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文档介绍
2017-2018学年四川省成都市“五校联考”高二上学期期中数学试题(理科)(解析版)
2017-2018学年四川省成都市“五校联考”高二(上)期中数学试卷(理科) 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分) 1.(5分)如图所示,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,则点B1的坐标是( ) A.(1,0,0) B.(1,0,1) C.(1,1,1) D.(1,1,0) 2.(5分)双曲线=1的渐近线方程是( ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 3.(5分)与直线l:3x﹣5y+4=0关于原点对称的直线的方程为( ) A.3x+5y+4=0 B.3x﹣5y﹣4=0 C.5x﹣3y+4=0 D.5x+3y+4=0 4.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=3x﹣4y的最大值和最小值分别为( ) A.3,﹣11 B.﹣3,﹣11 C.11,﹣3 D.11,3 5.(5分)设点A(﹣2,3)、B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB有交点,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.(5分)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 7.(5分)如果椭圆+=1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) A.x﹣2y=0 B.x+2y﹣4=0 C.2x+3y﹣12=0 D.x+2y﹣8=0 8.(5分)一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y﹣2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.﹣或﹣ B.﹣或﹣ C.﹣或﹣ D.﹣或﹣ 9.(5分)点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于( ) A. B. C. D. 10.(5分)以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①双曲线与椭圆有相同的焦点; ②以抛物线的焦点弦(过焦点的直线截抛物线所得的线段)为直径的圆与抛物线的准线是相切的; ③设A、B为两个定点,k为常数,若|PA|﹣|PB|=k,则动点P的轨迹为双曲线; ④过定圆C上一点A作圆的动弦AB,O为原点,若则动点P的轨迹为椭圆.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.(5分)己知直线l1:4x﹣3y+6=0和直线l2:x=﹣1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( ) A.2 B.3 C. D. 12.(5分)已知圆C的方程(x﹣1)2+y2=1,P是椭圆 =1上一点,过P作圆的两条切线,切点为A、B,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分,把答案填在题中横线上) 13.(5分)若三点P(1,1),A(2,﹣4),B(x,﹣9)共线,则x= . 14.(5分)不论k为何实数,直线(2k﹣1)x﹣(k+3)y﹣(k﹣11)=0恒通过一个定点,这个定点的坐标是 . 15.(5分)已知直线L经过点P(﹣4,﹣3),且被圆(x+1)2+(y+2)2=25截得的弦长为8,则直线L的方程是 . 16.(5分)已知A(1,2),B(﹣1,2),动点P满足,若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是 . 三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知直线l1:2x+y+2=0,l2:mx+4y+n=0 (1)若l1⊥l2,求m的值; (2)若l1∥l2,且l1与l2间的距离为,求m,n的值. 18.(12分)某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载若干件新产品A、B,该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排,有关数据如表: 每件产品A 每件产品B 研制成本、搭载 费用之和(万元) 20 30 计划最大资金额 300万元 产品重量(千克) 10 5 最大搭载重量110千克 预计收益(万元) 80 60 分别用x,y表示搭载新产品A,B的件数.总收益用Z表示 (Ⅰ)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (Ⅱ)问分别搭载新产品A、B各多少件,才能使总预计收益达到最大?并求出此最大收益. 19.(12分)已知圆心在直线y=4x上,且与直线l:x+y﹣2=0相切于点P(1,1) (Ⅰ)求圆的方程 (II)直线kx﹣y+3=0与该圆相交于A、B两点,若点M在圆上,且有向量(O为坐标原点),求实数k. 20.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0),上的点M(1,m)到其焦点F的距离为2, (Ⅰ)求C的方程;并求其准线方程; (II)已知A (1,﹣2),是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线L,使得直线L与抛物线C有公共点,且直线OA与L的距离等于?若存在,求直线L的方程;若不存在,说明理由. 21.(12分)已知椭圆E:的左、右焦点分别为F1、F2,离心率,P为椭圆E上的任意一点(不含长轴端点),且△PF1F2面积的最大值为1. (Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)已知直x﹣y+m=0与椭圆E交于不同的两点A,B,且线AB的中点不在圆 内,求m的取值范围. 22.(12分)如图,O为坐标原点,椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1;双曲线C2:﹣=1的左、右焦点分别为F3,F4,离心率为e2,已知e1e2=,且|F2F4|=﹣1. (Ⅰ)求C1、C2的方程; (Ⅱ)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值. 2017-2018学年四川省成都市“五校联考”高二(上)期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分) 1.(5分)如图所示,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,则点B1的坐标是( ) A.(1,0,0) B.(1,0,1) C.(1,1,1) D.(1,1,0) 【分析】由正方体的棱长为1,结合题中的坐标系求出点B1在x轴、y轴、z轴上射影点的坐标,即可得到点B1的坐标. 【解答】解:根据题意,可得 ∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1, ∴点B1在x轴上的射影点为A(1,0,0),可得B1的横坐标为1;点B1在y轴上的射影点为C(0,1,0), 可得B1的纵坐标为1;点B1在z轴上的射影点为D1(0,0,1),可得B1的竖坐标为1. 由此可得点B1的坐标是(1,1,1). 故选:C 【点评】本题给出坐标系和正方体的棱长,求定点B1的坐标.着重考查了空间坐标系的定义和正方体的性质等知识,属于基础题. 2.(5分)双曲线=1的渐近线方程是( ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 【分析】根据双曲线的渐近线方程的求法,直接求解即可. 【解答】解:双曲线的渐近线方程是,即. 故选C. 【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法,双曲线的基本性质的应用,考查计算能力. 3.(5分)与直线l:3x﹣5y+4=0关于原点对称的直线的方程为( ) A.3x+5y+4=0 B.3x﹣5y﹣4=0 C.5x﹣3y+4=0 D.5x+3y+4=0 【分析】令坐标(x,y)关于原点对称为(﹣x,﹣y),带入直线方程可得答案. 【解答】解:直线l:3x﹣5y+4=0关于原点对称, 设坐标(x,y)是所求直线方程上的点, 那么:坐标(x,y)关于原点对称为(﹣x,﹣y)在直线l上, 则有:﹣3x+5y+4=0, 化简可得:3x﹣5y﹣4=0. 故选B. 【点评】本题考查了直线关于原点对称直线方程的求法,属于基础题. 4.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=3x﹣4y的最大值和最小值分别为( ) A.3,﹣11 B.﹣3,﹣11 C.11,﹣3 D.11,3 【分析】①作出可行域②z为目标函数纵截距负四倍③画直线3x﹣4y=0,平移直线观察最值. 【解答】解:作出满足约束条件的可行域,如右图所示, 可知当直线z=3x﹣4y平移到点(5,3)时, 目标函数z=3x﹣4y取得最大值3; 当直线z=3x﹣4y平移到点(3,5)时, 目标函数z=3x﹣4y取得最小值﹣11,故选A. 【点评】本题考查不等式中的线性规划知识,画出平面区域与正确理解目标函数z=3x﹣4y的几何意义是解答好本题的关键. 5.(5分)设点A(﹣2,3)、B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB有交点,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【分析】由题意画出图形,数形结合得答案. 【解答】解:∵直线ax+y+2=0过定点(0,﹣2),斜率为﹣a, 如图, , ∴若直线ax+y+2=0与线段AB有交点, 则﹣a或﹣a. 即a或. ∴答案为:. 故选:D. 【点评】本题考查了直线系方程的应用,考查了数形结合的解题思想方法,是基础题. 6.(5分)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【分析】根据线段AN的垂直平分线交MA于点P可知|PA|=|PN|,进而可知PM|+|PA|=6,根据椭圆的定义可知点P的轨迹为椭圆. 【解答】解:∵|PA|=|PN|,∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|MA|=6>|MN|. 故动点P的轨迹是椭圆. 故选B 【点评】本题主要考查了用定义法求轨迹方程的问题.属基础题. 7.(5分)如果椭圆+=1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) A.x﹣2y=0 B.x+2y﹣4=0 C.2x+3y﹣12=0 D.x+2y﹣8=0 【分析】设这条弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则,两式相减再变形得,又由弦中点为(4,2),可得k= ,由此可求出这条弦所在的直线方程. 【解答】解:设这条弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k, 则, 两式相减再变形得 又弦中点为(4,2),故k=, 故这条弦所在的直线方程y﹣2=(x﹣4),整理得x+2y﹣8=0; 故选D. 【点评】用“点差法”解题是圆锥曲线问题中常用的方法. 8.(5分)一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y﹣2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.﹣或﹣ B.﹣或﹣ C.﹣或﹣ D.﹣或﹣ 【分析】点A(﹣2,﹣3)关于y轴的对称点为A′(2,﹣3),可设反射光线所在直线的方程为:y+3=k(x﹣2),利用直线与圆相切的性质即可得出. 【解答】解:点A(﹣2,﹣3)关于y轴的对称点为A′(2,﹣3), 故可设反射光线所在直线的方程为:y+3=k(x﹣2),化为kx﹣y﹣2k﹣3=0. ∵反射光线与圆(x+3)2+(y﹣2)2=1相切, ∴圆心(﹣3,2)到直线的距离d==1, 化为24k2+50k+24=0, ∴k=或﹣. 故选:D. 【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点,考查了计算能力,属于中档题. 9.(5分)点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于( ) A. B. C. D. 【分析】先根据条件求出店A的坐标,再结合点A到抛物线C1的准线的距离为p;得到 =,再代入离心率计算公式即可得到答案. 【解答】解:取双曲线的其中一条渐近线:y=x, 联立⇒; 故A(,). ∵点A到抛物线C1的准线的距离为p, ∴+=p; ∴=. ∴双曲线C2的离心率e===. 故选:C. 【点评】本题考查双曲线的性质及其方程.双曲线的离心率e和渐近线的斜率之间有关系. 10.(5分)以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①双曲线与椭圆有相同的焦点; ②以抛物线的焦点弦(过焦点的直线截抛物线所得的线段)为直径的圆与抛物线的准线是相切的; ③设A、B为两个定点,k为常数,若|PA|﹣|PB|=k,则动点P的轨迹为双曲线; ④过定圆C上一点A作圆的动弦AB,O为原点,若则动点P的轨迹为椭圆.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【分析】对4个选项分别进行判断,即可得出结论. 【解答】解:①双曲线的焦点坐标为(±5,0), 椭圆的焦点坐标为(±5,0), 所以双曲线与椭圆有相同的焦点,正确; ②不妨设抛物线为标准抛物线:y2=2px (p>0 ),即抛物线位于Y轴的右侧,以X轴为对称轴. 设过焦点的弦为PQ,PQ的中点是M,M到准线的距离是d. 而P到准线的距离d1=|PF|,Q到准线的距离d2=|QF|. 又M到准线的距离d是梯形的中位线,故有d=, 由抛物线的定义可得:==半径. 所以圆心M到准线的距离等于半径, 所以圆与准线是相切,正确. ③平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数k(k<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线, 当0<k<|AB|时是双曲线的一支,当k=|AB|时,表示射线,所以不正确; ④设定圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,点A(m,n),P(x,y), 由则可知P为AB的中点,则B(2x﹣m,2y﹣n), 因为AB为圆的动弦,所以B在已知圆上, 把B的坐标代入圆x2+y2+Dx+Ey+F=0得到P的轨迹仍为圆, 当B与A重合时AB不是弦,所以点A除外,所以不正确. 故选B. 【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征,同时考查了椭圆与双曲线的性质,考查的知识点较多,属于中档题. 11.(5分)己知直线l1:4x﹣3y+6=0和直线l2:x=﹣1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( ) A.2 B.3 C. D. 【分析】由x=﹣1是抛物线y2=4x的准线,推导出点P到直线l1:4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2:x=﹣1的距离之和的最小值. 【解答】解:∵x=﹣1是抛物线y2=4x的准线, ∴P到x=﹣1的距离等于PF, ∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0) ∴过P作4x﹣3y+6=0垂线,和抛物线的交点就是P, ∴点P到直线l1:4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2:x=﹣1的距离之和的最小值 就是F(1,0)到直线4x﹣3y+6=0距离, ∴最小值==2. 故选:A. 【点评】本题考查抛物线性质的应用,是中档题,解题时要熟练掌握抛物线的性质,注意等价转化思想的合理运用. 12.(5分)已知圆C的方程(x﹣1)2+y2=1,P是椭圆 =1上一点,过P作圆的两条切线,切点为A、B,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【分析】由圆切线的性质,即与圆心切点连线垂直设出一个角,通过解直角三角形求出PA,PB的长;利用向量的数量积公式表示出,利用三角函数的二倍角公式化简函数,通过换元,再利用基本不等式求出最值. 【解答】解:设PA与PB的夹角为2α, 则|PA|=PB|=, ∴y==||||cos2α=•cos2α =•cos2α. 记cos2α=u,则y==﹣3+(1﹣u)+≥2﹣3, ∵P在椭圆的左顶点时,sinα=,∴cos2α=, ∴的最大值为=, ∴的范围为[2﹣3,], 故选:A. 【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了圆的切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值,属于中档题. 二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分,把答案填在题中横线上) 13.(5分)若三点P(1,1),A(2,﹣4),B(x,﹣9)共线,则x= 3 . 【分析】三点共线等价于以三点为起点终点的两个向量共线,利用向量坐标公式求出两个向量的坐标,利用向量共线的充要条件列出方程求出x. 【解答】解:三点P(1,1),A(2,﹣4),B(x,﹣9)共线, ,, ⇒1×(﹣10)=﹣5(x﹣1)⇒x=3 故答案为3 【点评】本题考查向量坐标的求法、考查向量共线的坐标形式的充要条件:坐标交叉相乘相等. 14.(5分)不论k为何实数,直线(2k﹣1)x﹣(k+3)y﹣(k﹣11)=0恒通过一个定点,这个定点的坐标是 (2,3) . 【分析】直线方程即 k(2x+y﹣1)+(﹣x+3y+11)=0,一定经过2x﹣y﹣1=0和﹣x﹣3y+11=0 的交点,联立方程组可求定点的坐标. 【解答】解:直线(2k﹣1)x﹣(k+3)y﹣(k﹣11)=0 即 k(2x﹣y﹣1)+(﹣x﹣3y+11)=0, 根据k的任意性可得 , 解得, ∴不论k取什么实数时,直线(2k﹣1)x+(k+3)y﹣(k﹣11)=0都经过一个定点(2,3). 故答案为:(2,3). 【点评】本题考查经过两直线交点的直线系方程形式,直线 k(ax+by+c)+(mx+ny+p)=0 表示过ax+by+c=0和mx+ny+p=0的交点的一组相交直线,但不包括ax+by+c=0这一条. 15.(5分)已知直线L经过点P(﹣4,﹣3),且被圆(x+1)2+(y+2)2=25截得的弦长为8,则直线L的方程是 x=﹣4和4x+3y+25=0 . 【分析】求出圆心与半径,利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理,求出弦心距,通过直线的斜率存在与不存在,利用圆心到直线的距离求解,求出直线的方程即可. 【解答】解:圆心(﹣1,﹣2),半径r=5,弦长m=8, 设弦心距是d, 则由勾股定理, r2=d2+()2 d=3, 若l斜率不存在,直线是x=﹣4, 圆心和他的距离是﹣3,符合题意, 若l斜率存在,设直线方程y+3=k(x+4), 即kx﹣y+4k﹣3=0, 则d==3, 即9k2﹣6k+1=9k2+9, 解得k=﹣,所以所求直线方程为x+4=0和4x+3y+25=0, 故答案为:x=﹣4和4x+3y+25=0. 【点评】本题是基础题,考查直线与圆的位置关系,考查圆心到直线的距离公式的应用,注意直线的斜率不存在的情况,容易疏忽,产生错误. 16.(5分)已知A(1,2),B(﹣1,2),动点P满足,若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是 (1,2) . 【分析】设P(x,y),由动点P满足AP⊥BP,即有x2+(y﹣2)2=1,求出双曲线的渐近线方程,运用圆心到直线的距离大于半径,得到3a2>b2,再由a,b,c的关系和离心率公式,即可得到范围. 【解答】解:设P(x,y),由于点A(1,2)、B(﹣1,2), 动点P满足, 则(x﹣1,y﹣2)•(x+1)(y﹣2)=0, 即(x﹣1)(x+1)+(y﹣2)2=0, 即有x2+(y﹣2)2=1, 设双曲线﹣=1的一条渐近线为y=x, 由于这条渐近线与动点P的轨迹没有公共点, 则d=>1, 即有3a2>b2,由于b2=c2﹣a2, 则c2<4a2,即c<2a,则e=<2, 由于e>1,则有1<e<2. 故答案为:(1,2). 【点评】本题考查双曲线的方程和性质,考查直线和圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,考查运算能力,属于中档题. 三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知直线l1:2x+y+2=0,l2:mx+4y+n=0 (1)若l1⊥l2,求m的值; (2)若l1∥l2,且l1与l2间的距离为,求m,n的值. 【分析】(1)由l1⊥l2,可得﹣2×=﹣1,解得m. (2)l1∥l2,则,解得m.在直线l1上取点(0,﹣2),由l1与l2间的距离为,可得:=,解得n. 【解答】解:(1)∵l1⊥l2,∴﹣2×=﹣1,解得m=﹣2. (2)l1∥l2,则,解得m=8. 在直线l1上取点(0,﹣2),由l1与l2间的距离为, ∴=,解得n=18,或﹣2.满足条件. ∴m=8,n=18,或﹣2. 【点评】本题考查了相互垂直与平行的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 18.(12分)某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载若干件新产品A、B,该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排,有关数据如表: 每件产品A 每件产品B 研制成本、搭载 费用之和(万元) 20 30 计划最大资金额 300万元 产品重量(千克) 10 5 最大搭载重量110千克 预计收益(万元) 80 60 分别用x,y表示搭载新产品A,B的件数.总收益用Z表示 (Ⅰ)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (Ⅱ)问分别搭载新产品A、B各多少件,才能使总预计收益达到最大?并求出此最大收益. 【分析】设搭载的产品中A有x件,产品B有y件,得到关于x,y的不等式组,即约束条件和目标函数,然后根据线行规划的方法不难得到结论 【解答】解:设搭载产品Ax件,产品By件, 预计总收益z=80x+60y. 则,作出可行域,如图. 作出直线l0:4x+3y=0并平移,由图象得, 当直线经过M点时z能取得最大值, 联立,解得M(9,4). ∴zmax=80×9+60×4=960(万元). 答:搭载产品A9件,产品B4件,可使得总预计收益最大,为960万元. 【点评】本题考查简单的线性规划,考查简单的数学建模思想方法与数形结合的解题思想方法,是中档题. 19.(12分)已知圆心在直线y=4x上,且与直线l:x+y﹣2=0相切于点P(1,1) (Ⅰ)求圆的方程 (II)直线kx﹣y+3=0与该圆相交于A、B两点,若点M在圆上,且有向量(O为坐标原点),求实数k. 【分析】(Ⅰ)求出圆心与半径,即可求圆的方程; (II)直线与圆联立:得:(1+k2)x2+6kx+7=0,利用韦达定理,M代入圆方程:(x1+x2)2+(y1+y2)2=2,即可得出结论. 【解答】解:(Ⅰ)设圆的方程为(x﹣a)2+(y﹣4a)2=r2 因为直线相切,圆心到直线的距离d=, 且圆心与切点连线与直线l垂直 则:可得a=0,r=, 所以圆的方程为:x2+y2=2. (II)直线与圆联立:, 得:(1+k2)x2+6kx+7=0, △=8k2﹣28>0,解得.k或k, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则:,, , 将M代入圆方程:(x+x2)2+(y1+y2)2=2, , 求得k=. 【点评】本题考查的知识要点:圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力. 20.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0),上的点M(1,m)到其焦点F的距离为2, (Ⅰ)求C的方程;并求其准线方程; (II)已知A (1,﹣2),是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线L,使得直线L与抛物线C有公共点,且直线OA与L的距离等于?若存在,求直线L的方程;若不存在,说明理由. 【分析】(I)由抛物线的定义可知:|MF|=1﹣(﹣)=2,解得p=2,则抛物线方程可得,进而根据抛物线的性质求得其准线方程. (II)先假设存在符合题意的直线,设出其方程,与抛物线方程联立,根据直线与抛物线方程有公共点,求得t的范围,利用直线AO与L的距离,求得t,则直线l的方程可得. 【解答】解:(Ⅰ)抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=﹣, 由抛物线的定义可知:|MF|=1﹣(﹣)=2,解得p=2, 因此,抛物线C的方程为y2=4x;其准线方程为x=﹣1.…(5分) (Ⅱ)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=﹣2x+t,(OA的方程为:y=﹣2x) 由,得y2+2 y﹣2 t=0.…(7分) 因为直线l与抛物线C有公共点,所以得△=4+8 t,解得t≥﹣1/2.…(8分) 另一方面,由直线OA与l的距离d=,可得,解得t=±1.…(10分) 因为﹣1∉[﹣,+∞),1∈[﹣,+∞),所以符合题意的直线l 存在,其方程为2x+y﹣1=0.…(12分) 【点评】本题小题主要考查了直线,抛物线等基础知识,考查推理论证能力,运算求解能力,考查函数与方程思想,数形结合的思想,化归与转化思想,分类讨论与整合思想. 21.(12分)已知椭圆E:的左、右焦点分别为F1、F2,离心率,P为椭圆E上的任意一点(不含长轴端点),且△PF1F2面积的最大值为1. (Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)已知直x﹣y+m=0与椭圆E交于不同的两点A,B,且线AB的中点不在圆内,求m的取值范围. 【分析】(Ⅰ)由已知列关于a,b,c的方程,联立方程求得a,b的值,则椭圆方程可求; (Ⅱ)联立直线方程和椭圆方程,利用一元二次方程的根与系数的关系求得AB的中点坐标,再由AB的中点不在圆 内结合判别式可得m的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)由,得, 又a2=b2+c2,且, 联立解得:,c=1. ∴椭圆的标准方程为; (Ⅱ)联立,消去y整理得:3x2+4mx+2m2﹣2=0. 则△=16m2﹣12(2m2﹣2)=8(﹣m2+3)>0,解得. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则, ,即AB的中点为(). 又AB的中点不在圆内, ∴,解得:m≤﹣1或m≥1. 综上可知,或1. 【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了直线与椭圆位置关系的应用,是中档题. 22.(12分)如图,O为坐标原点,椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1;双曲线C2:﹣=1的左、右焦点分别为F3,F4,离心率为e2,已知e1e2=,且|F2F4|=﹣1. (Ⅰ)求C1、C2的方程; (Ⅱ)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值. 【分析】(Ⅰ)由斜率公式写出e1,e2,把双曲线的焦点用含有a,b的代数式表示,结合已知条件列关于a,b的方程组求解a,b的值,则圆锥曲线方程可求; (Ⅱ)设出AB所在直线方程,和椭圆方程联立后得到关于y的一元二次方程,由根与系数的关系得到AB中点M的坐标,并由椭圆的焦点弦公式求出AB的长度,写出PQ的方程,和双曲线联立后解出P,Q的坐标,由点到直线的距离公式分别求出P,Q到AB的距离,然后代入代入三角形面积公式得四边形APBQ的面积,再由关于n的函数的单调性求得最值. 【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,,且. ∵e1e2=,且|F2F4|=﹣1. ∴,且. 解得:. ∴椭圆C1的方程为,双曲线C2的方程为; (Ⅱ)由(Ⅰ)可得F1(﹣1,0). ∵直线AB不垂直于y轴, ∴设AB的方程为x=ny﹣1, 联立,得(n2+2)y2﹣2ny﹣1=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), 则,. 则 ==. ∵M在直线AB上, ∴. 直线PQ的方程为, 联立,得. 解得,代入 得. 由2﹣n2>0,得﹣<n<. ∴P,Q的坐标分别为, 则P,Q到AB的距离分别为:,. ∵P,Q在直线A,B的两端, ∴. 则四边形APBQ的面积S=|AB|. ∴当n2=0,即n=0时,四边形APBQ面积取得最小值2. 【点评】 本题考查圆锥曲线方程的求法,是直线与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线间的关系的综合题,考查了椭圆与双曲线的基本性质,关键是学生要有较强的运算能力,是压轴题. 查看更多