数学理卷·2019届湖南省衡阳八中高二上学期期中考试(2017-11)

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数学理卷·2019届湖南省衡阳八中高二上学期期中考试(2017-11)

‎2017年下期衡阳市八中高二期中考试 数学试题 请注意:时量120分钟 满分100分或120分 特别提示:第?题和第?题为创新班加试试题 ‎(试题、答题卡、答案分做电子版,另所有客观题答案务必做成表格形式放在答案文档的第一行)‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.命题“若,则”的逆命题是 A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 ‎【答案】C ‎【解析】命题“若,则”的逆命题是“若,则”,所以命题“若,则”的逆命题是若,则,选C.‎ ‎2.抛物线的准线方程是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线中,准线.‎ ‎3.双曲线的渐近线的方程是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线的渐近线的方程为,故选C。‎ ‎4.已知向量, ,则“”是“”成立的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当时, 可以推出, 当时, 不能推出 所以,“”是“”成立的充分不必要条件. 选A. ‎ ‎5. 已知中心在原点的椭圆的右焦点为,离心率等于,则的方程是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎6.已知实数构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为 A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】由已知得,当,则圆锥曲线是椭圆,,离心;‎ 当时则是双曲线,,离心率,故选C.‎ ‎7.设为曲线:上的点,且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为,则点横坐标的取值范围为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎8.命题:“”,使,命题:“,是成立的充分条件”,则下列命题为假命题的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】对恒成立,所以命题p是假命题. 由不等式的乘法性质可知充分性成立. 所以命题q为真命题. 所以B选项错. 选B.‎ ‎9.函数的图像大致为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,排除, ,显然在上, , 函数为递增,排除C,故选D.‎ ‎10.抛物线的准线与双曲线的左、右支分别交于两点,为双曲线的右顶点,为坐标原点,若,则双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ 因抛物线的准线是,故,则,由题设若可得,则,即 ‎,所以,应选答案C。‎ ‎11.已知椭圆的左、右焦点分别为过作一条直线(不与轴垂直)与椭圆交于两点,如果恰好为等腰直角三角形,该直线的斜率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设,则,,于是,又,所以,所以, ,因此, ,直线斜率为,‎ 由对称性,还有一条直线斜率为,故选C.‎ ‎12.若实数满足,则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 考点:利用导数求最值 二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上)‎ ‎13.若抛物线上的点到轴的距离是,则到焦点的距离为 .【答案】10‎ ‎14.已知函数,其中为实数,为的导函数,若,则的值为 .【答案】3‎ ‎15. 如图,点分别是正方体的棱和的中点,则和所成角的大小是 .【答案】‎ ‎16.过抛物线的焦点作直线交抛物线于,两点,若,,则 .【答案】‎ ‎三、解答题(本大题共52分,解答题应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分8分)已知且。设:函数在区间内单调递减;:曲线与轴交于不同的两点,如果“”为真命题,“”为假命题 ,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ 试题分析:本题考查复合命题真假判定,考查了指数函数的单调性与曲线的交点问题。根据指数函数在区间内单调递减,可得;曲线与轴交于不同的两点,则,求出或。因为“”为真命题,“”为假命题,所以与恰好一真一假,即可求出实数的取值范围。‎ 试题解析:由“函数在区间内单调递减” 可知:,‎ 由“曲线与轴交于不同的两点” 可知:或,‎ 因为“”为真命题,“”为假命题,所以与恰好一真一假,‎ ‎①当真,假时,,即.‎ ‎②当假,真时,,即.‎ 综上可知,的取值范围为:.‎ ‎18.(本小题满分8分)如图,在四棱锥中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,.‎ ‎(1)求证:PD⊥平面PAB; ‎ ‎(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎19.(本小题满分10分)已知双曲线:()的离心率为,虚轴长为.‎ ‎(1)求双曲线的标准方程;‎ ‎(2)过点,倾斜角为的直线与双曲线相交于两点,为坐标原点,求的面积.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)依题意可得,解得,‎ ‎∴双曲线的标准方程为.‎ ‎(2)直线的方程为,设、,由可得,‎ 由韦达定理可得,,‎ 则 原点到直线的距离为,于是,‎ ‎∴△的面积为.‎ ‎20.(本小题满分8分)已知函数,求:‎ ‎(1)函数的图象在点处的切线方程;‎ ‎(2)的单调递减区间.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎21.(本小题满分8分)如图,在四棱锥中,底面,,,点为棱的中点.‎ ‎(1)证明: ; (2)求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ 试题分析:(1)利用题意首先证明面 然后利用线面垂直的结论可得 .‎ ‎(2)建立空间直角坐标系,由平面的法向量可求得二面角的余弦值为.‎ 试题解析:⑴证明:取中点,连接 ‎ 分别是的中点 ‎ ‎ ‎ 四边形是平行四边形 ‎ ‎ 面 , ‎ ‎ 面 ‎ ‎⑵以点为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,则 设面的法向量为 由,令,即 面的一个法向量,设二面角的大小为,则 ‎ ‎22.(本小题满分10分)已知椭圆: 的长轴长为6,且椭圆与圆: 的公共弦长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程.‎ ‎(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于,两点,试判断在轴上是否存在点,使得为以为底边的等腰三角形. 若存在,求出点的横坐标的取值范围,若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)见解析.‎ 试题分析:(1)由长轴长可得值,公共弦长恰为圆直径,可知椭圆经过点,利用待定系数法可得椭圆方程;(2)可令直线的解析式为,设, 的中点为,将直线方程与椭圆方程联立,消去,利用根与系数的关系可得,由等腰三角形中,可得,得出中.由此可得点的横坐标的范围.‎ 试题解析:(1)由题意可得,所以.由椭圆与圆: 的公共弦长为,恰为圆的直径,可得椭圆经过点,所以,解得.所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)直线的解析式为,设, 的中点为.假设存在点,使得为以为底边的等腰三角形,则. 由得,故,所以, .因为,所以,即,所以. 当时, ,所以;当时, ,所以.‎ 综上所述,在轴上存在满足题目条件的点,且点的横坐标的取值范围为.‎
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