八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14-2乘法公式14-2-2完全平方公式教学课件新版 人教版

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14-2乘法公式14-2-2完全平方公式教学课件新版 人教版

14.2.2 完全平方公式 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2 乘法公式 学习目标 1. 理解并掌握 完全平方 公式的推导过程、结构特点、 几何解释 . (重点) 2. 灵活应用完全平方公式进行计算 . (难点) 导入新课 情境引入 一块边长为 a 米的正方形实验田, 因需要将其边长增加 b 米 . 形成四块实验田,以种植不同的新品种 ( 如图 ). 用不同的形式表示实验田的总面积 , 并进行比较 . 直接求:总面积 = ( a+b )( a+b ) 间接求:总面积 = a 2 + ab+ab+b 2 你发现了什么? ( a+b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 a a b b 讲授新课 完全平方公式 一 问题 1 计算下列多项式的积,你能发现什么规律? ( 1 ) ( p +1) 2 =( p +1)( p +1)= . p 2 +2 p +1 ( 2 ) ( m +2) 2 =( m +2)( m +2)= . m 2 +4 m +4 ( 3 ) ( p -1) 2 =( p -1)( p -1)= . p 2 -2 p +1 ( 4 ) ( m -2) 2 =( m -2)( m -2)= . m 2 -4 m +4 问题 2 根据你发现的规律,你能 写出下列式子的 答案吗? ( a + b ) 2 = . a 2 +2 ab + b 2 ( a - b ) 2 = . a 2 -2 ab + b 2 合作探究 知识要点 完全平方公式 ( a + b ) 2 = . a 2 +2 ab + b 2 ( a - b ) 2 = . a 2 -2 ab + b 2 也就是说, 两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的 2 倍 . 这两个公式叫做(乘法的) 完全平方公式 . 简记为: “首平方,尾平方,积的 2 倍放中间” 问题 3 你能根据图 1 和图 2 中的面积说明完全平方公式吗 ? b a a b b a b a 图 1 图 2 几何解释 : a a b b = + + + a 2 ab ab b 2 ( a + b ) 2 = . a 2 +2 ab + b 2 和的完全平方公式: a 2 − a b − b ( a − b ) = a 2 −2 a b + b 2 . = ( a − b ) 2 a − b a − b a a a b b ( a − b ) b b ( a − b ) 2 几何解释 : ( a - b ) 2 = . a 2 -2 ab + b 2 差的完全平方公式: ( a + b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 . ( a - b ) 2 = a 2 - 2 ab + b 2 . 问题 4 观察下面两个完全平方式,比一比,回答下列问题: 1. 说一说积的次数和项数 . 2. 两个完全平方式的积有相同的项吗?与 a , b 有 什么关系? 3. 两个完全平方式的积中不同的是哪一项?与 a , b 有什么关系?它的符号与什么有关? 公式特征: 4. 公式中的字母 a , b 可以表示数,单项式和多项式 . 1. 积为二次三项式; 2. 积中两项为两数的平方和; 3. 另一项是两数积的 2 倍,且与 两数 中间的符号相同 . 想一想: 下面各式的计算是否正确?如果不正确 , 应当怎样改正? ( 1 ) ( x + y ) 2 = x 2 + y 2 (2)( x - y ) 2 = x 2 - y 2 (3) (- x + y ) 2 = x 2 +2 xy + y 2 (4) (2 x + y ) 2 =4 x 2 +2 xy + y 2 × × × × ( x + y ) 2 = x 2 +2 xy + y 2 ( x - y ) 2 = x 2 -2 xy + y 2 (- x + y ) 2 = x 2 - 2 xy + y 2 (2 x + y ) 2 =4 x 2 + 4 xy + y 2 典例精析 例 1 运用完全平方公式计算: 解 : (4 m + n ) 2 = =16 m 2 (1)(4 m + n ) 2 ; ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 (4 m ) 2 +2•(4 m ) • n + n 2 +8 mn + n 2 ; ( a - b ) 2 = a 2 - 2 ab + b 2 y 2 = y 2 - y + 解 : = + -2 • y • (2) 利用完全平方公式计算: (1)(5 - a ) 2 ; (2)( - 3 m - 4 n ) 2 ; (3)( - 3 a + b ) 2 . 针对训练 (3)( - 3 a + b ) 2 = 9 a 2 - 6 ab + b 2 . 解: (1)(5 - a ) 2 = 25 - 10 a + a 2 ; (2)( - 3 m - 4 n ) 2 = 9 m 2 + 24 mn + 16 n 2 ; (1) 102 2 ; 解: 102 2 = (100+2) 2 =10000+400+4 =10404. (2) 99 2 . 99 2 = (100 –1) 2 =10000 - 200+1 =9801. 例 2 运用完全平方公式计算: 方法总结: 运用完全平方公式进行简便计算,要熟记完全平方公式的特征,将原式转化为能利用完全平方公式的形式. 利用乘法公式计算: (1)98 2 - 101×99 ; (2)2016 2 - 2016×4030 + 2015 2 . 针对训练 = (2016 - 2015) 2 = 1. 解: (1) 原式= (100 - 2) 2 - (100 + 1)(100 - 1) = 100 2 - 400 + 4 - 100 2 + 1 =- 395 ; (2) 原式= 2016 2 - 2×2016×2015 + 2015 2 例 3 已知 x - y = 6 , xy =- 8. 求 : (1) x 2 + y 2 的值; (2)( x + y ) 2 的值 . = 36 - 16=20 ; 解: (1)∵ x - y = 6 , xy =- 8 , ( x - y ) 2 = x 2 + y 2 - 2 xy , ∴ x 2 + y 2 = ( x - y ) 2 + 2 xy (2)∵ x 2 + y 2 = 20 , xy =- 8 , ∴( x + y ) 2 = x 2 + y 2 + 2 xy = 20 - 16 = 4. 方法总结: 本题要熟练掌握完全平方公式的变式: x 2 + y 2 =( x - y ) 2 +2 xy =( x + y ) 2 -2 xy , ( x - y ) 2 =( x + y ) 2 - 4 xy . 添括号法则 二 a +( b + c ) = a + b + c ; a - ( b + c ) = a - b – c . a + b + c = a + ( b + c ) ; a – b – c = a – ( b + c ) . 去括号 把上面两个等式的左右两边反过来,也就添括号: 添括号时 , 如果括号前面是 正 号 , 括到括号里的各项都 不变 号 ; 如果括号前面是 负 号 , 括到括号里的各项都 改变 符号(简记为“ 负变正不变 ”) . 知识要点 添括号法则 例 5 运用乘法公式计算 : (1) ( x +2 y -3)( x -2 y +3) ; (2) ( a+b+c ) 2 . 原式 =[ x +(2 y –3)][ x -(2 y -3)] 解 : (1) 典例精析 (2) 原式 = [( a+b )+ c ] 2 = x 2 -(2 y -3) 2 = x 2 -(4 y 2 -12 y +9) = x 2 -4 y 2 +12 y -9. = ( a+b ) 2 +2( a+b ) c + c 2 = a 2 +2 ab + b 2 +2 ac +2 bc + c 2 . 方法总结: 第 1 小题选用平方差公式进行计算,需要分组 . 分组方法是“符号相同的为一组,符号相反的为另一组” . 第 2 小题要把其中两项看成一个整体,再按照完全平方公式进行计算 . 计算: (1)( a - b + c ) 2 ; (2)(1 - 2 x + y )(1 + 2 x - y ) . 针对训练 = 1 - 4 x 2 + 4 xy - y 2 . 解: (1) 原式= [( a - b ) + c ] 2 = ( a - b ) 2 + c 2 + 2( a - b ) c = a 2 - 2 ab + b 2 + c 2 + 2 ac - 2 bc ; (2) 原式= [1 + ( - 2 x + y )][1 - ( - 2 x + y )] = 1 2 - ( - 2 x + y ) 2 当堂练习 2. 下列计算结果为 2 ab - a 2 - b 2 的是 ( ) A . ( a - b ) 2 B . ( - a - b ) 2 C .- ( a + b ) 2 D .- ( a - b ) 2 1. 运用乘法公式计算 ( a -2 ) 2 的结果是(  ) A. a 2 -4 a +4 B. a 2 -2 a +4 C. a 2 -4 D. a 2 -4 a -4 A D 3. 运用完全平方公式计算 : (1) (6 a +5 b ) 2 =_______________ ; (2) (4 x -3 y ) 2 =_______________ ; (3) (2 m -1) 2 =_______________ ; (4)(-2 m -1) 2 =_______________ . 36 a 2 +60 ab +25 b 2 16 x 2 -24 xy +9 y 2 4 m 2 +4 m +1 4 m 2 -4 m +1 4. 由完全平方公式可知: 3 2 + 2×3×5 + 5 2 = (3 + 5) 2 = 64 ,运用这一方法计算: 4.321 2 + 8.642×0.679 + 0.679 2 = ________ . 25 5. 计算 (1)(3 a + b - 2)(3 a - b + 2) ; ( 2 )( x - y - m + n )( x - y + m - n ). (2) 原式= [( x - y ) - ( m - n )][( x - y ) + ( m - n )] 解: (1) 原式= [3 a + ( b - 2)][3 a - ( b - 2)] = (3 a ) 2 - ( b - 2) 2 = 9 a 2 - b 2 + 4 b - 4.   = ( x - y ) 2 - ( m - n ) 2 = x 2 - 2 xy + y 2 - m 2 + 2 mn - n 2 . 6. 若 a+b =5, ab =-6, 求 a 2 + b 2 , a 2 - ab + b 2 . 7. 已知 x+y =8, x-y =4, 求 xy . 解: a 2 + b 2 = ( a+b ) 2 -2 ab =5 2 -2×(-6)=37 ; a 2 - ab + b 2 = a 2 + b 2 - ab =37-(-6)=43. 解: ∵ x+y =8, ∴( x+y ) 2 =64, 即 x 2 + y 2 +2 xy =64①; ∵ x - y =4, ∴( x-y ) 2 =16, 即 x 2 + y 2 -2 xy =16②; 由 ① -② 得 4 xy =48 ∴ xy =12. 课堂小结 完全平方公式 法则 注意 ( a±b ) 2 = a 2 ± 2 ab+b 2 1. 项数、符号、字母及其指数 2. 不能直接应用公式进行计算的式子,可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行 常用 结论 3. 弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面) a 2 + b 2 =( a+b ) 2 -2 ab =( a-b ) 2 +2 ab ; 4 ab =( a+b ) 2 -( a-b ) 2 .
查看更多

相关文章

您可能关注的文档