2017-2018学年江西省九江第一中学高二上学期开学考试数学（文、理）试题（解析版）

2017-2018学年江西省九江第一中学高二上学期开学考试数学（文、理）试题（解析版）

江西省九江第一中学2017-2018学年高二上学期开学考试数学（文、理）试题 评卷人 得分 一、选择题 ‎1．若函数是幂函数，则的值为（ 　 ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数是幂函数，则，即，故选A.‎ ‎2．若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是 ( )‎ A. 8 B. 7 C. 6 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】当，则第一次运行；第二次运行， ；第三次运行， ；第四次运行， ；第五次运行， ，因为，终止循环，故输出，故选C.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎3．已知直线与平行，则实数的取值是 ( )‎ A. －1或2 B. 0或1 C. －1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为两直线的斜率都存在，由与平行得，当时，两直线重合， ，故选C.‎ ‎4．某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（ ）‎ A．27 B．26 C．25 D．24‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：根据系统抽样的规则——“等距离”抽取，也就抽取的号码差相等，根据抽出的序号可知学号之间的差为，所以在与之间还有，故选A.‎ ‎【考点】随机抽样.‎ ‎5．已知函数，那么的值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为函数，所以， ，故选B.‎ ‎【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰。本题解答分两个层次：首先求出 的值，进而得到的值.‎ ‎6．从集合中随机抽取一个数，从集合中随机抽取一个数，则向量与向量垂直的概率为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知， ，有： 共个， 即，所以，即，有共个满足条件， 与向量垂直的概率为，故选A.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，，属于中档题，利用古典概型概率公式,‎ 求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先， …. ，再， ….. 依次 …. … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.‎ ‎7．在内，使成立的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：∵sinx＞cosx，∴sin（x-）＞0，∴2kπ＜x-＜2kπ+π  （k∈Z），∵在（0，2π）内，∴x∈（，），故选D．‎ ‎【考点】1．两角和与差的正弦函数；2．三角函数线．‎ ‎8．直线与圆的交点个数是(     )‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 ‎【答案】C ‎【解析】圆的圆心，半径为，圆心到直线的距离为，即圆心到直线的距离小于半径， 直线与圆， 的交点个数是，故选C.‎ ‎9．已知在长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点到截面的距离是(　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】点到截面的距离是，由，可得，解得，故选C.‎ ‎10．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题设中的三视图可得，该几何体是有一个半圆锥和一个四棱锥的组合而成的组合体，其中半圆锥的底面半径为，四棱锥的底面是一个边长为的正方形，它们的高均为，则几何体的体积为，故选D.‎ ‎【考点】几何体的三视图及几何体的体积的计算.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，由题设中的三视图可得，该几何体是有一个半圆锥和一个四棱锥的组合而成的组合体，即可根据几何体的结构特征，求解几何体的体积.‎ ‎11．函数 ， ， 在上的部分图象如图所示，则的值为( )． ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数在上的部分图象可知周期为， ，将代入可知， ‎ ‎，可知，故可知，故选B.‎ ‎【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用利用图像先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求使解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点”(即图象的“谷点”) 时；“第五点”时.‎ ‎12．已知实数若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 作出函数的图象如图所示， 的对称轴为，若原方程有个不同的根，则在内有且仅有个值，由对称轴可知，另外一个根，在内，即方程，在内各有一个根， ，故选A.‎ ‎【方法点睛】巳知函数的零点个数求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（一元二次方程根的分布不同，可列出相应的不等式组），再通过解不等式确定参数范围;②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决;③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.‎ ‎13．已知向量与的夹角为120°，，则（ ）‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】向量与的夹角为， ， ， ，（舍去）或，故选B.‎ 评卷人 得分 二、填空题 ‎14．点在映射下得对应元素为，则在作用下点的原象是________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设在作用下点的原象是，可得，解之得， 所求原象为，故答案为.‎ ‎15．若，则______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】，可得， ，故答案为.‎ ‎16．已知的定义域是，则的定义域是________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】的定义域为， ， ，，则的定义域是.‎ ‎17．若向量，且则的最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,且， ， ， ‎ ‎， 的最小值为，故答案为.‎ ‎18．若，则______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,可得，故答案为.‎ ‎19．已知函数是上的偶函数，满足，且当时， ，令函数，若在区间上有个零点，分别记为，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为函数是上的偶函数，所以，由，令，可得，因此，即是函数的对称轴，周期，又函数是偶函数，关于轴对称，因此也是其对称轴函数，因为当时， 单调递增， 在区间上单调递增，所以当时，只有一个零点设为，同理在区间上只有一个零点设为，则，同理，故答案为.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎20．已知函数，‎ ‎（1）求函数的最小正周期与单调递增区间；‎ ‎（2）若时，函数的最大值为0，求实数的值.‎ ‎【答案】（1），单调递增区间为，；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）化简，求出在最小正周期，解不等式，求出函数的递增区间即可；（2）根据的范围，求出的范围，得到关于的方程，解出即可.‎ 试题解析：(1)‎ 则函数的最小正周期,‎ 根据，得，‎ 所以函数的单调递增区间为，.‎ ‎(2)因为，所以，‎ 则当，时，函数取得最大值0，‎ 即，解得：.‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解.‎ ‎21．某市文化部门为了了解本市市民对当地地方戏曲是否喜爱，从15-65岁的人群中随机抽样了人，得到如下的统计表和频率分布直方图.‎ ‎（1）写出其中的、、及和的值； ‎ ‎（2）若从第1，2，3组回答喜欢地方戏曲的人中用分层抽样的方法抽取6人，求这三组每组分别抽取多少人？‎ ‎（3）在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求这2人都是第3组的概率 ‎【答案】(1) ， ， ， ， ；(2) ， ， ；(3) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用频率分布表及频率分布直方图能求出及和的值；（2）第组喜欢地方戏曲的人数比，用分层抽样的分法从这三组中抽取人，能求出这三组每组分别抽取多少人；（3）第三组抽到人，记为，第一组和第二组人记为，从这六人中随机抽取人，利用列举法能求出抽取人年龄都在的概率 试题解析：（1）由表可知第3组，第4组 的人数分别为，，再根据直图可知第1组、第2组的 人数也为人，且抽样总人数.‎ 所以第5组的人数为，且 ， ， ， ， .‎ ‎（2）因为第1，2，3组喜欢地方戏曲的人数比为，那么用分层抽样的方法从这三组中抽取6人，第1组应抽取1人，第2组应抽取2人，第3组应抽取3人. （3）.‎ ‎22．如图，四棱柱中， 底面，底面是梯形， .‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在一点，使平面.若存在，请确定点 的位置；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；（2）存在点是的中点，使平面.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先由棱柱的性质证明，再根据勾股定理可得，从而可得平面，进而根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面；（2）存在点是的中点，使平面，先根据中位线定理及平行四边形的性质可得，根据线面平行的判定定理进行证明可得到结论.‎ 试题解析：（1）因为底面， 所以底面，因为底面，‎ 所以因为底面是梯形， ， ， ‎ 因为，所以， 所以， ‎ 所以在中， 所以所以 又因为所以平面因为平面，所以平面平面 ‎（2）存在点是的中点，使平面.‎ 证明如下：取线段的中点为点，连结,所以，且因为， 所以，且所以四边形是平行四边形.所以 又因为平面， 平面，所以平面 ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直与面面垂直的判定，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. ‎ ‎23．已知满足，若其图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）在锐角中，角的对边分别为，且满足，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据周期求出,利用图象变换求出,即可求的解析式；(2) 由正弦定理得： ，∵，∴，∴，∴,用表示出,代入已知的等式,利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,根据的范围求出这个角的范围,由正弦函数的值域即可得到所求式子的取值范围.‎ 试题解析：（1）∵，∴，‎ ‎∴，∴，则的图象向左平移个单位后得到的函数为，而为奇函数，则有， ，而，‎ 则有，从而.‎ ‎（2），‎ 由正弦定理得： ，∵，∴，‎ ‎∴，∴∵是锐角三角形， ，‎ ‎∴，∴，∴，∴.‎ ‎24．已知函数.‎ ‎（1）若函数在上至少有一个零点，求的取值范围；‎ ‎（2）若函数在上的最大值为3，求的值.‎ ‎【答案】(1) ；（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由函数在至少有一个零点，方程至少有一个实数根， ，解出即可；（2）通过对区间端点与对称轴顶点的横坐标的大小比较，再利用二次函数的单调性即可得出函数在上的最大值，令其等于可得结果.‎ 试题解析：（1）由.‎ ‎（2）化简得，当，即时， ；当，即时， ，‎ ‎，（舍）；当，即时， ，综上， 或.‎ ‎25．如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点.‎ ‎（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；‎ ‎（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) ；（2）或；（3）‎ ‎.‎ ‎【解析】试题分析：（1）将圆化为标准方程，求得圆心和半径，直线的斜率和切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；（2）由题意得，设，则圆心到直线的距离，由此能求出直线的方程.‎ 试题解析：圆的标准方程为所以圆心，半径为.‎ ‎（1）由圆心在直线上，可设，因为与轴相切，与圆外切，所以，于是圆的半径为，从而，解得，因此圆的标准方程为.‎ ‎（2）因为直线，所以直线的斜率为，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离， ‎ 因为，而，所以，解得或，故直线的方程为或.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查圆的方程和性质、动点的轨迹方程及直线与圆的位置关系，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题（1）是利用方法②解答的.‎ ‎26．如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆：及其上一点.‎ ‎（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；‎ ‎（2）设平行于的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程；‎ ‎（3）设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或；（3）‎ ‎．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据直线与轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.‎ 试题解析：圆的标准方程为，所以圆心，半径为5.‎ ‎（1）由圆心在直线上，可设，‎ 因为与轴相切，与圆外切，所以，‎ 于是圆的半径为，从而，解得，‎ 因此，圆的标准方程为.‎ ‎（2）因为直线，所以直线的斜率为.‎ 设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离 因为而 所以，解得或.‎ 故直线的方程为或.‎ ‎（3）设.‎ 因为，所以……①‎ 因为点在圆上，所以，将①代入②，得.‎ 于是点既在圆上，又在圆上，从而圆与圆有公共点，所以，解得.因此，实数的取值范围是.‎ ‎【考点】1、直线与圆的位置关系；2、平面向量的运算 ‎【知识点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理、切线长定理、垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路. 对于多元问题，也可先确定主元．‎