北京市第四中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

北京市第四中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

‎2019北京四中高一(上)期中 数学 卷(I)‎ 一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ‎1.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{3，4，5}，则集合A∩B＝（　　）‎ A. {2，3，4，5} B. {3} C. {1，4，5} D. {1，3，4，5}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用交集的定义求解.‎ ‎【详解】因为集合A＝{1，3}，B＝{3，4，5}，‎ 所以A∩B＝{3}.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查交集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎2.函数的定义域是（　　）‎ A. R B. {x|x＞2} C. {x|x≥1} D. {x|x≥1且x≠2}‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，解不等式即得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 解之得且，‎ 所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎3.若a＞b，则下列各式中正确的是（　　）‎ A. ac＞bc B. ac2＞bc‎2 ‎C. a+c2＞b+c2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A. 时显然不成立；B.时，显然不成立C.利用不等式的加法法则可以证明是正确的；‎ D.利用作差法证明是错误的.‎ ‎【详解】A. ac＞bc，时显然不成立；‎ B.ac2＞bc2,时，不成立；‎ C. a+c2＞b+c2，利用不等式的加法法则可以证明是正确的；‎ D. ，符号不能确定，是错误的.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查不等式性质和作差法比较大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（　　）‎ A. y＝x2﹣2x B. y＝|x| C. y＝2x+1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出每一个选项的函数的单调减区间即得解.‎ ‎【详解】A. y＝x2﹣2x,函数的减区间为，所以选项A不符；‎ B. y＝|x|，函数的减区间为，所以选项B不符；‎ C.y＝2x+1,函数是增函数，没有减区间，所以选项C不符；‎ D. ，函数的减区间为（0，+∞），所以选项D符合.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查函数的单调区间的判定方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎5.命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤‎0”‎的否定是（　　）‎ A. ∃x∈R，x3﹣x2+1≥0 B. ∃x∈R，x3﹣x2+1＞0‎ C. ∃x∈R，x3﹣x2+1≤0 D. ∀x∈R，x3﹣x2+1＞0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用全称命题的否定解答即可.‎ ‎【详解】命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤‎0”‎的否定是“∃x∈R，x3﹣x2+1＞0.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎6.下列函数中：①②③y＝x2+1④偶函数的个数是（　　）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数奇偶性的判断方法对每一函数进行判断得解.‎ ‎【详解】①,定义域是，满足，所以函数是奇函数，所以与题不符；‎ ‎②，定义域是，定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，与题不符；‎ ‎③y＝x2+1，定义域是R，满足，所以函数是偶函数，所以与题相符；‎ ‎④，定义域是，满足，所以函数是偶函数，所以与题相符.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎7.“”是“”的 （ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：,所以“”是“”的充分而不必要条件．‎ 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎8.函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（　　）‎ A. （2，+∞） B. （1，2） C. （0，1） D. （﹣1，0）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，即得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以，‎ 因为函数是R上的连续函数，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎9.下列函数中，满足f（2x）＝‎2f（x）的是（　　）‎ A. f（x）＝（x+2）2 B. f（x）＝x+1‎ C. D. f（x）＝x﹣|x|‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每一个选项的函数逐一验证即得解.‎ ‎【详解】A. f（x）＝（x+2）2,所以，所以不满足满足f（2x）＝‎2f（x）；‎ B. f（x）＝x+1，所以；‎ C. ，所以；‎ D. f（x）＝x﹣|x|，所以，满足f（2x）＝‎2f（x）.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查求函数值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎10.函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）‎ A. ，，‎ B. ，，‎ C. ，，‎ D. ，，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：函数在处无意义，由图像看在轴右侧，所以，，由即，即函数的零点，故选C．‎ 考点：函数的图像 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 ‎11.设全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{﹣3，﹣1，1，3}，则集合（∁UA）∩B＝_____．‎ ‎【答案】{﹣3，﹣1，3}‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出∁UA，再求（∁UA）∩B得解.‎ ‎【详解】全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{﹣3，﹣1，1，3}，‎ 则集合∁UA＝{x|x≤0或x≥2}，‎ 所以集合（∁UA）∩B＝{﹣3，﹣1，3}．‎ 故答案为：{﹣3，﹣1，3}‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎12.已知，则f（f（﹣1））的值为_____．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求的值，再求f（f（﹣1））的值.‎ ‎【详解】根据题意，，‎ 则f（﹣1）＝3×（﹣1）2＝3，‎ 则f（f（﹣1））＝f（3）＝2×3﹣1＝5.‎ 故答案为：5‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对这些知识理解掌握水平.‎ ‎13.函数y＝x2+3x﹣1，x∈[﹣2，3]的值域是_____．‎ ‎【答案】[，17]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用二次函数的图象和性质求解.‎ ‎【详解】因为y＝x2+3x﹣1，所以函数对称轴为，‎ 因为x∈[﹣2，3]，所以当x时，y的值最小为，‎ 当x＝3时，y的值最大为32+9﹣1＝17，‎ 所以函数的值域为[，17]．‎ 故答案为：[，17]‎ ‎【点睛】本题主要考查二次函数在区间上的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14.若x＞0，则的最小值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用基本不等式求函数的最小值.‎ ‎【详解】∵x＞0，‎ ‎∴4x2（当且仅当4x即x时，取“＝”号），‎ ‎∴当x时，f（x）最小值为．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎15.若二次函数f（x）的图象关于x＝2对称，且f（a）≤f（0）＜f（1），则实数a的取值范围是_____．‎ ‎【答案】a≤0或a≥4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析得到二次函数f（x）开口向下，在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．再对分类讨论得解.‎ ‎【详解】由题意可知二次函数f（x）的对称轴为x＝2，‎ 因为f（0）＜f（1），所以f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，‎ 所以二次函数f（x）开口向下，在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．‎ ‎①当a∈时：，解得a≤0．‎ ‎②当a∈（2，+∞）时：因为f（4）＝f（0），‎ 所以，解得a≥4．‎ 综上所求：a≤0或a≥4．‎ 故答案为：a≤0或a≥4．‎ ‎【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎16.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：‎ ‎（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；‎ ‎（ⅱ）女学生人数多于教师人数；‎ ‎（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．‎ ‎①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．‎ ‎②该小组人数最小值为__________．‎ ‎【答案】 (1). 6 (2). 12‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设男生人数、女生人数、教师人数分别为，则.‎ ‎①，‎ ‎②‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理, 题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题、解决问题的能力，同时注意不等式关系以及正整数这个条件.‎ 三.解答题：本大题共3小题，共30分 ‎17.设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，B＝{x|x2+4x+3＜0}，C＝{x|2k﹣1＜x＜2k+3}．‎ ‎（1）求A∪B；‎ ‎（2）若C⊆A∪B，求实数k的取值范围．‎ ‎【答案】(1) A∪B＝{x|x＜﹣1或x＞3}；(2) k≤﹣2或k≥2．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先化简集合A和B,再求A∪B；（2）由题得2k1≥3或2k+3≤1，解不等式得解.‎ ‎【详解】（1）集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，‎ B＝{x|x2+4x+3＜0}＝{x|﹣3＜x＜﹣1}，‎ 则A∪B＝{x|x＜﹣1或x＞3}；‎ ‎（2）由C＝{x|2k﹣1＜x＜2k+3}，且C⊆A∪B，‎ 令2k1≥3或2k+3≤1，解得k≥2或k≤2，‎ 所以实数k的取值范围是k≤2或k≥2．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的并集运算和集合关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎18.已知a，b＞0，证明：a3+b3≥a2b+ab2．‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用作差比较法证明不等式.‎ ‎【详解】证明：（a3+b3）（a2b+ab2）＝a2（a﹣b）+b2（b﹣a）‎ ‎＝（a﹣b）（a2﹣b2）＝（a﹣b）2（a+b）‎ ‎∵a＞0，b＞0，‎ ‎∴a+b＞0，（a﹣b）2≥0，‎ ‎∴（a﹣b）2（a+b）≥0，‎ 则有a3+b3≥a2b+b‎2a．‎ ‎【点睛】本题主要考查比较法证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎19.已知函数f（x）（a∈R，a≠0）．‎ ‎（1）当a＝1时，解关于x不等式f（x）＞0；‎ ‎（2）若f（x）+g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) {x|0＜x＜2}；(2) （﹣∞，0）∪[，+∞）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)等价于不等式，解之即得解；（2）等价于在（0，+∞）上恒成立，再利用基本不等式求函数的最小值即得解.‎ ‎【详解】（1）当a＝1时，f（x）．‎ ‎∵f（x）＞0，∴，∴0＜x＜2，‎ ‎∴不等式的解集为{x|0＜x＜2}；‎ ‎（2）f（x）+g（x），‎ ‎∵f（x）+g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，‎ ‎∴在（0，+∞）上恒成立，∴只需．‎ ‎∵当x＞0时，，当且仅当x＝1时取等号，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴a＜0或a，‎ ‎∴a的取值范围为（﹣∞，0）∪[，+∞）．‎ ‎【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，考查基本不等式求最值和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 卷(II)‎ 二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分 ‎20.已知集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|x＝‎2a，a∈M}，则集合M∩N＝_____．‎ ‎【答案】{0，2}‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合N，再求M∩N.‎ ‎【详解】∵M＝{0，1，2，3}，N＝{0，2，4，6}，‎ ‎∴M∩N＝{0，2}．‎ 故答案为：{0，2}‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎21.不等式的解集为 　　‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 略 ‎22.已知x＞y＞z，x+y+z＝0，则①xz＜yz②xy＞yz③xy＞xz④x|y|＞z|y|四个式子中正确的是_____．（只填写序号）‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得有三种可能（1）x＞0，y＞0，z＜0，（2）x＞0，y＜0，z＜0，（3）x+z＝0，y＝0．再判断得解.‎ ‎【详解】已知x＞y＞z，x+y+z＝0，则有三种可能（1）x＞0，y＞0，z＜0，（2）x＞0，y＜0，z＜0，（3）x+z＝0，y＝0．‎ 所以①xz＜yz正确．②xy＞yz不正确．③xy＞xz正确．④x|y|＞z|y|不正确．‎ 故答案为：①③‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎23.设．‎ ‎（1）当时，f（x）的最小值是_____；‎ ‎（2）若f（0）是f（x）最小值，则a的取值范围是_____．‎ ‎【答案】 (1). (2). [0，]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出分段函数的每一段的最小值，再求函数的最小值；（2）对 分两种情况讨论，若a＜0，不满足条件．若a≥0，f（0）＝a2≤2，即0≤a，即得解.‎ ‎【详解】（1）当时，当x≤0时，f（x）＝（x）2≥（）2，‎ 当x＞0时，f（x）＝x22，当且仅当x＝1时取等号，‎ 则函数的最小值为，‎ ‎（2）由（1）知，当x＞0时，函数f（x）≥2，此时的最小值为2，‎ 若a＜0，则当x＝a时，函数f（x）的最小值为f（a）＝0，此时f（0）不是最小值，不满足条件．‎ 若a≥0，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，‎ 则当x≤0时，函数f（x）的最小值为f（0）＝a2，‎ 要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）＝a2≤2，即0≤a，‎ 即实数a的取值范围是[0，]‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的最值的求法，考查分段函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎24.已知集合M＝{x∈N|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有5个元素； ②A1∪A2∪A3＝M．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为_____．‎ ‎【答案】96‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对分三种情况讨论，求出X1+X2+X3取最小值39，X1+X2+X3取最大57，即得解.‎ ‎【详解】由题意集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，‎ 当A1＝{1，4，5，6，7}，A2＝{3，12，13，14，15}，A3＝{2，8，9，10，11}时，‎ X1+X2+X3取最小值：X1+X2+X3＝8+18+13＝39，‎ 当A1＝{1，4，5，6，15}，A2＝{2，7，8，9，14}，A3＝{3，10，11，12，13}时，‎ X1+X2+X3＝16+16+16＝48，‎ 当A1＝{1，2，3，4，15}，A2＝{5，6，7，8，14}，A3＝{9，10，11，12，13}时，‎ X1+X2+X3取最大值：X1+X2+X3＝16+19+22＝57，‎ ‎∴X1+X2+X3的最大值与最小值的和为：39+57＝96．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合新定义的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 三.解答题：本大题共2小题，共20分 ‎25.已知函数f（x）＝x2+a|x﹣1|．‎ ‎（1）当a＝2时，解方程f（x）＝2；‎ ‎（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) x＝0或．(2) [﹣2，0]．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）即解方程x2+2|x﹣1|＝2．对分类讨论即得方程的解；（2）对分x≥1和0≤x＜1两种情况讨论得解.‎ ‎【详解】（1）当a＝2时，f（x）＝x2+2|x﹣1|＝2．‎ 当x＜1时，x2+2（1﹣x）＝2，x2﹣2x＝0，得x＝0；‎ 当x≥1时，x2+2（x﹣1）＝2，x2+2x﹣4＝0，得．‎ 综上，方程f（x）＝2的解为x＝0或．‎ ‎（2）x≥1时，f（x）＝x2+a（x﹣1）＝x2+ax﹣a在[1，+∞）上单调递增，‎ 则，故a≥﹣2；‎ ‎0≤x＜1时，f（x）＝x2﹣ax+a，，故a≤0．‎ 且1﹣a+a≤1+a﹣a恒成立．‎ 综上，实数a的取值范围是[﹣2，0]．‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值方程的解法，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎26.设a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）＝bx2+cx+d，g（x）＝ax3+bx2+cx+d．若f（x），g（x）满足①f（x）有零点；②f（x）的零点均为g（f（x））的零点；③g（f（x））的零点均为f（x）的零点．则称f（x），g（x）为一对“K函数”．‎ ‎（1）当a＝c＝d＝1，b＝0时，验证f（x），g（x）是否为一对“K函数”，并说明理由；‎ ‎（2）若f（x），g（x）为任意一对“K函数”，求d的值；‎ ‎（3）若a＝1，f（1）＝0，且f（x），g（x）为一对“K函数”，求c的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 不是一对“K函数”，理由见解析；(2) d＝0 (3) c∈[0，）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)检验得此时不满足②，所以不是一对“K函数”；（2）利用“K函数”的定义求出；（3）换元法，设t＝﹣cx（x﹣1），根据t的范围，对g（f（x））讨论，求出c的范围.‎ ‎【详解】（1）若f（x），g（x）为任意一对“K函数”，由f（x）＝x+1＝0，得x＝﹣1，‎ 所以g（f（﹣1））＝g（0）＝1，故x＝﹣1不是g（f（x））的零点，故不满足②，所以不是一对“K函数”，‎ ‎（2）设r为方程的一个根，即f（r）＝0，则由题设得g（f（r））＝0．‎ 于是，g（0）＝g（f（r））＝0，即g（0）＝d＝0．‎ 所以d＝0，反之g（f（x））＝f（x）[f4（x）+bf（x）+cf（x））＝0，‎ 则f（x）＝0成立，故d＝0；‎ ‎（3）因为d＝0，由a＝1，f（1）＝0得b＝﹣c，‎ 所以f（x）＝bx2+cx＝﹣cx（x﹣1），g（f（x））＝f（x）[f2（x）﹣cf（x）+c]，‎ 由f（x）＝0得x＝0，1，可以推得g（f（x））＝0，‎ 根据题意，g（f（x））的零点均为f（x）的零点，‎ 故f2（x）﹣cf（x）+c＝0必然无实数根 设t＝﹣cx（x﹣1），则t2﹣ct+c＝0无实数根，‎ 当c＞0时，t＝﹣c（x）2，h（t）＝t2﹣ct+c＝（t）2+c，‎ 所以h（t）min＝h（）＞0，即，解得c∈（0，），‎ 当c＜0时，t＝﹣c（x）2，h（t）＝t2﹣ct+c＝（t）2+c，‎ 所以h（t）min＝h（）＞0，即c，解得c∈（0，4），因为c＜0，显然不成立，‎ 当c＝0时，b＝0，此时f（x）＝0在R上恒成立，g（f（x））＝c＝0也恒成立，‎ 综上：c∈[0，）．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的新定义，考查求参数的值和范围，考查了二次函数的最值的求法和二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想，难度较大.‎