高一数学（人教A版）必修4能力提升：2-2-2 向量减法运算及其几何意义

高一数学（人教A版）必修4能力提升：2-2-2 向量减法运算及其几何意义

能 力 提 升 一、选择题 ‎1．化简以下各式：‎ ‎①＋＋； ②－＋－；‎ ‎③－＋； ④＋＋－.‎ 结果为零向量的个数是(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　①＋＋＝＋＝－＝0；‎ ‎②－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0；‎ ‎③－＋＝(＋)－＝－＝0；‎ ‎④＋＋－＝＋＋＝－＝0.‎ ‎2．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是(　　)‎ A．[3,8] B．(3,8)‎ C．[3,13] D．(3,13，)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由于＝－，则有||－||≤||≤||＋||，即3≤||≤13.‎ ‎3．(2011·湖南高考)若O、E、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)‎ A.＝＋ B.＝－ C.＝－＋ D.＝－－ ‎[答案]　B ‎[解析]　由向量的减法的定义求解．‎ ‎4．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋＝，下列结论中正确的是(　　)‎ A．P在△ABC的内部 B．P在△ABC的边AB上 C．P在AB边所在直线上 D．P在△ABC的外部 ‎[答案]　D ‎[解析]　由＋＝可得 ＝－＝，∴四边形PBCA为平行四边形．‎ 可知点P在△ABC的外部．选D.‎ ‎5．(四川高考改编)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　)‎ A．8 B．4 ‎ C．2 D．1‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　以、为邻边作平行四边形ACDB，则由向量加、减法的几何意义可知＝＋，＝－，‎ 因为|＋|＝|－|，‎ 所以||＝||.‎ 又四边形ACDB为平行四边形，‎ 所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB.‎ 则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，‎ 因此，||＝|＝2.‎ ‎6．已知＝a，＝b，||＝5，||＝12，∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.(　　)‎ A．7 B．17 ‎ C．13 D．8‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　如图，∵a－b＝－＝，‎ ‎∴|a－b|＝||＝＝13.‎ 故选C.‎ 二、填空题 ‎7．已知如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有________．‎ ‎①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋.‎ ‎[答案]　①‎ ‎[解析]　－＋＝＋＝；‎ ＋＝＋＝≠；‎ －＝≠；‎ ＋＝≠.‎ ‎8．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，则|a－b|＝________.‎ ‎[答案]　5或9‎ ‎[解析]　当a与b方向相同时，|a－b|＝|a|－|b|＝7－2＝5；‎ 当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|＝7＋2＝9.‎ ‎9．在△OAB中，已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°，则|a－b|＝________.‎ ‎[答案]　4‎ ‎[解析]　∵|a|＝|b|，∴OA＝OB.又∠AOB＝60°，‎ ‎∴△ABO是等边三角形，∴BA＝4，‎ ‎∴|a－b|＝|－|＝||＝4.‎ 三、解答题 ‎10．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a、b表示向量和，并回答：当a、b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？‎ ‎[解析]　由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，＝－＝a－b.‎ 则有：当a、b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；‎ 当a、b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；‎ 当a、b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．‎ ‎11．已知|a|＝6，|b|＝14，|c|＝3，求|a＋b＋c|的最大值和最小值．‎ ‎[解析]　根据三角形法则，可知||b|－|a||≤|a＋b|‎ ‎≤|a|＋|b|，‎ ‎∴|a＋b＋c|≤|a＋b|＋|c|≤|a|＋|b|＋|c|＝23.‎ 且当a、b、c同向时，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|，此时|a＋b＋c|有最大值23.‎ 又|a＋b＋c|≥||a＋c|－|b||，‎ 当a、c同向且与b异向时，|a＋b＋c|最小，此时|a＋b＋c|有最小值5.‎ ‎∴|a＋b＋c|的最大值为23，最小值为5.‎ ‎12．如图所示，已知在矩形ABCD中，||＝4，||＝8.设＝a，＝b，＝c，求|a－b－c|.‎ ‎[解析]　如图，b＋c＝，a－b－c＝a－(b＋c)＝a－＝＋＝，‎ 则|a－b－c|＝||＝＝8.‎