2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第2章 2

2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第2章 2

www.ks5u.com ‎2.4.2　‎圆的一般方程 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点)‎ ‎2.会在不同条件下求圆的一般方程．(重点)‎ ‎1. 通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养.‎ ‎2. 通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养.‎ ‎(1)把(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开是一个什么样的关系式？‎ ‎(2)把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程一定表示圆吗？在什么条件下一定表示圆？‎ 这就是今天我们将要研究的问题．‎ 圆的一般方程 ‎(1)圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．‎ 其中圆心为，圆的半径为r＝.‎ ‎(2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论 ‎①D2＋E2－4F＞0时表示圆．‎ ‎②D2＋E2－4F＝0时表示点.‎ ‎③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形．‎ 思考：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？‎ ‎[提示]　A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0.‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆． (　　)‎ ‎(2)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系． (　　)‎ ‎(3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化． (　　)‎ ‎(4)利用待定系数法求圆的一般方程时，需要三个独立的条件． (　　)‎ ‎[提示]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋ 2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是(　　)‎ A．(1，＋∞)　　 B． C．(1，＋∞)∪ D．R A　[因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0，‎ 即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．故选A.]‎ ‎3．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则它的圆心坐标为________．‎ 　[圆的方程整理为x2＋y2＋x＋2y－10＝0，配方得2＋(y＋1)2＝，所以圆心为.]‎ ‎4．过点(0,0)，(4,0)和(0,6)三点的圆的一般方程为________．‎ x2＋y2－4x－6y＝0　[三点构成的三角形为直角三角形，且圆心坐标为(2,3)，半径r＝＝.‎ ‎∴方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13，一般方程为x2＋y2－4x－6y＝0.]‎ 圆的一般方程的认识 ‎【例1】　(1)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．‎ ‎(2)下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长．‎ ‎①x2＋y2－4x＝0；②2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；③x2＋y2＋2ax＝0.‎ ‎(1)(－∞，1)　[把方程配方得(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，由条件可知1－a＞0，即a＜1.]‎ ‎(2)[解]　①方程可变形为(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圆，圆心为C(2,0)，半径r＝2.‎ ‎②方程可变形为2＋2(y＋1)2＝－，此方程无实数解．故方程不表示任何图形．‎ ‎③原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.‎ 当a＝0时，方程表示点(0,0)，不表示圆；‎ 当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，|a|为半径的圆．‎ 判断方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆，关键是将其配方＋＝，最后转化为判断D2＋E2－4F的正负问题．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．‎ ‎(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；‎ ‎(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；‎ ‎(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；‎ ‎(4)2x2＋2y2－5x＝0.‎ ‎[解]　(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，‎ ‎∴它不能表示圆．‎ ‎(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项，‎ ‎∴它不能表示圆．‎ ‎(3)∵方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，‎ ‎∴它不能表示圆．‎ ‎(4)∵方程2x2＋2y2－5x＝0化为＋y2＝，‎ ‎∴它表示以为圆心，为半径长的圆.‎ 求圆的一般方程 ‎【例2】　已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．‎ ‎[解]　法一：设△ABC的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ ‎∵A，B，C在圆上，‎ ‎∴ ‎∴ ‎∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，‎ 即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.‎ ‎∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.‎ 法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，‎ ‎∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.‎ ‎∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，‎ ‎∴外心是线段BC的中点，‎ 坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5.‎ ‎∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.‎ 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为：‎ ‎(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)2＋(y―b)2＝r2(r＞0)；‎ ‎(2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；‎ ‎(3)解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．‎ ‎[解]　圆心C，‎ ‎∵圆心在直线x＋y－1＝0上，‎ ‎∴－－－1＝0，‎ 即D＋E＝－2. ①‎ 又∵半径长r＝＝，‎ ‎∴D2＋E2＝20. ②‎ 由①②可得或 又∵圆心在第二象限，∴－＜0，即D＞0.‎ 则 故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.‎ 与圆有关的轨迹问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．求轨迹方程与轨迹有什么区别？‎ ‎[提示]　轨迹是一个图形，比如是直线、圆之类，而轨迹方程是这个图形的方程．‎ ‎2．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点M的轨迹方程吗？‎ ‎[提示]　设M(x，y)，由题意有＝2，整理得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.‎ ‎【例3】　点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．‎ ‎(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；‎ ‎(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．‎ ‎[思路探究]　(1)→→ ‎(2)→→→ ‎[解]　(1)设线段AP的中点为M(x，y)，‎ 由中点公式得点P坐标为(2x－2,2y)．‎ ‎∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，‎ 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，‎ 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.‎ 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，‎ ‎∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，‎ ‎∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，‎ 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.‎ ‎1．在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程．‎ ‎[解]　设T(x，y)．‎ 因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.‎ 当斜率存在时有kOT·kBT＝－1.‎ 即×＝－1，整理得x2＋y2－x－y＝0.‎ 当x＝0或1时点(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)也都在圆上．‎ 故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0.‎ ‎2．本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程．‎ ‎[解]　设点E(x，y)，P(x0，y0)．‎ ‎∵B(1,1)，∴ 整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，‎ ‎∵点P在圆x2＋y2＝4上，‎ ‎∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，‎ 整理得点E的轨迹方程为x2＋y2－x－y－＝0.‎ ‎1．直接法求轨迹方程的一般步骤 ‎(1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)；‎ ‎(2)列出点M 满足条件的集合；‎ ‎(3)用坐标表示上述条件，列出方程；‎ ‎(4)将上述方程化简；‎ ‎(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．‎ ‎2．代入法求轨迹方程的一般步骤 ‎(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标为(x，y)；‎ ‎(2)建立x，y与相关点的坐标x0，y0的方程；‎ ‎(3)用x，y表示x0，y0；‎ ‎(4)把(x0，y0)代入到相关点满足的方程；‎ ‎(5)化简方程为最简形式．‎ ‎1．求圆的方程时，如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.‎ ‎2．圆的方程的几种特殊情况 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)‎ 过原点 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0‎ 圆心在x轴上 x2＋y2＋Dx＋F＝0(D2－4F＞0)‎ 圆心在y轴上 x2＋y2＋Ey＋F＝0(E2－4F＞0)‎ ‎3.求涉及到曲线的轨迹问题时，一般有两种方法：一是直接法，即把动点满足的条件直接用坐标“翻译”过来的方法；二是代入法，代入法也叫相关点法，就是把动点(x，y)与相关点(x0，y0)建立等式，再把x0，y0用x，y表示后代入到它所满足的曲线的方法．解题时要注意条件的限制．‎ ‎1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　)‎ A．一个点　　 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在 A　[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2‎ ‎＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．]‎ ‎2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．m＜ B．m≤ C．m＜2 D．m≤2‎ A　[由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜，故选A.]‎ ‎3．若圆x2＋y2－2kx＋2y－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则实数k等于________．‎ ‎－2　[由条件可知，直线经过圆的圆心(k，－1)，∴2k－(－1)＋3＝0，解得k＝－2.]‎ ‎4．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中心M的轨迹方程是________．‎ x2＋y2－4x＋2y＋1＝0　[由条件知A(2，－1)，设M(x，y)，则P(2x－2,2y＋1)，由于P在圆上，‎ ‎∴(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，‎ 整理得x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.]‎ ‎5．已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求其外接圆P的方程．‎ ‎[解]　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，‎ 由题意可得解得 故所求外接圆P的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.‎