2017-2018学年广东省佛山市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年广东省佛山市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年广东省佛山市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．复数 与复数 互为共轭复数（其中 为虚数单位），则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用复数代数形式的乘法运算化简，再用共轭复数的概念得到答案,‎ 详解：因为，又复数与复数互为共轭复数，‎ 所以，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及的知识点有复数的乘法运算以及复数的共轭复数，属于基础题目.‎ ‎2．点 的直角坐标是，则点 的极坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用，，，先将点M的直角坐标是，之后化为极坐标即可.‎ 详解：由于，得，‎ 由，得，‎ 结合点在第二象限，可得，‎ 则点M的坐标为，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关平面直角坐标与极坐标的转化，需要注意极坐标的形式，以及极径和极角的意义，利用来得，根据点所属的象限得到相应的正角，从而得到结果.‎ ‎3．已知双曲线的右焦点到左顶点的距离等 于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线的右焦点到左顶点的距离为 ，焦点到渐近线的距离为，则， ，因此，, ，渐近线方程为，即 选.‎ ‎【点睛】求双曲线的渐近线方程，就是寻求或，求法与求离心率类似，只需找 出一个的等量关系，削去后，求出或，就可以得出渐近线方程，削去 ‎ 后，就可以求，即可求出离心率.‎ ‎4．以下判断正确的是（　）‎ A. 命题“负数的平方是正数”不是全称命题 B. 命题“”的否定是“”‎ C. “”是“函数的最小正周期为”的必要不充分条件 D. “”是“函数是偶函数”的充要条件 ‎【答案】D ‎【解析】分析：A，命题“负数的平方是正数”的含义为“任意一个负数的平方都是正数”，是全称命题，可判断A；‎ B，写出命题“”的否定，可判断B；‎ C，利用充分必要条件的概念，从充分性与必要性两个方面可判断C；‎ D，利用充分必要条件的概念与偶函数的定义可判断D.‎ 详解：对于A，命题“负数的平方是正数”是全称命题，故A错误；‎ 对于B，命题“”的否定是“”，故B错误；‎ 对于C，时，函数，其最小正周期为，‎ 充分性成立，反之，若函数的最小正周期为，则，必要性不成立，所以“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件，故C错；‎ 对于D，时，函数，所以是偶函数，充分性成立，反之，若函数是偶函数，则，即，得恒成立，即，所以必要性成立，‎ 所以“”是“函数是偶函数”的充要条件，故D正确；‎ 故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关命题的真假判断问题，涉及的知识点有全称命题的判断、全称命题的否定、充分必要条件的判断，只要把握好概念，就应该没有问题，注意要逐项判断.‎ ‎5．某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于20，则输入的整数的最大值为（ ）‎ A .3 B.4 C.5 D.6‎ 开始 结束 是 否 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：这是一个循环结构，循环的结果依次为：.再循环一次，S的值就大于20，故的值最大为4.‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎6． 是抛物线 的焦点，以 为端点的射线与抛物线相交于 ，与抛物线的准线相交于，若，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意，利用抛物线的定义，结合向量条件，求出A点的横坐标，即可得出结论.‎ 详解：由题意，设A的横坐标为m，‎ 则由抛物线的定义，可得，解得，‎ 所以，‎ 所以，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关抛物线的定义以及向量的数量积的问题，在解题的过程中，注意应用题的条件，结合抛物线的定义，利用相关的直角三角形得到线段的比例求得对应的值，从而求得结果.‎ ‎7．如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第个图形用了根火柴，第个图形用了根火柴，第个图形用了根火柴, ……，则第个图形用的火柴根数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：第个图形需要火柴的根数为 ，第个图形需要火柴的根数为，第个图形需要火柴的根数为，…,第个图形需要火柴的根数为，所以第个图形需要火柴的根数为，故选D.‎ ‎【考点】1，归纳推理；2、等差数列求和公式.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查归纳推理，属于难题.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：（1） 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；（2） 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎8．已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由条件利用导数与函数的单调性之间的关系，结合函数的导数的图像，利用当函数的导数为正实数时，到数值越大，函数增长的速度就越快，从而得到结果.‎ 详解：根据导函数的图像可得函数在上增长速度越来越快，‎ 在上增长速度逐渐变慢，‎ 在上匀速增长，结合所给的选项，故选C.‎ 点睛：该题考查的是根据导函数的图像选择函数的图像的问题，在解题的过程中，需要把握住导数为负数，函数单调减，导数为正数，函数单调增，导数大于零时，导数越大，函数的增长速度就越大，从而求得结果.‎ ‎9．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：曲线即，表示以为圆心，以2为半径的一个下半圆，由圆心到直线的距离等于半径2，可得，解得或，，结合图像可得b的取值范围.‎ 详解：如图所示：‎ 曲线，即，‎ 表示以为圆心，以2为半径的一个下半圆，‎ 由圆心到直线的距离等于半径2，‎ 可得，解得或，‎ 结合图像可知，故选C.‎ 点睛：该题考查的是曲线与直线的交点个数问题，这个问题需要先将曲线确定，由方程可以得出曲线表示的是一个半圆，根据直线与圆的位置关系，以及结合图像，可以确定参数的取值范围.‎ ‎10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图还原原几何体如图，‎ 四棱锥A﹣BCDE，其中AE⊥平面BCDE，‎ 底面BCDE为正方形，则AD=AB=2，AC=．‎ ‎∴该四棱锥的最长棱的长度为．‎ 故选： ．‎ ‎11．三棱锥 中，，， 两两垂直，其外接球半径为 ，设三棱锥 的侧面积为，则的最大值为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 8 D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后利用基本不等式解答即可.‎ 详解：设分别为，‎ 则三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，‎ 所以把它扩展为长方体，‎ 可知对应长方体的外接球和该三棱锥的外接球是同一个，‎ 对角线的长为球的直径，所以，，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关从一个点出发的三条棱两两互相垂直的三棱锥的外接球的相关问题，涉及到的知识点有三棱锥的侧面积，长方体的对角线为其外接球的直径，基本不等式求最值等，属于常考题目.‎ ‎12．已知函数是定义在 上的奇函数，若， 为 的导函数，对 ，总有，则 的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据函数的图像的平移得到的图像的特点，由 知的单调性，可求得结果.‎ 详解：因为函数是定义在R上的奇函数，‎ 所以函数图像关于原点对称，‎ 又，故的图像关于点对称，‎ 令，所以，‎ 因为对，总有，所以在R上是增函数，‎ 又，‎ 所以的解集为，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关利用导数解不等式的问题，在解题的过程中，用到的知识点有奇函数图像的对称性，函数图像的平移，导数对单调性的影响，结合题的条件，得到结果.‎ 二、填空题 ‎13．过椭圆（）的左焦点 作x 轴的垂线交椭圆于P， 为右焦点，若,则椭圆的离心率为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：把代入椭圆方程得P点坐标，进而根据推断出，整理得出，进而求得椭圆的离心率e的大小.‎ 详解：由题意知点P的坐标为或，因为，所以，即，所以，所以或（舍去），故答案是.‎ 点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在解题的过程中，需要应用点在椭圆上的条件为点的坐标满足椭圆的方程，代入求得P 点的坐标，根据角的大小，得到边之间的关系，从而建立关于a,c的等量关系式，从而将其转化为关于e的方程，求解即可注意其取值范围，做相应的取舍.‎ ‎14．, 为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是_______（填上所有正确命题的序号）．‎ ‎①若，，则； ②若，，则；‎ ‎③若，，，则； ④若，，，则．‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】分析：在①中，由面面平行的性质定理得；在②中，或m与n异面；在③中，m与相交、平行或；在④中，由线面垂直的判定定理得.‎ 详解：由, 为两个不同的平面，，为两条不同的直线，知：‎ 在①中，若，，则由面面平行的性质定理得，故①正确；‎ 在②中，若，，则或m与n异面，故②错误；‎ 在③中，若，，，则m与相交、平行或，故③错误；‎ 在④中，若，，，则由线面垂直的判定定理得，故④正确；‎ 故答案是①④.‎ 点睛：该题考查的是有关立体几何中的空间关系的问题，在解题的过程中，需要对相关的定理的条件和结论都非常熟悉，在平时的学习中，要注重对基础知识的学习.‎ ‎15．设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时， 且，则不等式的解集是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设 ，当 时， ，.‎ ‎ 在 上为增函数.， ‎ 故 为 上的奇函数. 在 上亦为增函数.已知 ，必有 .故 的解集为 .‎ ‎16．设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 ‎，总有过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为 ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：设曲线上的切点为,曲线上一点为.因,故直线的斜率分别为,由于,因此,即,也即.又因为,所以,由于存在使得,因此且,所以,所以.‎ ‎【考点】导数的几何意义及不等式恒成立和存在成立问题的求解思路．‎ ‎【易错点晴】本题考查的是存在性命题与全称命题成立的前提下参数的取值范围问题.解答时先求导将切线的斜率表示出来,再借助题设中提供的两切线的位置关系,将其数量化,最后再依据恒成立和存在等信息的理解和处理,从而使问题获解.本题在解答时最为容易出错的地方有两处:其一是将切点设为一个；其二是将存在问题当做任意问题来处理.‎ 三、解答题 ‎17．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（ 为参数），以为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）极坐标方程为的直线与交 ， 两点，求线段的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）2‎ ‎【解析】分析：(1)根据消去曲线的参数，可得普通方程；‎ ‎(2)将的直线化为其直角坐标方程，利用圆中的特殊三角形：半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理，求得结果.‎ 详解：（1） 曲线 的参数方程为（ 为参数），‎ 可得，． ‎ 因为，可得：．‎ 即曲线 的普通方程： ‎ ‎（2） 将 的直线 化为普通方程可得：‎ ‎，即6分 因为直线 与 交 ， 两点，曲线 的圆心 ，半径 ，圆心到直线 的距， ‎ 所以线段 的长 点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，极坐标方程向平面直角坐标方程的转化，以及直线被圆截得的弦长问题，注意圆中的特殊三角形即可求得结果.‎ ‎18．已知多面体中，四边形为平行四边形，，且,,,‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求多面体的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】分析：(1)证明，推出平面，然后证明平面平面；‎ ‎(2)说明平面，通过，转化求解即可.‎ 详解：（1） 因为 ，，所以 ． ‎ 又 ，‎ 所以 ，所以 ．‎ 又 ，所以 ‎ 因为 ，所以 ‎ ‎（2） 易知 ，又 ，所以 ，由（Ⅰ）知 ，‎ 又 ，所以 ，‎ 又 ，所以 ． ‎ ‎ ‎ ‎==‎ 点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定定理和几何体的体积，在解题的过程中，需要对线线垂直、线面垂直和面面垂直之间的关系理清，弄明白判定定理的条件，在求几何体的体积的时候，需要注意不规则几何体的体积可以切割法.‎ ‎19．用长为 ，宽为 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 ，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】分析：设容器的高为，得容器的容积为与之间的关系，是关于的三次函数，求导，利用函数的单调性求出函数的最值.‎ 详解：设容器的高为 ，容器的体积为 ， ‎ ‎ ， ‎ 由 得 ，（舍）．‎ 又当 时，．‎ 当 时，， ‎ 所以当 时， 有极大值 ．所以当 时， 有最大值 ．答：当容器的高为 时，容器的容积最大，最大容积为 ‎ 点睛：该题考查的是有关应用题，在解题的过程中，需要对题中的条件，认真分析，找到变量之间的关系式，建立起对应的函数关系式，利用导数研究函数图像的走向，从而求得结果.‎ ‎20．张三同学从每年生日时对自己的身高测量后记录如表：‎ ‎ ‎ ‎（附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:，）‎ ‎（1）求身高关于年龄的线性回归方程；(可能会用到的数据：（cm）) ‎ ‎（2）利用（1）中的线性回归方程，分析张三同学岁起到岁身高的变化情况，如 岁之前都符合这一变化，请预测张三同学 岁时的身高。‎ ‎【答案】（1）；（2）173.5‎ ‎【解析】分析：(1)首先根据表格与公式求得相关数据，然后代入线性回归方程求得，由此求得线性回归方程；‎ ‎(2)将x=15代入(1)中的回归方程，即可求得张三同学15岁时的身高.‎ 详解：（1） 由题意得， ，‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎， ‎ 所以，，‎ 所求回归方程为． ‎ ‎（2） 由（1）知，，故张三同学 岁至 岁的身高每年都在增高，平均每年增高 ．将 代入（1）中的回归方程，得 ，故预测张三同学 岁的身高为 ．‎ 点睛：该题考查的是有关回归直线方程的求解问题，在解题的过程中，需要根据题中的条件，求得相关的数据，利用公式求得回归直线方程的系数，求得结果，对于预测张三同学 岁时的身高，只要把向5代入即可求得结果.‎ ‎21．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为， ，过右焦点的直线与椭圆交于， 两点(点在轴上方)．‎ ‎（1）若，求直线的方程；‎ ‎（2）设直线， 的斜率分别为， ．是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：设直线的方程，联立方程组，利用向量关系找出两交点的纵坐标关系，解方程求出直线方程；利用第一步的根与系数关系，借助已知的斜率关系求出的值.‎ 试题解析：（1）因为， ，所以，所以的坐标为 ‎， 设， ，直线的方程为，‎ 代入椭圆方程，得，‎ 则， ． ‎ 若，则，‎ 解得，故直线的方程为． ‎ ‎（2）由（1）知， ， ，‎ 所以， ‎ 所以 ‎ ‎，‎ 故存在常数，使得．‎ ‎【点睛】求直线方程首先要设出方程，根据题目所提供的坐标关系，求出直线方程中的待定系数，得出直线方程；第二步存在性问题解题思路是首先假设存在，利用所求的， ，结合已知条件，得出坐标关系，再把， 代入求出符合题意，则存在，否则不存在.‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）若，求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，，且，证明：．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】分析：(1)首先将代入函数解析式，之后对函数求导，并求得，之后应用导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得切线的方程；‎ ‎(2)先对函数求导，根据题意可知， 是 的两个根，利用韦达定理得到，结合大小关系，得到，，，构造新函数，，利用导数研究函数的最值即可求得结果.‎ 详解：（1） 当 时，，，，‎ 所以函数在 处的切线方程为 ，化简可得 ．‎ ‎（2） 函数定义域为 ，则，‎ 则 ， 是 的两个根，‎ 所以，又，‎ 所以，， ‎ 所以，‎ 令，，‎ 则，，‎ 所以 ，则 在 上为增函数，‎ 所以，‎ 所以． ‎ 点睛：该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义、求曲线在某个点处的切线方程、函数的极值点、构造新函数向最值靠拢，从而求得结果，在求解的过程中，需要对构造的新函数的定义域进一步关注.‎