数学卷·2018届山东省菏泽市曹县一中高二上学期第一次月考数学试卷（解析版）

数学卷·2018届山东省菏泽市曹县一中高二上学期第一次月考数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年山东省菏泽市曹县一中高二（上）第一次月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在△ABC中，若B=120°，则a2+ac+c2﹣b2的值（　　）‎ A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不确定 ‎3．△ABC中，a=，b=，sinB=，则符合条件的三角形有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 ‎4．在等比数列{an}中，若a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两根，则a6的值是（　　）‎ A．3 B．±3‎ C． D．以上答案都不对 ‎5．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若直线bx+（a﹣c）y+1=0与直线（a﹣b）x﹣（a+c）y+1=0垂直，则角C的大小为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在首项为81，公差为﹣7的等差数列{an}中，最接近零的是第（　　）项．‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18﹣a5，则S8=（　　）‎ A．18 B．36 C．54 D．72‎ ‎9．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．若acosA=bsinB，则sinAcosA+cos2B=（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣1 D．1‎ ‎10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（　　）‎ A．4：3：2 B．5：6：7 C．5：4：3 D．6：5：4‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确的答案填在题中的横线上）‎ ‎11．在等腰三角形 ABC中，已知sinA：sinB=1：2，底边BC=10，则△ABC的周长是　　．‎ ‎12．数列{an}的通项公式为an=，已知它的前n项和Sn=6，则项数n等于：　　．‎ ‎13．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1．若a1=1，且对任意的n∈N+都有an+2+an+1﹣2an=0，则S5=　　．‎ ‎14．等差数列{an}中，若a1+a4+a7=15，a3+a6+a9=3，则S9=　　．‎ ‎15．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应取北偏东θ方向前进，才能尽快追上乙船，此时θ=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16．在△ABC中，如果lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg，且B为锐角，则三角形的形状是　　．‎ ‎17．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC．‎ ‎（1）求cosA；‎ ‎（2）若a=3，△ABC的面积为，求b，c．‎ ‎18．已知数列{an}，a1=1．以后各项由an=an﹣1+（n≥2）给出．‎ ‎（1）写出数列{an}的前5项；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式．‎ ‎19．在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3‎ 成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求d，an；‎ ‎（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．‎ ‎20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N*，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N*．‎ ‎（1）求an，bn；‎ ‎（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．‎ ‎21．祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务．某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f（n）表示前n年的纯收入（f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额）‎ ‎（Ⅰ）从第几年开始获取纯利润？‎ ‎（Ⅱ）若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万元美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省菏泽市曹县一中高二（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】结合已知，根据正弦定理，可求AC ‎【解答】解：根据正弦定理，，‎ 则 故选B ‎　‎ ‎2．在△ABC中，若B=120°，则a2+ac+c2﹣b2的值（　　）‎ A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不确定 ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】直接利用余弦定理，化简求解即可．‎ ‎【解答】解：由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+ac+c2，‎ 所以a2+ac+c2﹣b2=0．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．△ABC中，a=，b=，sinB=，则符合条件的三角形有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】根据sinB的值，求得cosB的值，进而利用余弦定理建立等式求得c的值，根据c的解得个数来判断符合条件的三角形的个数．‎ ‎【解答】解：∴sinB=，‎ ‎∴cosB=±=±‎ ‎①当cosB=时，cosB===，‎ ‎∴整理可得c2﹣c+2=0，求得c=有两个解，‎ ‎②当cosB=﹣时，cosB===﹣，‎ 整理得c2+c+2=0，求得c=＜0，与c＞0矛盾．‎ 综合可知，c=，‎ 即这样的三角形有2个．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．在等比数列{an}中，若a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两根，则a6的值是（　　）‎ A．3 B．±3‎ C． D．以上答案都不对 ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得a3•a9=3，再由等比数列的定义和性质可得 a3•a9==3，由此解得 a6 的值．‎ ‎【解答】解：等比数列{an}中，若a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两根，则由一元二次方程根与系数的关系可得a3•a9=3，a6‎ 再由等比数列的定义和性质可得 a3•a9==3，解得 a6=，‎ 故选 C．‎ ‎　‎ ‎5．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若直线bx+（a﹣c）y+1=0与直线（a﹣b）x﹣（a+c）y+1=0垂直，则角C的大小为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】由直线bx+（a﹣c）y+1=0与直线（a﹣b）x﹣（a+c）y+1=0垂直，推导出a2+b2﹣c2=ab，由此利用余弦定理能求出cosC，能求出∠C．‎ ‎【解答】解：∵△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，‎ 直线bx+（a﹣c）y+1=0与直线（a﹣b）x﹣（a+c）y+1=0垂直，‎ ‎∴b（a﹣b）+（a﹣c）[﹣（a+c）]=0，‎ 整理，得a2+b2﹣c2=ab，‎ ‎∴cosC==，‎ ‎∴∠C=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据等差数列的性质知，求两个数列的第五项之比，可以先写出两个数列的前9项之和之比，代入数据做出比值．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，‎ ‎，‎ ‎====‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．在首项为81，公差为﹣7的等差数列{an}中，最接近零的是第（　　）项．‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由a1=81，d=﹣7，得到an=81+（n﹣1）×（﹣7）=88﹣7n，由an=88﹣7n≥0，能求出最接近零的项．‎ ‎【解答】解：∵a1=81，d=﹣7，‎ ‎∴an=81+（n﹣1）×（﹣7）=88﹣7n，‎ 由an=88﹣7n≥0，‎ 解得n，‎ ‎∴最接近零的是第13项，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18﹣a5，则S8=（　　）‎ A．18 B．36 C．54 D．72‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，代入求和公式可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得a4+a5=18，‎ 由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，‎ ‎∴S8===72‎ 故选：D ‎　‎ ‎9．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．若acosA=bsinB，则sinAcosA+cos2B=（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣1 D．1‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】利用三角形中的正弦定理，将已知等式中的边用三角形的角的正弦表示，代入要求的式子，利用三角函数的平方关系求出值．‎ ‎【解答】解：∵acosA=bsinB 由正弦定理得sinAcosA=sinBsinB ‎∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1‎ 故选D ‎　‎ ‎10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（　　）‎ A．4：3：2 B．5：6：7 C．5：4：3 D．6：5：4‎ ‎【考点】正弦定理的应用．‎ ‎【分析】由题意可得三边即 a、a﹣1、a﹣2，由余弦定理可得 cosA=，再由3b=20acosA，可得 cosA=，从而可得 =，由此解得a=6，可得三边长，根据sinA：sinB：sinC=a：b：c，求得结果．‎ ‎【解答】解：由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，可设三边长分别为 a、a﹣1、a﹣2．‎ 由余弦定理可得 cosA===，‎ 又3b=20acosA，可得 cosA==．‎ 故有 =，解得a=6，故三边分别为6，5，4．‎ 由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a﹣1）：（ a﹣2）=6：5：4，‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确的答案填在题中的横线上）‎ ‎11．在等腰三角形 ABC中，已知sinA：sinB=1：2，底边BC=10，则△ABC的周长是　50　．‎ ‎【考点】三角形中的几何计算．‎ ‎【分析】先利用正弦定理，将角的正弦之比转化为边长之比，求得AC长，从而由等腰三角形性质得AB长，最后三边相加即可得△ABC的周长 ‎【解答】解：设BC=a，AB=c，AC=b ‎∵sinA：sinB=1：2，由正弦定理可得：‎ a：b=1：2，‎ ‎∵底边BC=10，即a=10，∴b=2a=20‎ ‎∵三角形ABC为等腰三角形，且BC为底边，‎ ‎∴b=c=20‎ ‎∴△ABC的周长是20+20+10=50‎ 故答案为 50‎ ‎　‎ ‎12．数列{an}的通项公式为an=，已知它的前n项和Sn=6，则项数n等于：　48　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】先对数列的通项化简，分母有理化，an=，累加求和，即可求解．‎ ‎【解答】解：由题意，∵an=，‎ ‎∴an=，‎ ‎∴Sn=﹣1，‎ ‎∵Sn=6，‎ ‎∴﹣1=6，解得n=48，‎ 故答案为：48．‎ ‎　‎ ‎13．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1．若a1=1，且对任意的n∈N+都有an+2+an+1﹣2an=0，则S5=　11　．‎ ‎【考点】等比数列的性质；数列的求和．‎ ‎【分析】由题意可得anq2+an q=2an ，即 q2+q=2，解得 q=﹣2，或 q=1（舍去），由此求得 S5= 的值．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且对任意的n∈N+都有an+2+an+1﹣2an=0，∴anq2+anq=2an ，‎ 即 q2+q=2，解得 q=﹣2，或 q=1（舍去）．‎ ‎∴S5==11，‎ 故答案为 11．‎ ‎　‎ ‎14．等差数列{an}中，若a1+a4+a7=15，a3+a6+a9=3，则S9=　27　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由题意可得a4=5，a6=1，进而可得a5=3，而S9=9a5，计算可得．‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a4+a7=3a4=15，‎ a3+a6+a9=3a6=3，解之可得a4=5，a6=1，‎ 故a4+a6=6，即2a5=6，a5=3，‎ 故S9===27‎ 故答案为：27‎ ‎　‎ ‎15．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应取北偏东θ方向前进，才能尽快追上乙船，此时θ=　30°　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】根据题意画出图形，求出∠CAB与∠B的度数，设出追上乙船的时间，表示出BC与AC，在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，即可求出θ的度数．‎ ‎【解答】解：根据题意得：∠CAB=60°﹣θ，∠B=120°，设追上乙船的时间为x，则有BC=x，AC=x，‎ 在△ABC中，利用正弦定理=，即=，‎ ‎∴=sin（60°﹣θ），即sin（60°﹣θ）=，‎ ‎∴60°﹣θ=30°，即θ=30°．‎ 故答案为：30°‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16．在△ABC中，如果lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg，且B为锐角，则三角形的形状是　等腰直角三角形　．‎ ‎【考点】正弦定理；对数的运算性质．‎ ‎【分析】由已知得sinB=， =，由此能推导出△ABC为等腰直角三角形，‎ ‎【解答】解：∵lgsinB=﹣lg sinB=，‎ ‎∵B为锐角，‎ ‎∴B=45°．‎ 又∵lga﹣lgc═﹣lg，∴=．‎ 由正弦定理，得=，‎ ‎∴sinC=2sinA=2sin，‎ 即sinC=sinC+cosC，‎ ‎∴cosC=0，∴C=90°，‎ 故△ABC为等腰直角三角形，‎ 故答案为：等腰直角三角形．‎ ‎　‎ ‎17．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC．‎ ‎（1）求cosA；‎ ‎（2）若a=3，△ABC的面积为，求b，c．‎ ‎【考点】余弦定理；诱导公式的作用；两角和与差的余弦函数；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项，移项合并后再利用两角和与差的余弦函数公式得出cos（B+C）的值，将cosA用三角形的内角和定理及诱导公式变形后，将cos（B+C）的值代入即可求出cosA的值；‎ ‎（2）由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入，得出bc=6，记作①，再由a及cosA的值，利用余弦定理列出关于b与c的关系式，记作②，联立①②即可求出b与c的值．‎ ‎【解答】解：（1）3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC，‎ 化简得：3（cosBcosC+sinBsinC）﹣1=6cosBcosC，‎ 变形得：3（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣1，‎ 即cos（B+C）=﹣，‎ 则cosA=﹣cos（B+C）=；‎ ‎（2）∵A为三角形的内角，cosA=，‎ ‎∴sinA==，‎ 又S△ABC=2，即bcsinA=2，解得：bc=6①，‎ 又a=3，cosA=，‎ ‎∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：b2+c2=13②，‎ 联立①②解得：或．‎ ‎　‎ ‎18．已知数列{an}，a1=1．以后各项由an=an﹣1+（n≥2）给出．‎ ‎（1）写出数列{an}的前5项；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由a1=1及递推公式an=an﹣1+写出前5项即可；‎ ‎（2）由an=an﹣1+可得an﹣an﹣1==﹣，从而解得．‎ ‎【解答】解：（1）a1=1，‎ a2=a1+=，‎ a3=a2+=，‎ a4=a3+=，‎ a5=a4+=；‎ ‎（2）∵an=an﹣1+，‎ ‎∴a2﹣a1=1﹣，‎ a3﹣a2=﹣，‎ a4﹣a3=﹣，‎ ‎…，‎ an﹣an﹣1==﹣，‎ 故an﹣a1=1﹣+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）‎ ‎=1﹣，‎ 故an=2﹣=．‎ ‎　‎ ‎19．在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求d，an；‎ ‎（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式an可求；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{an}‎ 的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．‎ 当d=﹣1时，an=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．‎ 当d=4时，an=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．‎ 所以an=﹣n+11或an=4n+6；‎ ‎（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，an=﹣n+11．‎ 则当n≤11时，．‎ 当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=﹣Sn+2S11=．‎ 综上所述，‎ ‎|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=．‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N*，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N*．‎ ‎（1）求an，bn；‎ ‎（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=3，当n≥2时，由an=sn﹣sn﹣1可求通项，进而可求bn ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和 ‎【解答】解：（Ⅰ）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3‎ 当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1‎ 而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，‎ 故an=4n﹣1，‎ 又∵an=4log2bn+3=4n﹣1‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎2Tn=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n ‎∴‎ ‎=（4n﹣1）•2n ‎=（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+5‎ ‎　‎ ‎21．祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务．某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f（n）表示前n年的纯收入（f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额）‎ ‎（Ⅰ）从第几年开始获取纯利润？‎ ‎（Ⅱ）若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万元美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（I）弄清纯利润就是纯收入大于零的关系，将纯收入表示为年份n的表达式，注意等差数列知识的运用，通过求解不等式得出开始获得纯利润的年份；‎ ‎（II）通过比较法得出哪种方案最合算，关键要得出每种方案获得的利润和年份的关系，用到求函数最值的思想和方法．‎ ‎【解答】解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，‎ 设纯利润与年数的关系为f（n），‎ 则 ‎（I）纯利润就是要求f（n）＞0，∴﹣2n2+40n﹣72＞0，‎ 解得2＜n＜18．由n∈N知从第三年开始获利．‎ ‎（II）①年平均利润=．当且仅当n=6时取等号．‎ 故此方案先获利6×16+48=144（万美元），此时n=6，‎ ‎②f（n）=﹣2（n﹣10）2+128．当n=10时，f（n）max=128．‎ 故第②种方案共获利128+16=144（万美元），‎ 故比较两种方案，获利都是144万美元．‎ 但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①方案．‎