【数学】河南省洛阳市第一高级中学2019-2020学年高二下学期周练（5

【数学】河南省洛阳市第一高级中学2019-2020学年高二下学期周练（5

河南省洛阳市第一高级中学2019-2020学年 高二下学期周练（5.3）（文）‎ ‎ 一．选择题（共50分）‎ ‎1．下列说法错误的个数是（　　）‎ ‎①在线性回归模型y＝bx+a+e中，预报变量y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生 ‎②在线性回归模型y＝bx+a+e中，随机误差e是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e的产生 ‎③在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病 ‎④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若K2从统计量中求出有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有1%的可能性使得判断出现错误 ‎⑤在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若K2的观测值k＞6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病．‎ A．2 B．‎3 ‎C．4 D．5‎ ‎2．根据如下样本数据 ‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎﹣0.5‎ ‎0.5‎ ‎﹣2.0‎ 得到的回归方程为．若a＝7.9，则x每增加1个单位，y就（　　）‎ A．增加1.4个单位 B．减少1.4个单位 ‎ C．增加1.2个单位 D．减少1.2个单位 ‎3．已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知，下列说法错误的是（　　）‎ A．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高 ‎ B．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低 ‎ C．该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元 D．该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益 ‎4．在平面中，与正方形ABCD的每条边所成角都相等的直线与AB所成角的余弦值为．将此结论类比到空间中，得到的结论为：在空间中，与正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1的每条棱所成角都相等的直线与AB所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．将自然数按如下规律排数对：‎ ‎（0，1），（1，0），（0，2），（1，1），（2，0），（0，3），（1，2），（2，1），（3，0），（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，1），…，则第58个数对是（　　）‎ A．（6，4） B．（5，5） C．（4，6） D．（3，7）‎ ‎6．下面使用类比推理正确的是（　　）‎ A．直线a∥b，b∥c，则a∥c，类推出：向量，则 ‎ B．同一平面内，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b．类推出：空间中，直线a，b，‎ c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b ‎ C．实数a，b，若方程x2+ax+b＝0有实数根，则a2≥4b．类推出：复数a，b，若方程x2+ax+b＝0有实数根，则a2≥4b ‎ D．以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程为x2+y2＝r2．类推出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程为x2+y2+z2＝r2‎ ‎7．要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≥0，只要证明（　　）‎ A．2ab﹣1﹣a2b2≥0 B．（a2﹣1）（b2﹣1）≤0 ‎ C．﹣1﹣a2b2≥0 D．a2+b2﹣1﹣≤0‎ ‎8．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝（　　）‎ A．4 B．‎5 ‎C．2 D．3‎ ‎9．用反证法证明“至少存在一个实数x0，使＞0成立”时，假设正确的是（　　）‎ A．不存在实数x0，使成立 ‎ B．至多存在一个实数x0，使成立 ‎ C．至少存在两个实数x0，使成立 ‎ D．任意实数x，3x＞0恒成立 ‎10．在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝（　　）‎ A．4 B． C．2 D．‎ 二．填空题（共20分）‎ ‎11．用反证法证明“∀x∈R，2x＞‎0”‎，应假设为　 　　 　‎ ‎12．已知复数z＝（其中i是虚数单位，满足i2＝﹣1）则z的共轭复数是　 　‎ ‎13．已知复数z1＝2+ai（a∈R），z2＝1﹣2i，若为纯虚数，则|z1|＝　 　‎ ‎14．观察下列几个三角恒等式 ‎①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°＝1‎ ‎②tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°＝1‎ ‎③tan5°tan100°+tan100°tan（﹣15）°+tan（﹣15）°tan5°＝1．‎ 一般的，若tanα，tanβ，tanγ均有意义，你可以归纳出结论：　 　‎ 三．解答题（共30分）‎ ‎15．某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：‎ API ‎[0，50]‎ ‎（50，100]‎ ‎（100，150]‎ ‎（150，200]‎ ‎（200，300]‎ ‎＞300‎ 空气质量 优 良 轻度污染 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 ‎6‎ ‎14‎ ‎18‎ ‎27‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提 供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？‎ 非重度污染 严重污染 合计 供暖季 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 非供暖季 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 合计 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎100‎ ‎（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y＝试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的平均数．‎ 参考公式：K2＝‎ P（K2≥k）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎16．为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型；②作为产卵数y和温度x 的回归方程来建立两个变量之间的关系．‎ 温度x/℃‎ ‎20‎ ‎22‎ ‎24‎ ‎26‎ ‎28‎ ‎30‎ ‎32‎ 产卵数y/个 ‎6‎ ‎10‎ ‎21‎ ‎24‎ ‎64‎ ‎113‎ ‎322‎ t＝x2‎ ‎400‎ ‎484‎ ‎576‎ ‎676‎ ‎784‎ ‎900‎ ‎1024‎ z＝lny ‎1.79‎ ‎2.30‎ ‎3.04‎ ‎3.18‎ ‎4.16‎ ‎4.73‎ ‎5.77‎ ‎26‎ ‎692‎ ‎80‎ ‎3.57‎ ‎1157.54‎ ‎0.43‎ ‎0.32‎ ‎0.00012‎ 其中，，zi＝lnyi，，‎ 附：对于一组数据（μ1，ν1），（μ2，ν2），…（μn，νn），其回归直线v＝βμ+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，‎ ‎（1）根据表中数据，分别建立两个模型下y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为‎30℃‎时的产卵数．（C1，C2，C3，C4与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：e4.65≈104.58，e4.85≈127.74，e5.05≈156.02）‎ ‎（2）若模型①、②的相关指数计算分别为 ‎．，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好．‎ ‎17．已知数列{an}中，a2＝a+2（a为常数），Sn是{an}的前n项和，且Sn是nan与na的等差中项．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，Tn是{bn}的前n项和，问是否存在常数a，使a10•Tn＜12恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．‎ 参考答案 ‎1.解：对于①，y除了受自变量x的影响之外还受其他因素的影响，故①正确；‎ 对于②，随机误差不是由于计算不准造成的，故②不正确．‎ 对于③，不表示有每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病，故③不正确．‎ 对于④，从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误，④正确．‎ 对于⑤，不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故⑤不正确．‎ 故选：B．‎ ‎2．解：设变量x，y的平均值为：，，‎ ‎∴＝＝5，‎ ‎＝0.9，‎ ‎∴样本中心点（5，0.9），‎ ‎∴0.9＝5×b+7.9‎ ‎∴b＝﹣1.4，‎ ‎∴x每增加1个单位，y就减少1.4．‎ 故选：B．‎ ‎3．解：由折线图可知，该超市2019年的12个月中的7月份的收入﹣支出的值最大，所以收益最高，故选项A正确；‎ 由折线图可知，该超市2019年的12个月中的4月份的收入﹣支出的值最小，所以收益最低，故选项B正确；‎ 由折线图可知，该超市2019年7至12月份的总收益为60+40+30+30+50+30＝240，2019年1至6月份的总收益为20+30+20+10+30+30＝140，所以 该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了100万元，故选项C错误，选项D正确；‎ 故选：C．‎ ‎4．解：与正方形ABCD的每条边所成角都相等的直线为正方形对角线所在直线，‎ 与正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1的每条棱所成角都相等的直线为正方体对角线所在直线，‎ ‎∴与正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1的每条棱所成角都相等的直线与AB所成角为∠ABD1，‎ 设正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1的棱长为1，‎ 则AB＝1，AD1＝，BD1＝，‎ ‎∵AB⊥AD1，‎ ‎∴与正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1的每条棱所成角都相等的直线与AB所成角的余弦值为：‎ cos∠ABD1＝＝＝．‎ 故选：B．‎ ‎5．解：根据题意，通过观察发现：各数对中两个数的和为1的有两个，分别为（0，1）、（1，0）；‎ 和为2的有3个，分别为（0，2），（1，1），（2，0）；‎ 和为3的有4个，分别为（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）；‎ ‎…‎ 以此类推，‎ 得到和为9时，有数对10个，‎ 此时一共出现了＝54个数对，‎ 则第58个数对是两个数的和为10的数对中的第4个，为（3，7）；‎ 故选：D．‎ ‎6．解：对于A，＝时，不正确；‎ 对于B，空间中，直线a，b， c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b或a⊥b或相交，故不正确；‎ 对于C，方程x02+ix0+（﹣1±i）＝0有实根，但a2≥4b不成立，故C不正确；‎ 对于D，设点P（x，y，z）是球面上的任一点，由|OP|＝r，得x2+y2+z2＝r2，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎7．解：要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≥0，只要证明（a2﹣1）（1﹣b2）≥0，‎ 只要证明（a2﹣1）（b2﹣1）≤0．‎ 故选：B．‎ ‎8．解：模拟执行程序，可得 a＝1，A＝1，S＝0，n＝1‎ S＝2‎ 不满足条件S≥10，执行循环体，n＝2，a＝，A＝2，S＝‎ 不满足条件S≥10，执行循环体，n＝3，a＝，A＝4，S＝‎ 不满足条件S≥10，执行循环体，n＝4，a＝，A＝8，S＝‎ 满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．‎ 故选：A．‎ ‎9．解：根据反证法的原理，假设是对原命题结论的否定，‎ 故选：A．‎ ‎10．解：因为tan＝＝tan（+θ），且tanθ＝‎ ‎∴+θ＝kπ+，‎ ‎∴θ＝kπ+，‎ ‎∴tanθ＝tan（kπ+）＝．‎ ‎∴＝‎ 故选：D．‎ ‎11．解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，P（x0）成立的否定是使得P（x0）不成立，即用反证法证明“∀x∈R，2x＞‎0”‎，应假设为∃x0∈R，≤0‎ ‎12．解：复数z＝＝﹣2﹣i，则z的共轭复数是﹣2+i．‎ ‎13．解：∵z1＝2+ai（a∈R），z2＝1﹣2i，‎ ‎∴，‎ 由为纯虚数，则，解得a＝1，‎ 则z1＝2+i，‎ ‎∴|z1|＝．‎ ‎14．解：观察所给3个等式可得：当α+β+γ＝90°时，tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα＝1．‎ 故答案为：α+β+γ＝90°，则tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα＝1．‎ ‎15．解：（Ⅰ）根据题设中的数据得到如下2×2列联表：‎ ‎ ‎ 非严重污染 严重污染 总计 供暖季 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 非供暖季 ‎63‎ ‎7‎ ‎70‎ 总计 ‎85‎ ‎15‎ ‎100‎ 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：‎ K2＝≈4.575．---------------------------------------------------5分 ‎∵4.575＞3.841‎ ‎∴由95%的把握认为：“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”---------------6分 ‎（Ⅱ）任选一天，设该天的经济损失为X元，则：‎ P（X＝0）＝P（0≤x≤100）＝‎ P（X＝400）＝P（100＜x≤300）＝，‎ P（X＝2000）＝P（x＞300）＝‎ ‎∴X＝0×+400×+2000×＝560．----------------------------------------------9分 ‎∴该企业一个月（按30 天算）的经济损失的平均数为30×560＝16800元．--10分 ‎16．解：（1）对于模型①：设t＝x2，则，‎ 其中，…（1分）‎ ‎；…（3分）‎ 所以y＝0.43x2﹣217.56，…（4分）‎ 当x＝30时，估计产卵数为 ‎；…（5分）‎ 对于模型②：设z＝lny，则lny＝C3x+C4，‎ 其中，…（6分）‎ ‎；…（7分）‎ 所以y＝e0.32x﹣4.75，‎ 当x＝30时，估计产卵数为 ‎；…（8分）‎ ‎（2）因为，‎ ‎，‎ 所以模型②的拟合效果更好． …（10分）‎ ‎17．解：（1）由已知得：2Sn＝nan+na，‎ 所以当n≥2时2Sn﹣1＝（n﹣1）an﹣1+（n﹣1）a．‎ 两式相减得：2an＝nan﹣（n﹣1）an﹣1+a，‎ 整理得：（n﹣1）an﹣1＝（n﹣2）an+a．-------------------------------------------2分 当n≥3时，上式可化为：‎ ‎，---------------------------------3分 于是：‎ ‎．--------------------------------------4分 又，‎2a1＝a1+a⇒a1＝a，a2＝a+2均满足上式，‎ 故an＝2n+a﹣2（n∈N*）--------------------------------------------------------------5分 ‎（2）因为，‎ 所以．------------------------------------------6分 又a10＝a+18，所以a10•Tn＜12‎ 可化为，--------------------------------------------7分 整理得：．----------------------------------------------------8分 令，‎ 则当n为奇数时，；‎ 当n为偶数时，．--------------------------------------------------9分 所以，，‎ 故．‎ 故存在常数a，使a10•Tn＜12恒成立，‎ 其范围是（﹣∞，﹣6）．------------------------------------------------------------10分