存在性问题中考数学综合专题训练试题

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存在性问题中考数学综合专题训练试题

第四节 存在性问题 这类问题是近几年来各地中考的“热点”.解决存在性问题就是:假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果,就作出“存在”的判断,导出矛盾,就作出不存在的判断.尤其以二次函数中的是否存在相似三角形、三角形的面积相等、等腰(直角)三角形、平行四边形作为考查对象是中考命题热点.这类题型对基础知识,基本技能提出了较高要求,并具备较强的探索性,正确、完整地解答这类问题,是对知识、能力的一次全面的考查.‎ ‎,中考重难点突破)‎ ‎【例1】(汇川中考模拟)抛物线y=x2-x+2与x轴交于A,B两点(OA0)与x轴交于点C,D两点(点C在点D的左侧),在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°?若存在,请求出此时k的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ 解:(1)当k=1时,抛物线的解析式为y=x2-1,‎ 直线的解析式为y=x+1.联立两个解析式,‎ 得x2-1=x+1,解得x=-1或x=2,‎ 当x=-1时,y=x+1=0;‎ 当x=2时,y=x+1=3,‎ ‎∴A(-1,0),B(2,3);‎ ‎(2)设P(x,x2-1).如图①所示,‎ ‎ 过点P作PF∥y轴,交直线AB于点F,则F(x,x+1).‎ ‎∴PF=(x+1)-(x2-1)=-x2+x+2.‎ S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF(xF-xA)+PF(xB-xF)=PF(xB-xA)=PF,‎ ‎∴S△ABP=(-x2+x+2)=-+,‎ 当x=时,yP=x2-1=-.‎ ‎∴△ABP面积最大值为,‎ 此时点P坐标为;‎ ‎(3)存在,理由如下:设直线AB:y=kx+1与x轴,y轴分别交于点E,F,‎ 则E,F(0,1),OE=,OF=1.‎ 在Rt△EOF中,由勾股定理得:‎ EF==.‎ 令y=x2+(k-1)x-k=0,即(x+k)(x-1)=0,‎ 解得x=-k或x=1,‎ ‎∴C(-k,0),OC=k.‎ 设以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q,‎ 根据圆周角定理,此时∠OQC=90°.‎ 设点N为OC中点,连接NQ,如图②所示,‎ 则NQ⊥EF,NQ=CN=ON=,‎ ‎∴EN=OE-ON=-.‎ ‎∵∠NEQ=∠FEO,∠EQN=∠EOF=90°,‎ ‎∴△EQN∽△EOF,‎ ‎∴=,‎ 即=,∴k=±.‎ ‎∵k>0,‎ ‎∴k=,‎ ‎∴当k=时,存在唯一一点Q,‎ 使得∠OQC=90°. ‎ ‎◆中考真题区 ‎2.(黔东南中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+c过点A(0,4)和C(8,0),P(t,0)是x轴正半轴上的一个动点,M是线段AP的中点,将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB.过点B作x轴的垂线,过点A作y轴的垂线,两直线相交于点D.‎ ‎(1)求b,c的值;‎ ‎(2)当t为何值时,点D落在抛物线上;‎ ‎(3)是否存在t,使得以A,B,D为顶点的三角形与△AOP相似?若存在,求此时t的值;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)∵A(0,4),C(8,0)在抛物线上,‎ ‎∴解得 ‎(2)∵∠AOP=∠PEB=90°,‎ ‎∠OAP=90°-∠APO=∠EPB,‎ ‎∴△AOP∽△PEB,∴=,‎ ‎∵AO=4,AP=2MP=2PB,‎ ‎∴PE=2,OE=OP+PE=t+2,‎ 又∵DE=OA=4,‎ ‎∴点D的坐标为(t+2,4),‎ 当点D落在抛物线上时,‎ 有-(t+2)2+(t+2)+4=4,‎ 解得t=3或t=-2,‎ ‎∵t>0,‎ ‎∴t=3,故当t为3时,点D落在抛物线上;‎ ‎(3)存在t,能够使得以A,B,D为顶点的三角形与△AOP相似.‎ 理由如下:①当0<t<8时,若△POA∽△ADB,‎ 则=,即=整理,得t2+16=0,‎ ‎∴t无解;‎ 若△POA∽△BDA,‎ 同理,解得t=-2±2(负值舍去);‎ ‎②当t>8时,若△POA∽△ADB,则=,‎ 即=,‎ 解得t=8±4(负值舍去);‎ 若△POA∽△BDA,同理,解得t无解.‎ 综上所述,当t=-2+2或8+4时,‎ 以A,B,D为顶点的三角形与△AOP相似. ‎
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