湖南省浏阳一中、醴陵一中2018-2019学年高二12月联考数学(理)试题

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湖南省浏阳一中、醴陵一中2018-2019学年高二12月联考数学(理)试题

浏阳一中、醴陵一中2018年下学期高二年级联考 理科数学试题 满分:150分 时量:120分钟 考试时间2018年12月16日 ‎ 命题人: 审题人: ‎ 姓名 考号 ‎ 第Ⅰ卷(选择题,共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的.‎ ‎1.设数列的前项和,则的值为( )‎ A.15 B. 37 C. 27 D. 64‎ ‎2.设命题,则为( ) ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎3.若非零向量满足,则与的夹角为( )‎ A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°‎ ‎4.设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直,则( )‎ A.2 B. C. D. ‎ ‎5.等比数列{an}中,,则的值为(  )‎ A.10 B.20 C.36 D.128‎ ‎6.设都是不等于1的正数,则“”是“”成立的( )‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎7.若,则等于( )‎ A. 2 B. 0 C. D.‎ ‎8.在等差数列中,,,则数列的前项和的最大值为( )‎ A. B. C.或 D. ‎ ‎9.双曲线的左、右焦点分别为,P为双曲线右支上一点,I是的内心,且,则=( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知的二面角的棱上有两点,直线分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于,若,则的长为( )‎ ‎ A. B.7 C. D.9‎ ‎11.在椭圆上有两个动点,为定点,,则的最小值为( ).‎ A.4 B. C. D.1‎ ‎12.函数的图象关于直线x=1对称,当时,成立,若,,c=()·f(),则的大小关系是( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.设等差数列的前项和为,若,则 ________。‎ ‎14.已知抛物线上一点到焦点的距离为5,则的面积为 。‎ ‎15.若关于的不等式对任意恒成立,则的取值范围是 。‎ ‎16.已知M是内的一点(不含边界),且,,‎ 若和的面积分别为则的最小值是 。‎ 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(10分)设,,若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.‎ ‎18.(12分)小王在年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第年年底出售,其销售价格为万元(国家规定大货车的报废年限为10年).‎ ‎(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?‎ ‎(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大(利润=累计收入+销售收入-总支出)?‎ ‎19.(12分)已知等差数列的首项,公差,且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项.‎ ‎(1) 求数列的通项公式;‎ ‎(2) 设,,是否存在,使得对任意的均有总成立?若存在,求出最大的整数;若不存在,请说明理由.‎ ‎20.(12分)如图,三棱锥,侧棱,底面三角形为正三角形,边长为,顶点在平面上的射影为,有,且.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)线段上是否存在点使得⊥平面,如果存在,求的值;如果不存在,请说明理由.‎ ‎21.(12分)已知椭圆:()经过点,离心率为,点为坐标原点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)过椭圆的左焦点任作一直线交椭圆于,两点,求的取值范围.‎ ‎22.(12分)已知函数,其中.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)设函数,当时,若,,总有成立,求实数的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题(每题5分,共60分)‎ ‎1-5 BCCBB 6-10 DBADC 11-12 CB 二、填空题(每题5分,共20分)‎ ‎13. 24 14. 2 15. 16. 9‎ 三、解答题(共70分)‎ ‎17.解:由得 ‎∴,即 …………………………………3分 由得 ‎∴,即 ………………………………………5分 ‎∵是的必要不充分条件 ‎∴是的必要不充分条件 ‎∴ ………………………………………8分 ‎∴,解得. ………………………………………10分 ‎18.解:(1)设大货车到第年年底的运输累计收入与总支出的差为万元,‎ 则,‎ 即 由解得,而,‎ 故从第3年开始运输累计收入超过总支出.………………………6分 ‎(2)小王的年平均利润为:‎ ‎,‎ 而当且仅当时取得等号.‎ 即小王应当在第5年年底将大货车出售,才能使年平均利润最大.………12分 ‎19.(1) 由题意得,‎ 整理得∵‎ ‎∵,∴. ……………………4分 ‎(2) , …………………6分 ‎∴‎ ‎. …………………8分 假设存在整数满足总成立,‎ 又 ‎∴数列是单调递增的.‎ ‎∴为的最小值,故,即.‎ 又∵,∴适合条件的的最大值为8. …………………12分 ‎20.(Ⅰ)因为,且,,所以,所以.‎ 因为为正三角形,所以,‎ 又四边形为平面四边形,所以.‎ 因为平面,平面,‎ 所以平面. …………………4分 ‎(Ⅱ)由点在平面上的射影为可得平面,所以,.‎ 建立空间直角坐标系,则由已知可知,,,.‎ 平面的法向量,‎ 设为平面的一个法向量,则 由可得令,则,‎ 所以平面的一个法向量,‎ 所以,‎ 由图可知二面角的平面角为钝角,所以其余弦值为.……………8分 ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)可得,,‎ 因为,所以与不垂直,‎ 所以在线段上不存在点使得⊥平面. …………………12分 ‎21.解:(1)因为,所以,从而,‎ 椭圆的方程为. ………………………4分 ‎(2),当直线的斜率不存在时,可得,,‎ 此时; ………………………5分 当直线的斜率存在时,设:,,,‎ 联立与,可得,‎ 所以,, ………………………7分 ‎,‎ ‎,(10分) ‎ 因为,,所以,从而,‎ 综上可得的取值范围是. ………………………12分 ‎22. (1), ‎ 当时,,此时在上单调递增;‎ 当时,在上单调递减,在上单调递增………………5分 ‎(2)当时,,‎ 由得或 当时,;当时,. ‎ 所以在上,‎ 而“,,总有成立”等价于 ‎“在上的最大值不小于在上的最大值” ‎ 而在上的最大值为 所以有 所以实数的取值范围是………………………12分
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