【数学】2019届一轮复习人教A版回归定义解决圆锥曲线问题（理）学案

【数学】2019届一轮复习人教A版回归定义解决圆锥曲线问题（理）学案

第83题 回归定义解决圆锥曲线问题 I．题源探究·黄金母题 ‎【例1】设是圆上的动点，另有，线段的垂直平分线交直线于点，当点在圆上运动时，求点的轨迹方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设．‎ 点是线段垂直平分线上的一点，，‎ ‎，点的轨迹是以点为焦点的椭圆，且，，点的轨迹方程为．‎ ‎【例2】已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线，交椭圆于两点，是椭圆的左焦点．‎ ‎（I）求的周长；‎ ‎（II）如果不垂直于轴，的周长有变化吗？为什么？‎ ‎【答案】（I）20；（II）没有变化．‎ ‎【解析】（I）由已知，当轴时，，代入椭圆的方程可得纵坐标分别为，从而．‎ 精彩解读 ‎【试题 】例1：人教A版选修2-1P42习题2．1T7改编．‎ 例2：人教A版选修2-1P36练习T3．‎ ‎【母题评析】这类题考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，考查考生简单的识记及基本计算能力．‎ ‎【思路方法】利用圆锥曲线的定义解题．‎ 的周长为．‎ ‎（II）如果不垂直于轴，的周长不变，证明如下：‎ 由椭圆的定义可知：，‎ 两式相加即得的周长为．‎ II．考场精彩·真题回放 ‎【例1】【2017高考全国I理10】已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为 （ ）‎ A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎【答案】A ‎【解析】解法一：设，直线方程为．联立方程得，∴，‎ 同理直线与抛物线的交点满足．由抛物线定义可知 ‎，‎ 当且仅当（或）时，取最小值16．‎ 解法二：如图，设直线的倾斜角为，则，则，所以 ‎【命题意图】这类题主要考查圆锥曲线的定义及简单的几何性质．这类题能较好的考查考生逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．‎ ‎【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题、填空题，也可以是解答题第（1）小题，难度中等偏易．‎ ‎【难点中心】‎ ‎1．抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．‎ ‎2．双曲线渐近线是其独有的性 ‎，‎ 当且仅当，即或时，取最小值16．‎ ‎【例2】【2017高考全国II理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，做与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，由题意有，线段FN的长度：．‎ ‎【例3】【2017高考全国I】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________．‎ 质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐．做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是；③双曲线的顶点到渐近线的距离是．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且，，而，所以，‎ 点到直线的距离，‎ 在中，，代入计算得，即，‎ 由得，所以．‎ ‎【例4】【2017高考浙江21】如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． : ]‎ ‎（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由两点求斜率公式可得AP的斜率为，‎ 由，得AP斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达与的长度，通过函数求解的最大值．‎ 试题解析：（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，则，‎ ‎∵，∴直线AP斜率的取值范围是．‎ ‎（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是，‎ ‎，‎ ‎．‎ 令，因为，所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当时，取得最大值．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值．‎ ‎【例5】【2017高考天津理19】设椭圆 的左焦点为，右顶点为，离心率为．已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为．‎ ‎（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；‎ ‎（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点．若的面积为，求直线的方程．‎ ‎【答案】 （1），．（2），或．‎ ‎【解析】试题分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出 所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程．‎ 试题解析：（Ⅰ）设的坐标为．依题意，，，，解得，，，于是．所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故．将与联立，消去，整理得，解得，或．由点异于点，可得点．由 ‎，可得直线的方程为，令，解得，故．所以．又因为的面积为，故，整理得，解得，所以．‎ 所以，直线的方程为，或．‎ ‎【例6】【2017高考江苏17】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为8．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线的交点在椭圆上，求点的坐标．[ : . .k ]‎ F1‎ ‎ ‎ O ‎ ‎ F2‎ x y ‎(第17题)‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）设椭圆的半焦距为．∵椭圆的离心率为，∴‎ ‎①．∵两准线之间的距离为8，∴②．联立①②得，∴，故椭圆E的标准方程为．‎ ‎（2）解法一：由（1）知．‎ 从而直线的方程： ①‎ 直线的方程： ②‎ 由①②，解得，∴．‎ ‎∵点在椭圆上，由对称性，得，即或．‎ 因此点P的坐标为．‎ 解法二：设，则，由题意得 ‎，整理得，∵点在椭圆上，∴，‎ ‎∴，∴，故点的坐标是．‎ 解法三（参数方程）：设，则直线方程分别为．联立解得又在椭圆上，，整理得 ‎．又，点的坐标是．‎ 解法四（秒杀技）：由已知得，故这四个点共圆．若四点共圆，则圆以为直径，方程为，但它与椭圆无交点，故应该是 四点共圆（即在以为直径的圆上），从而关于轴对称．设，则，且是圆与椭圆的交点，又在此圆上，解得（注意：）‎ III．理论基础·解题原理 ‎1．椭圆的定义：‎ ‎2．双曲线的定义：‎ ‎3．抛物线的定义：（为焦点，为动点到准线的距离）‎ IV．题型攻略·深度挖掘 ‎【考试方向】‎ 这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，也可以是解答题的第（1）小题，难度中等偏易．‎ ‎【技能方法】‎ ‎1．根据抛物线的定义，实现抛物线上的点到焦点与到准线的距离相互转化，从而解决问题；‎ ‎2．利用圆锥曲线的定义将折线段和的问题化归为平面上直线段最短来解决最值问题．‎ ‎【易错指导】‎ ‎1．利用圆锥曲线的定义解题时，要注意曲线之间的共性和个性．‎ ‎2．利用圆锥曲线的定义解题时，涉及圆锥曲线上的点与两个焦点的问题，常用第一定义；涉及焦点与准线的问题，常用统一定义．要加强数形结合、化归思想的应用，以便得到最佳解题途径．‎ V．举一反三·触类旁通 考向1 利用定义求圆锥曲线几何量问题（焦点三角形面积、焦点弦三角形周长、离心率等）‎ ‎【例1】【2018云南昆明高三教 质量检查（二统）】已知，是椭圆的两个焦点，过原点的直线交于两点，，且，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，连接，由椭圆的对称性可知，是矩形，设，则，可知，由勾股定理可知，，，故选D．‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题．离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题是利用双曲线的几何性质以及双曲线的定义根据方法①求解的．‎ ‎【例2】【2018甘肃张掖高三备考质量检测第一次考试】设是椭圆的两个焦点，点是椭圆与圆的一个交点，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【例3】【2018河北石家庄高三下 期一模】已知，分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，边 上的切点分别为 易见 横坐标相等，则 由 即 得 即，记 的横坐标为，则，于是，得同理内心 的横坐标也为 则有轴，设直线的倾斜角为，则 则 ‎，‎ 故选D．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018湖南郴州高三第二次教 质量检测】设椭圆 ()的一个焦点点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 A． B． C． D． （ ）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用椭圆定与性质求椭圆的离心率，属于难题．‎ 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围．本题是利用椭圆的定义以及三角形两边与第三边的关系构造出关于的不等式，最后解出的范围．‎ ‎2．【2018安徽淮南二中、宿城一中高三第四次考试】已知双曲线右焦点为为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 当三点共线时取到，故l=2|AF|+2a=，故选B．‎ 点睛：本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题．‎ ‎3．【2018江西上饶高三下 期第二次高考模拟】已知点分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点）且，则实数的值为 A．3 B．2 C． D． （ ）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得 ‎．‎ ‎，解得 ‎，故选A．‎ 考向2 利用定义判定某些位置关系 ‎【例4】【2018河南商丘九校高三模拟】设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（ ）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 ‎【答案】B 点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法 ‎(1)几何法：利用d与r的关系．‎ ‎(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．‎ ‎(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．‎ 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．‎ ‎【例5】【2018山西太原十二高三上 期1月月考】如图，两条距离为的直线都与轴平行，它们与抛物线和圆分别交于和，且抛物线的准线与圆相切，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，由抛物线的准线与圆相切可得 或7，又，故，‎ 设直线 的方程为，则直线的方程为则 设 ‎ 则 令，令 ‎ 故，此时直线 的方程为，故选B． ~ ‎ ‎【例6】【2018河南南阳一中高三第七次考试】已知抛物线，过焦点的直线交于两点，是抛物线的准线与轴的交点．‎ ‎（1）若，且的面积为，求抛物线的方程；‎ ‎（2）设为的中点，过作的垂线，垂足为，证明：直线与抛物线相切．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 试题解析：（1）因为，所以，所以，所以，‎ 故抛物线的方程为．‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 联立，所以，‎ 其中，所以，‎ 所以，‎ 又，所以，‎ 所以抛物线在处的切线斜率为，所以直线与抛物线相切．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018吉林实验中 高三上 期第五次月考】若抛物线的焦点是，准线是，点是抛物线上一点，则经过点、且与相切的圆共 （ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎【答案】D 点睛：1．凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎2．【2018福建泉州高中毕业班1月质量检查】在平面直角坐标系中，点在抛物线上．‎ ‎（1）求的方程和的焦点的坐标；‎ ‎（2）设点为准线与轴的交点，直线过点，且与直线垂直，求证：与相切．‎ ‎【答案】（1）焦点的坐标（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）利用点在抛物线上解得，进而求得的方程和的焦点的坐标；（2）根据题意明确的方程，联立方程利用判别式判断二者的位置关系．‎ 试题解析：（1）因为点在抛物线上，所以，解得．‎ 所以抛物线的方程为，焦点的坐标．‎ ‎（2）准线：与轴的交点，直线的斜率，‎ 所以直线的方程：，即，‎ 由方程组，可得，因为，所以与相切．‎ ‎3．【2018福建福州高三上 期期末质检】已知圆，抛物线上两点与，若存在与直线平行的一条直线和与都相切，则的准线程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 考向3 利用定义求轨迹 ‎【例7】【2018百校联盟TOP20一月联考】根据天文物理 和数 原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆．地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球最近的点称为近地点．已知月球的近地点约为36万千米，月球轨道上点与椭圆两焦点构成的三角形面积约为 (万千米)2，，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】设月球绕地球运行轨道的一个标准方程为．‎ 由椭圆的定义和余弦定理可得焦点三角形的面积，解得．由于地球的近地点为36，所以．∵，∴，∴．故所求的标准方程为．选B．‎ ‎【例8】中，长为，顶点在移动过程中满足条件，求点的轨迹方程．‎ ‎【例9】一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，设动圆的圆心为，由已知得：两式相加得，由椭圆的定义可知：所求动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆．由得，故所求的轨迹方程为．‎ 变式练习：‎ 已知动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018内蒙古呼和浩特市高三第一次质量调研】已知是双曲线的上、下两个焦点，过的直线与双曲线的上下两支分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据双曲线的定义，可得 是等边三角形，即，‎ ‎∴，即，又，，‎ 中，，，‎ 即解得，则，‎ 由此可得双曲线的渐近线方程为，故选D． ‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键．‎ ‎2．【2018宁夏石嘴山三中高三下 期一模】如图，已知圆，点是圆 上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于．‎ ‎(1)求动点的轨迹的方程；‎ ‎(2)已知是轨迹的三个动点，点在一象限，与关于原点对称，且，问的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ 试题解析：(1)∵Q在线段PF的垂直平分线上，∴|QP|＝|QF|，得|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝4，‎ 又|EF|＝2＜4，∴Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，∴Г：＋y2＝1．‎ ‎(2)由点A在第一象限，B与A关于原点对称，设直线AB的方程为y＝kx(k＞0)，‎ ‎∵|CA|＝|CB|，∴C在AB的垂直平分线上，∴直线OC的方程为．‎ ‎，同理可得 ‎|OC|＝ ‎ 当且仅当k＝1时取等号，∴S△ABC≥．‎ 综上，当直线AB的方程为y＝x时，△ABC的面积有最小值．‎ ‎3．【2018百校联盟TOP20一月联考】已知点，过点且与轴垂直的直线为，轴，交于点，直线垂直平分，交于点．‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）记点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点，且（为常数），直线与平行，且与曲线相切，切点为，试问的面积是否为定值．若为定值，求出的面积；若不是定值，说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）的面积为定值．‎ 试题解析：（1）由题意得，即动点到点的距离和到直线的距离相等，‎ 所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，‎ 根据抛物线定义可知点轨迹方程为．‎ ‎（2）由题意知，直线的斜率存在，设其方程为，由消去x整理得 ．则 ．‎ 设的中点为，则点．‎ 由条件设切线方程为，由消去y整理得 ．‎ ‎∵ 直线与抛物线相切，∴，∴ ，∴切点的横坐标为，‎ ‎∴ 点．∴ 轴．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴．∴．‎ ‎∵为常数，∴的面积为定值．‎ 点睛：圆锥曲线中求定值问题常见的方法[ : ]‎ ‎(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎(2)由题意得到目标函数，直接通过推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到目标函数的取值与变量无关，从而证得定值． ‎ 考向4 利用定义求最值 ‎ ‎【例10】已知定点是抛物线的焦点，在此抛物线上求一点，使取得最小值，求点的坐标．‎ ‎【名师点睛】根据抛物线的定义，建立点到焦点与到准线的距离相等关系 ‎【例11】（1）已知点是双曲线的左焦点，定点，是双曲线右支上动点，则的最小值为 ．‎ ‎（2）是的右焦点，是其上一点，定点，则的最小值为 ；的最小值为 ．‎ ‎【答案】（1）9；（2） ．‎ ‎【解析】（1）设双曲线右焦点为，‎ 则．‎ ‎【名师点睛】利用圆锥曲线的定义将折线段和的问题化归为平面上直线段最短来解决． ‎ ‎【例12】【2018吉林长春高三下 期第二次模拟】双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，点，点为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，周长的最小值为 （ ）‎ A．8 B．10 C． D．‎ ‎【答案】B 点晴：本题考查的是双曲线定义的应用．由双曲线的定义及点为双曲线第一象限内的点可得，于是可表示为△的周长，在点P的位置变化过程中，当折线变成直线，即三点共线时的最小值为，于是可得三角形周长的最小值．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．如图，是以为焦点的双曲线右支上任一点，若点到点与点的距离之和为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】．‎ ‎2．【2018河南濮阳高三一模】已知双曲线，是左焦点，，是右支上两个动点，则的最小值是( )‎ A．4 B．6 C．8 D．16‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎，当且仅当三点共线时等号成立，故选C．‎ ‎3．【2018重庆綦江区高三模拟】已知点及抛物线上一动点，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考向5 利用定义解决其它问题 ‎【例13】【2018河南郑州高三一模】设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出抛物线的图象如图所示．‎ 点睛：本题将抛物线的定义和平面几何知识综合在一起，考查 生分析问题解决问题的能力．解题中先根据平面几何知识将三角形的面积比转化为三角形边的长度比，并根据抛物线的定义将问题转化为相似三角形对应边的比．同时解题中还要注意直线和抛物线位置关系的运用，通过代数方法得到点A，B的坐标之间的关系也是解题的关键点．‎ ‎【例14】【2018江西高三教 质量监测】已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以点为圆心，以3为半径的圆与以点为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上．设点，在中，．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点的直线不经过点，且与椭圆相交于，两点，若直线与的斜率分别为，，求的值．‎ ‎【答案】(1) ；(2)-1．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆定义可得，由，∴‎ ‎，从而得到椭圆的方程；‎ ‎（2）直线的斜率显然存在，设直线l方程：，交点，‎ 由．由韦达定理可得．‎ ‎（2）直线的斜率显然存在，设直线l方程：，交点，‎ 由 ．‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎【例15】【2018安徽合肥高三第二次教 质量检测】已知点和动点，以线段为直径的圆内切于圆．‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）已知点，，经过点的直线与动点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的斜率之和为定值．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）设以线段为直径的圆的圆心为，取，借助几何知识分析可得动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，根据待定系数法可得动点的轨迹方程为 ‎．（2）①当直线垂直于轴时，不合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立消元后可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系及斜率公式可得，为定值．‎ 试题解析：（1）如图，设以线段为直径的圆的圆心为，取．‎ ‎∴动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为，‎ 则，，，，，动点的轨迹方程为．‎ ‎（2）①当直线垂直于轴时，直线的方程为，此时直线与椭圆相切，与题意不符．‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为．‎ 由消去y整理得．‎ ‎∵直线与椭圆交于，两点，∴，‎ 解得．设，，则，‎ ‎（定值）．‎ 点睛：（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题．‎ ‎（2）求定值问题常见的方法：‎ ‎①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；‎ ‎②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018北京朝阳区高三一模】已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若，则线段的中点到直线的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎2．【2018山西晋城高三上 期一模】抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点在抛物线上，当时，的面积为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，设，过M作于，则．由条件知，，故，所以，故．又点在抛物线上，．由，解得，从而得，，故选C．‎ ‎3．【2018河南郑州高三二模】已知圆，点为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆，设动点的轨迹为曲线．‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程；‎ ‎(Ⅱ) 是曲线上的动点，且直线经过定点，问在轴上是否存在定点，使得，若存在，请求出定点，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ) 存在定点．‎ ‎，直线的方程为得，代入韦达可求．‎ 试题解析：（Ⅰ）设的中点为，切点为，连，则，取关于 轴的对称点，连，故．‎ 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆．‎ 其中，曲线方程为．‎ ‎(Ⅱ)假设存在满足题意的定点，设设直线的方程为，．由消去，得 由直线过椭圆内一点作直线故，由求根公式得：‎ 由得，得直线得与斜率和为零．故 存在定点，当斜率不存在时定点也符合题意． ‎ ‎【点睛】求曲线方程常见有定义法、几何转化法、相关点法、参数法等，本题是几何法，对于有明显几何意义关系的，如本题两圆内切，可先写出几何关系，再转化为所求点的几何关系，即可求出轨迹方程．‎ ‎ ‎