ‎3．截距成倍数问题 求过点A(4,2)且在x轴上截距是在y轴上截距的3倍，求直线l的方程．‎ 解：(1)同上 ‎(2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1，‎ 又直线过A(4,2)，‎ 所以＋＝1，‎ 解得a＝，‎ 方程为x＋3y－10＝0.‎ 综上，所求直线方程为y＝x或x＋3y－10＝0.‎ ‎4．截距和是定数问题 求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l的方程．‎ 解：设直线l的方程为＋＝1，‎ 由题意 ‎∴4b＋‎2a＝ab，‎ 即4(12－a)＋‎2a＝a(12－a)，‎ ‎∴a2－‎14a＋48＝0，‎ 解得a＝6或a＝8.‎ 因此或 ‎∴所求直线l的方程为x＋y－6＝0或x＋2y－8＝0.‎ ‎[方法感悟]‎ 如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况．‎ ‎[随堂即时演练]‎ ‎1．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B．－1‎ C．7 D．－7‎ 解析：选B　直线在x轴上截距为3，在y轴上截距为－4，因此截距之和为－1.‎ ‎2．直线3x－2y＝4的截距式方程是(　　)‎ A.－＝1 B.－＝4‎ C.－＝1 D.＋＝1‎ 解析：选D　求直线方程的截距式，必须把方程化为＋＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．‎ ‎3．直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________．‎ 解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：＝，整理得x－y＋3＝0.‎ 答案：x－y＋3＝0‎ ‎4．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________．‎ 解析：由直线点斜式方程可得 y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0.‎ 答案：2x－y＋1＝0‎ ‎5．三角形的顶点坐标为A(0，－5)，B(－3,3)，C(2,0)，求直线AB和直线AC的方程．‎ 解：∵直线AB过点A(0，－5)，B(－3,3)两点，‎ 由两点式方程，得＝.‎ 整理，得8x＋3y＋15＝0.‎ ‎∴直线AB的方程为8x＋3y＋15＝0.‎ 又∵直线AC过A(0，－5)，C(2,0)两点，‎ 由截距式得＋＝1，‎ 整理得5x－2y－10＝0，‎ ‎∴直线AC的方程为5x－2y－10＝0.‎ ‎[课时达标检测]‎ 一、选择题 ‎1．平面直角坐标系中，直线x＋y＋2＝0的斜率为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案：B ‎2．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件(　　)‎ A．bc＝0 B．a≠0‎ C．bc＝0且a≠0 D．a≠0且b＝c＝0‎ 解析：选D　y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满足条件为a≠0且b＝c＝0.‎ ‎3.已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则(　　)‎ A．若c＞0，则a＞0，b＞0‎ B．若c＞0，则a<0，b＞0‎ C．若c＜0，则a>0，b<0‎ D．若c<0，则a>0，b＞0‎ 解析：选D　由ax＋by＋c＝0，得斜率k＝－，直线在x、y轴上的截距分别为－、－.‎ 如题图，k<0，即－＜0，∴ab>0.‎ ‎∵－＞0，－＞0，∴ac＜0，bc＜0.‎ 若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a＜0，b＜0.‎ ‎4．直线(m＋2)x＋(m2－‎2m－3)y＝‎2m在x轴上的截距为3，则实数m的值为(　　)‎ A. B．－6‎ C．－ D．6‎ 解析：选B　令y＝0，则直线在x轴上的截距是x＝，∴＝3，∴m＝－6.‎ ‎5．若直线x＋2ay－1＝0与(a－1)x－ay＋1＝0平行，则a的值为(　　)‎ A. B.或0‎ C．0 D．－2‎ 解析：选A　法一：当a＝0时，两直线重合，不合题意；‎ 当a≠0时，＝－，解之得a＝，‎ 经检验a＝时，两直线平行．‎ 法二：∵直线x＋2ay－1＝0与(a－1)x－ay＋1＝0平行，‎ ‎∴1×(－a)－(a－1)×‎2a＝0.即‎2a2－a＝0.∴a＝0或a＝.‎ 验证：当a＝0时，两直线重合，故a＝.‎ 二、填空题 ‎6．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为________________；‎ 截距式方程为________________；‎ 斜截式方程为________________；‎ 一般式方程为________________．‎ 解析：点斜式方程：y＋4＝(x－0)，‎ 截距式方程：＋＝1，‎ 斜截式方程：y＝x－4，‎ 一般式方程：x－y－4＝0.‎ 答案：y＋4＝(x－0)　＋＝1　y＝x－4　x－y－4＝0‎ ‎7．若直线l1：ax＋(1－a)y＝3与l2：(a－1)x＋(‎2a＋3)y＝2互相垂直，则实数a＝________.‎ 解析：因为两直线垂直，所以a(a－1)＋(1－a)(‎2a＋3)＝0，即a2＋‎2a－3＝0，解得a＝1，或a＝－3.‎ 答案：1或－3‎ ‎8．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________．‎ 解析：设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－，－，‎ ‎∴6＝××＝.‎ ‎∴d＝±12，则直线在x轴上截距为3或－3.‎ 答案：3或－3‎ 三、解答题 ‎9．已知在△ABC中，A，B的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．‎ ‎(1)求点C的坐标；‎ ‎(2)求直线MN的方程．‎ 解：(1)设点C(m，n)，AC中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，‎ 由中点坐标公式得解得 ‎∴C点的坐标为(1，－3)．‎ ‎(2)由(1)知：点M、N的坐标分别为M(0，－)、N(，0)，‎ 由直线方程的截距式，得直线MN的方程是＋＝1，即y＝x－.‎ ‎10．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．‎ ‎(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；‎ ‎(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，不符合题意；‎ 当a≠－1时，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为a－2，因为l在两坐标轴上的截距相等，所以＝a－2，解得a＝2或a＝0，所以直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.‎ ‎(2)将直线l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，所以或，解得a≤－1.‎ 综上所述，a≤－1.‎ ‎3.3直线的交点坐标与距离公式 ‎3．3.1 & ‎3.3.2 　‎两直线的交点坐标、两点间的距离 第一课时　两直线的交点坐标、两点间的距离(新授课)‎ 两条直线的交点坐标 ‎[提出问题]‎ 已知二元一次方程组 问题1：二元一次方程组的解法有哪些？‎ 提示：代入消元法、加减消元法．‎ 问题2：在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，那么方程组的解说明什么？‎ 提示：两直线的公共部分，即交点．‎ 问题3：若给出两直线y＝x＋1与y＝3x－2，如何求其交点坐标？‎ 提示：联立解方程组求方程组的解即可得．‎ ‎[导入新知]‎ ‎1．两直线的交点坐标 几何元素及关系 代数表示 点A A(a，b)‎ 直线l l：Ax＋By＋C＝0‎ 点A在直线l上 Aa＋Bb＋C＝0‎ 直线l1与l2的交点是A 方程组的解是 ‎2．两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 ‎[化解疑难]‎ 两直线相交的条件 ‎(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．‎ ‎(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)．‎ ‎(3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.‎ 两点间的距离 ‎[提出问题]‎ 数轴上已知两点A，B.‎ 问题1：如何求A、B两点间的距离？‎ 提示：|AB|＝|xA－xB|.‎ 问题2：在平面直角坐标系中能否用数轴上两点间距离求出任意两点间距离？‎ 提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解．‎ ‎[导入新知]‎ 两点间的距离公式 ‎(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.‎ ‎(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．‎ ‎[化解疑难]‎ 两点间距离公式的理解 ‎(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝.‎ ‎(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.‎ 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.‎ 当点P1、P2中有一个是原点时，|P1P2|＝.‎ 两条直线的交点问题 ‎[例1]　判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：‎ ‎(1)l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0；‎ ‎(2)l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝x＋；‎ ‎(3)l1：2x－6y＝0，l2：y＝x＋.‎ ‎[解]　(1)解方程组得所以l1与l2相交，且交点坐标为.‎ ‎(2)解方程组 ‎②×6整理得2x－6y＋3＝0.‎ 因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．‎ ‎(3)解方程组 ‎②×6－①得3＝0，矛盾．‎ 方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.‎ ‎[类题通法]‎ 判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．‎ ‎(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．‎ ‎(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．‎ ‎(3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．‎ ‎[活学活用]‎ ‎1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：‎ ‎(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；‎ ‎(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.‎ 解：(1)解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)．‎ ‎(2)解方程组①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.‎ 直线恒过定点问题 ‎[例2]　求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(‎2m－1)y＝m－5都过某一定点．‎ ‎[证明]　法一：取m＝1时，直线方程为y＝－4；取m＝时，直线方程为x＝9.‎ 两直线的交点为P(9，－4)，将点P的坐标代入原方程左边＝(m－1)×9＋(‎2m－1)×(－4)＝m－5.‎ 故不论m取何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(‎2m－1)y＝m－5上，‎ 即直线恒过点P(9，－4)．‎ 法二：原方程化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0.‎ 若对任意m都成立，‎ 则有得 所以不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，－4)．‎ ‎[类题通法]‎ 解含有参数的直线恒过定点的问题 ‎(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．‎ ‎(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．‎ ‎[活学活用]‎ ‎2．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．‎ 解：法一：由方程组 解得即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．‎ ‎∵直线过坐标原点，所以其斜率k＝＝－1，‎ 直线方程为y＝－x，一般式为x＋y＝0.‎ 法二：∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，‎ 即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.‎ 将原点坐标(0,0)代入上式，解得λ＝1，‎ ‎∴l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.‎ 两点间距离公式的应用 ‎[例3]　已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三角形．‎ ‎[证明]　法一：∵|AB|＝＝2，‎ ‎|AC|＝＝，‎ 又|BC|＝＝5，‎ ‎∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形．‎ 法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－2，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．‎ ‎[类题通法]‎ ‎1．计算两点间距离的方法 ‎(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝.‎ ‎(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．‎ ‎2．解答本题还要注意构成三角形的条件．‎ ‎[活学活用]‎ ‎3．已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．‎ 解：设所求点P(x,0)，于是由|PA|＝|PB|得 ‎＝，‎ 即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.‎ 所以，所求P点坐标为(1,0)，|PA|＝＝2.‎ ‎　　　　 ‎[典例]　若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0 ，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是(　　)‎ A．a＝1或a＝－2　　　　　　 B．a≠±1‎ C．a≠1且a≠－2 D．a≠±1且a≠－2‎ ‎[解析]　为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．‎ ‎(1)若三条直线交于一点，由解得将l2，l3的交点(－a－1,1)代入l1的方程解得a＝1或a＝－2①；‎ ‎(2)若l1∥l2，则由a×a－1×1＝0，得a＝±1②，‎ 当a＝1时，l1与l2重合；‎ ‎(3)若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，得a＝1，当a＝1时，l2与l3重合；‎ ‎(4)若l1∥l3，则由a×1－1×1＝0，得a＝1，当a＝1时，l1与l3重合．‎ 综上，当a＝1时，三条直线重合；‎ 当a＝－1时，l1∥l2；当a＝－2时，三条直线交于一点，‎ 所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a≠－2.‎ ‎[答案]　D ‎[易错防范]‎ ‎①处，解题过程中，由a＝1或a＝－2得a≠1且a≠－2，此种错误只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形，而忽视了任意两条平行或重合的直线也不能构成三角形．‎ ‎②处，若得到a≠±1，只考虑了直线的斜率不相等的条件，而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形．‎ 解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形．‎ ‎[成功破障]‎ ‎(2013·银川高一检测)直线y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B．－ C. D．－ 解析：选C　由解得即直线y＝2x＋10与y＝x＋1相交于点(－9，－8)，代入y＝ax－2，解得a＝.‎ ‎[随堂即时演练]‎ ‎1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐标为(　　)‎ A．(－4，－3)　　　　　　　　　 B．(4,3)‎ C．(－4,3) D．(3,4)‎ 解析：选C　由方程组得 ‎2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　)‎ A．1 B．－5‎ C．1或－5 D．1－或5‎ 解析：选C　∵|AB|＝＝5，‎ ‎∴a＝－5或a＝1.‎ ‎3．设Q(1,3)，在x轴上有一点P，且|PQ|＝5，则点P的坐标是________．‎ 解析：由题意设P(a,0)，则|PQ|＝＝5，解得a－1＝±4，即a ‎＝5或－3.故点P的坐标是(5,0)或(－3,0)．‎ 答案：(5,0)或(－3,0)‎ ‎4．若p，q满足p－2q＝1，直线px＋3y＋q＝0必过一个定点，该定点坐标为________．‎ 解析：因为p＝2q＋1代入整理：(2x＋1)q＋3y＋x＝0对q为一切实数恒成立，即2x＋1＝0，且3y＋x＝0，所以x＝－，y＝.‎ 答案： ‎5．(2012·山东德州高一检测)分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．‎ ‎(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；‎ ‎(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0.‎ 解：解方程组得交点P(1,1)．‎ ‎(1)若直线与l1平行，‎ ‎∵k1＝2，‎ ‎∴斜率k＝2，‎ ‎∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)‎ 即：2x－y－1＝0.‎ ‎(2)若直线与l2垂直，‎ ‎∵k2＝，‎ ‎∴斜率k＝－＝－，‎ ‎∴y－1＝－(x－1)‎ 即：2x＋3y－5＝0.‎ ‎[课时达标检测]‎ 一、选择题 ‎1．(2012·曲靖高一检测)两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为(　　)‎ A．－24 B．6‎ C．±6 D．24‎ 解析：选C　在2x＋3y－k＝0中，令x＝0得y＝，将代入x－ky＋12＝0，解得k＝±6.‎ ‎2．到A(1,3)，B(－5,1)的距离相等的动点P满足的方程是(　　)‎ A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0‎ C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0‎ 解析：选B　设P(x，y)，‎ 则＝，‎ 即3x＋y＋4＝0.‎ ‎3．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是(　　)‎ A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0‎ C．3x－y＋7＝0 D．3x－y－5＝0‎ 解析：选B　由 得即交点为(－1,4)．‎ ‎∵第一条直线的斜率为－3，且两直线垂直，‎ ‎∴所求直线的斜率为.‎ ‎∴由点斜式得y－4＝(x＋1)，‎ 即x－3y＋13＝0.‎ ‎4．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为(　　)‎ A．6 B. C．2 D．不能确定 解析：选B　由kAB＝1，得＝1，‎ ‎∴b－a＝1.‎ ‎∴|AB|＝＝＝.‎ ‎5．方程(a－1)x－y＋‎2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线(　　)‎ A．恒过定点(－2,3)‎ B．恒过定点(2,3)‎ C．恒过点(－2,3)和点(2,3)‎ D．都是平行直线 解析：选A　(a－1)x－y＋‎2a＋1＝0化为ax－x－y＋‎2a＋1＝0，‎ 因此－x－y＋1＋a(x＋2)＝0‎ 由得 二、填空题 ‎6．已知在△ABC中，A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，则△ABC的形状为________．‎ 解析：∵|AB|＝＝，‎ ‎|AC|＝＝，‎ ‎|BC|＝＝，‎ ‎∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，‎ 故△ABC是等腰直角三角形．‎ 答案：等腰直角三角形 ‎7．已知直线ax＋4y－2＝0和2x－5y＋b＝0垂直，交于点A(1，m)，则a＝________，b＝________，m＝________.‎ 解析：∵点A(1，m)在两直线上，∴ 又两直线垂直，得‎2a－4×5＝0, ③‎ 由①②③得，a＝10，m＝－2，b＝－12.‎ 答案：10　－12　－2‎ ‎8．在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________．‎ 解析：设P点的坐标是(a，a＋4)，由题意可知|PM|＝|PN|，即＝‎ ，解得a＝－，故P点的坐标是.‎ 答案： 三、解答题 ‎9．求证：不论m取什么实数，直线(‎2m－1)x－(m＋3)y－(m－11)＝0恒过定点，并求此定点坐标．‎ 证明：法一：令m＝得y＝3；令m＝－3得x＝2.两直线交点为(2,3)，‎ 将点(2,3)代入原直线方程，‎ 得(‎2m－1)×2－(m＋3)×3－(m－11)＝0恒成立，因此，直线过定点(2,3)．‎ 法二：(‎2m－1)x－(m＋3)y－(m－11)＝0‎ 化为2mx－x－my－3y－m＋11＝0，‎ ‎－x－3y＋11＋m(2x－y－1)＝0，‎ 由解得 ‎∴定点为(2,3)．‎ ‎10．已知点A(1，－1)，B(2,2)，点P在直线y＝x上，求|PA|2＋|PB|2取得最小值时P点的坐标．‎ 解：设P(2t，t)，则|PA|2＋|PB|2＝(2t－1)2＋(t＋1)2＋(2t－2)2＋(t－2)2＝10t2－14t＋10.当t ‎＝时，|PA|2＋|PB|2取得最小值，此时有P，所以|PA|2＋|PB|2取得最小值时P点的坐标为.‎ 第二课时　两直线的交点坐标、两点间的距离(习题课)‎ ‎1．两条直线的交点坐标如何求？‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2．如何根据方程组的解判断两直线的位置关系？‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3．平面内两点间的距离公式是什么？‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4．过定点的直线系方程有什么特点？‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5．如何用坐标法解决几何问题？‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎6．点关于点的对称点，点关于线的对称点如何求？‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 两直线交点问题的综合应用 ‎[例1]　过点M(0,1)作直线，使它被两已知直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线的方程．‎ ‎[解]　法一：过点M与x轴垂直的直线显然不合要求，故设所求直线方程为y＝kx ‎＋1.若与两已知直线分别交于A，B两点，则解方程组和可得xA＝，xB＝.‎ 由题意＋＝0，‎ ‎∴k＝－.故所求直线方程为x＋4y－4＝0.‎ 法二：设所求直线与两已知直线分别交于A、B两点，点B在直线2x＋y－8＝0上，故可设B(t,8－2t)，由中点坐标公式得A(－t,2t－6)．‎ 又因为点A在直线x－3y＋10＝0上，所以(－t)－3(2t－6)＋10＝0，得t＝4，即B(4,0)．由两点式可得所求直线方程为x＋4y－4＝0.‎ ‎[类题通法]‎ 两条直线的交点坐标就是联立两条直线方程所得的方程组的解．‎ 解法一体现了方程思想，要学会利用．‎ ‎[活学活用]‎ ‎1．若直线5x＋4y－‎2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第四象限，求m的取值范围．‎ 解：由方程组得即两直线的交点坐标为.‎ ‎∵此交点在第四象限，‎ ‎∴解得－＜m＜2.‎ 故所求m的取值范围是.‎ 对称问题 ‎[例2]　一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程．‎ ‎[解]　设原点关于l的对称点A 的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得 解得 ‎∴A的坐标为(4,3)．‎ ‎∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，‎ 又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，‎ 故反射光线所在直线方程 为y＝3.‎ 由方程组 解得 由于反射光线为射线，‎ 故反射光线的方程为y＝3(x≤)．‎ ‎[类题通法]‎ ‎1．点关于直线对称的点的求法 点N(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)可由方程组求得．‎ ‎2．直线关于直线的对称的求法 求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1、P2关于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程．‎ ‎[活学活用]‎ ‎2．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　)‎ A．3x－2y＋2＝0　　　　　　 B．2x＋3y＋7＝0‎ C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0‎ 解析：选D　由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，‎ 则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0.‎ 在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3,0)，关于点(1，－1)对称点为(－1，－2)，‎ 则点(－1，－2)必在所求直线上，‎ ‎∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，C＝8.‎ ‎∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.‎ 坐标法的应用 ‎[例3]　一长为‎3 m，宽为‎2 m缺一角A的长方形木板(如图所示)，长缺‎0.2 m，宽缺‎0.5 m，EF是直线段，木工师傅要在BC的中点M处作EF延长线的垂线(直角曲尺长度不够)，应如何画线？‎ ‎[解]　以AB所在直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立直角坐标系，‎ 则E(0.2,0)，F(0,0.5)，B(3,0)，D(0,2)，M(3,1)，‎ 所以EF所在直线斜率k＝＝－.‎ ‎∵所求直线与EF垂直，‎ ‎∴所求直线斜率为k′＝，又直线过点M(3,1)，‎ 所以所求直线方程为y－1＝(x－3)．‎ 令y＝0，则x＝0.5，‎ 所以所求直线与x轴交点为(0.5,0)，‎ 故应在EB上截|EN|＝‎0.3 m，得点N，即得满足要求的直线MN.‎ ‎[类题通法]‎ ‎1．坐标法解决实际应用题，首先通过建立模型将它转化为数学问题．‎ ‎2．用坐标法解决几何问题，首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．‎ ‎[活学活用]‎ ‎3．已知等腰梯形ABCD，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC|＝|BD|.‎ 证明：如右图，以等腰梯形ABCD的下底AB所在直线为x轴，以AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，设梯形下底|AB|＝‎2a，上底|CD|＝2b，高为h，则A(－a,0)，B(a,0)，C(b，h)，D(－b，h)，由两点间的距离公式得：‎ ‎|AC|＝ ‎＝，‎ ‎|BD|＝ ‎＝，‎ 所以|AC|＝|BD|.‎ ‎　　　　 ‎[典例]　在x轴上求一点P，使得 ‎(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大，并求出最大值；‎ ‎(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小，并求出最小值．‎ ‎[解题流程]‎ ‎①三角形的两个顶点知道，第三个顶点在x轴上；②三角形两边之差小于 第三边，两边之和大于第三边.‎ 在x轴上求点P，使|PA|－|PB|或|PB|－|PA|最大，以及|PA|＋|PC|最小，应首先画出图形，利用对称性及三角形三边关系求解.‎ ‎[规范解答]‎ 如图，(1)直线BA与x轴交于点P，此时P为所求点，(2分)‎ 且|PB|－|PA|＝|AB|＝＝5.(3分)‎ ‎∵直线BA的斜率kBA＝＝－，(4分)‎ ‎∴直线BA的方程为y＝－x＋4.令y＝0得x＝，‎ 即P.故距离之差最大值为5，此时P点的坐标为，(6分)‎ ‎(2)作A关于x轴的对称点A′，则A′(4，－1)，连接CA′，则|CA′|为所求最小值，直线CA′与x轴交点为所求点．(7分)‎ 又|CA′|＝＝，(9分)‎ 直线CA′的斜率kCA′＝＝－5，则直线CA′的方程为y－4＝－5(x－3)．令y＝0得x＝，即P.(11分)‎ 故距离之和最小值为，此时P点的坐标为.(12分)‎ ‎[名师批注]‎ 若在x轴上另取一点P′，则|P′B|－|P′A|＜|BA|，因此，|AB|为最大值 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 由A、C点在x轴同侧，可作A关于x轴的对称点A′(也可作C关于x轴对称点C′)，转化为|CA′|为最小值，若再找一点P0，则|P‎0A|＋|P‎0C|＝|P‎0A′|＋|P‎0C|＞|A′C| ‎ ‎[活学活用]‎ 求函数f(x)＝＋的最小值．‎ 解：由于f(x)＝＋＝＋，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则可把问题转化为在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|取得最小值，作A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，连接A′B.‎ 由图可直观得出|PA|＋|PB|的最小值为|BA′|＝＝5，即f(x)的最小值为5.‎ ‎[随堂即时演练]‎ ‎1．(2012·济宁高一检测)已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　 B．4‎ C．5 D. 解析：选D　根据中点坐标公式得到＝1且＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝.‎ ‎2．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为(　　)‎ A．{3，－1} B．3，－1‎ C．(3，－1) D．{(3，－1)}‎ 解析：选D　由题意解得 ‎3．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为________．‎ 解析：由方程组 得 又所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，故k＝，‎ ‎∴直线方程为y＋＝(x＋)，‎ 即5x－15y－18＝0.‎ 答案：5x－15y－18＝0‎ ‎4．点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则直线l的方程为________．‎ 解析：由题意知，设直线l的斜率为k，则k·kAB＝－1，且直线l过AB中点，又kAB＝＝－，‎ 则k＝3，AB中点为(1,6)，所以直线l的方程为 y－6＝3(x－1)，即3x－y＋3＝0.‎ 答案：3x－y＋3＝0‎ ‎5．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.‎ 证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在的直线为坐标轴，建立如右图所示的平面直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．‎ 因为斜边BC的中点为M，‎ 所以点M的坐标为，即.‎ 由两点间的距离公式，得 ‎|BC|＝＝，‎ ‎|AM|＝ ‎　＝，‎ 所以|AM|＝|BC|.‎ ‎[课时达标检测]‎ 一、选择题 ‎1．点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(　　)‎ A．(－2,1) B．(－2,5)‎ C．(2，－5) D．(4，－3)‎ 解析：选B　设对称点坐标为(a，b)，‎ 满足解得即Q(－2,5)．‎ ‎2．两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点在第二象限，则m的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　解出两直线的交点为，由交点在第二象限，得，解得m∈.‎ ‎3．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是(　　)‎ A．5 B．2 C．5 D．10 解析：选C　根据光学原理，光线从A到B的距离，等于点A关于x轴的对称点A′到点B的距离，易求得A′(－3，－5)．‎ 所以|A′B|＝ ‎＝5.‎ ‎4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于(　　)‎ A．－2 B．－ C．2 D. 解析：选B　解方程组得代入方程x＋ky＝0得－1－2k＝0，所以k＝－，选B.‎ ‎5．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为(　　)‎ A．－3，－4 B．3,4‎ C．4,3 D．－4，－3‎ 解析：选B　由方程组得交点B(1,2)，代入方程ax＋by－11＝0中，有a＋2b－11＝0　①，又直线ax＋by－11＝0平行于直线3x＋4y－2＝0，所以－＝－　②，≠　③.由①②③，得a＝3，b＝4.‎ 二、填空题 ‎6．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________．‎ 解析：设对称点坐标是(a，b)，则解得a＝－4，b＝－1，即所求对称点坐标是(－4，－1)．‎ 答案：(－4，－1)‎ ‎7．直线ax＋by－2＝0，若满足‎3a－4b＝1，则必过定点________．‎ 解析：由‎3a－4b＝1，解出b，代入ax＋by－2＝0，得a(4x＋3y)＝y＋8.‎ 令解得 答案：(6，－8)‎ ‎8．已知A(2,1)，B(1,2)，若直线y＝ax与线段AB相交，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：如图，直线y＝ax的斜率为a且经过原点O，‎ ‎∵直线y＝ax与线段AB相交，∴实数a的最小值为OA的斜率，最大值为OB的斜率，OA的斜率为，OB的斜率为2，故实数a的取值范围是.‎ 答案： 三、解答题 ‎9．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程．‎ 解：若l与x轴垂直，则l的方程为x＝1，‎ 由得B点坐标(1,4)，此时|AB|＝5，‎ ‎∴x＝1为所求；‎ 当l不与x轴重直时，可设其方程为y＋1＝k(x－1)．‎ 解方程组 得交点B(，)(k≠－2)．‎ 由已知 ＝5，‎ 解得k＝－.‎ ‎∴y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.‎ 综上可得，所求直线l的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.‎ ‎10．某地东西有一条河，南北有一条路，A村在路西3公里、河北岸4公里处；B村在路东2公里、河北岸公里处．两村拟在河边建一座水力发电站，要求发电站到两村距离相等，问发电站建在何处？到两村的距离为多远？‎ 解：以小河的方向向东为x轴正方向，以路的方向向北为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则A(－3,4)，B(2，)，问题转化为在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．‎ 可设点P为(x,0)，则有|PA|＝ ‎＝，|PB|＝＝.由|PA|＝|PB|得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.‎ 即所求点P为且|PA|＝ ‎＝.‎ 故发电站应建在小路以西公里处的河边，它距两村的距离为公里．‎ ‎3．3.3 & ‎3.3.4　‎点到直线的距离　两条平行线间的距离 ‎[提出问题]‎ 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.‎ 问题1：若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？‎ 提示：过点P作直线l′⊥l，垂足为Q，|PQ|即为所求直线l的斜率为k，则l′的斜率为－，‎ ‎∴l′的方程为y－y0＝－(x－x0)，联立l，l′的方程组，解出Q点坐标，利用两点间距离公式求出|PQ|.‎ 问题2：平面直角坐标系中，若P(x0，y0)，则P到x轴、y轴的距离分别是多少？‎ 提示：|y0|、|x0|.‎ 问题3：在直角坐标系中，若P(x0，y0)，则P到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离是不是过点P到直线l的垂线段的长度？‎ 提示：是．‎ 问题4：若过P(x0，y0)的直线l′与l：Ax＋By＋C＝0平行，那么点P到l的距离与l′与l的距离相等吗？‎ 提示：相等．‎ ‎[导入新知]‎ 点到直线的距离与两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离 d＝ ‎[化解疑难]‎ ‎1．点到直线的距离公式需注意的问题 ‎(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P0(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得 d＝.‎ ‎2．点到几种特殊直线的距离 ‎(1)点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；‎ ‎(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；‎ ‎(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|；‎ ‎(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.‎ ‎3．对平行线间的距离公式的理解 ‎(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．‎ ‎(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决 ‎①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；‎ ‎②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.‎ 点到直线的距离 ‎[例1]　求点P(3，－2)到下列直线的距离：‎ ‎(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.‎ ‎[解]　(1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝‎ .‎ ‎(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.‎ ‎(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.‎ ‎[类题通法]‎ 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 ‎(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．‎ ‎(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．‎ ‎(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．‎ ‎[活学活用]‎ ‎1．已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B．2－ C.－1 D.＋1‎ 解析：选C　由点到直线的距离公式知 d＝＝＝1，‎ 得a＝－1±.又∵a＞0，∴a＝－1.‎ ‎2．点P(2,4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．‎ 解析：点P到直线l的距离d＝＝＝3.‎ 答案：3‎ 两平行线间的距离 ‎[例2]　求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．‎ ‎[解]　法一：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0.‎ 在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，)，‎ 则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为＝，‎ 由题意，得＝2，‎ 所以C＝32，或C＝－20.‎ 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.‎ 法二：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，‎ 由两平行直线间的距离公式得2＝，‎ 解得C＝32，或C＝－20.‎ 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.‎ ‎[类题通法]‎ 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．‎ ‎[活学活用]‎ ‎3．(2012·岳阳高一检测)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．‎ 解析：因为两直线平行，所以m＝2.‎ 法一：在直线3x＋y－3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得d＝＝.‎ 法二：将6x＋2y－1＝0化为3x＋y－＝0，由两条平行线间的距离公式得d＝＝.‎ 答案： 距离的综合应用 ‎[例3]　求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．‎ ‎[解]　法一：当直线斜率不存在时，即x＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)．‎ 由条件得＝，解得k＝4，‎ 故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.‎ 法二：由平面几何知识知l∥AB或l过线段AB的中点．‎ ‎∵直线AB的斜率kAB＝4，‎ 若l∥AB，则l的方程为4x－y－2＝0.‎ 若l过AB的中点(1，－1)，则直线方程为x＝1，‎ 故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.‎ ‎[类题通法]‎ 解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．‎ ‎[活学活用]‎ ‎4．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．‎ 解：由解得，即直线l过点B.‎ ‎①当l与x轴垂直时，方程为x＝2，‎ 点A(－3,1)到l的距离d＝|－3－2|＝5，满足题意．‎ ‎②当l与x轴不垂直时，设斜率为k，‎ 则l的方程为y＋＝k(x－2)，‎ 即kx－y－2k－＝0，‎ 由点A到l的距离为5，得＝5，解得k＝，‎ 所以l的方程为x－y－－＝0，‎ 即4x－3y－10＝0.‎ 综上，所求直线方程为x＝2或4x－3y－10＝0.‎ ‎　　　　 ‎[典例]　直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．‎ ‎[解]　(1)若直线l1，l2的斜率存在①，设直线的斜率为k，由斜截式得l1的方程y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.因为直线l1过点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝，∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.‎ ‎(2)若l1，l2的斜率不存在①，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．‎ 综上所述，满足条件的直线方程有两组：l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；或l1：x＝0，l2：x＝5.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1．①处容易漏掉l1，l2的斜率都不存在的情形而导致错误．‎ ‎2．用待定系数法求直线方程时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论．‎ ‎[成功破障]‎ 经过点A(1,2)且到原点的距离等于1的直线方程为________．‎ 解析：当过点A的直线垂直于x轴时，原点到此直线的距离等于1，所以满足题设条件，其方程为x－1＝0.‎ 当过点A的直线不垂直于x轴时，设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.由＝1得k＝，故其方程为3x－4y＋5＝0.‎ 故所求的直线方程为x－1＝0，或3x－4y＋5＝0.‎ 答案：x＝1或3x－4y＋5＝0‎ ‎[随堂即时演练]‎ ‎1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　 B. C．2 D. 解析：选D　d＝＝.‎ ‎2．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 解析：选B　在l1上取一点(1，－2)，则点到直线l2的距离为＝.‎ ‎3．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．‎ 解析：直线8x－6y＋5＝0化简为4x－3y＋＝0，则由两平行线间的距离公式得＝.‎ 答案： ‎4．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．‎ 解析：∵＝4，∴|16－12k|＝52，‎ ‎∴k＝－3，或k＝.‎ 答案：－3或 ‎5．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.‎ 解：由直线方程的两点式得直线BC的方程为 ＝，‎ 即x－2y＋3＝0.由两点间距离公式得 ‎|BC|＝＝2，‎ 点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，‎ d＝＝，‎ 所以S＝|BC|·d＝×2×＝4，‎ 即△ABC的面积为4.‎ ‎[课时达标检测]‎ 一、选择题 ‎1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是(　　)‎ A．3 B. C．3 D. 解析：选D　点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离 d＝＝.‎ ‎2．两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是(　　)‎ A．0＜d≤3 B．0＜d≤5‎ C．0＜d＜4 D．3≤d≤5‎ 解析：选B　当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大为|AB|＝5，所以0＜d≤5.‎ ‎3．与直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为(　　)‎ A．2x＋y＝0‎ B．2x＋y－2＝0‎ C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0‎ D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0‎ 解析：选D　根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋c＝0.因为两直线间的距离等于，所以d＝＝，解得c＝0，或c＝2.所以所求直线方程为2x＋y＝0，或2x＋y＋2＝0.‎ ‎4．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为(　　)‎ A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0‎ C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0‎ 解析：选C　由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，‎ ‎∵kAB＝＝，∴kl＝－3，‎ 由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.‎ ‎5．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是(　　)‎ A．3 B．2 C．3 D．4 解析：选A　由题意，结合图形可知点M必然在直线x＋y－6＝0上，故M 到原点的最小距离为＝3.‎ 二、填空题 ‎6．直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是________________．‎ 解析：由题意设所求l的方程为x－2y＋C＝0，‎ 则＝，解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0.‎ 答案：x－2y＋2＝0‎ ‎7．直线l在x轴上的截距为1，又有两点A(－2，－1)，B(4,5)到l的距离相等，则l的方程为________________．‎ 解析：显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1；‎ 设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即 kx－y－k＝0.‎ ‎∵点A，B到l的距离相等，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴|1－3k|＝|3k－5|，‎ ‎∴k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0.‎ 综上，l的方程为x＝1，或x－y－1＝0.‎ 答案：x＝1或x－y－1＝0‎ ‎8．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是____________________．‎ 解析：法一：由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，‎ 于是有＝，‎ 即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，‎ 则直线l的方程为2x－y＋1＝0.‎ 法二：由题意知l必介于l1与l2中间，故设l的方程为2x－y＋c＝0，‎ 则c＝＝1.‎ 则直线l的方程为2x－y＋1＝0.‎ 答案：2x－y＋1＝0‎ 三、解答题 ‎9．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.‎ ‎(1)求直线l的方程；‎ ‎(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．‎ 解：(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)，‎ 整理得所求直线方程为 ‎3x＋4y－14＝0.‎ ‎(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为 ‎3x＋4y＋C＝0，‎ 由点到直线的距离公式得 ＝3，‎ 即＝3，解得C＝1或C＝－29，‎ 故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.‎ ‎10．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．‎ 解：(1)点P(1,5)到lCD的距离为d，‎ 则d＝ .‎ ‎∵lAB∥lCD，∴可设lAB：x＋3y＋m＝0.‎ 点P(1,5)到lAB的距离也等于d，‎ 则＝，‎ 又∵m≠－13，∴m＝－19，即lAB：x＋3y－19＝0.‎ ‎∵lAD⊥lCD，∴可设lAD：3x－y＋n＝0，‎ 则P(1,5)到lAD的距离等于P(1,5)到lBC的距离，且都等于d＝，‎ ＝，n＝5，或n＝－1，‎ 则lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0.‎ 所以，正方形ABCD其他三边所在直线方程为x＋3y－19＝0,3x－y＋5＝0,3x－y－1＝0.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　直线与方程 一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)‎ ‎1．(2013·嘉兴高一检测)点A(2，－3)关于点B(－1,0)的对称点A′的坐标是(　　)‎ A．(－4,3)　　　　　　　　 B．(5，－6)‎ C．(3，－3) D. 解析：选A　设A′(x′，y′)，由题意得 即 ‎2．已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．135°‎ 解析：选D　由题意知k＝－1，故倾斜角为135°.‎ ‎3．(2012·潍坊高一期末检测)点(1,1)到直线x＋y－1＝0的距离为(　　)‎ A．1 B．2‎ C. D. 解析：选C　由点到直线的距离公式d＝＝.‎ ‎4．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于P、Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)‎ A. B．－ C．3 D．－3‎ 解析：选B　设P(a,1)，Q(7，b)，则有 ‎∴故直线l的斜率为＝－.a＝－5.‎ ‎5．过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为(　　)‎ A．x－2y＋7＝0 B．2x＋y－1＝0‎ C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0‎ 解析：选A　∵直线x－2y＋3＝0的斜率为，‎ ‎∴所求直线的方程为y－3＝(x＋1)，‎ 即x－2y＋7＝0.‎ ‎6．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍，则(　　)‎ A．m＝－，n＝1 B．m＝－，n＝－3‎ C．m＝，n＝－3 D．m＝，n＝1‎ 解析：选D　依题意得－＝－3，－＝tan 120°＝－，得m＝，n＝1.‎ ‎7．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为(　　)‎ A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0‎ C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0‎ 解析：选A　设所求直线上的任一点为(x，y)，则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，因为点(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，所以3x＋4y＋5＝0.‎ ‎8．若三点A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于(　　)‎ A．2 B．3‎ C．9 D．－9‎ 解析：选D　由题意知kAB＝kBC 即＝，解得b＝－9.‎ ‎9．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与(－6,8)重合，则与点(－4,2)重合的点是(　　)‎ A．(4，－2) B．(4，－3)‎ C. D．(3，－1)‎ 解析：选A　由已知知以(10,0)和(－6,8)为端点的线段的垂直平分线的方程为y＝2x，则(－4,2)关于直线y＝2x的对称点即为所求点．设所求点为(x0，y0)，则解得 ‎10．设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是(　　)‎ A．k≥，或k≤－4 B．－4≤k≤ C．－≤k≤4 D．以上都不对 解析：选A　由题意知kAP＝＝－4，‎ kBP＝＝.由斜率的特点并结合图形可知k≥，或k≤－4.‎ 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎11．已知点A(2,1)，B(－2,3)，C(0,1)，则△ABC中，BC边上的中线长为________．‎ 解析：BC中点为即(－1,2)，所以BC边上中线长为＝.‎ 答案： ‎12．经过点A(1,1)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线方程是________．‎ 解析：当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x－y＝0；‎ 当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a＝2，此时直线方程为 x＋y－2＝0.‎ 答案：x－y＝0或x＋y－2＝0‎ ‎13．过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为____________．‎ 解析：如右图，只有当直线l与OA垂直时，原点到l的距离最大，此时kOA＝，则kl＝－2，所以方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.‎ 答案：2x＋y－5＝0‎ ‎14．已知点A(4，－3)与B(2，－1)关于直线l对称，在l上有一点P，使点P到直线4x＋3y－2＝0的距离等于2，则点P的坐标是____________．‎ 解析：由题意知线段AB的中点C(3，－2)，kAB＝－1，故直线l的方程为y＋2＝x－3，即y＝x－5.设P(x，x－5)，则2＝，‎ 解得x＝1或x＝.‎ 即点P的坐标是(1，－4)或.‎ 答案：(1，－4)或 三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15．(本小题满分12分)(2012·绍兴高二检测)已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P(1,1)．‎ ‎(1)求直线l的方程；‎ ‎(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A′的坐标．‎ 解：(1)∵k＝tan 135°＝－1，‎ ‎∴l：y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.‎ ‎(2)设A′(a，b)，‎ 则解得a＝－2，b＝－1，‎ ‎∴A′的坐标为(－2，－1)．‎ ‎16．(本小题满分12分)已知两条直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋‎2m＝0 ，当m为何值时，l1与l2(1)相交；(2)平行；(3)重合？‎ 解：当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，∴l1∥l2.‎ 当m＝2时，l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0，∴l1与l2相交．‎ 当m≠0且m≠2时，由＝得m＝－1或m＝3，由＝，得m＝3.‎ 故(1)当m≠－1且m≠3且m≠0时，l1与l2相交．‎ ‎(2)当m＝－1或m＝0时，l1∥l2.‎ ‎(3)当m＝3时，l1与l2重合．‎ ‎17．(本小题满分12分)如图，已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．‎ ‎(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；‎ ‎(2)求△ABC的面积．‎ 解：(1)由题意可知，E为AB的中点，‎ ‎∴E(3,2)，且kCE＝－＝1，‎ ‎∴CE所在直线方程为：y－2＝x－3，即x－y－1＝0.‎ ‎(2)由得C(4,3)，∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC，‎ ‎∴S△ABC＝|AC|·|BC|＝2.‎ ‎18．(本小题满分14分)如图所示，在△ABC中，BC边上的高所在直线l的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．‎ 解：由方程组解得顶点A(－1,0)．‎ 又AB的斜率为kAB＝1，且x轴是∠A的平分线，故直线AC的斜率为－1，AC所在直线的方程为y＝－(x＋1)．‎ 已知BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，故BC的斜率为－2，BC所在直线的方程为y－2＝－2(x－1)．‎ 解方程组 得顶点C的坐标为(5，－6)．‎ 所以点A的坐标为(－1,0)，点C的坐标为(5，－6)．‎