【数学】2018届一轮复习人教A版专题3-1审题要领-备战高三数学考试万能工具包学案

【数学】2018届一轮复习人教A版专题3-1审题要领-备战高三数学考试万能工具包学案

第三篇 考前必看解题策略 专题 01 审题要领 著名数学家波利亚总结了解决数学问题的四个步骤：弄清问题、拟订计划、实现计划、 代入回顾．其中“弄清问题”即审题．审题是解题的基础和关键，是解题者对题目提供信息 的发现、辨认和转译，并对信息作有序提炼，明确题目的条件、问题和相互间的关系．能否 迅速准确地理解题意，在很大程度上影响和决定了数学成绩的好坏．从这个意义上讲，数学 成绩的高低“功在审题”的说法一点都不过分. 审题要弄清以下三个方面的问题 条件 是什么：题中的关键字、词、句以及相应的数字、单位等 归哪类：条件要归类，这是准确建模的基础 问题 求什么：明确所求解的问题以及类别 啥关系：找出已知和所求的关系，这是准确建模的依据 模型 建啥模：根据已知和所求，归类建模 用啥法：熟练掌握模型的求解方法 类型一　三角函数与解三角形类考题 （ 2016 全 国 乙 17 ） 的 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 已 知 （1）求 ； （2）若 ， 的面积为 ，求 的周长． 审题指导：(1) 知啥？ 边与角的余弦值的混合等式 求啥？ 求角！化简等式求三角函数值 咋求？ 所求为条件的整理指明方向，处理此类条件有两种思路：一是利用正弦定理将边化 为角，结合三角恒等变换以及三角形内角和定理 A＋B＋C＝π 整理该式，最后得到 角 C 的三角函数值；二是利用余弦定理将角的余弦值化为边的关系，将已知等式进 行整理，可得角 C 的余弦值 学 -/ 审题指导：(2) ABC△ A B C a b c 2cos ( cos cos ) .C a B+b A c= C 7c = ABC△ 3 3 2 ABC△ 知啥？ 边 c，角 C，△ABC 的面积 求啥？ 求周长！已知边 c，所以实质就是求 a＋b 的值 咋求？ 以(1)问求解的结果为前提，三角形的面积可转化为两边 a，b 之积，边 c 可从两个方面处 理：一是利用余弦定理将其转化为 a，b 两边的关系式，然后将 a，b 之积代入，整理变形 即可得 a＋b；二是利用正弦定理将其转化为三角形的外接圆直径，然后利用角 A，B 的三 角函数值表示边 a，b，再利用 a，b 之积，结合三角形内角和定理，通过三角恒等变换求 出角的三角函数值，进而求出 a＋b 类型二　数列类考题 （2016 全国丙 17）已知数列 的前 项和 ， .其中 . （1）证明 是等比数列，并求其通项公式； （2）若 ，求 . 审题指导：(1) 知啥？ 前 n 项和与第 n 项的等式 求啥？ 证明是等比数列，并求 an 咋求？ Sn＝1＋λan ― ― →n＝1 求出a1 ― ― ― ― ― ― ―→ Sn＋1－Sn＝an＋1 an＋1与an的递推关系 ― ― ―→ 定义 断定 等比数列 (2) 知啥？ 由(1)知{an}的通项公式及 S5 的值 求啥？ 实数 λ 的值 { }na n 1nS a= + 1n nS aλ= + 0λ ≠ { }na 5 31 32S = λ 咋求？ 由 S5 的值及通项公式求 λ 值 类型三　概率与统计类考题 某险种的基本保费为 （单元：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与 其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 保 费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 概 率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 （1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； （2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 的概率； （3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 审题指导：(1)(2) 知啥？ 表一　保费与上年度出险次数 表二　出险次数与相应的概率 求啥？ 保费高于基本保费的概率和其保费比基本保费高出 的概率 咋求？ 表一和表二数据理清出现次数及概率的关系 利用条件概率 求 (3) 知啥？ 表一与表二 a 5≥ 5≥ 60% 60% 求啥？ 平均保费与基本保费的比值 咋求？ 求保费的期望与 a 的比值 解析 （1）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 ，则 ． （2）设续保人保费比基本保费高出 为事件 ， ． （3）设本年度所交保费为随机变量 ． 平均保费为： ，所以平均 保费与基本保费比值为 ． 类型四　立体几何类考题 【2017 课标 II19】如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD， E 是 PD 的中点。 （1）证明：直线 平面 PAB； （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 ，求二面角 的 余弦值。 审题指导：(1) 知啥？ 面面垂直 直角梯形 数量关系和中点 求啥？ 直线 平面 PAB A ( ) 1 ( ) 1 (0.30 0.15) 0.55P A P A= − = − + = 60% B 0.10 0.05 3( ) 0.55 11P B += = X X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 0.85 0.30 0.15 1.25 0.20 1.5 0.20 1.75 0.10 2 0.05=1.23EX a a a a a a a a= × + + × + × + × + × 1.23 o1 , 90 ,2AB BC AD BAD ABC= = ∠ = ∠ = / /CE o45 M AB D− − / /CE 咋求？ 直线和平面平行的判定定理； 平面和平面平行的性质定理。 (2) 知啥？ 面面垂直 直角梯形 直线和平面所成的角 求啥？ 二面角 咋求 建立空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点的坐标，通过求半平面的法 向量求二面角大小 则 ， ， ， ， , ， 设 则 ， M AB D− − ( )0,0,0A ( )1,0,0B ( )1,1,0C ( )0,1, 3P (1 0 3)PC = − ，， (1 0 0)AB = ，， ( )( ), , 0 1M x y z x< < ( ) ( )1, , , , 1, 3BM x y z PM x y z= − = − −  因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45°，而 是底面 ABCD 的法向量， 所以 ， ， 即 。 ① 又 M 在棱 PC 上，设 ,则 。 ② 由①，②解得 (舍去)， 。 类型五　解析几何类考题 【2017 课标 II】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 上，过 M 作 x 轴的垂线， 垂足为 N，点 P 满足 。 (1) 求点 P 的轨迹方程；学/ */ (2)设点 Q 在直线 上，且 。证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左 焦点 F。 审题指导：(1) ( )0,0,1=n cos , sin 45BM =  n ( )2 2 2 2 21 z x y z = − + + ( )2 2 21 0x y z− + − = PM PCλ=  , 1, 3 3x y zλ λ= = = − 21 2 1 6 2 x y z  = +  =   = − 21 2 1 6 2 x y z  = −  =   = 2 2 12 x y+ = 2NP NM=  3x = − 1OP PQ⋅ =  知啥？ 椭圆 C 的方程和向量等式 求啥？ 点 P 的轨迹方程 咋求？ 利用向量关系得坐标关系，利用代入法求解 (2) 知啥？ 点 Q 在直线 上，且 直角梯形 求啥？ 证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F 咋求 寻求已知条件和位置元素之间的关系，利用方程思想求解。 【解析】（1）设 ,设 , 。 由 得 。 因为 在 C 上，所以 。 。 所以 ，即 。又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 过 C 的左焦点 F。 类型六　函数与导数类考题 【2017 课标 II】已知函数 ，且 。 (1)求 ； 3x = − 1OP PQ⋅ =  ( ) ( )0 0, , ,P x y M x y ( )0 ,0N x ( ) ( )0 0, , 0,NP x x y NM y= − =  2=NP NM  0 0 2, 2x x y y= = ( )0 0,M x y 2 2 12 2 x y+ = 3 3 0m tn+ − = 0=OQ PF   ⊥OQ PF  l ( ) 2 lnf x ax ax x x= − − ( ) 0f x ≥ a (2)证明： 存在唯一的极大值点 ，且 。 审题指导： 知啥？ 求啥？ a 的值和证明不等式 咋求？ 1.将不等式等价变形，转化为求含参函数的最小值问题； 2.函数零点若不能通过计算得到，可观察再判断单调性得到，或者可以通过模糊设法，利用 整体带换求得. （1） 的定义域为 。 设 ，则 ， 等价于 。 因为 ，因 ，而 ，得 。 若 ，则 。当 时， ， 单调递减； 当 时 ， ， 单 调 递 增 。 所 以 是 的 极 小 值 点 ， 故 综上， 。 所以 在 有唯一零点 ，在 有唯一零点 1， 且当 时， ；当 时， ， ( )f x 0x ( )2 2 0 2e f x− −< < ( ) 0f x ≥ ( )f x ( )0，+∞ ( ) lng x ax a x= − − ( ) ( )f x xg x= ( ) 0f x ≥ ( ) 0g x ≥ ( ) ( )1 0, 0g g x= ≥ ( )' 1 0g = ( ) ( )1' , ' 1 1g x a g ax = − = − 1a = 1a = ( ) 1' 1g x x = − 0 1x< < ( )' 0g x < ( )g x 1x > ( )' 0g x > ( )g x 1x = ( )g x ( ) ( )1 0g x g≥ = 1a = ( )h x 10, 2      0x 1 ,2  +∞  ( )00,x x∈ ( ) 0h x > ( )0 ,1x x∈ ( ) 0h x < 当 时， 。 因为 ，所以 是 的唯一极大值点。 由 得 ，故 。 ( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x > ( ) ( )'f x h x= 0x x= ( )f x ( )0' 0f x = ( )0 0ln 2 1x x= − ( ) ( )0 0 01f x x x= −