2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考试数学(理)试题 解析版

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2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考试数学(理)试题 解析版

绝密★启用前 江西省南昌市第二中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1.抛物线y2=-12x的准线方程是( )‎ A. x=-3 B. x=3 C. y=3 D. y=-3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,由抛物线的准线方程分析可得其焦点在x轴负半轴上,且p=6,由准线方程计算可得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意,抛物线的标准方程为y2=﹣12x,‎ 其焦点在x轴负半轴上,且p=6,‎ 则其准线方程为x=3;‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程以及准线方程的求法,关键是掌握由抛物线的标准方程求准线方程的方法.‎ ‎2.当时,方程所表示的曲线是( )‎ A. 焦点在轴的椭圆 B. 焦点在轴的双曲线 C. 焦点在轴的椭圆 D. 焦点在轴的双曲线 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简方程得,即得曲线是焦点在轴的双曲线.‎ ‎【详解】‎ 化简得,因为ab<0,所以>0,所以曲线是焦点在轴的双曲线.‎ 故答案为:D ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的标准方程,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎3.若以双曲线()的左、右焦点和点(1,)为顶点的三角形为直角三角形,则b等于(  )‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意,以双曲线﹣=1(b>0)的左、右焦点和点(1,)为顶点的三角形为直角三角形,可得(1﹣c,)•(1+c,)=0,求出c,即可求出b.‎ ‎【详解】‎ 由题意,以双曲线﹣=1(b>0)的左、右焦点和点(1,)为顶点的三角形为直角三角形,‎ ‎∴(1﹣c,)•(1+c,)=0,‎ ‎∴1﹣c2+2=0,‎ ‎∴c=,‎ ‎∵a=,‎ ‎∴b=1.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,正确求出c是关键.‎ ‎4.抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是( )‎ A. (1,1) B. C. D. (2,4)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设抛物线y=x2上一点为A(x0,),点A(x0,)到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==,由此能求出抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标.‎ ‎【详解】‎ 设抛物线y=x2上一点为A(x0,),‎ 点A(x0,)到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==,‎ ‎∴当x0=1时,即当A(1,1)时,抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法,考查二次函数的最值,属于基础题.‎ ‎5.圆的极坐标方程为,圆心为,点的极坐标为,则( )‎ A. B. 4 C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别化为直角坐标方程,利用两点之间的距离公式即可得出.‎ ‎【详解】‎ 圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,即ρ2=4ρcosθ,‎ 可得:x2+y2=4x,配方为:(x﹣2)2+y2=4.‎ 圆心为C(2,0),‎ 点P的极坐标为(4,),化为直角坐标.‎ 则|CP|=2.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标与直角坐标方程互化、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎6.P是椭圆上一动点,F1和F2是左右焦点,由F2向的外角平分线作垂线,垂足为Q,则Q点的轨迹为( )‎ A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示,设F2Q交F1P于点M,由已知可得:PQ⊥F2M,∠F2PQ=∠MPQ.可得MP=F2P,点Q为线段F2M的中点.连接OQ,利用三角形中位线定理、椭圆与圆的定义即可得出.‎ ‎【详解】‎ 如图所示,设F2Q交F1P于点M,由已知可得:PQ⊥F2M,∠F2PQ=∠MPQ.‎ ‎∴MP=F2P,点Q为线段F2M的中点.‎ 连接OQ,则OQ为△F1F2M的中位线,∴.‎ ‎∵MF1=F1P+F2P=2a.‎ ‎∴OQ=a.‎ ‎∴Q点的轨迹是以点O为圆心,a为半径的圆.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线段垂直平分线的性质定理、三角形中位线定理、椭圆与圆的定义,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎7.设椭圆()的离心率为,右焦点F(c,0),方程的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)在( )‎ A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 以上三种都有可能 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:∵椭圆的离心率 ‎ ,又该方程两个实根分别为,‎ ‎ .‎ ‎∴点P在圆的内部.‎ 考点:1.椭圆的简单性质;2.点与圆的位置关系 ‎8.过抛物线的焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行,并交抛物线于两点,若,且,则抛物线的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析:抛物线的焦点的坐标为,准线方程为,与双曲线的渐近线方程为,由于过抛物线的焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行,并交抛物线于两点,且,所以可设直线方程为:,设,则,由可得,所以,由得或 ‎(舍去),所以抛物线方程为,故选A.‎ 考点:1.直线与抛物线的位置关系;2.抛物线和双曲线的定义与性质.‎ ‎【名师点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线和双曲线的定义与性质,属中档题;解决抛物线弦长相关问题时,要注意抛物线定义的应用,即将到焦点的距离转化为到准线的距离,通过解方程组求解相关问题即可.‎ ‎9.已知圆是圆上任意一点,过点向轴作垂线,垂足为,点在线段上,且,则点的轨迹方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设点, 根据,因为三点在同一条竖直的线上故得到,是圆上任意一点,将点坐标代入得到 ‎ 故答案为:B。‎ ‎10.分别是双曲线的左右焦点,过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点.若为等边三角形,则的面积为( )‎ A. 8 B. C. D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的定义,可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a,BF2﹣BF1=2a,BF2=4a,F1F2=2c,再在△F1BF2中应用余弦定理得,a,c的关系,即可求出△BF1F2的面积.‎ ‎【详解】‎ 因为△ABF2为等边三角形,不妨设AB=BF2=AF2=m,‎ A为双曲线上一点,F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a,‎ B为双曲线上一点,则BF2﹣BF1=2a,BF2=4a,F1F2=2c,‎ 在△F1BF2中应用余弦定理得:4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°,‎ 得c2=7a2,‎ 在双曲线中:c2=a2+b2,b2=24‎ ‎∴a2=4‎ ‎∴△BF1F2的面积为==2×4=8.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题给出经过双曲线左焦点的直线被双曲线截得弦AB与右焦点构成等边三角形,求三角形的面积,着重考查了双曲线的定义和简单几何性质等知识,属于中档题.‎ ‎11.在直角坐标系中,抛物线的焦点为,准线为,点是准线上任一点,直线交抛物线于,两点,若,则的面积( )‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出直线PF的方程,代入抛物线方程,利用韦达定理,结合三角形的面积公式,即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 不妨设B在x轴上方,直线PF的倾斜角为α,‎ ‎∵=4,‎ ‎∴由抛物线的定义,可得cosθ=,‎ ‎∴tanθ=2‎ ‎∵抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),‎ ‎∴直线PF的方程为y=2(x﹣1),即x=y+1,‎ 代入y2=4x,可得y2﹣y﹣4=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=﹣4,‎ ‎∴|y1﹣y2|==3,‎ ‎∴S△AOB==.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的性质,考查三角形面积的计算,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.‎ ‎12.设双曲线的右焦点为,过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点,且与双曲线在第一象限的交点为,设为坐标原点,若,,则双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析:直线的方程为,与双曲线渐近线的交点为,与双曲线在第一象限的交点为,所以,,由得,解之得,所以,,故选A.‎ 考点:双曲线几何性质、向量运算.‎ 视频 第II卷(非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13.点关于直线的对称点是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对称轴的性质布列方程组,即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 设点M(﹣1,1)关于直线l:x﹣y﹣1=0对称的点N的坐标(x,y) ‎ 则MN中点的坐标为(,),‎ 利用对称的性质得:KMN==﹣1,且 ﹣﹣1=0,‎ 解得:x=2,y=﹣2,‎ ‎∴点N的坐标(2,﹣2),‎ 故答案为(2,﹣2).‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求点关于直线的对称点的坐标的方法,利用垂直关系、中点在轴上两个条件以及待定系数法求对称点的坐标.‎ ‎14.已知双曲线(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 相切,且双曲线的右焦点为圆的圆心,则该双曲线的方程为_____.‎ ‎【答案】-=1‎ ‎【解析】‎ 试题分析:圆C:x2+y2-6x+5=0,是以(3,0)为圆心,2为半径的圆,可知双曲线中的c=2,双曲线的渐进性方程为:根据题意点(3,0)到渐近线 的距离为2,运用点到直线的距离公式可得 故双曲线方程为-=1.‎ 考点:双曲线的几何性质.‎ ‎15.设分别是椭圆的左、右焦点,过点的直线交椭圆于两点,若,轴,则b的值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:如图所示:设,由焦半径公式可得,因为,所以,即,因此,由可得,可得,所以,应填.‎ 考点:1、椭圆;2、焦半径公式.‎ ‎【思路点晴】本题是一个关于椭圆的焦半径的问题,属于中档题.解决本题的基本思路是,首先根据轴,推出点的横坐标,再根据焦半径公式表示出的长,同样的方法表示出的长,利用,就可以求出的值,进而得到椭圆的方程,从而使问题得到解决.‎ ‎16.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在轴上,左右焦点分别为,且它们在第一象限的交点为,是以为底边的等腰三角形.若,双曲线的离心率的取值范围为.则该椭圆的离心率的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆的长半轴为a1,双曲线的半实轴长为a2,它们公共的焦距为2c,|PF2|=n,根据椭圆与双曲线的定义建立方程组解出a1=5+c且a2=5﹣c,得到双曲线的离心率为∈(1,2),由此解出c的范围再代入椭圆离心率的表达式,利用不等式的性质加以计算,可得该椭圆的离心率的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 如图,设椭圆的长半轴为a1,双曲线的半实轴长为a2,‎ 它们公共的焦距为2c,|PF2|=n,‎ ‎∵|PF1|=10,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.‎ ‎∴由椭圆与双曲线的定义,得,解之得,‎ ‎∵双曲线的离心率的取值范围为(1,2),∴1<<2,‎ 设=x,可得c=,‎ 从而得到椭圆的离心率e===﹣.‎ 由1<x<2,可得<﹣<,即<﹣<.‎ 即该椭圆的离心率的取值范围是(,).‎ 故答案为:(,)‎ ‎【点睛】‎ 求解离心率的常用方法 ‎1.利用公式,直接求e.‎ ‎2.找等量关系,构造出关于,的齐次式,转化为关于的方程求解.‎ ‎3.通过取特殊位置或特殊点求解. ‎ ‎4变用公式,整体求出e:以椭圆为例,如利用,‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17.已知的三个顶点为、、.‎ ‎(1)求过点A且平行于BC的直线方程;‎ ‎(2)求过点B且与A、C距离相等的直线方程.‎ ‎【答案】(1) (2) 或 ‎【解析】分析:(1)利用斜率公式可求得直线的斜率,利用点斜式即可求得过点且平行于的直线方程; (2)依题意,所求直线斜率存在,设过点的直线方程为.利用点 到直线距离相等,可求,则方程可求.‎ 详解:‎ ‎(1)直线BC斜率 ‎ 过点A与BC平行直线方程为,即 ‎(2)显然,所求直线斜率存在 设过点B的直线方程为,即 ‎ 由,解得或 故所求的直线方程为或 即 或 点睛:本题考查直线的点斜式,考查平行关系的应用,考查分类讨论思想与逻辑思维能力,属于中档题.‎ ‎18.在极坐标系中,极点为,已知曲线:与曲线:交于不同的两点,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求过点且与直线平行的直线的极坐标方程.‎ ‎【答案】(1).(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)把曲线C1和曲线C2的方程化为直角坐标方程,他们分别表示一个圆和一条直线.利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离为d的值,再利用弦长公式求得弦长|AB|的值. (2)用待定系数法求得直线l的方程为直线l的方程,再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求得l的极坐标方程 试题解析:‎ ‎(1)∵,∴,‎ 又∵,可得,∴,‎ 圆心(0,0)到直线的距离为 ‎∴.‎ ‎(2)∵曲线的斜率为1,∴过点且与曲线平行的直线的直角坐标方程为,‎ ‎∴直线的极坐标为,即.‎ ‎19.已知动圆与定圆内切,与直线相切. ‎ ‎(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)若是上述轨迹上一点,求到点距离的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析:(Ⅰ)设动圆圆心 ,那么动圆圆心到直线的距离 和到定圆圆心的距离相等,得到圆心的轨迹方程;(Ⅱ)根据两点间距离得到 ,根据(Ⅰ)的结论可知函数的定义域 ,所以讨论对称轴和定义域的关系,得到函数的最小值.‎ 试题分析:(Ⅰ)设动圆的圆心,‎ ‎∵动圆与定圆内切,与直线相切,‎ ‎∴,‎ 化简得.‎ ‎(Ⅱ)设,则,‎ ‎∴ .‎ 当时,时上式取得最小值,即取得最小值;‎ 当时,时上式取得最小值,即取得最小值. ‎ ‎∴‎ ‎20.设直线l:y=2x﹣1与双曲线(,)相交于A、B两个不 同的点,且(O为原点).‎ ‎(1)判断是否为定值,并说明理由;‎ ‎(2)当双曲线离心率时,求双曲线实轴长的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)为定值5.将直线y=2x﹣1与双曲线的方程联立,运用韦达定理和向量数量积的坐标表示,化简整理即可得到定值;‎ ‎(2)运用双曲线的离心率公式和(1)的结论,解不等式即可得到所求实轴的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)为定值5.‎ 理由如下:y=2x﹣1与双曲线联立,‎ 可得(b2﹣4a2)x2+4a2x﹣a2﹣a2b2=0,(b≠2a),‎ 即有△=16a4+4(b2﹣4a2)(a2+a2b2)>0,‎ 化为1+b2﹣4a2>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=,x1x2=,由(O为原点),可得 x1x2+y1y2=0,即有x1x2+(2x1﹣1)(2x2﹣1)=5x1x2﹣2(x1+x2)+1=0,‎ 即5•﹣2•+1=0,‎ 化为5a2b2+a2﹣b2=0,即有=5,为定值. ‎ ‎(2)由双曲线离心率时,‎ 即为<<,即有2a2<c2<3a2,‎ 由c2=a2+b2,可得a2<b2<2a2,即<<,‎ 由=5,可得<﹣5<,化简可得a<,‎ 则双曲线实轴长的取值范围为(0,).‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程和运用,考查直线和双曲线方程联立,运用韦达定理,以及向量数量积的坐标表示,考查化简整理的运算能力,属于中档题.‎ ‎21.为抛物线的焦点,过点的直线与交于、两点,的准线与轴的交点为,动点满足.‎ ‎(1)求点的轨迹方程;‎ ‎(2)当四边形的面积最小时,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出F,E的坐标,设l方程为x﹣my﹣1=0,联立方程组消元,根据根与系数的关系求出AB中点坐标,由向量加法的几何意义可知AB的中点也是EP的中点,利用中点坐标公式得出P的轨迹关于m的参数方程,转化为普通方程即可;‎ ‎(2)利用弦长公式和点到直线的距离公式计算|AB|,E到l的距离d,得出S关于m的函数,求出S取得最小值时的m,代入x﹣my﹣1=0得出l的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),∴E(﹣1,0).‎ 设直线l的方程为x﹣my﹣1=0.‎ 联立方程组,消元得:y2﹣4my﹣4=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),则y1+y2=4m,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2.‎ ‎∴AB的中点坐标为M(2m2+1,2m).‎ ‎∵=+=2,∴M为EP的中点.‎ ‎∴,∴,即y2=4x﹣12.‎ ‎∴点P的轨迹方程为y2=4x﹣12.‎ ‎(2)由(I)得y1+y2=4m,y1y2=﹣4.‎ ‎∴|AB|===4(m2+1).‎ E到直线l:x﹣my﹣1=0的距离d=,‎ ‎∴S△ABE=•|AB|•d=4,‎ ‎∵=+,∴四边形EAPB是平行四边形,‎ ‎∴平行四边形EAPB的面积S=2S△ABE=8.‎ ‎∴当m=0时,S取得最小值8.‎ 此时直线l的方程为x﹣1=0.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的性质,轨迹方程的求解,直线与圆锥曲线的位置关系,属于中档题.‎ ‎22.如图,已知椭圆()的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点,为顶点的三角形的周长为,一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设为该双曲线上异于顶点的任一点,直线和与椭圆的交点分别为、和、.‎ ‎(1)求椭圆和双曲线的标准方程;‎ ‎(2)设直线、的斜率分别为、,证明为定值;‎ ‎(3)是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意知,椭圆离心率为=,及椭圆的定义得到又2a+2c=,解方程组即可求得椭圆的方程,等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程;‎ ‎(2)设点P(x0,y0),根据斜率公式求得k1、k2,把点P(x0,y0)在双曲线上,即可证明结果;‎ ‎(3)设直线AB的方程为y=k(x+2),则可求出直线CD的方程为y=(x﹣2),联立直线和椭圆方程,利用韦达定理,即可求得|AB|,|CD|,代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|,求得λ的值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意知,椭圆离心率为=,‎ 得,又2a+2c=,‎ 所以可解得,c=2,所以b2=a2﹣c2=4,‎ 所以椭圆的标准方程为;‎ 所以椭圆的焦点坐标为(±2,0),‎ 因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,‎ 所以该双曲线的标准方程为. ‎ ‎(2)设点P(x0,y0),‎ 则k1=,k2=,‎ ‎∴k1•k2==,‎ 又点P(x0,y0)在双曲线上,‎ ‎∴,即y02=x02﹣4,‎ ‎∴k1•k2==1. ‎ ‎(3)假设存在常数λ,使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立,‎ 则由(2)知k1•k2=1,‎ ‎∴设直线AB的方程为y=k(x+2),则直线CD的方程为y=(x﹣2),‎ 由方程组消y得:(2k2+1)x2+8k2x+8k2﹣8=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则由韦达定理得,,‎ ‎∴AB==,‎ 同理可得CD===,‎ ‎∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|,‎ ‎∴λ==﹣==,‎ ‎∴存在常数λ=,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立.‎ ‎【点睛】‎ 解决解析几何中探索性问题的方法 存在性问题通常采用“肯定顺推法”.其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.‎
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