2019届二轮复习　正态分布课件（33张）（全国通用）（全国通用）

2019届二轮复习　正态分布课件（33张）（全国通用）（全国通用）

　正态分布 考纲下载 1. 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 . 2 . 了解变量落在区间 ( μ － σ ， μ ＋ σ ] ， ( μ － 2 σ ， μ ＋ 2 σ ] ， ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ] 的概率大小 . 3 . 会用正态分布去解决实际问题 . 知识复习 达标检测 题型探究 内容索引 知识复习 知识点一　正态曲线 思考　 函数 f ( x ) ＝ ， x ∈ R 的图象如图所示 . 试确定函数 f ( x ) 的解析式 . 由函数表达式可知，函数图象的对称轴为 x ＝ μ ， (2) 正态曲线的性质 ① 曲线位于 x 轴 ， 与 x 轴不相交； ② 曲线是单峰的，它关于 直线 对称 ； 梳理　 (1) 正态曲线 上方 函数 φ μ ， σ ( x ) ＝ ， x ∈ ( － ∞ ，＋ ∞ ) ，其中实数 μ ， σ ( σ >0) 为参数，我们称 φ μ ， σ ( x ) 的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线 . x ＝ μ ③ 曲线在 x ＝ μ 处达到 峰值 ； ④ 曲线与 x 轴之间的面积 为 ； ⑤ 当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示； ⑥ 当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定， σ 越大，曲线越 “ 矮胖 ” ，总体的分布越分散； σ 越小，曲线越 “ 瘦高 ” ，总体的分布越集中，如图乙所示： 1 知识点二　正态分布 一般地，如果对于任何实数 a ， b ( a < b ) ，随机变量 X 满足 P ( a < X ≤ b ) ＝ ， 则称随机变量 X 服从正态分布 . 正态分布完全由 参数 和 确定 ，因此正态分布常记作 N ( μ ， σ 2 ) ，如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 X ～ N ( μ ， σ 2 ). μ σ 知识点三　 3σ 原则 1. 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 (1) P ( μ － σ < X ≤ μ ＋ σ ) ＝ ； (2) P ( μ － 2 σ < X ≤ μ ＋ 2 σ ) ＝ ； (3) P ( μ － 3 σ < X ≤ μ ＋ 3 σ ) ＝ . 2. 通常服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ) 的随机变量 X 只取 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之间的值 . 0.682 6 0.997 4 0.954 4 1. 函数 φ μ ， σ ( x ) 中参数 μ ， σ 的意义分别是样本的均值与方差 .( 　　 ) 2. 正态曲线是单峰的，其与 x 轴围成的面积是随参数 μ ， σ 的变化而变化的 .( 　　 ) 3. 正态曲线可以关于 y 轴对称 .( 　　 ) × × √ [ 思考辨析 判断正误 ] 题型探究 例 1 　 如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差 . 类型一　正态曲线的图象的应用 解答 解　 从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线 x ＝ 20 对称， 反思与感悟　 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为 x ＝ μ ，二是最大值 为 . 这两点确定以后，相应参数 μ ， σ 便确定了，代入 f ( x ) 中便可求出相应的解析式 . 跟踪训练 1 　 某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示 ( 由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布 ) ，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是 A. 甲科总体的标准差最小 B. 丙科总体的平均数最小 C. 乙科总体的标准差及平均数都居中 D. 甲、乙、丙的总体的平均数不相同 解析 　 由题中图象可知三科总体的平均数 ( 均值 ) 相等，由正态密度曲线的性质，可知 σ 越大，正态曲线越扁平； σ 越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙 . 故选 A. √ 答案 解析 例 2 　 设 X ～ N (1,2 2 ) ，试求： (1) P ( － 1< X ≤ 3) ； 解　 因为 X ～ N (1,2 2 ) ，所以 μ ＝ 1 ， σ ＝ 2. P ( － 1< X ≤ 3) ＝ P (1 － 2< X ≤ 1 ＋ 2) ＝ P ( μ － σ < X ≤ μ ＋ σ ) ＝ 0.682 6. 类型二　利用正态分布的对称性求概率 解答 (2) P (3< X ≤ 5) ； 解　 因为 P (3< X ≤ 5) ＝ P ( － 3 ≤ X < － 1) ， 解答 (3) P ( X >5). 解答 引申探究　 本例条件不变，若 P ( X > c ＋ 1) ＝ P ( X < c － 1) ，求 c 的值 . 解　 因为 X 服从正态分布 N (1,2 2 ) ，所以对应的正态曲线关于 x ＝ 1 对称 . 又 P ( X > c ＋ 1) ＝ P ( X < c － 1) ， 解答 反思与感悟　 利用正态分布求概率的两个方法 (1) 对称法：由于正态曲线是关于直线 x ＝ μ 对称的，且概率的和为 1 ，故关于直线 x ＝ μ 对称的区间上概率相等 . 如： ① P ( X < a ) ＝ 1 － P ( X ≥ a ). ② P ( X < μ － a ) ＝ P ( X > μ ＋ a ). (2) “ 3 σ ” 法：利用 X 落在区间 ( μ － σ ， μ ＋ σ ] ， ( μ － 2 σ ， μ ＋ 2 σ ] ， ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ] 内的概率分别是 0.682 6,0.954 4,0.997 4 求解 . 跟踪训练 2 　 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N (2 ， σ 2 ) ，且 P ( ξ <4) ＝ 0.8 ，则 P (0< ξ <2) 等于 A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 解析　 ∵ 随机变量 ξ 服从正态分布 N (2 ， σ 2 ) ， ∴ μ ＝ 2 ，对称轴是 x ＝ 2. ∵ P ( ξ <4) ＝ 0.8 ， ∴ P ( ξ ≥ 4) ＝ P ( ξ ≤ 0) ＝ 0.2 ， ∴ P (0< ξ <4) ＝ 0.6 ， ∴ P (0< ξ <2) ＝ 0.3. 故选 C. 答案 解析 √ 例 3 　 有一种精密零件，其尺寸 X ( 单位： mm) 服从正态分布 N (20,4). 若这批零件共有 5 000 个，试求： (1) 这批零件中尺寸在 18 ～ 22 mm 间的零件所占的百分比； 解　 ∵ X ～ N (20,4) ， ∴ μ ＝ 20 ， σ ＝ 2 ， ∴ μ － σ ＝ 18 ， μ ＋ σ ＝ 22 ， 于是尺寸在 18 ～ 22 mm 间的零件所占的百分比大约是 68.26%. 类型三　正态分布的应用 解答 (2) 若规定尺寸在 24 ～ 26 mm 间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？ 解　 ∵ μ － 3 σ ＝ 14 ， μ ＋ 3 σ ＝ 26 ， μ － 2 σ ＝ 16 ， μ ＋ 2 σ ＝ 24 ， 解答 因此尺寸在 24 ～ 26 mm 间的零件大约有 5 000 × 2.15% ≈ 108( 个 ). 反思与感悟　 解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在 ( μ － σ ， μ ＋ σ ] ， ( μ － 2 σ ， μ ＋ 2 σ ] ， ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ] 三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想 . 跟踪训练 3 　 在某次考试中，某班同学的成绩服从正态分布 N (80,5 2 ) ，现已知该班同学成绩在 80 ～ 85 分的有 17 人，该班同学成绩在 90 分以上的有多少人？ 解　 ∵ 成绩服从正态分布 N (80,5 2 ) ， ∴ μ ＝ 80 ， σ ＝ 5 ，则 μ － σ ＝ 75 ， μ ＋ σ ＝ 85 ， ∴ 成绩在 (75,85] 内的同学占全班同学的 68.26% ，成绩在 (80,85] 内的同学占全班同学的 34.13% ，设该班有 x 人，则 x ·34.13% ＝ 17 ，解得 x ≈ 50. ∵ μ － 2 σ ＝ 80 － 10 ＝ 70 ， μ ＋ 2 σ ＝ 80 ＋ 10 ＝ 90 ， ∴ 成绩在 (70,90] 内的同学占全班同学的 95.44% ，成绩在 90 分以上的同学占全班同学的 2.28% ，即有 50 × 2.28% ≈ 1( 人 ) ，即成绩在 90 分以上的仅有 1 人 . 解答 达标检测 A. μ 1 < μ 2 ， σ 1 < σ 2 B. μ 1 < μ 2 ， σ 1 > σ 2 C. μ 1 > μ 2 ， σ 1 < σ 2 D. μ 1 > μ 2 ， σ 1 > σ 2 解析　 根据正态曲线的特点：正态分布曲线是一条关于直线 x ＝ μ 对称，在 x ＝ μ 处取得最大值的连续曲线：当 μ 一定时， σ 越大，曲线的最高点越低且较平稳，反过来， σ 越小，曲线的最高点越高且较陡峭 . 故选 A. 答案 解析 1 2 3 4 5 √ 答案 解析 2. 正态分布 N (0,1) 在区间 ( － 2 ，－ 1) 和 (1,2) 上取值的概率为 P 1 ， P 2 ，则二者大小关系为 A. P 1 ＝ P 2 B. P 1 ＜ P 2 C. P 1 ＞ P 2 D . 不确定 解析　 根据正态曲线的特点，图象关于 x ＝ 0 对称，可得在区间 ( － 2 ，－ 1) 和 (1,2) 上取值的概率 P 1 ， P 2 相等 . √ 1 2 3 4 5 答案 解析 3. 设随机变量 ξ 服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ) ，且二次方程 x 2 ＋ 4 x ＋ ξ ＝ 0 无实数根的概率 为 ， 则 μ 等于 A.1 B.2 C.4 D . 不能确定 √ 1 2 3 4 5 解析　 依题意可知 μ ＝ 90 ， σ ＝ 15 ， 故 P (60< X ≤ 120) ＝ P (90 － 2 × 15< X ≤ 90 ＋ 2 × 15) ＝ 0.954 4 , 1 000 × 0.954 4 ≈ 954 ， 故 大约有学生 954 人 . 答案 解析 4. 已知服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ) 的随机变量在区间 ( μ － σ ， μ ＋ σ ] ， ( μ － 2 σ ， μ ＋ 2 σ ] 和 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ] 内取值的概率分别为 68.26%,95.44% 和 99.74%. 若某校高一年级 1 000 名学生的某次考试成绩 X 服从正态分布 N (90,15 2 ) ，则此次考试成绩在区间 (60,120] 内的学生大约有 A.997 人 B.972 人 C.954 人 D.683 人 √ 1 2 3 4 5 又 P ( X > c ＋ 1) ＝ P ( X < c － 1) ， 故有 2 － ( c － 1) ＝ ( c ＋ 1) － 2 ， ∴ c ＝ 2. 解答 5. 设随机变量 X ～ N (2,9) ，若 P ( X > c ＋ 1) ＝ P ( X < c － 1). (1) 求 c 的值； 解　 由 X ～ N (2,9) 可知，密度函数关于直线 x ＝ 2 对称 ( 如图所示 ) ， 1 2 3 4 5 解答 (2) 求 P ( － 4< X <8). 解　 P ( － 4< X ≤ 8) ＝ P (2 － 2 × 3< X ≤ 2 ＋ 2 × 3) ＝ 0.954 4. 1 2 3 4 5 1. 理解正态分布的概念和正态曲线的性质 . 2. 正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1) 熟记 P ( μ － σ < X ≤ μ ＋ σ ) ， P ( μ － 2 σ < X ≤ μ ＋ 2 σ ) ， P ( μ － 3 σ < X ≤ μ ＋ 3 σ ) 的值 . (2) 充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为 1 这两个特点 . ① 正态曲线关于直线 x ＝ μ 对称，从而在关于 x ＝ μ 对称的区间上概率相等 . ② P ( X < a ) ＝ 1 － P ( X ≥ a ) ， P ( X < μ － a ) ＝ P ( X > μ ＋ a ) ， 若 b < μ ，则 P ( X < μ － b ) ＝ . 规律与方法