四川省泸县第二中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题

四川省泸县第二中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题

‎2020年春四川省泸县第二中学高二期中考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．下列表示正确的是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知，为虚数单位，且，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎3．命题“，”的否定为 ‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎4．已知随机变量服从正态分布，且，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如表：‎ 零件数/个 ‎12‎ ‎23‎ ‎ 31‎ 加工时间/分 ‎15‎ ‎30‎ ‎45‎ 现已求得上表数据的回归方程中的值为1.6，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为 ‎ A．155分钟 B．156分钟 C．157分钟 D．158分钟 ‎6．如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为 A． B．‎ C． D．‎ ‎7．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是 ‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则是异面直线 D．若，，，则 ‎8．已知‎(ax−‎1‎x)‎‎5‎的展开式中各项系数的和为32，则展开式中系数最大的项为 ‎ A．‎270‎x‎−1‎ B．‎270x C．‎405‎x‎3‎ D．‎‎243‎x‎5‎ ‎9．如图所示，输出的为 ‎ A．10 B．11 C．12 D．13‎ 10． 已知是双曲线上的三个点，经过 原点,经过右焦点,若且,则该双曲线 的离心率是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知三棱锥内接于球，，，平面，则球的表面积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若函数满足：在定义域D内存在实数，使得成立，则称函数为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①；②；③；④．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为 ‎ A．①③ B．②④ C．①② D．③④‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．若随机变量，且，则__________．‎ ‎14．已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是，，，，这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）.‎ ‎15．已知某运动队有男运动员名，女运动员名，若现在选派 人外出参加比赛，则选出的人中男运动员比女运动员人数多的概率是_________.‎ ‎16．设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.‎ ‎(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________；‎ ‎(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)‎ ‎①x∈(－∞，1)，f(x)>0；‎ ‎②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；‎ ‎③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈(1，2)，使f(x)＝0.‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间和极值．‎ ‎18．（12分）某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据测量结果得到如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）求频率分布直方图中的值；‎ ‎（II）技术分析人员认为，本次测量的该产品的质量指标值X服从正态分布，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算，并计算测量数据落在(187.8，212.2)内的概率；‎ ‎(III)设生产成本为y元，质量指标值为，生产成本与质量指标值之间满足函数关系假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产该疫苗的平均成本．‎ 参考数据：,．‎ ‎19．（12分）如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（II）若直线与平面所成的角为，求 二面角的余弦值.‎ ‎20．（12分）椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点O的直线与C交于A,B两点，且线段AB被直线OP平分.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）求k的值；‎ ‎（III）求面积取最大值时直线l的方程.‎ ‎21．（12分）已知函数f(x)=lnxx+a(a∈R)‎，曲线y=f(x)‎在点‎(1,f(1))‎处的切线方程为y=x−1‎.‎ ‎（Ⅰ）求实数a的值，并求f(x)‎的单调区间；‎ ‎（II）试比较‎2018‎‎2019‎与‎2019‎‎2018‎的大小，并说明理由；‎ ‎（III）求证：当x>0‎时，f(x)+2<3x.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为，曲线C2参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求C1的参数方程和的直角坐标方程；‎ ‎（II）已知P是C2上参数对应的点，Q为C1上的点，求PQ中点M到直线的距离取得最大值时，点Q的直角坐标.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（II）若正数，，，满足，求的最小值.‎ ‎ ‎ ‎2020年春四川省泸县第二中学高二期中考试 理科数学参考答案 ‎1．A 2．D 3．C 4．C 5．A 6．D 7．A 8．B 9．D 10．B 11．C 12．B ‎13． 14．45 15．. 16．； ①②③ ‎ ‎17．（Ⅰ）,,‎ 所以函数在点处的切线方程为 ‎（Ⅱ）函数的定义域为,令,得解得：‎ 当时,列表：‎ ‎ ‎ ‎（-1,0） ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎+ ‎ ‎0 ‎ ‎- ‎ ‎0 ‎ ‎+ ‎ ‎ ‎ ‎↗ ‎ 极大 ‎ ‎↘ ‎ 极小 ‎ ‎↗ ‎ 可知的单调减区间是，增区间是（-1,0）和；‎ 极大值为,极小值为 当时,列表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎+ ‎ ‎0 ‎ ‎- ‎ ‎0 ‎ ‎+ ‎ ‎ ‎ ‎↗ ‎ 极大 ‎ ‎↘ ‎ 极小 ‎ ‎↗ ‎ 可知的单调减区间是，增区间是和；‎ 极大值为,极小值为,当时,‎ 可知函数在上单增, 无极值 ‎18．（1）由，解得.‎ ‎（2）依题意，‎ ‎，‎ 故 所以 故测量数据落在内的概率约为.‎ ‎（3）根据题意得 故生产该疫苗的平均成本为75.04.‎ ‎19．（1）证明：连接，交于点，设中点为，连接，．‎ 因为，分别为，的中点，‎ 所以，且，‎ 因为，且，‎ 所以，且． ‎ 所以四边形为平行四边形，所以，即．‎ 因为平面，平面，所以．‎ 因为是菱形，所以． ‎ 因为，所以平面．‎ 因为，所以平面． ‎ 因为平面，所以平面平面．‎ ‎（2）解法：因为直线与平面所成角为， ‎ 所以，所以． ‎ 所以，故△为等边三角形．‎ 设的中点为，连接，则． ‎ 以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系（如图）．‎ 则，，，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 设平面的法向量为，‎ 则即则所以． ‎ 设平面的法向量为，‎ 则即令则所以． ‎ 设二面角的大小为，由于为钝角，‎ 所以．‎ 所以二面角的余弦值为． ‎ ‎20．（1）由题意可得，解得，，椭圆C的方程. ‎ ‎ （2）设，由直线不过原点，可得.‎ 由 ，消元可得①,‎ ‎,线段的中点，‎ 在上，易知直线的解析式为，，.‎ ‎（3）由（2），将①化为，又直线与椭圆相交，‎ ‎，，‎ ‎，又到直线的距离，‎ 的面积，令，‎ 则，，‎ ‎，取得最大值，即取得最大值，所求直线的方程为.‎ ‎21．解:(1)依题意，f'(x)=‎x+ax‎-lnx‎(x+a)‎‎2‎， ‎ 所以f'(1)=‎1+a‎(1+a)‎‎2‎=‎‎1‎‎1+a，又由切线方程可得f'(1)=1‎，‎ 即‎1‎‎1+a‎=1‎，解得a=0‎， 此时f(x)=‎lnxx，f'(x)=‎‎1-lnxx‎2‎， ‎ 令f'(x)>0‎，所以‎1-lnx>0‎，解得‎0e，‎ 所以f(x)‎的增区间为：‎(0,e)‎，减区间为：‎(e,+∞)‎. ‎ ‎(2) 由(1)知，函数f(x)‎在‎(e,+∞)‎上单调递减，所以f(2018)>f(2019)‎ ,‎ 即ln2018‎‎2018‎>ln2019‎‎2019‎⇔2019ln2018>2018ln2019⇔ln‎2018‎‎2019‎>ln‎2019‎‎2018‎‎,‎⇔‎2018‎‎2019‎>‎‎2019‎‎2018‎,‎ ‎(3)‎欲证f(x)+2<3x，即证lnxx+2<3x⇔3x‎2‎-2x-lnx>0‎ 又∵当x>0时lnx≤x-1‎‎,‎ ‎∴3x‎2‎-2x-lnx≥3x‎2‎-2x+1-x=3x‎2‎-3x+1‎‎,‎=3‎(‎x+‎1‎‎4‎>0,∴原命题成立。‎ ‎22．（1）的参数方程为（为参数）；的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由题设，由（1）可设，于是.‎ 到直线距离，‎ 当时，取最大值，此时点的直角坐标为.‎ ‎23．解：（1）因为，所以 ‎①当时，，由，解得；‎ ‎②当时，，由，即，‎ 解得，又，所以；‎ ‎③当时，不满足，此时不等式无解 综上，不等式的解集为：‎ ‎（2）解法1：‎ ‎,当且仅当时等号成立.‎ 所以的最小值为 解法2：‎ 由柯西不等式：上式 当且仅当时等号成立.所以的最小值为