2021版高考数学一轮复习核心素养测评三十八等差数列理北师大版

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- 1 - 核心素养测评三十八 等差数列 (30 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.若等差数列{an}的公差为 d,则数列{ }是 ( ) A.公差为 d 的等差数列 B.公差为 2d 的等差数列 C.公差为 nd 的等差数列 D.非等差数列 【解析】选 B.数列{ }其实就是 a1,a3,a5,a7,…,奇数项组成的数列,它们之间相差 2d. 2.在等差数列{an}中,已知 a2=2,前 7 项和 S7=56,则公差 d= ( ) A.2 B.3 C.-2 D.-3 【解析】选 B.由题意可得 即 解得 【一题多解】选 B.由等差数列的性质 S7=7a4=56, 所以 a4=8,因此 d= =3. 3.(2020·贵阳模拟)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a6=2a3,则 = ( ) A. B. C. D. 【解析】选 D. = = = . - 2 - 4.(2020·济南模拟)已知等差数列{an}的公差 d 为 4,项数为偶数,所有奇数项的和为 15,所有偶数项的和为 55,则这个数列的项数为 ( ) A.10 B.20 C.30 D.40 【解析】选 B.设等差数列{an}的项数为 n,前 n 项和为 Sn, 则 S 偶-S 奇= d=2n=40,n=20,即这个数列的项数为 20. 5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S13<0,S12>0,则在数列中绝对值最小的项为 ( ) A.第 5 项 B.第 6 项 C.第 7 项 D.第 8 项 【解析】选 C.根据等差数列{an}的前 n 项和公式 Sn= ,因为 所以 由 得 所以数列{an}中绝对值最小的项为第 7 项. 【变式备选】 (2019·北京高考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=-3,S5=-10,则 a5=________________,Sn 的最小值为 ________________. 【解析】设公差为 d,a2=a1+d=-3,S5=5a1+ d=-10,即 a1+2d=-2,解得 a1=-4,d=1, 所以 a5=a1+4d=0,Sn=na1+ d= , 当 n=4 或 5 时,Sn 最小,为-10. 答案:0 -10 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.设等差数列 的前 n 项和为 Sn,若 =2,则 =____________________. - 3 - 【解析】设公差为 d,由已知可得 a6=2a3,所以 a1+5d=2 ,所以 a1=d, 所以 = = = . 答案: 7.(2019·全国卷Ⅲ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,a1≠0,a2=3a1,则 =________________. 【解析】设该等差数列的公差为 d,因为 a2=3a1, 所以 a1+d=3a1,故 d=2a1(a1≠0,d≠0), 所以 = = = =4. 答案:4 8.已知{an},{bn}都是等差数列,若 a1+b10=9,a3+b8=15,则 a5+b6=________________. 【解析】因为{an},{bn}都是等差数列,所以 2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以 2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6), 即 2×15=9+(a5+b6),解得 a5+b6=21. 答案:21 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为 d, 则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3 可得 1+2d=-3,解得 d=-2,从而 an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知 an=3-2n.所以 Sn= =2n-n2.由 Sk=-35 可得 2k-k2=-35,即 k2-2k-35=0, 解得 k=7 或 k=-5.又 k∈N*,故 k=7. - 4 - 10.设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列 的前 n 项和,求 Tn. 【解析】设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ n(n-1)d. 因为 S7=7,S15=75,所以 即 解得 a1=-2,d=1. 所以 =a1+ (n-1)d=-2+ (n-1), 因为 - = ,所以数列 是等差数列,其首项为-2,公差为 ,所以 Tn= n2- n. (15 分钟 35 分) 1.(5 分)现给出以下几个数列:①2,4,6,8,…,2(n-1),2n;②1,1,2,3,…,n;③常数列 a,a,a,…,a;④在数列 {an}中,已知 a2-a1=2,a3-a2=2.其中一定是等差数列的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选 B.①由 4-2=6-4=…=2n-2(n-1)=2 得数列 2,4,6,8,…,2(n-1),2n 为等差数列;②因为 1-1=0≠ 2-1=1,所以数列 1,1,2,3,…,n 不是等差数列;③常数列 a,a,a,…,a 为等差数列;④当数列{an}仅有 3 项时, 数列{an}是等差数列,当数列{an}的项数超过 3 项时,数列{an}不一定是等差数列,故一定是等差数列的个数 为 2. 2.(5 分)(2020·潍坊模拟)已知数列 是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,则下列命题中真命题是 ( ) A.若 a5>a3,则 a8>0 B.若 a5>a3,则 S8>0 C.若 S5>S3,则 S8>0 D.若 S5>S3,则 a8>0 - 5 - 【解析】选 C.令等差数列 的公差 d=1,a1=-12,对 A 选项,a5=-8>a3=-10,而 a8=-5<0,故 A 错误; 对 B 选项,因为 a1=-12<0,a8=-5<0,所以 S8= <0,故 B 错误; 又对 D 选项,令等差数列 的 d=-2,a1=12, 因为 S5-S3=a5+a4=4+6=10>0,a8=-2<0,故 D 错误; 对 C 选项,因为 S5-S3=a5+a4=a1+a8>0, 所以 S8= >0. 【变式备选】 已知等差数列{an}的前 9 项和为 27,a10=8,则 a100= ( ) A.100 B.99 C.98 D.97 【解析】选 C.设{an}的公差为 d,由等差数列前 n 项和公式及通项公式,得 解得 an=a1+(n-1)d=n-2,所以 a100=100-2=98. 3.(5 分)已知等差数列 的通项公式为 an=n,前 n 项和为 Sn,若不等式 2Sn+1≤M(n+a32) (n∈N*)恒 成立,则 M 的最小值为____________________. 【解析】由已知得 Sn= ,所以 Sn+1= ,所以原不等式等价于 n+1≤ M ,所以 ≤ = + +32,因为 + +32 的最小值为 ,所以 M 的最小值为 . 答案: 【变式备选】 - 6 - 已知数列{an}中,a2= ,a5= ,且 是等差数列,则 a7= ( ) A. B. C. D. 【解析】选 D.设等差数列 的公差为 d,则 = +3d,即 = +3d, 解得 d=2,所以 = +5d=12,解得 a7= . 4.(10 分)已知数列{an}满足 a1=2,n(an+1-n-1)=(n+1)·(an+n)(n∈N*). (1)求证数列 是等差数列,并求其通项公式; (2)设 bn= -15,求数列{|bn|}的前 n 项和 Tn. 【解析】(1)因为 n(an+1-n-1)=(n+1)(an+n)(n∈N*).所以 nan+1-(n+1)an=2n(n+1). 所以 - =2,所以数列 是等差数列,其公差为 2,首项为 2,所以 =2+2(n-1)=2n. (2)由(1)知 an=2n2,所以 bn= -15=2n-15,则数列{bn}的前 n 项和 Sn= =n2-14n.令 bn=2n-15≤0,解得 n≤7.5.所以当 n≤7 时,数列{|bn|}的前 n 项和 Tn=-b1-b2-…-bn=-Sn=-n2+14n; 当 n≥8 时,数列{|bn|}的前 n 项和 Tn=-b1-b2-…-b7+b8+…+bn=-2S7+Sn=-2×(72-14×7)+n2-14n=n2-14n+98. 所以 Tn= 5.(10 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数. (1)求证 -an=λ. (2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. - 7 - 【解析】(1)由题设,anan+1=λSn-1, 知 an+1 =λSn+1-1. 两式相减得,an+1( -an)=λan+1. 由于 an+1≠0,所以 -an=λ. (2)存在.由 a1=1,a1a2=λa1-1,可得 a2=λ-1. 由(1)知,a3=λ+1.令 2a2=a1+a3,解得λ=4. 故 -an=4,由此可得, { }是首项为 1,公差为 4 的等差数列, =1+(n-1)·4=4n-3=2(2n-1)-1;{ }是首项为 3,公差为 4 的等差数列, =3+(n-1)·4=4n-1=2 ×(2n)-1. 所以 an=2n-1,an+1-an=2. 所以数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. 因此存在λ=4,使得{an}为等差数列. 1.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 等于 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 A.据等差数列前 n 项和性质可知:S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9 仍成等差数列. 设 S3=k(k≠0),则 S6=3k,S6-S3=2k, 所以 S9-S6=3k,S12-S9=4k, 所以 S9=S6+3k=6k,S12=S9+4k=10k, 所以 = = . - 8 - 2.项数为 n 的数列 a1,a2,a3,…,an 的前 k 项和为 Sk(k=1,2,3,…,n),定义 为该项数 列的“凯森和”,如果项数为 99 项的数列 a1,a2,a3,…,a99 的“凯森和”为 1 000,那么项数为 100 的数列 100,a1,a2,a3,…,a99 的“凯森和”为 ( ) A.991 B.1 001 C.1 090 D.1 100 【解析】选 C.项数为 99 项的数列 a1,a2,a3,…,a99 的“凯森和”为 1 000,所以 =1 000,又 100,a1,a2,a3,…,a99 的“凯森和”为 = 100+ =100+990=1 090.