数学理卷·2018届陕西省西安市八校（西安中学、西工大附中等）高三第一次联考（2018

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2018 届高三年级数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合  | lgA y y x  ，集合  | 1B x y x   ，则 A B  （ ） A． 0,1 B． 0,1 C． 0, D． ,1 2. 在 ABC 中，“ 0AB BC    ”是“ ABC 是钝角三角形”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分 也不必要条件 3. 若过点  3,0A 的直线l 与曲线 2 21 1x y   有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 （ ） A． 3, 3 B． 3, 3   C． 3 3,3 3      D． 3 3,3 3      4. 已知函数     cos 0f x x       在 3x  时取得最小值，则  f x 在 0, 上的 单调递增区间是（ ） A． ,3       B． 2,3 3       C. 20, 3      D． 2 ,3       5. 设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 6 7 5S S S  ，则满足 1 0n nS S   的正整数 n 的值 为（ ） A． 10 B． 11 C. 12 D．13 6. 已知实数 ,x y 满足 2 0 2 2 0 2 0 x y x y x y            ，则 3 2z x y   的最小值为（ ） A． -10 B． -4 C. 4 D．6 7. 在 ABC 中，已知 9 , 3, 3,2AB AC AC AB M N       、 分别是 BC 边上的三等分点， 则 AM AN    的值是（ ） A．11 2 B． 13 2 C. 6 D．7 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ） A． 4 3  B． 5 3  C. 22 3  D． 24 3  9.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善 的算法.所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方 法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正 3072 边形，如图所示是利用 刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的 24n  ,则 p 的值可以是 （ ）（参考数据： 0 0 0sin15 0.2588,sin 7.5 0.1305,sin3.75 0.0654   ） A．2.6 B． 3 C. 3.1 D．3.14 10. 已知双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     与抛物线 2 8y x 有一个公共的焦点 F ，且两曲 线的一个交点为 P ，若 5PF  ，则双曲线的离心率为（ ） A． 5 B． 3 C. 2 3 3 D．2 11. 已知球的直径 4,SC A B 、 是该球球面上的两点， 030ASC BSC    ，则棱锥 S ABC 的体积最大为（ ） A． 2 B． 8 3 C. 3 D． 2 3 12. 已知函数   2lnf x x ax  ，若  f x 恰有两个不同的零点，则 a 的取值范围为（ ） A． 1 ,2e     B． 1 ,2e    C. 10, 2e      D． 10, 2e      第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.若  ,a bi a b Ri   与 22 i 互为共轭复数，则 a b  ． 14.在 72x x     的展开式中， 3x 的系数是 ． 15.曲线 2lny x 在点 2e ,4 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ． 16.数列 na 中， nS 为数列 na 的前 n 项和，且   2 1 1 21, 22 n n n Sa a nS     ，则这个数列前 n 项和公式 nS  ． 三、解答题 （本大题共 7 小题，共 70 分.其中 17-21 题必作；22、23 题选作. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数    22 3sin cos 2cos 1f x x x x x R    . （1）求函数  f x 的最小正周期及在区间 0, 2      上的最大值和最小值； （2）若  0 0 6 , ,5 4 2f x x        ，求 0cos2x 的值. 18. 某工厂有 25 周岁以上（含 25 周岁）工人 300 名，25 周岁以下工人 200 名.为了研究工 人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统 计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25 周岁以上（含 25 周岁）”和“25 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组：          50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 ，分别加以统计，得到如图所示的频率分布 直方图. （1）根据“25 周岁以上组”的频率分布直方图，求 25 周岁以上组工人日平均生产件数的 中位数的估计值（四舍五入保留整数）； （2）从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名“25 周 岁以下组”工人的概率； （3）规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成 2 2 列联 表，并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在年龄组有关”？ 生产能手 非生产能手 合计 25 周岁以上组 25 周岁以下组 合计  2P k  0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 附：        2 2 n ad bc a b c d a c b d       19.已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角 形，俯视图为直角梯形.（1） M 为 AB 中点，在线段CB 上是否存在一点 P ，使得 / /MP 平面 1CNB ？若存在，求出 BP 的长；若不存在，请说明理由； （2）求二面角 1 1C NB C  的余弦值. 20. 已知直线 : 1l x my  过椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   的右焦点 F ，抛物线 2 4 3x y 的焦点 为椭圆C 的上顶点，且l 交椭圆C 于 A B、 两点，点 A F B、 、 在直线 4x  上的射影依次 为 D K E、 、 . （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l 交 y 轴于点 M ，且 1 2,MA AF MB BF      ，当 m 变化时，证明： 1 2  为定值； （3）当 m 变化时，直线 AE 与 BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证 明；否则，说明理由. 21. 已知函数  f x x ，函数      sing x f x x R    是区间 1,1 上的减函数. （1）求  的最大值； （2）若   2 1g x t t   在 1,1 上恒成立，求t 的取值范围； （3）讨论关于 x 的方程   2ln 2x x ex mf x    的根的个数. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.以平面直角坐标系的坐标原点O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系 的长度为长度单位建立极坐标系.已知直线 l 的参数方程为 2 3 1 2 x t y t       （t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 4cos   . （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于 A B、 两点，求 AB . 23. 已知函数  f x 和  g x 的图象关于原点对称，且   2 2f x x x  . （1）解关于 x 的不等式     1g x f x x   ； （2）如果对 x R  ，不等式     1g x c f x x    成立，求实数 c 的取值范围. 试卷答案 一、选择题 1-5: DADAC 6-10: ABBCD 11、12：AC 二、填空题 13. -7 14. 84 15. 2e 16. 1 2 1n  三、解答题 17.解：（1）∵      23 2sin cos 2cos 1 3sin 2 cos2 2sin 2 6f x x x x x x x           ， ∴函数  f x 的最小正周期为 ， 又∵ 0, 2x      ，∴ 72 ,6 6 6x         ， ∴ 1sin 2 ,16 2x             ， ∴函数  f x 在区间 0, 2      上的最大值为 2，最小值为-1. （2）∵  0 0 62sin 2 6 5f x x       ， ∴ 0 3sin 2 6 5x      ， 又∵ 0 ,4 2x       ， ∴ 0 2 72 ,6 3 6x         ， ∴ 2 0 0 4cos 2 1 sin 26 6 5x x                 ， ∴ 0 0 0 0 3 4 3cos2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin6 6 6 6 6 6 10x x x x                                . 18.解：由于采用分层抽样，则“25 周岁以上”应抽取 300100 60300 200   名，“25 周岁 以下”应抽取 200100 40300 200   名. （1）由“25 周岁以上组”的频率分布直方图可知，其中位数为 0.5 0.05 0.35 2070 10 70 730.35 7      ， 综上，25 周岁以上组工人日平均生产件数的中位数为 73 件. （2）由频率分布直方图可知，日平均生产件数不足 60 件的工人中，25 周岁以上共 60 0.005 10 3   名，设其分别为 1 2 3, ,m m m ；25 周岁以下工人共 40 0.005 10 2   名， 设其分别为 1 2,n n . 记“至少抽到一名 25 周岁以下工人”为事件 A . 所有基本事件分别为                    1 2 1 3 1 1 1 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,m m m m m n m n m m m n m n m n m n n n ，共 10 个；事件 A 包含的基本事件共 7 个. 由于事件 A 符合古典概型，则   7 10P A  ； （3）由频率分布直方图可知，25 周岁以上的“生产能手”共  60 0.02 0.05 10 15      名，25 周岁以下的“生产能手”共  40 0.0325 0.005 10 15      名，则 2 2 列联表如 图所示. 生产能手 非生产能手 合计 25 周岁以上组 15 45 60 25 周岁以下组 15 25 40 合计 30 70 100 所以  2 2 100 15 25 15 45 25 1.786 2.70660 40 30 70 14           ， 综上，没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”. 19.解： 如图，建立空间直角坐标系 B xyz ，则由该几何体的三视图可知：            1 14,0,0 0,0,0 0,0,4 4,4,0 0,8,0 0,8,4A B C N B C、 、 、 、 、 . （1）设平面 1CNB 的法向量  , ,n x y z ， ∵    14, 4,4 , 4,4,0NC NB      ， ∴ 1 4 4 4 0 4 4 0 NC n x y z NB n x y                 ， ∴令 1x  ，可解得平面 1CNB 的一个法向量  1,1,2n  ， 设   0,0, 0 4P a a  ，由于  2,0,0M ，则  2,0,PM a  ， 又∵ / /MP 平面 1CNB ， ∴ 2 2 0PM n a     ，即 1a  ， ∴在线段CB 上存在一点 P ，使得 / /MP 平面 1CNB ，此时 1BP  ； （2）设平面 1 1C NB 的法向量  , ,m x y z   ， ∵    1 14,4,4 , 4,4,0NC NB     ， ∴ 1 4 4 4 0 4 4 0 NC n x y z NB n x y                    ∴令 1x  ，可解得平面 1 1C NB 的一个法向量  1,1,0m  ， ∴ 1 1 3cos , 36 2 m nm n m n          . 由图可知，所求二面角为锐角，即二面角 1 1C NB C  余弦值为 3 3 . 20.解：（1）∵ : 1l x my  过椭圆C 的右焦点 F ， ∴右焦点  1,0F ，即 2 1c  ， 又∵ 2 4 3x y 的焦点 0, 3 为椭圆C 的上顶点， ∴ 3b  ，即 2 2 2 23 4b a b c   、 ， ∴椭圆C 的方程 2 2 14 3 x y  ； （2）由 2 2 1 3 4 12 0 x my x y       得， 2 23 4 6 9 0m y my    ， 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 1 2 1 22 2 6 9 3 4 3 4 my y y ym m       、 ， ∵ 1 2 1, , 0,MA AF MB BF M m             ， ∴    1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1, 1 , y , , 1 ,x y x x y x ym m                   ， ∴ 1 2 1 2 1 11 , 1my my        ， ∴ 1 2 1 2 2 2 1 2 6 9 82 2 /3 4 3 4 3 y y m m my y m m             ， 综上所述，当 m 变化时， 1 2  的值为定值 8 3  ； （3）当 0m  时，直线l x 轴，则 ABED 为矩形，易知 AE 与 BD 是相交于点 5 ,02N      ， 猜想 AE 与 BD 相交于点 5 ,02N      ，证明如下： ∵ 1 1 1 1 2 5 3 3, , ,2 2 2AN x y my y NE y                        ， ∵    1 2 1 1 2 1 2 2 2 3 3 3 3 6 9 02 2 2 2 3 4 3 4 mmy y y y y my y mm m                            ， ∴ / /AN NE   ，即 A N E、 、 三点共线. 同理可得 B N D、 、 三点共线， 则猜想成立，即当 m 变化时， AE 与 BD 相交于定点 5 ,02N      . 21.解：（1）∵  f x x ， ∴     sin sing x f x x x x     ， 又∵  g x 在 1,1 上单调递减， ∴   cos 0g x x    在 1,1 恒成立， ∴  mincos 1x     ， ∴故  的最大值为-1； （2）∵    max 1 sin1g x g        ， ∴只需 2 1 sin1t t      在 1,1 上恒成立， 既   21 sin1 1 0 1t t        ， 令      21 sin1 1 0 1h t t          ， 则需则 2 1 0 sin1 0 t t t       ， 又∵ 2 sin1 0t t   恒成立，∴ 1t   ； （3）由于   2ln ln 2x x x ex mf x x     ，令     2 1 2 ln , 2xf x f x x ex mx     ， ∵  1 2 1 ln xf x x   ， ∴当  0,x e 时，  1 0f x  ，即  1f x 单调递增； 当  ,x e  时，  1 0f x  ，即  1f x 单调递减， ∴    1 1max 1f x f e e     ， 又∵    2 2 2f x x e m e    ， ∴当 2 1m e e   ，即 2 1m e e   时，方程无解； 当 2 1m e e   ，即 2 1m e e   时，方程有一个解； 当 2 1m e e   ，即 2 1m e e   时，方程有两个解. 22.（1）∵由 2sin 4cos   ，即 2 2sin 4 cos    ， ∴曲线C 的直角坐标方程为 2 4y x ； （2）∵l 的参数方程为代入 2 4y x ，整理得 24 8 7 0t t   ， ∴ 1 2 1 2 72, 4t t t t     ， ∴    2 22 1 2 1 2 1 23 2 13 4 13 4 7 143AB t t t t t t            . 23.解：（1）∵函数  f x 和  g x 的图象关于原点对称， ∴     2 2g x f x x x      ， ∴ 原不等式可化为 21 2x x  ，即 21 2x x  或 21 2x x   ， 解得不等式的解集为 11, 2     ； （2）不等式     1g x c f x x    可化为： 21 2x x c   ， 即 2 22 1 2x c x x c      ， 即     2 2 2 1 0 2 1 0 x x c x x c          ，则只需     1 8 1 0 1 8 1 0 c c       ， 解得， c 的取值范围是 9, 8      .