2021高考数学一轮复习课后限时集训13实际问题的函数建模文北师大版

2021高考数学一轮复习课后限时集训13实际问题的函数建模文北师大版

- 1 - 课后限时集训 13 实际问题的函数建模 建议用时：45 分钟 一、选择题 1．(2019·广东广州一模)如图，一高为 H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当 小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为 T.若鱼缸水深为 h 时，水流出所用时间 为 t，则函数 h＝f(t)的图像大致是(　　) B　[函数 h＝f(t)是关于 t 的减函数，故排除 C，D，一开始，h 随着时间的变化，变化 缓慢，水排出超过一半时，h 随着时间的变化，变化加快，故对应的图像为 B，故选 B.] 2．某新产品投放市场后第一个月销售 100 台，第二个月销售 200 台，第三个月销售 400 台，第四个月销售 790 台，则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之间 关系的是(　　) A．y＝100x　 B．y＝50x2－50x＋100 C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100 C　[根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数函数模型．故选 C.] 3．某商品价格前两年每年递增 20%，后两年每年递减 20%，则四年后的价格与原来价格 比较，变化的情况是(　　) A．减少 7.84% B．增加 7.84% C．减少 9.5% D．不增不减 A　[设某商品原来价格为 a，四年后价格为： a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a， - 2 - (0.921 6－1)a＝－0.078 4a， 所以四年后的价格与原来价格比较，减少 7.84%.] 4．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该 市这两年生产总值的年平均增长率为(　　) A. p＋q 2 B. p＋1q＋1－1 2 C. pq D. p＋1q＋1－1 D　[设年平均增长率为 x，原生产总值为 a，则 a(1＋p)·(1＋q)＝a(1＋x)2，解得 x＝ 1＋p1＋q－1，故选 D.] 5．某市家庭煤气的使用量 x(m3)和煤气费 f(x)(元)满足关系 f(x)＝Error!已知某家庭 2019 年前三个月的煤气费如下表： 月份 用气量 煤气费 一月份 4 m3 4 元 二月份 25 m3 14 元 三月份 35 m3 19 元 若四月份该家庭使用了 20 m3 的煤气，则其煤气费为(　　) A．11.5 元　　B．11 元 C．10.5 元　　D．10 元 A　[根据题意可知 f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19， 解得 A＝5，B＝ 1 2，C＝4，所以 f(x)＝Error!所以 f(20)＝4＋ 1 2(20－5)＝11.5，故选 A.] 二、填空题 6．一个工厂生产一种产品的总成本 y(单位：万元)与产量 x(单位：台)之间的函数关系 是 y＝0.1x2＋10x＋300(0＜x≤240，x∈N)，若每台产品的售价为 25 万元，生产的产品全部 卖出，则该工厂获得最大利润(利润＝销售收入－产品成本)时的产量是________台． 75　[由题意可知，利润 f(x)＝25x－y＝－0.1x2＋15x－300，(0＜x≤240，x∈N) ∴当 x＝75 时，f(x)取到最大值．] 7.有一批材料可以建成 200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形 场池，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面 积为________m2.(围墙厚度不计) 2 500　[设围成的矩形场地的长为 x m， 则宽为 200－x 4 m，则 S＝x· 200－x 4 ＝ 1 4(－x2＋200x)． - 3 - 当 x＝100 时，Smax＝2 500(m2)．] 8．已知投资 x 万元经销甲商品所获得的利润为 P＝ x 4；投资 x 万元经销乙商品所获得的 利润为 Q＝ a 2 x(a＞0)． 若投资 20 万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于 5 万 元，则 a 的最小值为________． 5　[设投资乙商品 x 万元(0≤x≤20)，则投资甲商品(20－x)万元． 利润分别为 Q＝ a 2 x(a＞0)，P＝ 20－x 4 ， 因为 P＋Q≥5,0≤x≤20 时恒成立， 则化简得 a x≥ x 2，0≤x≤20 时恒成立． (1)x＝0 时，a 为一切实数； (2)0＜x≤20 时，分离参数 a≥ x 2 ，0＜x≤20 时恒成立， 所以 a≥ 5，a 的最小值为 5.] 三、解答题 9．某种出口产品的关税税率为 t，市场价格 x(单位：千元)与市场供应量 p(单位：万件) 之间近似满足关系式：p＝2(1－kt)(x－b)2，其中 k，b 均为常数．当关税税率 t＝75%时，若 市场价格为 5 千元，则市场供应量约为 1 万件；若市场价格为 7 千元，则市场供应量约为 2 万件． (1)试确定 k，b 的值． (2)市场需求量 q(单位：万件)与市场价格 x(单位：千元)近似满足关系式：q＝2－x，当 p＝q 时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过 4 千元时，试确定关税税率的 最大值． [解](1)由已知得： Error!⇒Error! 解得 b＝5，k＝1. (2)当 p＝q 时，2 (1－t)(x－5)2 ＝2－x， 所以(1－t)(x－5)2＝－x⇒t＝1＋ x x－52＝1＋ 1 x＋ 25 x －10 . 而 f(x)＝x＋ 25 x 在(0,4]上单调递减， 所以当 x＝4 时，f(x)有最小值 41 4 ， - 4 - 故当 x＝4 时，关税税率的最大值为 500%. 10．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利 用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本 5 万元，每年 生产 x 万件，需另投入流动成本 C(x)万元，且 C(x)＝Error!每件产品售价为 10 元，经分析， 生产的产品当年能全部售完． (1)写出年利润 P(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－固 定成本－流动成本)． (2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解](1)因为每件产品售价为 10 元，所以 x 万件产品销售收入为 10x 万元． 依题意得，当 0＜x＜8 时，P(x)＝10x－(x2＋4x)－5＝－ 1 2x2＋6x－5； 当 x≥8 时，P(x)＝10x－(11x＋－35)－5＝30－(x＋ ). 所以 P(x)＝Error! (2)当 0＜x＜8 时，P(x)＝－ 1 2(x－6)2＋13，当 x＝6 时，P(x)取得最大值 P(6)＝13； 当 x≥8 时，P′(x)＝－1＋ 49 x2＜0，所以 P(x)为减函数，当 x＝8 时，P(x)取得最大值 P(8) ＝ 127 8 . 由 13＜ 127 8 可知当年产量为 8 万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利 润为 127 8 万元． 1．(2019·全国卷Ⅱ)2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背 面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术 问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿 着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行．L2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质 量为 M1，月球质量为 M2，地月距离为 R，L2 点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引 力定律，r 满足方程： M1 R＋r2＋ M2 r2＝(R＋r) M1 R3. 设 α＝ r R.由于 α 的值很小，因此在近似计算中 3α3＋3α4＋α5 1＋α2 ≈3α3，则 r 的近似值为 (　　) A. M2 M1R B. M2 2M1R - 5 - C. 3 3M2 M1 R D. 3 M2 3M1R D　[由 M1 R＋r2＋ M2 r2＝(R＋r) M1 R3，得 M1 (1＋ r R )＋ M2 (r R )＝(1＋ r R )M1.因为 α＝ r R，所以 M1 1＋α2＋ M2 α2＝ (1 ＋ α)M1 ， 得 3α3＋3α4＋α5 1＋α2 ＝ M2 M1. 由 3α3＋3α4＋α5 1＋α2 ≈3α3 ， 得 3α3≈ M2 M1，即 3(r R ) 3 ≈ M2 M1，所以 r≈3 M2 3M1·R，故选 D.] 2．某汽车销售公司在 A，B 两地销售同一种品牌的汽车，在 A 地的销售利润(单位：万元) 为 y1＝4.1x－0.1x2，在 B 地的销售利润(单位：万元)为 y2＝2x，其中 x 为销售量(单位：辆)， 若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是(　　) A．10.5 万元 B．11 万元 C．43 万元 D．43.025 万元 C　[设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x(0≤x≤16 且 x∈N)辆，则在 B 地销售该品牌的汽 车 (16 － x) 辆 ， 所 以 可 得 利 润 y ＝ 4.1x － 0.1x2 ＋ 2(16 － x) ＝ － 0.1x2 ＋ 2.1x ＋ 32 ＝ － 1 10·(x－ 21 2 ) 2 ＋ 1 10× 212 4 ＋32. 因为 x∈[0,16]且 x∈N， 所以当 x＝10 或 11 时，总利润取得最大值 43 万元．] 3．某工厂投资 100 万元开发新产品，第一年获利 10 万元，从第二年开始每年获利比上 一年增加 20%.若从第 n 年开始，前 n 年获利总和超过投入的 100 万元，则 n＝________.(参 考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 7　[由从第 n 年开始，前 n 年获利总和超过投入的 100 万元，得 10＋10×(1＋20%)1＋ 10×(1＋20%) 2 ＋…＋10(1＋20%) n － 1 ＞100，即 101－1.2n 1－1.2 ＞100，所以 n＞ lg 3 lg 1.2＝ lg 3 2lg 2＋lg 3－1≈ 0.477 1 0.079 1≈6.即从第 7 年开始，前 7 年获利总和超过投入的 100 万元．] 4．十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至 2020 年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山 区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户 100 家，他们均从事水果种植，2017 年底该村平均每户年纯收入为 1 万元．扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良， 提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人 数．从 2018 年初开始，若该村抽出 5x 户(x∈Z,1≤x≤9)从事水果包装、销售工作，经测算， 剩下从事水果种植的农户的年纯收入每户平均比上一年提高 x 20，而从事包装、销售的农户的 年纯收入每户平均为(3－ )万元(参考数据：1.13＝1.331,1.153≈1.521,1.23＝1.728)． (1)至 2020 年底，为使从事水果种植的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于 1 万 6 千 - 6 - 元)，至少要抽出多少户从事包装、销售工作？ (2)至 2018 年底，该村每户年均纯收入能否达到 1.35 万元？若能，请求出从事包装、销 售的户数；若不能，请说明理由． [解](1)至 2020 年底，种植户平均收入＝ 100－5x 100－5x ≥1.6，即(1＋ x 20) 3 ≥1.6，即 x≥20(3 1.6－1)． 由题中所给数据，知 1.15＜3 1.6＜1.2，所以 3＜20(3 1.6－1)＜4. 所以 x 的最小值为 4，此时 5x≥20，即至少要抽出 20 户从事包装、销售工作． (2)至 2018 年底，假设该村每户年均纯收入能达到 1.35 万元．每户的平均收入为 5x＋100－5x 100 ≥1.35，化简得 3x2－30x＋70≤0. 因为 x∈Z 且 1≤x≤9 ，所以 x∈{4,5,6}． 所以当从事包装、销售的户数达到 20 至 30 户时，能达到，否则，不能． 1．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃， 价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行 促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元．每笔订单顾客网上支付成功后， 李明会得到支付款的 80%. ①当 x＝10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的 最大值为________． 130　15　[①一次购买草莓和西瓜各一盒需付款 140 元，若 x＝10，则超过 120 元可少 付 10 元，故顾客实际需要支付 130 元． ②设顾客一次购买水果促销前总价为 y 元． 当 y＜120 时，不享受优惠，即 x＝0，此时 0.8y≥0.7y，满足要求． 当 y≥120 时，享受优惠 x 元，则 0.8(y－x)≥0.7y，得 x≤ 1 8y 恒成立．又∵y≥120，∴ 1 8y≥15，∴x≤15，即 x 的最大值为 15.] 2．据气象中心观察和预测：发生于沿海 M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度 v(单位：km/h)与时间 t(单位：h)的函数图像如图所示，过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂 线 l，梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积为时间 t 内台风所经过的路程 s(单位：km)． - 7 - (1)当 t＝4 时，求 s 的值； (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若 N 城位于 M 地正南方向，且距 M 地 650km，试判断这场台风是否会侵袭到 N 城，如 果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到 N 城？如果不会，请说明理由． [解](1)由图像可知，直线 OA 的方程是 v＝3t(0≤t≤10)，直线 BC 的方程是 v＝－2t＋ 70(20＜t≤35)． 当 t＝4 时，v＝12，所以 s＝ 1 2×4×12＝24. (2)当 0≤t≤10 时，s＝ 1 2×t×3t＝ 3 2t2； 当 10＜t≤20 时，s＝ 1 2×10×30＋(t－10)×30＝30t－150； 当 20＜t≤35 时，s＝150＋300＋ 1 2×(t－20)×(－2t＋70＋30)＝－t2＋70t－550. 综上可知，s 随 t 变化的规律是 s＝Error! (3)当 t∈[0,10]时，smax＝ 3 2×102＝150＜650， 当 t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450＜650， 当 t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650， 解得 t＝30 或 t＝40(舍去)， 即在台风发生 30 小时后将侵袭到 N 城．