2020高中数学 课时分层作业20 生活中的优化问题举例 新人教A版选修1-1
课时分层作业(二十) 生活中的优化问题举例
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )
A．150 B．200
C．250 D．300
D [由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390.
由P′(x)＝0，得x＝300.
当0≤x＜300时，P′(x)＞0；当300≤x≤390时，P′(x)＜0，所以当x＝300时，P(x)最大．故选D.]
2．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为 ( )
A．120 000 cm3 B．128 000 cm3
C．150 000 cm3 D．158 000 cm3
B [设水箱底边长为x cm，则水箱高h＝60－(cm)．
水箱容积V＝V(x)＝x2h＝60x2－(cm3)(0
0.
设总利润为y万元，
y＝·x－1 200－x3
＝500－x3－1 200.
则y′＝－x2.
令y′＝0，得x＝25.
故当00，当x>25时，y′<0，所以，当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值．]
8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
5 [设仓库与车站相距x千米，依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数，于是由2＝得k1＝20；由8＝10k2得k2＝.
∴两项费用之和为y＝＋(x＞0)，
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y′＝－＋，令y′＝0，
得x＝5或x＝－5(舍去)．
当0＜x＜5时，y′＜0；
当x＞5时，y′＞0.
∴当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．
∴当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．]
三、解答题
9．某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(60，当x∈(9,11)时，y′<0，
∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上单调递增，在(9,11)上单调递减，
∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135，
∴售价为9元时，年销售利润最大，最大利润为135万元．
10．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.
【导学号：97792171】
[解] 设容器底面较短的边长为x m，则容器底面较长的边长为(x＋0.5)m，高为＝3.2－2x(m)，
由3.2－2x>0和x>0，得00；
当10；当0，s单调递增．故当x＝时，s的最小值是.]
4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y＝－x＋8，x∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以__________千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少．
80 [当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，依题意得，
y＝
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＝＋－(00，该函数递增，故当x＝80时，y取得最小值．]
5．在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势．假设某网校的套题每日的销售量h(x)(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式为h(x)＝f(x)＋g(x)(30，函数F(x)在上单调递增，
当x∈时，F′(x)<0，函数F(x)在上单调递减，
所以x＝≈4.3时，函数F(x)取得最大值．
故当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．
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