高中数学必修3第3章3_3_1同步训练及解析

高中数学必修3第3章3_3_1同步训练及解析

人教 A 高中数学必修 3 同步训练 1．面积为 S 的△ABC 中，D 是 BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么点落在△ABD 内 的概率为(　　) A.1 2　　　　　　　　　 B.1 3 C.1 4 D.1 6 解析：选 A.向△ABC 内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD 内为事 件 M，则 P(M)＝ △ ABD的面积 △ ABC的面积＝1 2. 2．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为 30 秒，黄灯亮的时间为 5 秒，绿灯亮的时间为 45 秒．当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是(　　) A. 1 12 B.3 8 C. 1 16 D.5 6 解析：选 C.到达路口看到红灯或黄灯或绿灯亮是一次试验，则该试验的结果有无限个，属 于几何概型．设看到黄灯亮为事件 A，构成事件 A 的测度是 5，试验的全部结果构成的区域 测度是 30＋5＋45＝80，则 P(A)＝ 5 80＝ 1 16. 3．在半径为 2 的球 O 内任取一点 P，则|OP|>1 的概率为(　　) A.7 8 B.5 6 C.3 4 D.1 2 解析：选 A.V 球＝4 3π×23＝32 3 π， 当|OP|≤1 时，球的体积为 4 3π×13＝4 3π， |OP|>1 的概率为 P＝1－ 4 3π 4 3π × 23 ＝7 8. 4．在区间[－1，2]上随机取一个数 x，则|x|≤1 的概率为________． 解析：由|x|≤1，得－1≤x≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率 P＝ 区间[－1，1]的长度 区间[－1，2]的长度 ＝2 3. 答案：2 3 1．先将一个棱长为 3 的正方体木块的六个面分别涂上颜色，再将该正方体均匀切割成棱长 为 1 的小正方体，现从切好的小正方体中任取一块，则所得正方体的六个面均没有涂色的 概率是(　　) A.1 4　　　　　　　　　 B.1 6 C.1 9 D. 1 27 解析：选 D.由题意，正方体被切割成 27 块，六个面均没有涂色的只有最中间那一块，则其 概率为 1 27.故选 D. 2．在 2010 年山东省召开的全国糖茶博览会期间，4 路公交车由原来的每 15 分钟一班改为 现在的每 10 分钟一班，在车站停 1 分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是(　　) A. 1 10 B.1 9 C. 1 11 D. 9 10 解析：选 C.记“乘客到达站台立即乘上车”为事件 A，则 A 所占时间区域长度为 1 min， 而整个区域的时间长度为 11 min，故由几何概型的概率公式，得 P(A)＝ 1 11. 3．x 是[－4,4]上的一个随机数，则 x 满足 x2＋x－2≤0 的概率是(　　) A.1 2 B.3 8 C.5 8 D．0 解析：选 B.求出 x2＋x－2≤0 的解集为[－2,1]，区间[－2，1]的长度为 3，区间[－4,4]的长 度为 8，长度之比即是所求的概率为3 8.故选 B. 4．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域(如图所示)，并涂上四种颜色，中 间装个指针，使其可以自由转动，则对指针停留的可能性下列说法正确的是(　　) A．一样大 B．蓝白区域大 C．红黄区域大 D．由指针转动圈数决定 解析：选 B.指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，显然，蓝、白区域 大．故选 B. 5．设 A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与 A 连接，则弦长超过半径的概率为 (　　) A.1 2 B.1 3 C.3 4 D.2 3 解析：选 D.如图所示，图中 AB＝AC＝OB(半径)，则弦长超过半径，即是动点落在阴影部 分所在的扇形圆弧上，由几何概型的概率计算公式，得 P＝ 240πOB 180 2πOB ＝2 3.故选 D. 6．在面积为 S 的△ABC 的内部任取一点 P，则△PBC 的面积小于S 2的概率为(　　) A.1 4 B.1 2 C.3 4 D.2 3 解析：选 C.EF 为△ABC 的中位线．当点 P 位于四边形 BEFC 内时，S△PBC 的面积小于S 2， 又∵S△AEF＝1 4S，SBEFC＝3 4S. ∴△PBC 的面积小于S 2的概率为 P＝ 3 4S S ＝3 4. 7. 如图，在平面直角坐标系内，射线 OT 落在 60°角的终边上，任作一条射线 OA，则射线 OA 落在∠xOT 内的概率为________． 解：记“射线 OA 落在∠xOT 内”为事件 A.构成事件 A 的区域测度是 60°，所有基本事件 对应的区域测度是 360°，所以由几何概型的概率公式得 P(A)＝ 60° 360°＝1 6. 答案：1 6 8．有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱 内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________． 解析：先求点 P 到点 O 的距离小于 1 或等于 1 的概率，圆柱的体积 V 圆柱＝π×12×2＝2π， 以 O 为球心，1 为半径且在圆柱内部的半球的体积 V 半球＝1 2×4 3π×13＝2 3π.则点 P 到点 O 的 距离小于 1 或等于 1 的概率为： 2 3π 2π＝1 3，故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为：1－1 3＝2 3. 答案：2 3 9．如图，正方形 OABC 的边长为 2. (1)在其四边或内部取点 P(x，y)，且 x，y∈Z，则事件“|OP|>1”的概率________． (2)在其内部取点 P(x，y)，且 x，y∈R，则事件“△POA，△PAB，△PBC，△PCO 的面积 均大于2 3”的概率是________． 解析：(1)在正方形的四边和内部取点，P(x，y)且 x，y∈Z，所有可能的事件是(0,0)，(0,1)， (0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，其中满足|OP|>1 的事件是(0,2)，(1,1)，(1,2)， (2,0)，(2,1)，(2,2)，所以满足|OP|>1 的概率为2 3. (2)在正方形内部取点，其总的事件的包含的区域面积为 4，由于各边长为 2，所以要使△POA， △PAB，△PBC，△PCO 的面积均大于2 3，应该三角形的高大于2 3，所以这个区域为每个边 长从两端各去掉2 3后剩余的正方形，其面积为2 3×2 3＝4 9，所以满足条件的概率为 4 9 4＝1 9. 答案：(1)2 3　(2)1 9 10．平面上画了两条平行且相距 2a 的平行线．把一枚半径 r

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