2018-2019学年四川省成都外国语学校高二3月月考数学(理)试题 解析版

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2018-2019学年四川省成都外国语学校高二3月月考数学(理)试题 解析版

绝密★启用前 2018-2019 学年四川省成都外国语学校高二 3 月月考数学(理) 试题 解析版 评卷人 得分 一、单选题 1.已知集合 , ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ,所以 ,选 C. 2.下列导数式子正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据导数的运算法则,即可作出判定,得到答案. 【详解】 根据导数的运算法则,可得 ,所以 A 不正确; ,所以 B 不正确; 由 ,所以 C 不正确;由 是正确的,故选 D. 【点睛】 本题主要考查了导数的运算,其中解答中熟记导数的运算公式是解答的关键,着重考查 了运算与求解能力,属于基础题. 3.设 , 满足约束条件 ,则目标函数 取最小值时的最优解 是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 作出可行域如图所示: 标函数 ,即平移直线 ,当直线经过点 A 时, 最小. ,解得 ,即最优解为 . 故选 B. 4.已知 ,则 等于( ) A.-2 B.0 C.2 D.4 【答案】A 【解析】 【分析】 对函数 的解析式求导,得到其导函数,把 代入导函数中,列出关于 的方程, 进而得到 的值. 【详解】 , , 令 ,得到 , 解得 . 故选:A. 【点睛】 在求导过程中,要仔细分析函数解析式的特点,紧扣法则,记准公式,预防运算错 误. 5.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准,现选择 15 名志愿者,对其身高和臂展进行测 量(单位:厘米),左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图,右图为身高与臂展 所对应的散点图,并求得其回归方程为 ,以下结论中不正确的为( ) A.15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B.15 名志愿者身高和臂展成正相关关系, C.可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.65 厘米 D.身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米, 【答案】D 【解析】 【分析】 根据散点图和回归方程的表达式,得到两个变量的关系,A 根据散点图可求得两个量的 极差,进而得到结果;B,根据回归方程可判断正相关;C 将 190 代入回归方程可得到 的是估计值,不是准确值,故不正确;D,根据回归方程 x 的系数可得到增量为 11.6 厘 米,但是回归方程上的点并不都是准确的样本点,故不正确. 【详解】 A,身高极差大约为 25,臂展极差大于等于 30,故正确; B,很明显根据散点图像以及回归直线得到,身高矮臂展就会短一些,身高高一些,臂 展就长一些,故正确; C,身高为 190 厘米,代入回归方程可得到臂展估计值等于 189.65 厘米,但是不是准确 值,故正确; D,身高相差 10 厘米的两人臂展的估计值相差 11.6 厘米,但并不是准确值,回归方程 上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确. 故答案为:D. 【点睛】 本题考查回归分析,考查线性回归直线过样本中心点,在一组具有相关关系的变量的数 据间,这样的直线可以画出许多条,而其中的一条能最好地反映 x 与 Y 之间的关系, 这条直线过样本中心点.线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量,对于具有确定 关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值,不是准 确值. 6.如图,平行六面体 中, 与 交于点 ,设 , 则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由于 , , ,代入化简即可得出. 【详解】 , , , ∴ , 故选:D. 【点睛】 本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、平行六面体的性质,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题. 7.已知 为等差数列, 为其前 项和,公差为 ,若 ,则 的值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析:由 可得 ,故数列 是以 为 首项, 为公差的等差数列,所以由 可得 ,解之得 ,故应选 B. 考点:等差数列的前 项和与通项公式及运用. 8.若函数 在 上有最大值无最小值,则实数 的取值范围 为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析:函数 在 上有最大值无最小值,则极大值在 之间, 一阶导函数有根在 ,且左侧函数值小于 0,右侧函数值大于 0,列不等式求解 详解:函数 在 上有最大值无最小值,则极大值在 之间, 设 的根为 ,极大值点在 处取得则 解得 ,故选 C。 点睛:极值转化为最值的性质: 1、若 上有唯一的极小值,且无极大值,那么极小值为 的最小值; 2、若 上有唯一的极大值,且无极小值,那么极大值为 的最大值; 9.已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ,当 时, , 若 ,则 的大小关系正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数 g(x) ,由 g′(x) ,可得函数 g(x)单调递减,再 根据函数的奇偶性得到 g(x)为偶函数,即可判断. 【详解】 构造函数 g(x) , ∴g′(x) , ∵xf′(x)﹣f(x)<0, ∴g′(x)<0, ∴函数 g(x)在(0,+∞)单调递减. ∵函数 f(x)为奇函数, ∴g(x) 是偶函数, ∴c g(﹣3)=g(3), ∵a g(e),b g(ln2), ∴g(3)<g(e)<g(ln2), ∴c<a<b, 故选:D. 【点睛】 本题考查了构造函数并利用导数研究函数的单调性,进行比较大小,考查了推理能力, 属于中档题. 10.已知抛物线 上有三点 , 的斜率分别为 3,6, ,则 的 重心坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设 ,进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标,进一步可求 横坐标,利用重心坐标公式即可得解. 【详解】 设 则 ,得 , 同理 , ,三式相加得 , 故与前三式联立,得 , , , 则 .故所求重心的坐标为 ,故选 C. 【点睛】 本题主要考查了解析几何中常用的数学方法,集合问题坐标化,进而转化为代数运算, 对学生的能力有一定的要求,属于中档题. 11.1642 年,帕斯卡发明了一种可以进行十进制加减法的机械计算机 年,莱布尼 茨改进了帕斯卡的计算机,但莱布尼兹认为十进制的运算在计算机上实现起来过于复杂, 随即提出了“二进制”数的概念之后,人们对进位制的效率问题进行了深入的研究研究方 法如下:对于正整数 , ,我们准备 张不同的卡片,其中写有数字 0,1,…, 的卡片各有 张如果用这些卡片表示 位 进制数,通过不同的卡片组合,这些卡片 可以表示 个不同的整数例如 , 时,我们可以表示出 共 个不同 的整数 假设卡片的总数 为一个定值,那么 进制的效率最高则意味着 张卡片所表 示的不同整数的个数 最大根据上述研究方法,几进制的效率最高? ( ) A.二进制 B.三进制 C.十进制 D.十六进制 【答案】B 【解析】 【分析】 设 为定值,可得 nx 张卡片所表示的不同整数的个数 , ,假设 , ,可得 ,即 ,利用求导研究其单调性即可求出答案。 【详解】 设 为定值, 则 nx 张卡片所表示的不同整数的个数 , , 假设 , , 则 ,即 , 求导可得: , 因为 ,所以当 , ,当 , , 可得 时,函数 取得最大值, 比较 , 的大小即可, 分别 6 次方可得: , , 可得 , . 根据上述研究方法,3 进制的效率最高。 故选:B. 【点睛】 本题考查了函数的单调性、极值与最值的应用,考查了推理能力与计算能力,属于难题。 12.已知函数 ,函数 ,若方程 有 4 个 不同实根,则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 方程 ,化为 ,即 或 ,要使方程 有 4 个 不同实根,则需方程 有 3 个不同根,当 时,方程 有 1 个根, 则只需: 时, 与 有两个交点即可,数形结合可得到答案。 【详解】 解:方程 ,化为 ,即 或 , 要使方程 有 4 个不同实根,则需方程 有 3 个不同根, 如图: 而当 时,方程 有 1 个根, 则只需: 时, 与 有两个交点即可. 当 时, , 过点 作 的切线,设切点为 ( ), 切线方程为 ,把点 代入上式得 或 , 因为 ,所以 , 切线斜率为 ,所以 ,即 , 当 时, ,与 轴交点为 令 ,解得 . 故当 时,满足 时, 与 有两个交点, 即方程 有 4 个不同实根。 故选:B. 【点睛】 本题考查了函数的零点与方程根的关系,考查数形结合的思想,属于难题。 第 II 卷(非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13.已知向量 ,若 ,则实数 的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】 由题意知,向量 ,所以 ,由空间向量的坐标运算,即可求解。 【详解】 由题意知,向量 ,所以 , 又由 , 解得 。 【点睛】 本题主要考查了空间向量的坐标运算,及空间向量的数量积的运算,其中解答中熟记空 间向量的数量积的运算公式,准确运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属 于基础题。 14.已知 ,则 的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】 利用三角函数的基本关系式,化简得原式 ,代入即可求解,得到答案. 【详解】 由题意,可得 . 【点睛】 本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系式化简、求值,其中解答中熟练应用同角 三角函数的基本关系式化简是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础 题. 15.如图所示,正方形的四个顶点 , , , ,及抛物 线 和 ,若将一个质点随机投入正方形 中,则质点落在图 中阴影区域的概率是_____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据微积分基本定理,求得函数 与 轴的正半轴所围成的面积为 ,得出图 中阴影部分的面积为 ,利用面积比的几何概型,即可求解相应的概率。 【详解】 根据微积分基本定理,可得函数 与 轴的正半轴所围成的面积为: ,即图中阴影部分的面积为 , 所以质点落在图中阴影区域内的概率为 。 【点睛】 本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积,以及几何概型中概率的求解,其中解答 中利用微积分基本定理求出曲边形的面积是解答本题的关键,着重考查了运算与求解能 力,属于基础题。 评卷人 得分 三、解答题 16.如图:已知双曲线 中, 为左右顶点, 为右焦点, 为虚 轴的上端点,若在线段 上(不含端点)存在不同的两点 ,使得 构成以 为斜边的直角三角形,则双曲线离心率 的取值范围是 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 求证直线 BF 的方程 ,利用直线与圆的位置关系,结合 ,即可求解 双曲线的离心率 的取值范围。 【详解】 由题意,显然 ,则 ,据此可得 , 在线段 上(不含端点)存在不同的两点 ,使得 构成以 为斜边的直角三角形,等价于以 为直径的圆与线段 有两个交点, 以 为直径的圆圆心坐标为 ,半径为 , 直线 的方程为 ,即 ,所以 , 又由 整理可得: ,故 , 解得 ,结合 , 综上可得双曲线离心率 的取值范围是 . 【点睛】 本题主要考查了双曲线的离心率的求解,以及双曲线的几何性质的应用,其中解答中熟 记双曲线的几何性质,以及合理应用直线与圆的位置关系准确运算是解答的关键,着重 考查了运算与求解能力,属于基础题. 17.设命题 :函数 无极值.命题 , (1)若 为真命题,求实数 的取值范围; (2)若 是 的充分不必要条件,求实数 的取值范围。 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)由命题 真时,可得 恒成立,得 ,即可求解; (2)求得 A={ }, B={ },根据 是 的充分不必要条件,转 化为 B A,列出不等式组,即可求解。 【详解】 (1)由题意,命题 真时,则 恒成立, 所以 ,解得 (2)命题 真: ,设集合 A={ },集合 B={ } 因为 是 的充分不必要条件,所以 是 的充分不必要条件, 即 B A,则有 ,解得 ,即实数 的取值范围是 . 【点睛】 本题主要考查了充分不必要条件的应用,以及函数的恒成立问题的求解,其中解答中准 确求解命题 对应的集合是解答本题的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力, 属于基础题。 18. 汉字听写大会 不断创收视新高,为了避免“书写危机”,弘扬传统文化,某市大 约 10 万名市民进行了汉字听写测试现从某社区居民中随机抽取 50 名市民的听写测试 情况,发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在 160 到 184 之间,将测试结果按如下 方式分成六组:第 1 组 ,第 2 组 , ,第 6 组 ,如图是按 上述分组方法得到的频率分布直方图. 若电视台记者要从抽取的市民中选 1 人进行采访,求被采访人恰好在第 2 组或第 6 组的概率 试估计该市市民正确书写汉字的个数的中位数; 已知第 4 组市民中有 3 名男性,组织方要从第 4 组中随机抽取 2 名市民组成弘扬传 统文化宣传队,求至少有 1 名女性市民的概率. 【答案】(1)0.32(2)平均数 168.56;中位数:168.25(3) 【解析】 【分析】 利用频率分布直方图能求出被采访人恰好在第 2 组或第 6 组的概率; 利用频率分 布直方图能求出平均数和中位数; 共 人,其中男生 3 人,设为 a,b, c,女生三人,设为 d,e,f,利用列举法能求出至少有 1 名女性市民的概率. 【详解】 被采访人恰好在第 2 组或第 6 组的概率 平均数 设中位数为 x,则 中位数 共 人,其中男生 3 人,设为 a,b,c,女生三人,设为 d,e, 则任选 2 人,可能为 , , , , , , , , , , , , , , ,共 15 种, 其中两个全是男生的有 , , ,共 3 种情况, 设事件 A:至少有 1 名女性, 则至少有 1 名女性市民的概率 【点睛】 本题考查概率、平均数、中位数的求法,考查频率分布直方图、列举法等基础知识,考 查运算求解能力,是基础题. 19.已知 a∈R,函数 f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)在[0,2]上的最值; (2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,求 a 的取值范围. 【答案】(1)见解析;(2)a≥ . 【解析】 【分析】 (1) 当 a=2 时,求得函数的导数,利用导数得出函数的单调性,即可求解函数的最值; (2)根据函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,转化为 在(-1,1)上恒成立,再利用 分离参数,转化为函数的最值问题,即可求解. 【详解】 (1) 当 a=2 时,f(x)=(-x2+2x)ex,f′(x)=(-x2+2)ex. 令 f′(x)=0,则 x=- 或 x= 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x 0 (0, ) ( ,2) 2 f′(x) + 0 - f(x) f(0)=0 ↗ 极大值 f( ) ↘ f(2)=0 所以,f(x)max= f( )=(-2+2 )e ,f(x)min= f(0)=0. (2)因为函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,所以 f′(x)≥0 在(-1,1)上恒成立. 又 f′(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex,即[-x2+(a-2)x+a]ex≥0,注意到 ex>0, 因此-x2+(a-2)x+a≥0 在(-1,1)上恒成立, 也就是 a≥ =x+1- 在(-1,1)上恒成立. 设 y=x+1- ,则 y′=1+ >0, 即 y=x+1- 在(-1,1)上单调递增, 则 y<1+1- = ,故 a≥ . 【点睛】 本题主要考查导数在函数中的综合应用,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与 计算能力,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,求 解曲线在某点处的切线方程;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性与,以及函数 单调性,求解参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题, 同时注意数形结合思想的应用. 20.如图,在四面体 中, 分别是线段 的中点, , , ,直线 与平面 所成的角等于 . (Ⅰ)证明:平面 平面 ; (Ⅱ)求二面角 的余弦值. 【答案】(Ⅰ)见证明; (Ⅱ) 。 【解析】 【分析】 (Ⅰ)先证得 ,再证得 ,于是可得 平面 ,根据面面垂直的判 定定理可得平面 平面 .(Ⅱ)利用几何法求解或建立坐标系,利用向量求解 即可得到所求. 【详解】 (Ⅰ)在 中, 是斜边 的中点, 所以 . 因为 是 的中点, 所以 ,且 , 所以 , 所以 . 又因为 , 所以 , 又 , 所以 平面 , 因为 平面 , 所以平面 平面 . (Ⅱ)方法一:取 中点 ,连 ,则 , 因为 , 所以 . 又因为 , , 所以 平面 , 所以 平面 . 因此 是直线 与平面 所成的角. 故 , 所以 . 过点 作 于 ,则 平面 , 且 . 过点 作 于 ,连接 , 则 为二面角 的平面角. 因为 , 所以 , 所以 , 因此二面角 的余弦值为 . 方法二: 如图所示,在平面 BCD 中,作 x 轴⊥BD,以 B 为坐标原点,BD,BA 所在直线为 y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 . 因为 (同方法一,过程略) 则 , , . 所以 , , , 设平面 的法向量 , 则 ,即 ,取 ,得 . 设平面 的法向量 则 ,即 ,取 ,得 . 所以 , 由图形得二面角 为锐角, 因此二面角 的余弦值为 . 【点睛】 利用几何法求空间角的步骤为“作、证、求”,将所求角转化为解三角形的问题求解, 注意计算和证明的交替运用.利用空间向量求空间角时首先要建立适当的坐标系,通过 求出两个向量的夹角来求出空间角,此时需要注意向量的夹角与空间角的关系. 21.已知圆 : ,点 ,C 为圆 上任意一点,点 P 在直线 C 上,且满足 ,点 P 的轨迹为曲线 E. 求曲线 E 的方程; 若直线 l: 不与坐标轴重合与曲线 E 交于 M,N 两点,O 为坐标原点,设 直线 OM、ON 的斜率分别为 、 ,对任意的斜率 k,若存在实数 ,使得 ,求实数 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 由题意可得点 P 的轨迹是以 为焦点的椭圆,即可求出曲线 E 的方程; 设 , 根据韦达定理结合斜率公式,以及 ,可得 ,再分类讨论,根据判别式即可求出 的取值范围. 【详解】 由 ,可得 , 则点 P 的轨迹是以 为焦点的椭圆, 则 , , , 则曲线 E 的方程为 , 设 , , 则 ,消 y 可得 , , , 当 时, , 当 时, , 由于 对任意 k 恒成立, 则 , , , 综上所述 . 【点睛】 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭 圆的相关知识,解题时要灵活运用圆锥曲线性质,注意合理地进行等价转化,是中档 题.其中涉及方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的, 故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故 用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问 题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用. 22.已知函数 , . (1)若 在 处取得极值,求 的值; (2)设 ,试讨论函数 的单调性; (3)当 时,若存在正实数 满足 ,求证: . 【答案】(1) .(2)见解析(3)见解析 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意,求得函数的导数 ,根据 ,即可求解; (Ⅱ)由题意,得 ,求得函数的导数 ,分类讨论,即可 求解函数的单调区间; (Ⅲ)代入 ,求出 ,令 , ,根据函数的单调性,即可作出证明. 【详解】 (1)因为 ,所以 , 因为 在 处取得极值, 所以 ,解得 . 验证:当 时, 在 处取得极大值. (2)解:因为 所以 . ①若 ,则当 时, ,所以函数 在 上单调递增; 当 时, , 函数 在 上单调递减. ②若 , , 当 时,易得函数 在 和 上单调递增, 在 上单调递减; 当 时, 恒成立,所以函数 在 上单调递增; 当 时,易得函数 在 和 上单调递增, 在 上单调递减. (3)证明:当 时, , 因为 , 所以 , 即 , 所以 . 令 , , 则 , 当 时, ,所以函数 在 上单调递减; 当 时, ,所以函数 在 上单调递增. 所以函数 在 时,取得最小值,最小值为 . 所以 , 即 ,所以 或 . 因为 为正实数,所以 . 当 时, ,此时不存在 满足条件, 所以 . 【点睛】 本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及不等式的证明,着重考查了转化与化归思 想、逻辑推理能力与计算能力,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查 导数的几何意义,求解曲线在某点处的切线方程;(2)利用导数求函数的单调区间,判断 单调性;已知单调性,求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与 有解问题,同时注意数形结合思想的应用.
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