2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题08 全等三角形 热考题型

2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题08 全等三角形 热考题型

‎2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题08 全等三角形 热考题型 考查题型 ‎（本专题勾股定理部分的习题选做）‎ 勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；‎ 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么 变式：‎ ‎1）a²=c²- b²‎ ‎2）b²=c²- a²‎ 适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。‎ 知识点一 三角形全等 l 题型一 已知两边，找夹角SAS 典例1（2018春 南通市期中）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，‎ ‎（1）求证：△ABE≌△ACF；‎ ‎（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=　 　°．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）75．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠ACF，‎ 在△ABE和△ACF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△ACF（SAS）；‎ ‎（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，‎ ‎∴∠CAF=∠BAE=30°，‎ ‎∵AD=AC，‎ ‎∴∠ADC=∠ACD，‎ ‎∴∠ADC==75°，‎ 故答案为：75．‎ 典例2（2019·四川中考模拟）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【详解】‎ ‎∵BE=CF，‎ ‎∴BE+EF=CF+EF，‎ ‎∴BF=CE，‎ 在△ABF和△DCE中 ‎，‎ ‎∴△ABF≌△DCE（SAS），‎ ‎∴∠GEF=∠GFE，‎ ‎∴EG=FG．‎ 典例3（2018春 赣州市期末）已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．‎ ‎（1）求证：PB＝QC；‎ ‎（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）5.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，‎ ‎∴AP=AQ，∠PAQ=60°，‎ ‎∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，‎ ‎∴∠BAP=∠CAQ，‎ 在△BAP和△CAQ中 ‎，‎ ‎∴△BAP≌△CAQ（SAS），‎ ‎∴PB=QC；‎ ‎（2）解：∵由（1）得△APQ是等边三角形，‎ ‎∴AP=PQ=3，∠AQP=60°，‎ ‎∵∠APB=150°，‎ ‎∴∠PQC=150°﹣60°=90°，‎ ‎∵PB=QC，‎ ‎∴QC=4，‎ ‎∴△PQC是直角三角形，‎ ‎∴PC===5．‎ l 题型二 已知两边，找直角HL 典例1（2017春 孝南区期中）如图，BD=CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE=CD，若∠AFD=145°，则∠EDF的度数为（ ）‎ A．45° B．55° C．35° D．65°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，‎ ‎∴∠DFC=35°，‎ ‎∵DE⊥AB，DF⊥BC，‎ ‎∴∠BED=∠CDF=90°.‎ ‎∵在Rt△BDE与Rt△CFD中BE=CD，BD=CF，‎ ‎∴Rt△BDE≌△Rt△CFD，‎ ‎∴∠BDE=∠CFD=35°.‎ ‎∵∠EDF+∠BDE=90°，‎ ‎∴∠EDF=55°.‎ 故选B.‎ 典例2（2018春 南昌市期末）如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（ ）‎ A．40° B．50°‎ C．60° D．75°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 详解：∵∠B=∠D=90°‎ 在Rt△ABC和Rt△ADC中 ‎，‎ ‎∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）‎ ‎∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．‎ 故选：B．‎ 典例3（2017春 西城区期中）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（　　）‎ A．4 B．6 C．16 D．55‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵∠ACB＋∠ECD＝90°，∠DEC＋∠ECD＝90°，‎ ‎∴∠ACB＝∠DEC，∵∠ABC＝∠CDE，AC＝CE，‎ ‎∴△ABC≌△CDE，∴BC＝DE.‎ ‎∴(如上图)，根据勾股定理的几何意义，b的面积＝a的面积＋c的面积，‎ ‎∴b的面积＝a的面积＋c的面积＝5＋11＝16.‎ 故选C.‎ 题型三 已知两边，找第三边SSS 典例1 （2019春 眉山市期末）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（　　）‎ A.115 B.120 C.125 D.130‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 详解：∵三角形ACD为正三角形，‎ ‎∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，‎ ‎∵AB=DE，BC=AE，‎ ‎∴△ABC≌△DEA，‎ ‎∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，‎ ‎∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，‎ ‎∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，‎ 故选：C．‎ 典例2（2018春 小店区期末）在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC全等的是（　　）‎ A.△ACF     B.△ACE     C.△ABD    D.△CEF ‎【答案】C ‎【详解】‎ 在△ABC中，AB==，BC==，AC=2，‎ A、在△ACF中，AF==≠，≠，≠2，则△ACF与△ABC不全等，故不符合题意； ‎ B、在△ACE中，AE=3≠，3≠，3≠2，则△ACE与△ABC不全等，故不符合题意； ‎ C、在△ABD中，AB=AB，AD==BC，BD=2=AC，则由SSS可证明△ACE与△ABC全等，故符合题意； ‎ D、在△CEF中，CF=3≠，3≠，3≠2，则△CEF与△ABC不全等，故不符合题意，‎ 故选C.‎ 典例3（2018春 杭州市期末）如图，OA＝OB，OC＝OD，AD＝BC，则图中全等三角形的对数有( )‎ A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 ‎【答案】C ‎【详解】‎ 解：∵OA=OB，OC=OD，AD＝BC， ∴△DOA≌△COB（SSS）； ∵OA=OB，OC=OD， ∴AC=BD， ∵AB=AB，AD＝BC， ∴△ABD≌△BAC（SSS）； ∵AD=BC，AC=BD，DC=CD ∴△ADC≌△BCD（SSS）． 故选：C．‎ 典例4（2018·富顺县期中）如图，点三点在同一直线上，且；若，则的度数为（ ）‎ A.49° B.47° C.45° D.43°‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 在△ABC和△ADE中，‎ ‎∴△ABC≌△ADE(SSS)，‎ ‎∴∠ABC=∠1，∠BAC=∠2，‎ 在△ABC中，由三角形的外角性质得，∠3=∠ABC+∠BAC=∠1+∠2，‎ ‎∵∠1+∠2+∠3=94°，‎ ‎∴2∠3=94°，‎ ‎∴∠3=47°.‎ 故选B.‎ l 题型四 已知一边一角（若边为角的对边，找任意角AAS）‎ 典例1 如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F.‎ ‎（1）求证：EF=DF﹣BE；‎ ‎（2）若△ADF的周长为，求EF的长.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 详解：（1）证明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，‎ ‎∴∠DFA=∠AEB=90°，∠ABE+∠BAE=90°，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE，‎ ‎∴∠DAF=∠ABE，‎ 在△ADF和△BAE中，∠DAF=∠ABE，∠DFA=∠AEB，AD=AB，‎ ‎∴△ADF≌△BAE（AAS），‎ ‎∴AF=BE，DF=AE，‎ ‎∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE；‎ ‎（2）解：设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，∵△ADF的周长为，AD=1，∴DF+AF=，‎ 即a+b=，由勾股定理得：DF2+AF2=AD2，即a2+b2=1，‎ ‎∴（a﹣b）2=2（a2+b2）﹣（a+b）2=2﹣，∴a﹣b=，即EF=.‎ 典例2 如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．‎ ‎（1）求证：AC=CD；‎ ‎（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）112.5°．‎ ‎【详解】‎ 证明：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在△ABC和△DEC中，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，‎ ‎∴∠1＝∠D＝45°，‎ ‎∵AE＝AC，‎ ‎∴∠3＝∠5＝67.5°，‎ ‎∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．‎ 典例3（2017春 南阳市期中）如图所示，在△ABC中，AB =AC，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证：DE=DF．‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 证明：过点E作EG∥AF交BC于点G，‎ ‎∴∠DEG=∠F，∠BGE=∠BCA.‎ ‎∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，‎ ‎∴∠B=∠BGE，∴BE=GE，‎ ‎∵BE=CF，∴GE=CF.‎ 在△DEG和△DFC中，‎ ‎∴△DEG≌△DFC，‎ ‎∴DE=DF.‎ l 题型五 已知一边一角（边为角的邻边（找已知角的另一边SAS））‎ 典例1 （2017春 南京市期末）如图，线段AD、BE相交与点C,且△ABC≌△DEC，点M、N分别为线段AC、CD的中点．求证：‎ ‎（1）ME=BN； ‎ ‎（2）ME∥BN．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）∵△ABC≌△DEC，∴AC=DC,BC=CE.‎ ‎∵点M、N分别为线段AC、CD的中点, ∴CM=CN.‎ 在△BCN和△ECM中 ‎∵AC=DC, ∠BCN=∠ECM,BC=CE ‎∴△BCN≌△ECM（SAS）‎ ‎∴ME=BN.‎ ‎（2）∵△BCN≌△ECM，‎ ‎∴∠CBN=∠CEM,‎ ‎∴ME∥BN.‎ 典例2（2019春 连云港市期末）已知：如图：△ABC是等边三角形，点D、E分别是边BC、CA上的点，且BD=CE，AD、BE相交于点O．‎ ‎（1）求证：△ACD≌△BAE；（2）求∠AOB的度数．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）120°‎ ‎【解析】‎ ‎（1）∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠BAC=∠C=60°，BC=AC，‎ ‎∵BD=CE，‎ ‎∴BC-BD=AC-CE，‎ ‎∴AE=CD，‎ 在△ACD和△BAE中 ‎ ‎ ‎∴△ACD≌△BAE（SAS）；‎ ‎（2）∵△ACD≌△BAE，‎ ‎∴∠CAD=∠ABE，‎ ‎∴∠AOE=∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，‎ ‎∴∠AOB=180°-60°=120°．‎ 典例3 （2019春 济南市期中）如图，点E，F在AC上，AD//CB，AD=CB，AF=CE．求证：∠D=∠B．‎ ‎【答案】详见解析 ‎【详解】‎ 证明：∵AF=CE ‎∴AF+EF=EF+CE ‎∴AE=CF ‎ ‎ ‎，‎ ‎.‎ l 题型六 已知一边一角（边为角的邻边（找已知边的对角AAS））‎ 典例1（2019春 白云区期末）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，‎ ‎(1)求证:△ABD≌△CFD；‎ ‎(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长。‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）3.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，‎ ‎∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，‎ ‎∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，‎ ‎∴∠BAD=∠OCD，‎ 在△ABD和CFD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABD≌△CFD（AAS），‎ ‎（2）∵△ABD≌△CFD，‎ ‎∴BD=DF，‎ ‎∵BC=7，AD=DC=5，‎ ‎∴BD=BC﹣CD=2，‎ ‎∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3．‎ 典例2 （2017 江宁区月考）如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：AB=CF；‎ ‎（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥DF，‎ ‎∴∠BAE=∠F，‎ ‎∵E是BC的中点，‎ ‎∴BE=CE，‎ 在△AEB和△FEC中，‎ ‎ ，‎ ‎∴△AEB≌△FEC（AAS）， ‎ ‎∴AB=CF； ‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，‎ ‎∵AB=CF，DF=DC+CF ，‎ ‎∴DF=2CF，‎ ‎∴DF=2AB，‎ ‎∵AD=2AB， ‎ ‎∴AD=DF，‎ ‎∵△AEB≌△FEC，‎ ‎∴AE=EF，‎ ‎∴ED⊥AF 典例3（2018春 宿迁市期末）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF=DC，∠A=∠D，BC∥EF，求证：AB=DE．‎ ‎【答案】见解析 ‎【详解】‎ ‎∵AF=CD，‎ ‎∴AC=DF，‎ ‎∵BC∥EF，‎ ‎∴∠ACB=∠DFE，‎ 在△ABC和△DEF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（ASA），‎ ‎∴AB=DE．‎ l 题型七 已知一边一角（边为角的邻边（找已知边的另一角ASA））‎ 典例1 （2018春 保定市期中）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．‎ 求证：BC=DE．‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）∵∠1=∠2，‎ ‎∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC ‎∴∠BAC=∠DAE，‎ 在△ABC和△ADE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△ABC（ASA）‎ ‎∴BC=DE，‎ 典例2 （2018春 桑植县期末）已知：如下图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，AB=CD，∠B=∠D．求证：⊿ABE≌⊿CDF.‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【详解】‎ 证明：∵AB∥DC，‎ ‎∴∠A＝∠C 在⊿ABE和⊿CDF中，‎ ‎ ‎ ‎ ∴△ABE≌△CDF（ASA）‎ 典例3 如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在 AC 边上，∠1＝∠2，AE和BD 相交于点O．求证：△AEC≌△BED；‎ ‎【答案】见解析 ‎【详解】‎ ‎∵AE和BD相交于点O， ∴∠AOD=∠BOE． 在△AOD和△BOE中， ∠A=∠B，∴∠BEO=∠2． 又∵∠1=∠2， ∴∠1=∠BEO， ∴∠AEC=∠BED． 在△AEC和△BED中，‎ ‎ ‎ ‎∴△AEC≌△BED（ASA）．‎ l 题型八 已知两角，找两角的夹边ASA 典例1 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，AC∥DF，BF＝CE，求证：AC＝DF.‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【详解】‎ 证明：∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE． ∵BF+FC=EC+CF，BF=CE， 即BC=EF． 在△ABC和△DEF中 ‎ ‎ ‎∴△ABC≌△DEF（ASA）． ∴AC=DF．‎ 典例2 （2018·云南中考模拟）如图，在△DAE和△ABC中，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，∠E=∠C．‎ 求证：AE=BC．‎ ‎【答案】见解析 ‎【详解】‎ 证明：∵DE∥AB，‎ ‎∴∠ADE=∠BAC．‎ 在△ADE和△BAC中，‎ ‎ ，‎ ‎∴△ADE≌△BAC（AAS），‎ ‎∴AE=BC．‎ l 题型九 已知两角，找任意一边AAS ‎ 典例1 （2018春 西湖区期末）已知：如图，点 E，F 在 BC 上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠BED＝∠AFC，AF 与 DE交于点 O．求证：OA＝OD．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ 解：∵BE＝CF，∠BED＝∠AFC， ‎ ‎∴BF＝CE，∠AFB＝∠CED， ‎ 又∵∠A＝∠D，‎ ‎∴△ABF≌△DCE(AAS)，‎ ‎∴AF＝DE，‎ ‎∵∠AFB＝∠CED，∴OE＝OF，‎ ‎∴AF－OF＝DE－OE， ‎ 即 OA＝OD.‎ 典例2‎ ‎（2017·重庆中考模拟）如图AF//DE，点B、C在线段AD上，连接FC、EB，且∠E=∠F，延长EB交AF于点G.‎ ‎（1）求证：BE//CF ‎（2）若CF=BE，求证：AB=CD ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）∵AF//DE ‎∴∠AGB=∠E 又∠E=∠F ‎∴∠AGB=∠F，‎ ‎∴BE//CF ‎（2）∵BE//CF ‎∴∠DBE=∠ACF ‎∵∠E=∠F, CF=BE，‎ ‎∴ΔACF≌ΔDBE，‎ ‎∴AC=BD，‎ ‎∴AB=CD.‎ 典例3 （2019春 锦州市期末）如图，已知，，，在同一直线上，，，.试说明：.‎ ‎【答案】见解析；‎ ‎【详解】‎ 证明∵，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴，即.‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎∴（AAS）‎ 知识点二 角平分线的应用 l 题型一 图中有角平分线，向两边作垂线 典例1 （2019·襄樊市月考）在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【详解】‎ 过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，‎ 即∠EMD=∠FND=90°，‎ ‎∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，‎ ‎∴DM=DN（角平分线性质），‎ ‎∵∠EAF+∠EDF=180°，‎ ‎∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°，‎ ‎∵∠AFD+∠NFD=180°，‎ ‎∴∠MED=∠NFD，‎ 在△EMD和△FND中 ‎，‎ ‎∴△EMD≌△FND（AAS），‎ ‎∴DE=DF．‎ 典例2 （2019·襄樊市月考）在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【详解】‎ 过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，‎ 即∠EMD=∠FND=90°，‎ ‎∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，‎ ‎∴DM=DN（角平分线性质），‎ ‎∵∠EAF+∠EDF=180°，‎ ‎∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°，‎ ‎∵∠AFD+∠NFD=180°，‎ ‎∴∠MED=∠NFD，‎ 在△EMD和△FND中 ‎，‎ ‎∴△EMD≌△FND（AAS），‎ ‎∴DE=DF．‎ l 题型二 角平分线加垂线，三线合一试试看 典例1如图，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点．‎ ‎(1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，判断AE是∠FAD的角平分线吗？(不必说明理由)‎ ‎(2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由；‎ ‎(3)如图③，如果(1)中的条件改为“AD∥FC”，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）AE是∠FAD的角平分线（2）成立（3）成立 ‎【详解】‎ ‎（1）AE是∠FAD的角平分线；‎ ‎（2）成立，如图，延长FE交AD于点B，‎ ‎∵E是DC的中点，‎ ‎∴EC=ED，‎ ‎∵FC⊥DC，AD⊥DC，‎ ‎∴∠FCE=∠EDB=90°，‎ 在△FCE和△BDE中，‎ ‎,‎ ‎∴△FCE≌△BDE，‎ ‎∴EF=EB，‎ ‎∵AE⊥FE，‎ ‎∴AF=AB，‎ ‎∴AE是∠FAD的角平分线；‎ ‎（3）成立，如图，延长FE交AD于点B，‎ ‎∵AD=DC，‎ ‎∴∠FCE=∠EDB，‎ 在△FCE和△BDE中，‎ ‎,‎ ‎∴△FCE≌△BDE，‎ ‎∴EF=EB，‎ ‎∵AE⊥FE，‎ ‎∴AF=AB，‎ ‎∴AE是∠FAD的角平分线.‎ l 题型三 角平分线平行线，等腰三角形来填 典例1 （2017春 赣州市期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE//BC，分别交AB,AC于点D,E,若AB=4，AC=3，则△ADE的周长是_______________。‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ 解：∵BO平分∠ABC，‎ ‎∴∠DBO=∠CBO，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴∠CBO=∠DOB，‎ ‎∴∠DBO=∠DOB，‎ ‎∴BD=DO，‎ 同理OE=EC，‎ ‎∴△ADE的周长=AD+AE+ED=AB+AC=4+3=7．‎ 故答案为：7．‎ 典例2 （2018·江苏中考模拟）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，∠ABC=35°，则∠BAE=__________度.‎ ‎【答案】70‎ ‎【详解】∵AB∥CD，∠ABC=35°，‎ ‎∴∠BCD=∠B=35°，‎ ‎∵CB平分∠ACD，‎ ‎∴∠BAE=2∠BCD=70°‎ 故正确答案为：70.‎ l 题型四 图形对折问题 典例1 （2017 丹阳市月考）如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是____________°．‎ ‎【答案】105°‎ ‎【解析】‎ 由图a知，∠EFC=155°.‎ 图b中，∠EFC=155°，则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°.‎ 图c中，∠GFC=130°，则∠CFE=130°-25°=105°. ‎ 故答案为：105°.‎ 典例2 （2019 道外区期末）如图a是长方形纸带（提示：AD∥BC），将纸带沿EF折叠成图b，再沿GF折叠成图c．‎ ‎（1）若∠DEF＝20°，则图b中∠EGB＝______，∠CFG＝______；‎ ‎（2）若∠DEF＝20°，则图c中∠EFC＝______；‎ ‎（3）若∠DEF＝α，把图c中∠EFC用α表示为______；‎ ‎（4）若继续按EF折叠成图d，按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，问图a中∠DEF的度数是多少．‎ ‎【答案】（1）40°，140°；（2）120°；（3）180°﹣3α；（4）18°．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵长方形的对边是平行的，‎ ‎∴∠BFE＝∠DEF＝20°，‎ ‎∴∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝40°，‎ ‎∴∠FGD＝∠EGB＝40°，‎ ‎∴∠CFG＝180°﹣∠FGD＝140°；‎ 故答案为：40°，140°；‎ ‎（2）∵长方形的对边是平行的，‎ ‎∴∠BFE＝∠DEF＝20°，‎ ‎∴图a、b中的∠CFE＝180°﹣∠BFE，以下每折叠一次，减少一个∠BFE，‎ ‎∴图c中的∠EFC度数是120°；‎ 故答案为：120°；‎ ‎（3）由（2）中的规律，可得∠CFE＝180°﹣3α．‎ 故答案为：180°﹣3α；‎ ‎（4）设图a中∠DEF的度数是x°，‎ 由（2）中的规律，可得180﹣(9+1)x＝0．‎ 解得：x＝18．‎ 故答案为：18°．‎