高考数学二轮复习学案专题数形结合

高考数学二轮复习学案专题数形结合

专题 9 数形结合 一、填空题 例 1 曲线 （ ）与直线 有两个交点时，实数 的 取值范围是 【答案】： 【提示】曲线为圆的一部分，直线恒过定点 (2，4)，由图可得有两个 交点时 的范围。 例 2 已知平面向量 满足 且 的夹角为 ，则 的取值范围是 【 答 案 】 ： 【 提 示 】 作 出 草 图 ， 由 ， 故 = 又 ， 例 3 已知向量 , , 则 与 夹角的范围为 【答案】： 【提示】因 说明点 A 的轨迹是以 为圆心， 为半径 的圆，如图，则 与 夹角最大是 最小是 例 4 若对一切 ，复数 的模不超过 2，则实数 的取值范围为 【答案】： 【提示】复数的模 ，可以借助单位圆上一点 和直线 的一点 的距离来理解。 例 5 若 对一切 恒成立，则 的取值范围是 【答案】： 【提示】分别考虑函数 和 的图像 例 6 已 知 抛 物 线 经 过 点 、 与 点 ， 其 中 ， ， 设 函 数 在 和 处 取 到 极 值 ， 则 的大小关系为 【答案】 【提示】由题可设 ， 则 ，作出三次函数图象即可。 例 7 若方程 仅有一个实根，那么 的取值范围是 【答案】： 或 (2, 0)OB= (2, 2)OC= ( 2cos , 2sin ),CA α α= OA OB ]12 5,12[ ππ 2(cos ,sin ),CA α α= (2, 2)C 2 OA OB 5 ,4 6 12 π π π+ = 4 6 12 π π π− = 241 xy −+= 22 ≤≤− x ( )24 −=− xky k 5 3,12 4      M k , ( 0, )α β α α β≠ ≠     1,β = α β α−  与 120° α 2 30 3 α< < 1 sin sin 60B α °=  α 2 3 sin3 B 0 120B° °< < 0 sin 1B∴ < < 2 30 3 α∴ < < Rθ ∈ ( cos ) (2 sin )z a a iθ θ= + + − a 5 5,5 5  −    2 2( cos ) (2 sin ) 2z a aθ θ= + + − ≤ ( cos ,sin )θ θ− 2y x= ( ,2 )a a 1 1| | 2x a x − + ≥ 0x > a ( ,2]−∞ 1y x a= − 2 1 1 2y x = − + ( )y g x= (0, 0)O ( , 0)A m ( 1, 1)P m m+ + 0>> nm ab < )()()( xgnxxf −= ax = bx = nmba ,,, b n a m< < < ( ) ( ),( 0)g x kx x m k= − > ( ) ( )( )f x kx x m x n= − − ( )lg 2lg 1kx x= + k 0k < 4k = x B x y M 【提示】：研究函数 （ ）和函数 的图像 例 8 已 知 函 数 ， 其 图 象 在 点 (1, ) 处 的 切 线 方 程 为 , 则 它 在 点 处的切线方程为 【答案】： 【提示】：由 可得 关于直线 对称，画出示意图（略），(1, )和 为 关于直线 的对称点，斜率互为相反数，可以快速求解。 例 9 直线 与曲线 有四个交点，则 的取值范围是__________ 【答案】： 【提示】研究 ，作出图象，如图所示．此曲线与 轴交于 点， 最小值为 ，要使 与其有四个交点，只需 ，∴ 例 10 已知：函数 满足下面关系：① ； ②当 时， .则方程 解的个数是 【答案】：9 【提示】：由题意可知， 是以 2 为周期，值域为[0,1]的函数． 画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．又∵ ， ∴ 由图象可知共 9 个交点． 例 11 设 定 义 域 为 函 数 ， 则 关 于 的 方 程 有 7 个不同实数解的充要条件是 【答案】： 【提示】：由 的图象可知要使方程有 7 个解，应有 有 3 个解， 有 4 个解。 例 12 已知 是实数，函数 ，若函数 有且仅有两个零点，则 实数 的取值范围是_____________ 【答案】：(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【提示】易知 ，即 ，变形得 ，分别画出函 数 ， 的图象(如图所示)，由图易知： 当 或 时， 和 的图象有两个不同的交点， ∴当 或 时，函数 有且仅有两个零点。 例 13 已知 且 ， ，则 的最大值为 【答案】： 【提示】令 ，这时问题转化为： ，求 的最值． 例 14 函数 的值域是 1y kx= 1 0y > 2 2 ( 1) ,( 1)y x x= + > − 2 1( ) ( 2) 1 ax bx c xf x f x x  + + ≥ −=  − − < − (1)f 2 1y x= + ( 3, ( 3))f− − 2 3 0x y+ + = ( ) ( 2)f x f x= − − ( )f x 1x = − (1)f ( 3, ( 3))f− − 1x = − 1y = 2y x x a= − + a 51 4a< < 2 2 , 0 , 0 x x a xy x x a x  − + ≥=  + + < y (0, )a 1 4a − 1y = 1 14a a− < < 51 4a< < ( )f x ( 1) ( 1)f x f x+ = − [ ]1,1x∈ − 2( )f x x= ( ) lgf x x= ( )f x lg10 1= R    = ≠−= 10 11lg)( x xxxf x 0)()(2 =++ cxbfxf 0, 0c b= < )(xf 0)( =xf 0)( ≠xf 0,0 <=∴ bc a ( ) 2 2f x a x x a= + − ( )y f x= a 0, ( ) 0a f x≠ =由 2 2 0a x x a+ − = 1 1 2x xa − = − 1 1 2y x= − 2 1y xa = − 10 1a < − < 11 0a − < − < 1y 2y 1a < − 1a > ( )y f x= 1, 1,m n≥ ≥ 2 2 2 2log log log ( ) log ( ) 2a a a am n am an+ = + − ( 1)a > log ( )a mn 2 2 2+ log , loga ax m y n= = 2 2( 1) ( 1) 4,( 0, 0)x y x y− + − = ≥ ≥ x y+ 2 4 6u t t= + + − y 2 2 0 4 x 【答案】： 【提示】可令 消去 t 得： 所给函数化为含参数 u 的直线系 y＝－x＋u，如图知 ，当直线与椭圆相切于第一象限时 u 取最大值，此时由方程组 ， 则 ，由 因直线过第一象限， ，故所求函数的值域 为 例 15 已知定义在 上的函数 满足下列三个条件：①对任意的 都有 ；②对任意的 ，都有 ；③ 的图象关于 轴对称.则 的大小关系是 【答案】： . 【提示】由①： ；由②： 在 上是增函数；由③： ，所以 的图象关 于直线 对称. 由此，画出示意图便可比较大小. 例 16 关于曲线 ： 的下列说法：①关于原点对称；②关于直线 对称；③是封闭图形， 面积大于 ；④不是封闭图形，与圆 无公共点；⑤与曲线 ： 的四个交点恰为 正方形的四个顶点，其中正确的序号是 【答案】：①②④⑤ 【提示】研究曲线 ： 的图像，与坐标轴没有交点，不是封闭图形，且 时， ； 时 ，作出草图即可 二、解答题 例 17 设 ，试求方程 有解时 的取值范围： 【提示】将原方程化为 ，且 令 ，它表示倾角为 的直线系， 令 ，它表示焦点在 轴上，顶点为 的等轴双曲线在 轴上方的部分， 原方程有解 两个函数的图象有交点，由图像知 或 的取值范围 例 18 已知函数 当 时，总有 . （Ⅰ）求函数 f(x)的解析式； （Ⅱ）设函数 ，求证：当 时， 的充要条件是 . 【提示】（Ⅰ）由条件，得 ， 当 时，总有 ，结合 的图像，所以有 π2 ),2,(12 1 3 1)( 23 −≥∈+++= bRbabxaxxxf 且、 ]2,2[−∈x 0)( ≤′ xf )(6)(3)( 2 Rmxmxxfxg ∈−+−= ]1,0[∈x 1|)(| ≤′ xg 31 ≤≤ m baxxbxaxxf ++=+⋅+⋅=′ 22 22 133 1)( ]2,2[−∈x 0)( ≤′ xf 2 2,2 6   2 4, 6x t y t= + = − 2 22 16(0 4,0 2 2),x y x y+ = ≤ ≤ ≤ ≤ min 2 2u = 2 22 16 y x u x y = − +  + = 2 23 4 2 16 0x ux u− + − = 0 2 6,u∆ = ⇔ = ± max 2 6u∴ = 2 2,2 6   R ( )y f x= x R∈ ( 4) ( )f x f x+ = 1 20 2x x≤ < ≤ 1 2( ) ( )f x f x< ( 2)y f x= + y (4.5), (6.5), (7)f f f (4.5) (7) (6.5)f f f< < 4T = ( )f x [ ]0,2 ( 2) ( 2)f x f x− + = + ( )f x 2x = C 2 2 1x y− −+ = 0x y+ = 2 2 2x y+ = D 2 2x y+ = C 2 2 1x y− −+ = 2x → +∞ 2 1y → 2y → +∞ 2 1x → a a> ≠0 1且 )(log)(log 22 2 axakx aa −=− k log ( ) loga ax ak x a− = −2 2 ∴ − = −x ak x a2 2 x ak x a− > − >0 02 2， y x ak1 = − 45° y1 0> y x a2 2 2= − x ( ) ( )−a a， ， ，0 0 x y2 0> ∴ − >ak a − < − ≤+−=′ ;10|)0(| ,13 ,1|23||)1(| g m mg       ≤=′ < ≤+−=′ .10|)0(| ,03 ,1|23||)1(| g m mg 31 ≤≤ m ]1,0[∈x 1|)(| ≤′ xg 31 ≤≤ m 2b ≥ − 2b = − 2b = − ( )y g x′= 2( ) 3f x x x= − [ ]0,x m∈ m R∈ 0m > ( )f x [ ]0,2 m ( )f x 20, mλ   λ 2( ) 3f x x x= − 0x ≥ 3 3 3 ,(0 3)( ) 3 ,( 3) x x xf x x x x  − ≤ ≤=  − > 0 3x≤ ≤ 2( ) 3 3 0f x x′ = − = 1x = ( )f x [ ]0,1 1, 3   3x > 2( ) 3 3 0f x x′ = − > ( )f x )3, +∞ 0, 3x  ∈  ( )f x (1) 2f = (0) ( 3) 0f f= = 0 1m< < 1 3m≤ ≤ 3m > 0, 3x  ∈  [ ]( ) 0,2f x ∈ ( 3,x m∈  [ ]( ) 0, ( )f x f m∈ ( )f x [ ]0,2 ( ) 2f m ≤ 3 3 2m m− ≤ 3 2m< ≤ m [ ]1,2 0 1m< < ( )f x 3( ) 3f m m m= − 3 23m m mλ− = 3 mm λ = − ( )mλ λ ( )2,+∞ 1 2m≤ ≤ ( )f x (1) 2f = ① ② 由题意知， ，即 且是减函数，故 的取值范围是 ； ③当 时，函数 的最大值是 ， 由题意知， ，即 且是增函数，故 的取值范围是 . 综上所述， 的最小值是 ，且此时 . 例 20 已知函数 ， . ⑴若关于 的方程 只有一个实数解，求实数 的取值范围； ⑵若当 时，不等式 恒函数成立，求实数 的取值范围； ⑶求函数 在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）. 【提示】（1）方程 ，即 ，变形得 ，显然， 已是该方程的 根，从而欲原方程只有一解，即要求方程 ，有且仅有一个等于 1 的解或无解 ，结合图形得 . （2）不等式 对 恒成立，即 （*）对 恒成立， ①当 时，（*）显然成立，此时 ； ②当 时，（*）可变形为 ，令 因为当 时， ，当 时， ，故此时 . 综合①②，得所求实数 的取值范围是 . （3）因为 = ① 当 时，结合图形可知 在 上递减，在 上递增， 且 ，经比较，此时 在 上的最大值为 . ② 当 时，结合图形可知 在 ， 上递减， 在 ， 上递增，且 ， ， 经比较，知此时 在 上的最大值为 . ③ 当 时，结合图形可知 在 ， 上递减， 在 ， 上递增，且 ， ， 22 mλ= 2 2 m λ = λ 1 ,22      2m > ( )f x 3( ) 3f m m m= − 3 23m m mλ− = 3m m λ = − λ 1 ,2  +∞   λ 1 2 2m = 1)( 2 −= xxf |1|)( −= xaxg x )(|)(| xgxf = a Rx ∈ )()( xgxf ≥ a )(|)(|)( xgxfxh += | ( ) | ( )f x g x= 2| 1| | 1|x a x− = − | 1| (| 1| ) 0x x a− + − = 1x = | 1|x a+ = 0a < ( ) ( )f x g x≥ x∈R 2( 1) | 1|x a x− −≥ x∈R 1x = a∈R 1x ≠ 2 1 | 1| xa x −≤ − 2 1, ( 1),1( ) ( 1), ( 1).| 1| x xxx x xx ϕ + >−= = − + <−  1x > ( ) 2xϕ > 1x < ( ) 2xϕ > − 2a −≤ a 2a −≤ 2( ) | ( ) | ( ) | 1| | 1|h x f x g x x a x= + = − + − 2 2 2 1, ( 1), 1, ( 1 1), 1, ( 1). x ax a x x ax a x x ax a x  + − − − − + + − <  − + − < − ≤ ≥ 1, 22 a a> >即 ( )h x [ 2,1]− [1,2] ( 2) 3 3, (2) 3h a h a− = + = + ( )h x [ 2,2]− 3 3a + 0 1, 22 a a即0≤ ≤ ≤ ≤ ( )h x [ 2, 1]− − [ ,1]2 a− [ 1, ]2 a− − [1,2] ( 2) 3 3, (2) 3h a h a− = + = + 2 ( ) 12 4 a ah a− = + + ( )h x [ 2,2]− 3 3a + 1 0, 02 a a− < <即- 2≤ ≤ ( )h x [ 2, 1]− − [ ,1]2 a− [ 1, ]2 a− − [1,2] ( 2) 3 3, (2) 3h a h a− = + = + 2 ( ) 12 4 a ah a− = + + 经比较，知此时 在 上的最大值为 . ④ 当 时，结合图形可知 在 ， 上递减， 在 ， 上递增，且 , ， 经比较，知此时 在 上的最大值为 . 当 时，结合图形可知 在 上递增，在 上递减， 故此时 在 上的最大值为 . 综上，当 时， 在 上的最大值为 ； 当 时， 在 上的最大值为 ； 当 时， 在 上的最大值为 0. 专题 9 数形结合 一、填空题 例 1 曲线 （ ）与直线 有两个交点时，实数 的取值范围是 ( )h x [ 2,2]− 3a + 3 1, 22 2 a a− < − < −即- 3≤ ≤ ( )h x [ 2, ]2 a− [1, ]2 a− [ ,1]2 a [ ,2]2 a− ( 2) 3 3 0h a− = + < (2) 3 0h a= + ≥ ( )h x [ 2,2]− 3a + 3 , 32 2 a a< − < −即 ( )h x [ 2,1]− [1,2] ( )h x [ 2,2]− (1) 0h = 0a≥ ( )h x [ 2,2]− 3 3a + 3 0a− <≤ ( )h x [ 2,2]− 3a + 3a < − ( )h x [ 2,2]− 241 xy −+= 22 ≤≤− x ( )24 −=− xky k 例 2 已知平面向量 满足 且 的夹角为 ，则 的取值范围是 例 3 已知向量 , , 则 与 夹角的范围为 例 4 若对一切 ，复数 的模不超过 2，则实数 的取值范围为 例 5 若 对一切 恒成立，则 的取值范围是 例 6 已知抛物线 经过点 、 与点 ，其中 ， ，设函数 在 和 处取到极值，则 的大小关系为 例 7 若方程 仅有一个实根，那么 的取值范围是 例 8 已 知 函 数 ， 其 图 象 在 点 (1, ) 处 的 切 线 方 程 为 , 则 它 在 点 处的切线方程为 例 9 直线 与曲线 有四个交点，则 的取值范围是__________ 例 10 已知：函数 满足下面关系：① ； ②当 时， .则方程 解的个数是 例 11 设定义域为 函数 ，则关于 的方程 有 7 个不同实数解的 充要条件是 例 12 已知 是实数，函数 ，若函数 有且仅有两个零点，则实数 的取值范围是 _____________ 例 13 已知 且 ， ，则 的最大值为 例 14 函数 的值域是 例 15 已知定义在 上的函数 满足下列三个条件：①对任意的 都有 ；②对任意 的 ，都有 ；③ 的图象关于 轴对称.则 的大小 关系是 例 16 关于曲线 ： 的下列说法：①关于原点对称；②关于直线 对称；③是封闭图形， 面积大于 ；④不是封闭图形，与圆 无公共点；⑤与曲线 ： 的四个交点恰为 正方形的四个顶点，其中正确的序号是 二、解答题 例 17 设 ，试求方程 有解时 的取值范围： (2, 0)OB= (2, 2)OC= ( 2cos , 2sin ),CA α α= OA OB π2 , ( 0, )α β α α β≠ ≠     1,β = α β α−  与 120° α Rθ ∈ ( cos ) (2 sin )z a a iθ θ= + + − a 1 1| | 2x a x − + ≥ 0x > a ( )y g x= (0, 0)O ( , 0)A m ( 1, 1)P m m+ + 0>> nm ab < )()()( xgnxxf −= ax = bx = nmba ,,, ( )lg 2lg 1kx x= + k 2 1( ) ( 2) 1 ax bx c xf x f x x  + + ≥ −=  − − < − (1)f 2 1y x= + ( 3, ( 3))f− − 1y = 2y x x a= − + a ( )f x ( 1) ( 1)f x f x+ = − [ ]1,1x∈ − 2( )f x x= ( ) lgf x x= R    = ≠−= 10 11lg)( x xxxf x 0)()(2 =++ cxbfxf a ( ) 2 2f x a x x a= + − ( )y f x= a 1, 1,m n≥ ≥ 2 2 2 2log log log ( ) log ( ) 2a a a am n am an+ = + − ( 1)a > log ( )a mn 2 4 6u t t= + + − R ( )y f x= x R∈ ( 4) ( )f x f x+ = 1 20 2x x≤ < ≤ 1 2( ) ( )f x f x< ( 2)y f x= + y (4.5), (6.5), (7)f f f C 2 2 1x y− −+ = 0x y+ = 2 2 2x y+ = D 2 2x y+ = a a> ≠0 1且 )(log)(log 22 2 axakx aa −=− k 例 18 已知函数 当 时，总有 . （Ⅰ）求函数 f(x)的解析式； （Ⅱ）设函数 ，求证：当 时， 的充要条件是 . 例 19 已知函数 ， ，其中 ，且 . (1) 如果函数 的值域是 ，试求 的取值范围； (2) 如果函数 的值域是 ，试求实数 的最小值． 例 20 已知函数 ， . ⑴若关于 的方程 只有一个实数解，求实数 的取值范围； ⑵若当 时，不等式 恒函数成立，求实数 的取值范围； ⑶求函数 在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）. ),2,(12 1 3 1)( 23 −≥∈+++= bRbabxaxxxf 且、 ]2,2[−∈x 0)( ≤′ xf )(6)(3)( 2 Rmxmxxfxg ∈−+−= ]1,0[∈x 1|)(| ≤′ xg 31 ≤≤ m 2( ) 3f x x x= − [ ]0,x m∈ m R∈ 0m > ( )f x [ ]0,2 m ( )f x 20, mλ   λ 1)( 2 −= xxf |1|)( −= xaxg x )(|)(| xgxf = a Rx ∈ )()( xgxf ≥ a )(|)(|)( xgxfxh +=