重庆市第一中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

重庆市第一中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

‎2019年重庆一中高2020级高三上期半期考试 数学（文科）测试试题卷 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上.‎ ‎2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.‎ ‎3.考试结束后，将答题卡交回.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题意的）‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用一元二次不等式解出集合，利用补集的运算即可求出。‎ ‎【详解】由集合，解得：‎ ‎，‎ 故答案选C。‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的求解以及集合补集的运算，属于基础题。‎ ‎2.若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将z分离出来得到，然后分子分母同乘以，化简即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，则复平面内对应的点位于第一象限.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及几何意义，属于基础题.‎ ‎3.等比数列中，、是函数的两个零点，则等于 ‎ A. B. 3 C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：利用根与系数的关系求得，再由等比数列的性质得答案.‎ 详解：是函数的两个零点，‎ 是方程0的两个根，‎ ‎，‎ 由等比数列的性质可得.‎ 故选：B.‎ 点睛：本题考查等比数列的性质，是基础的计算题.‎ ‎4.已知向量，，，若，则的值为（）‎ A. 2 B. C. D. -2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由表示出与基本关系，化简求解即可 ‎【详解】，‎ 答案选D ‎【点睛】本题考查向量平行的坐标表示法、三角函数的化简求值，需熟记向量平行的坐标表示法为：‎ 或 ‎5.“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断充分性和必要性，得到表示焦点在轴上的双曲线；表示双曲线，则，计算判断得到答案.‎ ‎【详解】若，则，表示焦点在轴上的双曲线，充分性；‎ 若表示双曲线，则，必要性.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了充分必要条件，意在考查学生的推断能力.‎ ‎6.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线方程为，计算截距得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】易知斜率不存在时不满足；‎ 设直线方程为，则截距和为：解得或 ‎ 故直线方程为：和 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.‎ ‎7.已知，则（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中f（x﹣1）=x2+4x﹣5，我们利用凑配法可以求出f（x）的解析式，进而再由代入法可以求出f（x+1）的解析式。‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴‎ ‎∴，故选A ‎【考点】用凑配方和代入法求函数的解析式。‎ ‎【点睛】把用表示出来，是解决本题的关键。‎ ‎8.定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对称性和奇函数得到函数是周期为8的周期函数，得到 ‎，计算得到答案.‎ ‎【详解】的图象关于直线对称，则即 为奇函数，则 则得到所以，函数周期为8‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了函数值计算，通过运算得到函数的周期是解题的关键.‎ ‎9.如图，正三棱柱中，，是的中点，则与平面所成角的正弦值等于（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 记分别为直线的中点，取中点，连结，，只需证平面，即可得是与平面所成的角，进而可求出结果.‎ ‎【详解】记分别为直线的中点，取中点，连结，，所以在正三棱柱中，平面；又是的中点，所以,所以平面，故即是与平面所成的角；设，则，‎ ‎，所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，只需在几何体中作出线面角，即可求解，属于基础题型.‎ ‎10.已知正实数满足，若对任意满足条件的，都有恒成立，则实数的最大值为( )‎ A. B. 7 C. D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由 ，利用，求得，恒成立，等价于恒成立，令，利用单调性求出的最小值，进而可得结果.‎ ‎【详解】 ，且，‎ 故，整理即，‎ 又均为正实数，故，‎ 又对于任意满足的正实数，均有恒成立，‎ 整理可得恒成立，令，‎ 令，时 所以在上递增，‎ ‎，因此，‎ 实数的最大值为7，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立.‎ ‎11.已知的三个内角所对的边分别为，的外接圆的面积为，且，则的最大边长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，根据正弦定理得到 ‎，根据余弦定理得到，再计算得到答案.‎ ‎【详解】的外接圆的面积为 则 ‎，根据正弦定理： ‎ 根据余弦定理：‎ 故为最长边： ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，外接圆面积，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.‎ ‎12.设函数在上最小的零点为，曲线在点处的切线上有一点，曲线上有一点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由导数的几何意义可得：曲线在点处的切线的方程为，‎ 由导数的应用可得：当的坐标为时，点到切线的距离为的最小值，再利用点到直线的距离公式求解即可.‎ ‎【详解】解:令，。则，即，，‎ 则的最小值为1，即=1，又，所以，‎ 又，所以曲线在点处的切线的方程为，‎ 由，则，令，解得，此时，‎ 即当的坐标为时，点到直线的距离为的最小值，‎ 由点到直线的距离公式可得：=， ‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求切线方程及点到直线的距离公式，重点考查了运算能力，属中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用和差公式的逆运算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了是三角恒等变换，属于简单题.‎ ‎14.已知.若数列是递增数列，则实数a的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 数列是递增数列，则是单调递增的一次函数型的数列，建立不等式关系进行求解即可。‎ ‎【详解】，‎ ‎，解得。‎ 故答案为：。‎ ‎【点睛】本题主要考查数列单调的性质的应用，根据数列单调性建立不等式关系是解决本题的关键。‎ ‎15.在直三棱柱中，且,，设其外接球球心为，且球的表面积为，则的面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算球的半径为，确定球心为的中点，根据边角关系得到，计算面积得到答案.‎ ‎【详解】球的表面积为 如图所示：为中点，连接 ‎ ‎，故三角形的外心在中点上，故外接球的球心为的中点.‎ 在中：，故；‎ 在中：，，故，故 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，确定球心的位置是解题的关键.‎ ‎16.已知双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证明是正三角形，在中，由余弦定理、结合双曲线的定义可得，化为 ‎，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意，得，另一个焦点，‎ 由对称性知，，‎ 又因为线段的垂直平分线经过点，，‎ 则，可得是正三角形，‎ 如图所示，连接，则，‎ 由图象的对称性可知，，‎ 又因为是等腰三角形，‎ 则，‎ 在中，‎ 由余弦定理：，‎ 上式可化为，‎ 整理得：，即，由于，‎ 则，‎ 故，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于 的等式，最后解出的值.‎ 三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.)‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）求的对称轴；‎ ‎（2）当时，若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简得到，计算得到答案.‎ ‎（2）根据得到，根据范围得到或计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）‎ 的对称轴满足：‎ ‎（2）‎ 故所以或 解得：或 ‎【点睛】本题考查了三角函数的对称轴和根据函数值求角度，意在考查学生的计算能力.‎ ‎18.已知数列中，，‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求的前项和；‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据递推公式构造等比数列求通项公式；（2）利用错位相减法对数列求和.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，则数列是首项为公比为2的等比数列，则：即；‎ ‎（2），记的前项和为，则：‎ ‎，则，‎ 两式相减：.‎ 则的前项和为：.‎ ‎【点睛】（1）形如的递推公式，可采用构造等比数列的方法求解数列通项公式；‎ ‎（2）错位相减法一般适用于：等差乘以等比形式的数列求和.‎ ‎19.如图，在三棱柱中，、分别是、的中点.‎ ‎（1）设棱的中点为，证明：平面；‎ ‎（2）若，，，且平面平面，求三棱柱的高.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，证明出平面平面，然后利用平面与平面平行的性质可得出平面；‎ ‎（2）将三棱柱的高转化成三棱锥的高来计算，过点作交于点，可得出平面，计算出的长度，然后利用等体积法由计算出三棱锥的高.‎ ‎【详解】（1）连接，在三棱柱中，，‎ 是的中点，是的中点，，四边形是平行四边形，‎ ‎，平面，平面，平面.‎ ‎、分别是、的中点，，‎ 又平面，平面，平面，‎ ‎，、平面，平面平面.‎ 平面，平面；‎ ‎（2）三棱柱的高转化成三棱锥的高，设为，‎ 过点作交于点，‎ 因为平面平面，平面平面，‎ 又因为，平面，所以平面，‎ 在中，，.‎ 又因为，.‎ 所以，所以，解得.‎ 因此，三棱柱的高为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了三棱柱高的计算，一般转化为三棱锥的高，利用等体积法来进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎20.已知点和直线，直线过直线上的动点且与直线垂直，线段的垂直平分线与直线相交于点 ‎（I）求点的轨迹的方程；‎ ‎（II）设直线与轨迹相交于另一点，与直线相交于点，求的最小值 ‎【答案】（I）；（II）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据垂直平分线性质可知，由抛物线定义可得到所求轨迹方程；（II）由题意可知，直线斜率存在，且斜率不为零，设，‎ ‎，与抛物线方程联立得到韦达定理的形式，利用坐标运算表示出，代入韦达定理，结合基本不等式求得最小值.‎ ‎【详解】（I）连接 为线段的垂直平分线 ‎ 即点到定点的距离等于点到定直线的距离 由抛物线的定义可知，点的轨迹为：‎ ‎（II）由题意可知，直线斜率存在，且斜率不为零 设，，直线，‎ 将直线方程代入抛物线方程可得：‎ 则 ‎ 又 ，‎ 当且仅当，即时取等号 ‎【点睛】本题考查轨迹方程的求解、抛物线中的最值问题的求解，本题中轨迹求解的关键是能够根据动点满足的条件确认满足抛物线定义，从而得到抛物线方程；解决最值问题的关键是能够利用韦达定理表示出所求量，通过基本不等式求得结果.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，不等式对一切恒成立，求实数的取值范围 ‎【答案】（1）答案见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的解析式分类讨论即可确定函数的单调区间；‎ ‎(2)原问题等价于在上恒成立，据此设出导函数的零点，结合导函数的性质讨论函数的最值，得到关于b的不等式即可确定其取值范围.‎ ‎【详解】（1）的定义域是，．‎ ‎①时，，在上单调递增：‎ ‎②时，，解得，‎ 当时，，则在上递减；‎ 当时，，则在上递增．‎ ‎（2）当时，，‎ 依题意知不等式，‎ 即在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 设，，‎ 令，，‎ 易知在上递减，在上递增，‎ 则，‎ 即，设，则，‎ ‎，则递增，又故，，‎ ‎∴，解得．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究不等式恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线，的极坐标方程；‎ ‎（2）在极坐标系中，射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的面积（其中为坐标原点）.‎ ‎【答案】(1) 曲线:,曲线：.‎ ‎(2)1.‎ ‎【解析】‎ 分析：第一问首先将参数方程消参化为普通方程，之后应用极坐标与平面直角坐标之间的转换关系，求得结果，第二问联立对应曲线的极坐标方程，求得对应点的极坐标，结合极径和极角的意义，结合三角形面积公式求得结果.‎ 详解：（1）由曲线：（为参数），消去参数得：‎ 化简极坐标方程为：‎ 曲线：（为参数）消去参数得：‎ 化简极坐标方程为：‎ ‎（2）联立 即 联立 即 故 点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在求解的过程中，需要明确由参数方程向普通方程转化的过程中，即为消参的过程，注意消参的方法，再者就是直角坐标与极坐标之间的转换关系，在求有关三角形面积的时候，注意对极坐标的意义的把握，求得结果.‎ ‎23.‎ 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）设函数最小值为，实数满足，，，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）f（x）≤x+1，即|x﹣1|+|x﹣3|≤x+1．通过①当x＜1时，②当1≤x≤3时，③当x＞3时，去掉绝对值符号，求解即可；‎ ‎（2）由绝对值不等式性质得，|x﹣1|+|x﹣3|≥|（1﹣x）+（x﹣3）|=2，推出a+b=2．令a+1=m，b+1=n，利用基本不等式转化求解证明即可．‎ ‎【详解】①当时，不等式可化为，．‎ 又∵，∴∅；‎ ‎②当时，不等式可化为，．‎ 又∵，∴．‎ ‎③当时，不等式可化为，．‎ 又∵，∴．‎ 综上所得，． ‎ ‎∴原不等式的解集为． ‎ ‎（2）证明：由绝对值不等式性质得，，‎ ‎∴，即．‎ 令，，则，，，，‎ ‎ ，‎ 原不等式得证．‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．‎ ‎ ‎