2017-2018学年山西省汾阳市第二高级中学、文水县第二高级中学高二上学期第一次联考数学试题-解析版

2017-2018学年山西省汾阳市第二高级中学、文水县第二高级中学高二上学期第一次联考数学试题-解析版

绝密★启用前 山西省汾阳市第二高级中学、文水县第二高级中学2017-2018学年高二上学期第一次联考数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．（题文）下列说法中正确的是（　　）‎ A． 棱柱的侧面可以是三角形 B． 正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C． 所有的几何体的表面都能展成平面图形 D． 棱柱的各条棱都相等 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：棱柱的侧面是平行四边形，不可能是三角形，所以A不正确；球的表面就不能展成平面图形，所以C不正确；棱柱的侧棱与底面边长不一定相等，所以D不正确.‎ 考点：本小题主要考查空间几何体的性质.‎ 点评：解决此类问题的主要依据是空间几何体的性质，需要学生有较强的空间想象能力.‎ ‎2．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）．‎ A． （1）是棱台 B． （2）是圆台 C． （3）是棱锥 D． （4）不是棱柱 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱；很明显③是棱锥，故选D．‎ 考点：空间几何体的结构特征．‎ ‎3．一个棱锥的三视图如图（单位为），则该棱锥的体积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据三视图分析可知，此几何体为三棱锥，∴体积．‎ 考点：空间几何体的体积计算.‎ ‎4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为 ,选D.‎ 视频 ‎5．已知两直线m、n和平面α，若m⊥α，n∥α，则直线m、n的关系一定成立的是（ ）‎ A． m与n是异面直线 B． m⊥n C． m与n是相交直线 D． m∥n ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当一条直线垂直于一个平面，则此直线垂直于这个平面内的所有直线．故本题答案选．‎ ‎6．已知直线和平面，则下列四个命题正确的是（ ）‎ A． 若， ，则 B． 若， ，则 C． 若， ，则 D． 若， ，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 错误，因为两个平面垂直，在一个平面内的直线不一定和另一个面垂直.错误，因为可能含于平面.选项显然正确.选项错误，因为两平面有可能相交.‎ ‎7．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线 BA1与AC1所成的角为（ ）‎ A． 60° B． 90° C． 120° D． 150°‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：延长CA到D，使得AD=AC，则为平行四边形，‎ ‎∠就是异面直线与所成的角，‎ 又，‎ 则三角形为等边三角形，∴∠DA1B=60°‎ 考点：异面直线及其所成的角 ‎8．直线恒经过定点（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用直线系方程求解即可．‎ ‎【详解】‎ 直线mx+y﹣m+2=0，化为：m（x﹣1）+y+2=0，可知直线经过（1，﹣2）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线系经过定点，考查计算能力．‎ ‎9．若直线经过第一、二、三象限，则系数满足的条件为（ ）‎ A． 同号 B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为直线 经过第一、二、三象限，所以斜率 ，在 轴上的截距 ，两式相乘可得故选B.‎ ‎10．直线与直线互相垂直，则实数（ ）‎ A． 2 B． C． D． -3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 由题意得，根据两直线垂直可得，解得，故选D．‎ ‎11．已知点、,直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是 （　 ）‎ A． 或 B． 或 C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：如图所示：‎ 由题意得，所求直线l的斜率k满足或，即或 考点：直线的斜率 ‎12．三棱锥的三条侧棱互相垂直，且，则其外接球上的点到平面的距离最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意，得该三棱锥的棱长为1的正方体的一部分（如图所示），且外接球的直径为正方体的体对角线，易知面，且点到平面的距离是外接球上的点到平面的距离的最大值，为；故选D.‎ 点睛：在处理几何体的外接球问题，往往将所给几何体与正方体或长方体进行联系，常用补体法补成正方体或长方体进行处理，也是处理本题的技巧所在.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．直线l的方程为y－a＝(a－1)(x＋2)，若直线l在y轴上的截距为6，则a＝________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令x=0，则y=2（a﹣1）+a=6，解得即可．‎ ‎【详解】‎ 令x=0，则y=2（a﹣1）+a=6，‎ 解得a=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的截距，属于基础题．‎ ‎14．正三棱锥中， ，则二面角的大小为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 取中点为O，连接VO,BO在正三棱锥中，因为,所以 ,所以=,所以 ‎15．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线；‎ ‎②直线AM与BN是平行直线；‎ ‎③直线BN与MB1是异面直线；‎ ‎④直线AM与DD1是异面直线．‎ 其中正确的结论为______（注：把你认为正确的结论的序号都填上）．‎ ‎【答案】③④ ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为四边不共面，所以直线与是异面直线，所以①错误的；同理，直线与也是异面直线，所以②是错误的；同理，直线与是异面直线，所以③是正确错误的；同理，直线与是异面直线，所以④是正确的，故填③④．‎ 考点：空间中直线与直线的位置关系的判定．‎ ‎16．线2cosα•x﹣y﹣1=0，α∈[，π]的倾斜角θ的取值范围是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得直线的斜率k=2cosα∈[﹣1，]，由此能求出倾斜角θ的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 直线2cosα•x﹣y﹣1=0，α∈[，π]的斜率 k=2cosα∈[﹣1，]，‎ ‎∴﹣1，‎ ‎∴θ∈．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的倾斜角θ的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线性质的合理运用．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．（1）求与直线3x+4y+1=0平行且过（1，2）的直线方程；‎ ‎（2）求与直线2x+y﹣10=0垂直且过（2，1）的直线方程．‎ ‎【答案】（1）3x+4y﹣11=0；（2）x﹣2y=0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据直线的平行关系设出方程，代入点的坐标，求出参数m的值，从而求出直线方程即可；‎ ‎（2）根据直线的垂直关系设出直线方程，代入点的坐标，求出参数m的值，从而求出直线方程即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设与3x+4y+1=0平行的直线方程为l：3x+4y+m=0．‎ ‎∵l过点（1，2），∴3×1+4×2+m=0，即m=﹣11．‎ ‎∴所求直线方程为3x+4y﹣11=0．‎ ‎（2）设与直线2x+y﹣10=0垂直的直线方程为l：x﹣2y+m=0．‎ ‎∵直线l过点（2，1），∴2﹣2+m=0，∴m=0．‎ ‎∴所求直线方程为x﹣2y=0．‎ ‎【点睛】‎ 已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：‎ 已知，‎ ‎，‎ 则，‎ ‎ ．‎ ‎18．如图是一个几何体的三视图（单位：cm）．‎ ‎（1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；‎ ‎（2）求这个几何体的表面积及体积．‎ ‎【答案】（1）（2）表面积： ，体积：3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由三视图可知该几何体为平放的三棱柱，则可画出其三棱柱； （2）由三视图可知棱柱的两底面为等腰三角形且底边长为2，高为1．一个侧面是长为3宽为2的矩形；另两个侧面都是长为3宽为的矩形，从而可得其表面积和体积．‎ 试题解析：（1）由三视图可知该几何体为平放的三棱柱，直观图为：‎ ‎（2）由三视图可知，该棱柱的高，底面等腰的底，的，高为1，．‎ 故所求全面积．‎ 几何体的体积．‎ 考点：1三视图；2几何体的表面积，体积．‎ ‎19．如图，平面，底面为矩形，于，于 ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）设平面交于，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）∵平面，面 ‎ ‎∴，‎ 又 ，‎ ‎∴面, 面，‎ ‎∴‎ ‎∴面,面，‎ ‎∴，‎ 又∵,‎ ‎∴面.‎ ‎（Ⅱ）设平面交于，‎ 由（Ⅰ）知面 ‎∴,‎ 由（Ⅰ）同理面,面，‎ ‎∴∴面,面，‎ ‎∴，‎ 考点：线面垂直；线线垂直 ‎20．如图，在直三棱柱中，是上的一点，，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接A1B交AB1于E，连接DE，根据中位线定理即可得出DE∥A1C，故而A1C∥平面AB1D1；‎ ‎（2）过B作BF⊥B1D，则可证BF⊥平面AB1D，于是点A1到平面AB1D的距离等于C到平面AB1D的距离，等于B到平面AB1D的距离BF．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图，‎ 连接，交于点，再连接，‎ 据直棱柱性质知，四边形为平行四边形，为的中点，‎ ‎∵当时，，∴是的中点，∴，‎ 又平面，平面，∴平面.‎ ‎（2）如图，在平面中，过点作，垂足为，‎ ‎∵是中点，‎ ‎∴点到平面与点到平面距离相等，‎ ‎∵平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，‎ ‎∴长为所求，在中，，，，‎ ‎∴，∴点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行的判定，点面距离的计算，属于中档题．‎ ‎21．过点作直线分别与，轴正半轴交于、两点．‎ ‎（1）当面积最小时，求直线的方程；‎ ‎（2）当取最小值时，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设出直线方程再把点代入，利用基本不等式可得，可得面积，可得此时直线的方程；（2）基本不等式可得时，进而求出直线的方程．‎ 试题解析：（1）设直线方程为，‎ 代入得，‎ 得，从而，‎ 此时，．‎ ‎∴直线的方程为．‎ ‎（2），‎ 此时，．‎ ‎∴直线的方程为．‎ 考点：1、直线的方程；2、基本不等式．‎ ‎22．如图在矩形ABCD中，已知AB=3AD，E，F为AB的两个三等分点，AC，DF交于点G．‎ ‎（1）证明：EGDF；‎ ‎（2）设点E关于直线AC的对称点为，问点是否在直线DF上，并说明理由．‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）点在直线DF上 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）建立适当的平面直角坐标系，求出直线和的方程，利用斜率之间的关系证明；（2）求出点关于直线的对称点为的坐标，判断的坐标是否满足的方程即可做出证明．‎ 试题解析：（1）如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立直角坐标系，‎ 设AD长度为1，则可得，，，，．‎ 所以直线AC方程为，①‎ 直线DF方程为，②‎ 由①②解得交点．‎ ‎∴EG斜率，又DF斜率，‎ ‎∴，即有EGDF．‎ ‎（2）设点，则中点M，‎ 由题意得解得．‎ ‎∵，∴点在直线DF上．‎ 考点：直线的方程和两直线垂直的判定．‎