2018届二轮复习 不等式问题 学案（ 江苏专用）

2018届二轮复习 不等式问题 学案（ 江苏专用）

专题3：不等式问题（两课时）‎ ‎ 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1． 解下列不等式：‎ ‎(1)－3x2＋4x＋4＞0 (2)≤2 (3) 4x－3·2－8≤0 （4）ax2－ax＋1＜0 ‎ 答案：(1)(－，2)；(2) (－∞，－4]∪(－1，＋∞)； (3)(－∞，]；‎ ‎(4) 当0≤a≤4时，解集为Æ；当a＞4时，＜x＜；‎ ‎ 当a＜0时，x＞或x＜．‎ 解析：（1）－3x2＋4x＋4＞0∴3x2－4x－4＜0‎ ‎(2) ≤2 ∴－2≤0，∴≤0 ∴（－4－x）(x＋1)≤0且x＋1≠0‎ ‎(3) 设2x ＝t，t＞0，t－3·2－8≤0，0＜t≤4，即2x≤4，∴x∈(－∞，]‎ ‎(4)当a＝0时，解集为Æ来源:学科网] 当a≠0时，△＝a－4a；‎ ‎ 当0＜a≤4即△≤0时，解集为Æ；‎ ‎ 当a＞4时，图像开口向上，＜x＜ 当a＜0时，图像开口向下，x＞或x＜ ‎ ‎2.设x，y满足约束条件 ，则 ‎(1) z＝x＋2y的最小值为 ；(2)z＝2x－y的最大值为 ； ‎ ‎(3) z＝x2＋2x＋y2的最大值为 ；(4) z＝的最大值为 ．‎ 答案：(1)3；(2)8；(3)39；(4)．‎ 解析：作出平面区域，‎ ‎(1)y＝－x＋z ‎(2)y＝2x－z ‎(3) z＝（x＋1）2＋y2－1，几何意义是平面区域中的点到（－1，0）的距离的平方减去1‎ ‎(4) z＝，几何意义是平面区域中的点与（－4，0）构成直线的斜率 ‎3．(1)若对任意x∈R，都有(m－2)x2－2(m－2)x－4＜0恒成立，则实数m的取值范围是 ． ‎ ‎(2) 若对任意x＞0，都有mx2－2x－1＜0恒成立，则实数m的取值范围是 ．‎ ‎(3) 若对任意－1≤m≤1，都有mx2－2x＋1－m＜0恒成立，则实数x的取值范围是 ．‎ 答案：(1)(－2，2]；(2)(－∞，0]；(3)(－1，2)．‎ 解析：（1）当m－2＝0时，满足题意 ‎ 当m－2≠0时， ‎(2) mx2－2x－1＜0，∴m＜＋，又∵y＝＋的值域是（0，＋∞），∴m≤0‎ ‎(3) y＝mx2－2x＋1－m＝（1－x）m－2x＋1看成关于m的一次函数，记作f(m)＝ （1－x）m－2x＋1，mx2－2x＋1－m＜0恒成立，只要y的最大值小于0，f(－1)＜0且f(1)＜0‎ ‎4．(1)函数y＝1－4x＋(x＞)的最大值为 ． ‎ ‎(2) 已知a>0,b>0,a的最大值是__________.‎ 答案：(1)－6；(2) ‎ 解析：（1）y＝1－4x＋＝－（4x－5＋）－4≤－2－4，当且仅当4x－5＝时取“＝”‎ ‎(2)≤=，当且仅当a=，即a=时取“＝”‎ ‎5．(1)若直线过点，则的最小值等于 ．‎ ‎(2) 若正数x，y满足x＋y＝1，求＋的最小值. ‎ 答案： (1)4 ;(2)16‎ 解析： (1)由题意得，＋＝1，则a＋b＝（a＋b）（＋）＝2＋＋≥2＋2，当且仅当a=b=2时取“＝”[来源:Zxxk.Com]‎ ‎(2)( x＋y) (＋)=10++≥16，当且仅当 = 即3x=y时取“＝”‎ ‎6．求下列函数的值域：‎ ‎(1)y＝ ； (2)f(x)＝x＋，x∈[1，2] ‎ 答案：(1)；‎ ‎(2)当a≤1时，值域为[1＋a，2＋]，当1＜a＜2时，值域为[2，2＋]，‎ 当2≤a≤4．值域为[2，1＋a]，当a＞4时，值域为[2＋，1＋a]．‎ 解析：（1）y＝ ＝＝＋（≥2），∴＝2时，y有最小值 ‎(2)当a≤0时，f(x)在[1，2]上单调递增；‎ 当a＞0时，f(x)在(0，)递减，在（，＋∞）递增。‎ ‎ 当≥2时，f(x)在[1，2]上单调递减；‎ ‎ 当≤1时，f(x)在[1，2]上单调递增；‎ ‎ 当1＜＜2时，f(x)在(1，)递减，在（，2）递增，比较f(1)与f(2)的大小，确定最大值 ‎7．求下列函数的值域：‎ ‎ (1)y＝ (x＞) (2)y＝ (x≤－1) ‎ 答案：(1)[，＋∞)；(2)[－，0)．‎ 解析：（1）)y＝ ，令t＝2x－1，则t＞0，∴ y＝ ＝＋－，再用基本不等式 ‎(2) y＝ (x≤－1) ，令t＝x－1，则t≤－2，∴ y＝ ＝，∵t≤－2，‎ ‎∴t＋≤－3，∴∈[－，0)．‎ 二、方法联想 ‎1．解一元二次不等式 ‎①优先考虑二次项系数为零的情形 ‎②二次项系数不为零：‎ 二次项系数正（负号转化为正号）→找根(优先用十字相乘法求根) ‎ 分式不等式 ‎(1) ＞0等价于f(x)g(x)＞0； ＜0等价于f(x)g(x)＜0．‎ ‎(2) ≥0等价于 ≤0等价于 ‎ 变式1、设,不等式对恒成立,则的取值范围为____________.‎ 答案：‎ 变式2、已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________．‎ 答案： ‎ ‎(判别式法)‎ ‎2．利用线性规划区域求最值 将求目标函数的最值转化为截距、距离、斜率的最值．‎ ‎ 变式1、已知函数,且,则的取值范围是 .‎ 答案： ‎ ‎(看成线性规划问题或同向不等式相加)‎ ‎ 变式2、三次函数在区间上是减函数，那么的取值范围是 ‎ 答案： ‎ ‎（线性规划与二次函数、导数等知识结合）‎ 变式3、已知是三次函数的两个极值点，‎ 且，则的取值范围是 ‎ 答案： ‎ ‎（线性规划与根的分布结合）‎ 变式4、已知三个正实数满足，则的取值范围是______‎ 答案：‎ ‎（三个变量向两个变量转化的线性规划问题）‎ ‎3．恒成立问题 ‎ ‎ (1)二次不等式恒成立问题 ‎ 方法1 结合二次函数图象分析． 方法2 分离变量法 ‎ (2)一次不等式恒成立问题 ‎ ①若关于x的不等式ax＋b≥0对任意x∈ [m，n]上恒成立，则 ‎②若关于x的不等式ax＋b≤0 对任意x∈[m，n]上恒成立，则 ‎ 变式1、已知当x∈(0，+∞)时，不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立，求实数m的取值范围.‎ 答案：m<2+2.‎ ‎（数形结合解决恒成立）‎ ‎ 变式2、若对任意，不等式恒成立，则实数的范围是 ．‎ 答案：‎ ‎（分离参数求范围）‎ ‎ 变式3、已知函数，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是___________‎ 答案：‎ ‎（函数性质研究恒成立）‎ 变式4、若存在正数使成立,则 的取值范围是 . ‎ 答案： ‎ ‎(注意存在性问题与恒成立问题的关联)‎ ‎4．基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．‎ 三个不等式关系：‎ ‎ (1)a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎ (2)a，b∈R＋，a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎ (3)a，b∈R，ab≤()2≤当且仅当a＝b时取等号．‎ 上述三个不等关系揭示了a2＋b2 ，ab ，a＋b三者间的不等关系．‎ 其中，当a，b和为定值或者平方和为定值时，可求积的最大值；当积为定值时，可求和的最小值．‎ 变式1、设a>0，b>0，a+b=5，则+的最大值为　　　　.‎ 解答：3 变式2、若不等式x2＋2xy≤a(x2＋y2)对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为________．‎ 答案： ‎ ‎(结构特征,消元)‎ ‎5．找齐次的方法求函数最值：注意不改变原解析式的值，要乘以常数还原。‎ ‎ 变式1、若log4(3a+4b) =log2，则a+b的最小值是　　　 ‎ ‎ 答案：7+4 ‎ 变式2、已知a，b为正实数，且a+b=2，则+的最小值为　　　　.‎ ‎ 答案：2+ ‎6.f(x)＝x＋型函数 ‎ 对于f(x)＝x＋，‎ 当a≤0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)为增函数；‎ 当a＞0时，f(x)在(－∞，)，(，＋∞)为增函数；在(－，0)，(0，)为减函数．‎ 注意 在解答题中利用函数f(x)＝x＋的单调性时，需要利用导数进行证明．‎ ‎ 变式1、若函数的值域为,则实数的取值范围是 . ‎ ‎ 答案：‎ ‎ (问题转化)‎ ‎ 变式2、设k>0，若关于x的不等式kx+≥5在(1，+∞)上恒成立，则k的最小值为　　　　.‎ 答案：1‎ 解答：原不等式变为k(x-1)+ ≥5-k，‎ 因为x>1，所以x-1>0，所以k(x-1)+ ≥4，‎ 所以4≥5-k，即()2+4-5≥0，解得≥1，‎ 所以k≥1，即k的最小值为1.‎ ‎7．f(x)＝ (或f(x)＝)型 令dx＋e＝t进行换元，转化为f(x)＝x＋型函数问题．‎ ‎ 变式1、已知x≥，求f(x)＝最小值．‎ 答案： 变式2、若不等式对任意恒成立,则实数的最大值为 .‎ 答案：2 ‎ ‎(结构特征,消元)‎ 三、例题分析 例1 已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b．‎ ‎(1)解关于a的不等式f(1)＞0；‎ ‎(2)若不等式f(x)＞0的解集为(－1，3)，求实数a，b的值；‎ ‎(3)若不等式f(x)≥b＋4对于x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．‎ 答案：(1)当b≤－6时，不等式的解集为Æ；当b＞－6时，不等式的解集为{x|3－＜x＜3＋}．‎ ‎ (2) a＝3±，b＝9．‎ ‎(3) 实数a的取值范围为[2，4]．‎ 解析：（1）f（1）=－3+a（6－a）+b=－a2+6a+b－3， ∵f（1）>0， ∴a2－6a+3－b<0， △=24+4b， 当b≤-6，即△≤0时，f（1）>0的解集为； 当b<-6，即△>0时，由2-6a+3-b<0，解得，3-0的解集为；当b>-6时，不等式的解集为（3-，3+）。 （2）∵不等式-3x2+a（6-a）x+b>0的解集为（-1，3），  ∴， 解得：。‎ ‎（3）f(x)≥b＋4，∴－3x2＋a(6－a)x≥4对于x∈[1，2]恒成立，‎ ‎∴a(6－a)≥，∴a(6－a)≥ ＋3x；‎ 利用y＝ ＋3x的图像，得到x＝2时，y＝ ＋3x的最大值是8，∴a(6－a)≥2‎ ‎【教学建议】‎ ‎1．本题涉及解一元二次不等式，一元二次不等式的解集与相应一元二次方程根的关系，及不等式恒成立问题．‎ ‎2．解一元二次不等式，要考虑对应方程有没有根，如有根，则根的大小如何，对应二次函数的开口方向等，并结合二次函数的图象去写解集；已知一元二次不等式的解集可知对应的一元二次方程的两根，以及二次项系数的符号．‎ ‎3．第(3)问是不等式恒成立问题，通常思路有3种，‎ ‎①f(x)≥0，"x∈D恒成立Ûf(x)min≥0转化为求函数f(x)的最小值(求最值时，可能要对参数进行讨论)；‎ ‎②先进行变量分离，再求函数的最值；即f(x)≥a，"x∈D恒成立Ûf(x)min≥a．‎ ‎③利用函数的图象和几何意义；‎ ‎ 本题采用变量分离后求最值，思路清晰，便于运算．而从二次函数图象或讨论求最值，比较复杂．‎ 例2 （1）若正实数x，y满足2x＋y＝xy ，求x＋y的最小值．‎ ‎（2）若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy ，求x＋y的最小值．‎ 答案：（1）3+2；（2）3+4 解析：(1)由条件知：＋=1，x＋y=( x＋y)( ＋)=3++≥3+2，当且仅当x=y时取“=”.‎ ‎(2) 由条件知：(x－1)(y－2)=8，∴(x－1)＋(y－2)≥2=4，当且仅当(x－1)=(y－2) 时取“=”.‎ 思路1：找齐次，利用基本不等式； ‎ 思路2：消元法 易错点：用消元法，要注意x的取值范围．‎ ‎【教学建议】‎ ‎ 1．本题是求二元函数的值域问题．这类问题主要有3种解题思路：‎ ‎ ①基本不等式法：这种方法往往只有求最大值或最小值；‎ ‎②消元法：转化为函数问题，再求最值；‎ ‎③几何法：将两个变量看成一个有序实数对，当作平面内一个动点，从图形的几何意义方面，考虑求目标函数的值域．[来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎ 2．本题3种方法均可，相比较利用基本不等式最简单，它也是处理这一类问题的一般方法．‎ 例3 已知x，y满足条件，且M(2，1)，P(x，y)．求：‎ ‎(1)的取值范围；(2)x2＋y2的最大值与最小值；(3)·的最大值；(4)||cos∠MOP的最小值．‎ 解： (1) 的取值范围为[，9]．‎ ‎(2) x2＋y2的最大值为37，最小值为．‎ ‎ (3) ·的最大值为9．‎ ‎ (4) ||cos∠MOP的最小值为－．‎ ‎【教学建议】‎ ‎ 1．本题是线性规划问题，(1)(2)问是典型的问法，(3)(4)问是需要利用向量数量积的知识，才能得到线性目标函数．‎ ‎ 2．线性规划问题，有些比较直接，如(1)(2)问，主要考查线性目标函数、斜率与距离等三类问题，但近几年高考，出现了一些变式，可行域不是线性约束条件确定，可行域只是一个曲线，或目标函数是上述3种类型的变式等，对问题转化的要求比较高。但复习中还是以基本问题为主，适当进行一些变式．‎ 四、反馈练习 ‎1．不等式≥－1的解集为_______________．‎ 答案：(－∞，1]∪(3，＋∞)‎ 说明：本题考查解分式不等式 解析：≥－1，∴＋1≥0，≥0，注意分母不为0‎ ‎2．当x∈R＋时，y＝3－2x－的最大值为 ．‎ 答案：—5‎ 说明：本题考查基本不等式 解析：y＝3－2x－＝y＝3－（2x＋），其中2x＋≥2 ‎3．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为_________．‎ 答案：5‎ 说明：本题考查基本不等式 解析：x＋3y＝5xy，两边同除以xy，得，＋＝5，∴3x＋4y＝（3x＋4y）×（＋）＝（7＋＋），利用基本不等式求出最小值 ‎4．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是_______．‎ 答案：18‎ 说明：本题考查基本不等式 解析：∵2x＋y≥2，∴ xy－6≥2，且xy－6＞0，再两边平方 ‎5．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是_____________．‎ 答案：a≥ 说明：本题考查不等式恒成立，基本不等式[来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ 解析：∵≤a恒成立，∴a≥左边的最大值，‎ ‎ y＝＝，分母的最小值是5，所以y的最大值是，∴a≥ ‎6．设"x∈R，函数y＝lg(mx2－4mx＋m＋3)有意义，实数m取值范围是____________．‎ 答案：[0，1)‎ 说明：本题考查不等式恒成立 解析：mx2－4mx＋m＋3＞0恒成立，‎ 当m＝0时，符合题意；‎ 当m≠0时， ‎7．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________．‎ 答案：(－∞，－5]‎ 说明：本题考查不等式恒成立 解析：x2＋mx＋4＜0，则m＜－（x＋），只要m小于右边的最小值，即m≤－5‎ ‎8．若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．‎ 答案：－4‎ 说明：本题考查线性规划 解析：做出平面区域 ‎9．已知a＞0，x、y满足约束条件，且z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________．‎ 答案： 说明：本题考查线性规划 解析：作出平面区域，再y≥a(x－3)过点（3，0）的直线的上方区域。‎ 根据y＝2x－z的最小值为1，过点（1，－2a）时取得最小值 ‎10．已知点P(x，y)满足约束条件，则的取值范围是___________．‎ 答案：[2，]‎ 说明：本题考查线性规划 解析：＝＋，根据平面区域，先求出的范围 ‎11．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，当取得最小值时，求x＋2y－z的最大值．‎ 答案：2．‎ 说明：本题考查基本不等式、二次函数的最值．‎ 解析：由x2－3xy＋4y2－z＝0，得x2－3xy＋4y2＝z；则＝＋4－3，‎ 利用基本不等式得到当＝时，取得最小值；‎ ‎∴x＋2y－z＝x＋2y－（x2－3xy＋4y2）＝4y－2y，‎ ‎∵y＞0，∴4y－2y的最大值为2‎ ‎12．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为(1，3)．‎ ‎（1）若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；‎ ‎（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．‎ 答案：（1）f(x)＝－x2－x－；‎ ‎ （2）(－∞，－2－)∪(－2＋，0)．　　‎ 说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系 解析：（1）为（1，3） ∴   所以a＜0           ① 由方程  ②    因为方程②有两个相等的根，所以， 即，解得       由于代入①得f（x）的解析式为。                         （2）由及           由解得或 故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是。‎ ‎13．已知函数f(x)＝(x＋2)|x－2|．‎ ‎（1）若不等式f(x)≤a在[－3，1]上恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）解不等式f(x)＞3x．‎ 答案：（1）[4，＋∞)；‎ ‎ （2）(－4，1)∪(4，＋∞)．‎ 说明：（1）考查不等式恒成立；‎ ‎ （2）考查解一元二次不等式（组）‎ ‎（1）当x∈[-3，1]时，f（x）＝（x＋2）|x－2|＝（x＋2）（2－x）＝－x2＋4． ∵-3≤x≤1，∴0≤x2≤9．于是－5≤－x2＋4≤4， 即函数f（x）在[－3，1]上的最大值等于4． ∴要使不等式f（x）≤a在[－3，1]上恒成立，实数a的取值范围是[4，＋∞）． （2）不等式f（x）＞3x，即（x＋2）|x－2|－3x＞0． 当x≥2时，原不等式等价于x2－4－3x＞0，解得x＞4，或x＜－1． 又∵x≥2，∴x＞4． 当x＜2时，原不等式等价于4－x2－3x＞0，即x2＋3x－4＜0，解得－4＜x＜1，满足x＜2． 综上可知，原不等式的解集为{x|x＞4，或－4＜x＜1}．[来源:Zxxk.Com]‎ ‎14．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．‎ 答案：当a＝0时，解集为(－∞，－1]；‎ ‎ 当a＞0时，解集为(－∞，－1]∪[，＋∞)；‎ ‎ 当－2＜a＜0时，解集为[，－1]；‎ ‎ 当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；‎ ‎ 当a＜－2时，解集为[－1，]‎ 解析：ax2－2≥2x－ax，∴ax2－（2－a）x－2≥0，即（x＋1）(ax－2)≥0‎ 不仅讨论a的正负，还要讨论当a＜0时，与－1的大小关系 ‎15．某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．‎ ‎(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)‎ ‎(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？‎ 解 (1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：‎ ‎4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，‎ 从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：‎ ‎100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，‎ 写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，‎ 所以函数表达式为：‎ y＝f(x)＝800x＋×20＋9 000‎ ‎＝10x2＋790x＋9 000(x∈N*)；‎ ‎(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：‎ g(x)＝×10 000‎ ‎＝ ‎＝50≥50×(2＋79)‎ ‎＝6 950(元)．‎ 当且仅当x＝，即x＝30时等号成立．[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ 答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低． (考查函数性质应用,基本不等式).‎