【数学】2020届一轮复习人教B版解三角形中的不等问题学案

【数学】2020届一轮复习人教B版解三角形中的不等问题学案

微专题32 解三角形中的不等问题 一、基础知识：‎ ‎1、正弦定理：，其中为外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如：（1） ‎ ‎ （2）（恒等式）‎ ‎ （3） ‎ ‎2、余弦定理： ‎ 变式： 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值 ‎ ‎3、三角形面积公式：‎ ‎（1） （为三角形的底，为对应的高）‎ ‎（2）‎ ‎（3）（其中为外接圆半径）‎ ‎4、三角形内角和：，从而可得到：‎ ‎（1）正余弦关系式： ‎ ‎ ‎ ‎（2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的 ‎5、两角和差的正余弦公式：‎ ‎ ‎ ‎6、辅助角公式：，其中 ‎ ‎7、三角形中的不等关系 ‎（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 ‎（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：‎ 其中由利用的是余弦函数单调性，而 仅在一个三角形内有效。‎ ‎ 8、解三角形中处理不等关系的几种方法 ‎（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域 ‎（2）利用均值不等式求得最值 二、例题精析：‎ 例1：△各角的对应边分别为，满足，则角的范围是 ‎ A． B． C． D．‎ 思路：从所给条件入手，进行不等式化简： ‎ ‎，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示：，可解得：‎ 答案：A 例2：在中，角所对的边分别为，已知 ‎ ‎（1）求的大小 ‎（2）若，求的取值范围 ‎ 解：（1）由条件可考虑使用正弦定理，将分子进行“边化角”‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）思路：考虑在中，已经已知 ，从而可求出外接圆半径，进而与也可进行边角互化。若从边的角度考虑，则能够使用的不等关系只有“两边之和大于第三边”，但不易利用 这个条件，考虑利用角来解决 ‎ 解： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例3：在锐角中，角所对的边分别为，且 ‎ ‎（1）求角 ‎ ‎（2）求的取值范围 解：（1）方法一：使用余弦定理 ‎ ‎ 由余弦定理得： ‎ 方法二：观察等式齐次，考虑使用正弦定理 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 为锐角三角形 ‎ ‎ ‎ 小炼有话说：要注意对锐角三角形条件的运用：三个角均为锐角，而用代换，所以 满足锐角的条件也由来承担，这也是在利用等式消元时所要注意的一点：若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。 ‎ 例4：在中，角所对的边分别为，已知，且 ‎ ‎（1）当时，求的值 ‎（2）若角为锐角，求的取值范围 解：（1） ‎ 或 ‎ ‎（2）思路：以“角为锐角”为突破口，联想到余弦定理，而也刚好得到与的关系式，再由可解得的范围 解：考虑余弦定理 ‎ ‎ ‎ 为锐角， ‎ ‎ ‎ 例5：若的内角满足，则的最小值是 ‎ 思路：所求的最值可想到余弦定理用边进行表示，，考虑角化边得到：，进而消去计算表达式的最值即可 解： 由可得：‎ ‎ ‎ 答案：‎ 例6：在锐角中、的对边长分别是、,则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ 思路：本题所给条件为角的关系，不易从边入手，所以将所求进行边化角：，只需求出的范围即可。条件所给的是关系，从而，利用减少角的个数：，代入可得：，根据锐角三角形求出的范围即可。‎ 解：‎ 由 ‎ ‎ 因为为锐角三角形 解得： ‎ ‎ ‎ 答案：B 小炼有话说：本题的关键点有两个，一个是解题系统的确定，由于题目中没有涉及到边的关系，只是给了角的条件，所以优先选择角的系统，从而进行角化边的处理，并进行了一个分式的常见变形，将变量集中在分母上。另一个就是主元的确定：本题的主元是，所以在求表达式范围时将均用来进行表示，以便于求得值域。‎ 例7：已知的角所对的边分别是，且，若的外接圆半径为，则面积的最大值为__________‎ 思路：由可联想到余弦定理求，所以，从而，所求面积可表示为，则只需解出的最大值即可。由外接圆半径及可得：，所以，而，所以有，所以 ‎ 答案： ‎ 小炼有话说：本题的入手点来自于条件中对余弦定理的暗示，从而解出，在计算面积时有三组边角可供选择：，通常是“依角而选”，从而把目标转向求的最值。要注意到余弦定理本身含有平方和与乘积项，再配上均值不等式往往可以找到最值。‎ 例8：设的内角所对的边为，若成等比数列，则的取值范围是______________‎ 思路：由成等比数列可得：，也可视为 ，所求表达式也可视为。如果从角入手，则无法与 联系。所以考虑从边入手。由可得：，在中，若 ，则，所以，即，同理，若，则，解得：。综上 答案：‎ 例9：已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为，且BC边上的高为，则的取值范围为______．‎ 思路：一方面由所求出发，可用均值不等式得到，验证时存在这样的三角形，得到最小值；再从另一个角度入手可联想到余弦定理，而由题目中的底和高可得，所以有：‎ ‎，只需求得的范围即可，考虑，，所以，综上：‎ 答案： ‎ 小炼有话说：‎ ‎（1）在解三角形中，能够从所给式子中发现定理的影子，可帮助你迅速确定解题方向，本题没有选择边化角，而是抓住余弦定理的影子为突破口，然后再去寻找条件能否把多余的元消去（比如本题中的），从而整理出一个可操作的表达式 ‎（2）最后运用辅角公式时，辅助角并不是特殊角。这种情况下可用代替俯角，并用的一个三角函数值刻画其大小。本题可通过作图大致观察到的范围，从而确定的范围能经过，所以能够取到 例10：（重庆）已知的内角满足，面积满足，记分别是所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 思路：本题需判断的式子比较多，先从条件出发向所求靠拢。化简已知条件可得，即，联想到面积公式及可得：，从而可用进行表示求出范围，另一方面可由，利用不等式的传递性即可求出的范围 解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 由正弦定理可得： ‎ ‎ ‎ 所以由可得：‎ ‎，所以均不正确 ‎ 正确 同理 ，不正确 三、近年好题精选 ‎1、（2018，上海十校联考）设锐角的三内角所对边的边长分别为，且，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、（2018江苏高三第一次联考）在中，是的中点，边（含端点）上存在点，使得，则的取值范围是_______‎ ‎3、（2015，新课标I）在平行四边形中，，，则的取值范围是_______‎ ‎4、（2018，哈尔滨六中上学期期末考试）在中，内角的对边分别为，且，则的面积最大值为_________‎ ‎5、（新课标全国卷I）已知分别为三个内角的对边，且，则面积的最大值为_______‎ ‎6、（2018，洛阳12月月考）在的内角所对的边分别为，则下列命题正确的是________‎ ‎① 若，则 ‎② 若，则 ‎③ 若，则为锐角三角形 ‎④ 若，则 ‎7、（陕西）的内角的对边分别为 ‎（1）若成等差数列，证明： ‎ ‎（2）若成等比数列，求的最小值 ‎8、设的内角所对的边分别为且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的周长的取值范围.‎ ‎9、已知和满足： ‎ ‎（1）求证：是钝角三角形，并求最大角的度数 ‎（2）求的最小值 ‎10、（2018，安徽六校联考）已知函数.‎ ‎（1）求的对称中心 ‎（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围 习题答案：‎ ‎1、答案：A 解析：‎ ‎ ‎ 由锐角可知：，解得，所以，从而 ‎2、答案：‎ 解析：‎ 方法一：若存在点，使得，则为锐角或直角 在中 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 代入，可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 方法二（向量法）‎ 以为原点，直线为轴建系，则，设，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由和可得 ‎3、答案： ‎ 解析：延长交于点，则在中， ‎ 设，则由正弦定理可得设，则由正弦定理：可得：，整理后可得：，所以 ，由可知，所以 ‎ ‎4、答案：‎ 解析：由余弦定理可得：，代入可得：‎ ‎，即，所以有：‎ ‎ ‎ 所以当时，有最大值为 ‎5、答案： ‎ 解析：由正弦定理可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 且 ‎ 即 ‎ ‎6、答案：①②③‎ 解析：① 由正弦定理可知：，由余弦定理可得，整理可得：，所以 ‎② ‎ 从而，从而 ‎③ ，所以 ‎，即，则，所以最大角为锐角。即是锐角三角形 ‎④ 取满足，则，不符题意 ‎7、解析：（1）成等差数列 ‎ ，由正弦定理可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）成等比数列 ‎ 由余弦定理可得：‎ ‎ ‎ 等号成立当且仅当 ‎ 的最小值为 ‎ ‎8、解析：（1）‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解得： ‎ ‎9、解析：（1）不妨设，由可得：‎ 若，则 ‎ ‎ ，三式相加可得：，‎ 等式显然不成立 若，则，显然不成立 ‎ ，此时，三式相加可得： ‎ ‎，解得： ‎ ‎（2）由（1）可得：且 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （在处取得）‎ ‎10、解析：（1）‎ ‎ ‎ 对称中心为：‎ 对称中心为：‎ ‎（2）由已知可得：‎ ‎（舍）或 因为为锐角三角形 ‎ ‎ ‎ ‎