【数学】2021届一轮复习人教版（文）第7章第1节 不等关系与不等式学案
全国卷五年考情图解
高考命题规律把握
1.考查形式
本章在高考中一般考查1～2道小题，分值5～10分.
2.考查内容
从考查内容来看，对不等式解法的考查隐含在集合、函数、数列等问题中，对线性规划的考查重点考查求目标函数的最值问题.
3.备考策略
(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律
①一元二次不等式的解法问题；
②线性规划问题；
③基本不等式求最值问题.
(2)重视数形结合、分类讨论、转化化归思想的应用.
第一节 不等关系与不等式
[最新考纲] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景．
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b
b，b>c⇒a>c；(单向性)
(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)
(4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)
(5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；(单向性)
a>b，c<0⇒acb>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)
(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性)
(8)开方法则：a>b>0⇒>(n≥2，n∈N)．(单向性)
1．倒数性质
(1)a＞b，ab＞0⇒＜；
(2)a＜0＜b⇒＜；
(3)a＞b＞0，d＞c＞0⇒＞.
2．分数性质
若a＞b＞0，m＞0，则
(1)真分数性质：＜；＞(b－m＞0)；
(2)假分数性质：＞；＜(b－m＞0)．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a＞b，则ac2＞bc2. ( )
(2)若ac2＞bc2，则a＞b. ( )
(3)若＞1，则a＞b. ( )
(4)若a＋c＞b＋c，则a＞b. ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
二、教材改编
1．设a，b，c∈R，且a＞b，则( )
A．ac＞bc B.＜
C．a2＞b2 D．a3＞b3
D [取a＝1，b＝－2，c＝－1，排除A，B，C，故选D.]
2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则( )
A．ad＞bc B．ad＜bc
C．ac＞bd D．ac＜bd
D [c＜d＜0⇒－c＞－d＞0，则有－ac＞－bd，所以ac＜bd，故选D.]
3．设b＜a，d＜c，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a－c＜b－d B．ac＜bd
C．a＋c＞b＋d D．a＋d＞b＋c
C [由a＞b，c＞d得a＋c＞b＋d，故选C.]
4．设a＝＋，b＝＋，则a与b的大小关系为( )
A．a＝b B．a＞b
C．a＜b D．无法判断
B [a2＝17＋2，b2＝17＋2，
由2＞2，知a2＞b2，
又a＞0，b＞0，
所以a＞b，故选B.]
考点1 比较两个数(式)的大小
比较两个数或代数式的大小的三种方法
(1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法．
步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．
变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化．
(2)作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数(或式子)为正数．
步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．
(3)特殊值法．对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采用特殊值法比较．
(1)已知a1，a2∈(0,1)，若M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．M＜N B．M＞N
C．M＝N D．不确定
(2)[一题多解]若a＝，b＝，c＝，则( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
(1)B (2)B [(1)M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)·(a2－1)．∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，
∴a1－1＜0，a2－1＜0.
∴(a1－1)(a2－1)＞0，即M－N＞0.
∴M＞N.
(2)法一(作商法)：由题意可知a，b，c都是正数．
由＝＝log8164＜1，可知a＞b；
由＝＝log6251 024＞1，可知b＞c.故c＜b＜a.
法二(构造函数法)：令f(x)＝，可得f′(x)＝.易知当x＞e时，f′(x)＜0，即f(x)单调递减，因为e＜3＜4＜5，
所以f(3)＞f(4)＞f(5)，即c＜b＜a.]
本例T(2)也可以用作差法求解．
[教师备选例题]
已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，则与的大小关系为 ．
＜ [当q＝1时，＝3，＝5，
所以＜.
当q＞0且q≠1时，
－＝－
＝＝＜0，
所以＜.
综上可知＜.]
1.设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有( )
A．M＞N B．M≥N
C．M＜N D．M≤N
A [M－N＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，∴M＞N，故选A.]
2．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．A＜B D．A＞B
B [因为A≥0，B≥0，A2－B2＝a＋2＋b－(a＋b)＝2≥0，所以A≥B.故选B.]
考点2 不等式性质的应用(多维探究)
1．判断不等式是否成立的方法
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
(2)利用特殊值法排除错误答案．
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
2．利用不等式的性质求取值范围的方法
由a＜f(x，y)＜b，c＜g(x，y)＜d求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围．
判断不等式是否成立
(1)(2019·日照模拟)已知a＞b＞0，c＞1，则下列各式成立的是( )
A．sin a＞sin b B．ca＞cb
C．ac＜bc D.＜
(2)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A.＞ B.＜
C.＞ D.＜
(1)B (2)B [(1)对于选项A，若a＝，b＝，则sin a＝sin b，故A选项不成立；
对于选项B，构造函数y＝cx，由于c＞1，故函数y＝cx是增函数，又a＞b＞0，所以ca＞cb，故B选项成立；
对于选项C，构造函数y＝xc，由于c＞1，故函数y＝xc在(0，＋∞)上是增函数，又a＞b＞0，所以ac＞bc，故C选项不成立；
对于选项D，由a＞b＞0得＜，又c－1＞0，所以＜，故D选项不成立．
(2)由c＜d＜0得＜＜0，则－＞－＞0，
∴－＞－，∴＜，故选B.]
本例两题都可以使用特殊值法求解．
求代数式的取值范围
(1)已知－1＜x＜4,2＜y＜3，则x－y的取值范围是 ，3x＋2y的取值范围是 ．
(2)若－＜α＜β＜，则α－β的取值范围为 ．
(1)(－4,2) (1,18) (2)(－π，0) [(1)∵－1＜x＜4,2＜y＜3，
∴－3＜－y＜－2，
∴－4＜x－y＜2；
由－1＜x＜4,2＜y＜3得
－3＜3x＜12,4＜2y＜6，
∴1＜3x＋2y＜18.
(2)因为－＜α＜，－＜－β＜，所以－π＜α－β＜π.又α＜β，所以α－β＜0，所以－π＜α－β＜0.]
求解本例T(2)时，易忽视α＜β，从而得到错误答案(－π，π)．
1.如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是( )
A.＜ B．ab＜b2
C．－ab＜－a2 D．－＜－
D [由a＜b＜0知＞，则－＜－，故选D.]
2．已知－1＜x＜y＜3，则x－y的取值范围是 ．
(－4,0) [由－1＜x＜y＜3得，－1＜x＜3，－3＜－y＜1.
∴－4＜x－y＜4，又x＜y.
所以x－y＜0.
∴－4＜x－y＜0.]
