数学理卷·2018届河南省南阳市高二下学期期中质量评估（2017-04）

数学理卷·2018届河南省南阳市高二下学期期中质量评估（2017-04）

南阳市2017年春期高二期中考试 数学（理）试题 一.选择题：‎ ‎1.复数的实部与虚部的和等于（ C ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：‎ ‎2.汽车以(单位：)作变速直线运动时，在第至第间的内经过的位移是( C )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解析：‎ ‎3.下列命题错误的是(　B　)．‎ A．三角形中至少有一个内角不小于60°；‎ B．对任意的，函数至少存在一个极值点.‎ C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点；‎ D．在锐角三角形中，任意一个角的正弦大于另两个角的余弦；‎ 解析：，当，即时，是单调增加的，不存在极值点，故B错误．‎ ‎4．已知函数，则的值为（D ）‎ A． B．1 C．e D．0‎ 解析：‎ ‎5．若曲线在点处的切线与直线互相垂直，则实数（A）‎ A．－2 B．2 C． 1 D．－1‎ 解析：，所以，，得 ‎6.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅 生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.第12行的实心圆点的个数为（ B ）.‎ A. 88 B. 89 C.90 D.91‎ 解析：第行实心圆点有个，空心圆点有个，由树形图的生长规律可得，‎ ‎∴（即斐波那契数列），可得数列为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…，‎ 即 7. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ C ）‎ ‎8．某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题。甲：我不会证明。乙：丙会证明。丙：丁会证明。丁：我不会证明。根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（A）‎ ‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析：若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意；以此类推。易得出答案：A ‎9.已知定义在上的函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是（ D ）‎ A．B．C． D．‎ 解析：，由题意得：，解得：‎ ‎10.若为纯虚数，其中，则等于（ B ）‎ A．B．C．1 D．1或 解析：由为纯虚数，得，所以 ‎11.已知：函数，、为其图像上任意两点，则直线的斜率的最小值为（ B ）‎ ‎ A.B.C.D.‎ 解析：，而，易得，在上单调减少，在上单调增加，故 ‎12.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.则有（ D ）‎ A．B．‎ C．D．‎ 解析：由得，，即，亦即函数在上是单调增加的。故 二.填空题：‎ 13. ‎ ____________.‎ 解析：‎ 14. 已知：，则=_________.‎ 解析：,所以，得 ‎15.若函数，则_______．‎ 解析：，则，所以，；‎ 故，则有，得，‎ ‎16.平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为，外接圆面积为，则 推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体的内切球体积为，外接球的体积为，则    .‎ 解析：把正四面体放置在棱长为1的正方体中，易知正四面体的棱长为高为，内切球半径，外接球半径，则 三.解答题：17题，12分。22题，10分。答题卡上的分值有误，请以题卷和评分标准为准。‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 用数学归纳法证明：对于任意的，‎ 证明：（1）当时，左边==右边，命题成立；……………………………………2分 ‎ （2）假设当（ ）命题成立，即；…………4分 ‎ 当时 ‎ 左边=…………………………6分 ‎ =………………8分 ‎ 即，当时，命题成立。 ………………………………………………11分 ‎ 综上所述，对于任意的，………………………12分 ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中．‎ ‎（1）求证：函数在区间上是单调函数；‎ ‎（2）求函数的极小值。‎ ‎（1）证明：．………………………………2分 ‎ 因为且，所以．‎ ‎ 所以函数在区间上是增函数． …………4分 ‎（2）解：由题意，‎ 则. ‎ 令，得 , …………6分 当时，, 则函数在区间上是单调递增函数；‎ 当时，, 则函数在区间上是单调递减函数；‎ 当时，, 则函数在区间上是单调递增函数；………9分 ‎ 所以，函数的极小值点为，………10分 ‎ 故函数的极小值是………12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ 用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？‎ 解析：设长方体的宽为xm，则长为2xm，高.……2分 故长方体的体积为……………………5分 从而 令，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. ……………………………………7分 当0＜x＜1时，；当1＜x＜时，，‎ 故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值.…………………………10分 从而最大体积V＝3（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.‎ 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3m3 .…………12分 20. ‎（本小题满分12分）‎ 已知，‎ ‎（1）若函数在上为单调函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若当时，对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ 解：（1）定义域为，，……………………2分 因为在上为单调函数，则方程在上无实根。………4分 故，则 ……………………………………………………6分 ‎（2），则，对一切恒成立.……7分 设，则，‎ 当单调递减，‎ 当单调递增. …………10分 在上，有唯一极小值，即为最小值.‎ 所以，因为对任意恒成成立，‎ 故 ……………………………………………12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数且在处的切线的斜率为.‎ ‎（1）求的值，并讨论在上的单调性；‎ ‎（2）设若对任意,总存在使得成立，求的取值范围.‎ 解：(1）函数且在处的切线的斜率为，‎ ‎ 解得：; ……………2分 此时，，当时，，当时，‎ ‎，函数在上单调递减，在上单调递增. ………………6分 ‎(2）当时，单调递增，‎ 则只需在上恒成立即可，……………………8分 ‎①当时，在上恒成立，即在上单调递增，又 在上恒成立，故时成立.‎ ‎②当时，若，则此时单调递减，‎ 故当时不成立. ……………………11分 综上……………………12分 ‎22.【从下面两小题中任选其一题，若选择做两题只按第一题给分】（本小题满分10分）‎ ‎(1)已知：为互不相等的实数，且 求证：‎ 解析：根据条件可得， ……………………2分 又因为为互不相等的实数，则有 …………………………5分 同理可得 ， …………………………………………7分 所以 …………………………………………10分 ‎（2）已知：，，求证：‎ ‎，，，‎