甘肃省张掖市第二中学2019-2020学年高一4月开学测试数学试卷

甘肃省张掖市第二中学2019-2020学年高一4月开学测试数学试卷

高一数学 第I卷（选择题)‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知角终边上一点，则（ ）‎ A． B． C． D．不确定 ‎3．已知扇形的周长是，扇形面积为，扇形的圆心角的弧度数是（ ）‎ A．2 B．1 C． D．3‎ ‎4．如果是第三象限的角，那么必然不是下列哪个象限的角（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎5．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ）‎ A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎6．关于空间直角坐标系中的一点有下列说法：①的中点坐标为；②点关于轴对称的点的坐标为；③点关于坐标原点对称的点的坐标为；④点关于平面对称的点的坐标为. 其中正确说法的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．已知空间中不同直线m、n和不同平面α、β，下面四个结论：‎ ‎①若m、n互为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β；‎ ‎②若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β；‎ ‎③若n⊥α，m∥α，则n⊥m；‎ ‎④若α⊥β，m⊥α，n∥m，则n∥β．其中正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎8．执行如下所示的程序框图，如果输入，则输出的属 于（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．某几何体被挖去一部分，剩余部分的三视图如图所示，俯视图 是半径为r的圆，若该几何体的体积为，则它的表面积是 ‎（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．某中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现在用抽样方法抽取10人形成样本，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，如果抽得号码有下列四种情况：‎ ‎①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；‎ ‎②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；‎ ‎③30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；‎ ‎④11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；‎ 其中可能是由分层抽样得到，同时又可能是由系统抽样得到的一组号码为（ ）‎ A．③④ B．②③ C．②③④ D．②④‎ ‎11．已知，，则的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎12．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母共16个计数符合，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：‎ 十六进制 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 十进制 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 例如用十六进制表示：，则用十六进制表示（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．求经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距2倍的直线方程为 ．‎ ‎14．在等腰直角△ABC中，过直角顶点C在△ACB内任作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM＜AC的概率为 ．‎ ‎15．函数y的定义域是 ．‎ ‎16．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”，给出下面四个函数：①；②；③；④．‎ 其中能够被用来构造“同族函数”的是__________．（写出所有符合条件的序号）‎ 三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知集合，，其中．‎ ‎（1）若，求； ‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎18．（12分）已知为第二象限角，.‎ ‎（1）化简：； ‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎19．（12分）某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中抽取了n名学生的成绩作为样本，将所得数经过分析整理后画出了评论分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题：‎ ‎（1）求频率分布直方图中a，b的值；‎ ‎（2）规定大赛成绩在[80，90）的学生 为厨霸，在[90，100]的学生为厨 神，现从被称为厨霸、厨神的学 生中随机抽取2人取参加校际之 间举办的厨艺大赛，求所取2人总至少有1人是厨神的概率．‎ ‎20．（12分）某公司为了预测下月产品销售情况，找出了近7个月的产品销售量（单位：万件）的统计表：‎ 月份代码 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 销售量（万件）‎ 但其中数据污损不清，经查证，，.‎ ‎（1）求关于的回归方程（系数精确到0.01）；‎ ‎（2）公司经营期间的广告宣传费（单位：万元）（），每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由.（毛利润等于销售金额减去广告宣传费）参考公式及数据：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.‎ ‎21．（12分）如图，四棱锥中，底面，，，为的中点，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎22．（12分）已知A（4，0）、B（1，0），动点M满足|AM|=2|BM|．‎ ‎（1）求动点M的轨迹C的方程；‎ ‎（2）直线l：x+y=4，点N∈l，过N作轨迹C的切线，切点为T，求NT取最小时的切线方程．‎ 高一数学答案 ‎1．C【解析】，故选C．‎ ‎2．C【解析】(为坐标原点)，所以.故选:C.‎ ‎3．A【解析】设扇形的半径为，弧长为，则，解得，，‎ 所以.故选：A ‎4．B【解析】是第三象限的角，则，，所以，；所以可以是第一、第三、或第四象限角．故选B．‎ ‎5.A【解析】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确.故选A.‎ ‎6．B【解析】空间直角坐标系中，点，则：对于①，的中点坐标为，①正确；对于②，点关于轴对称的点的坐标为，②错误；对于③，点关于坐标原点对称的点的坐标为，③错误；对于④，点关于平面对称的点的坐标为，④正确. 综上所述：正确的说法序号是①④. 故选：‎ ‎7．C【解析】对于①，由面面平行的判定定理可得，若m、n互为异面直线，m∥α，n∥β，则α∥β或相交，又因为m∥β，n∥α，则α∥β，故①正确；对于②，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β或α∥β或α，β相交，故②错误，对于③，若n⊥α，m∥α，则n⊥m；故③正确，‎ 对于④，若α⊥β，m⊥α，n∥m，则n∥β或n⊂β，故④错误，综上可得：正确的是①③，‎ 故选C．‎ ‎8．D【解析】当时，为单调递减函数，所以；当时，为单调递减函数，所以，所以输出的值属于，故选D．‎ ‎9．C【解析】由三视图可得该几何体是一个底面半径和高均为的圆柱挖掉了一个半径为的半球构成的,所以该几何体的体积为，解得，所以该几何体的表面积为：故选：C ‎10．D【解析】先考虑哪种情况为分层抽样，分层抽样需按年级分成三层，一年级抽4个人，二，三年级各抽3个人，也即1到108号抽4个，109到189号抽3个，190到270号抽3个，可判断①②④是分层抽样，在判断①②④中哪几个是系统抽样，系统抽样需把1到270号分成均等的10部分，每部分按事先约定好的方法抽取1个，则②④为系统抽样．‎ 故选：D．‎ ‎11．B【解析】由题意，因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，故选B.‎ ‎12．D【解析】用十进制表示为，而，所以用十六进制表示为.选D.‎ ‎13．【解析】当在轴上的截距为零时所求直线方程可设为，因为过点，所以；当在轴上的截距不为零时，所求直线方程可设为，因为过点，所以；所以直线方程 ‎14．【解析】所求概率.‎ ‎15．[2kπ，2kπ]（k∈Z）【解析】由2cosx﹣1≥0，得cosx，‎ 解得：．故定义域为[2kπ，2kπ]（k∈Z）‎ ‎16．②③【解析】由题知“同族函数”需要是多对一的一种映射，有一类是有轴对称的函数，。‎ ‎①单调递增，不是多对一，错误；②关于对称，可用来构造“同族函数”；③关于对称，可用来构造“同族函数”；④在上单调递增，不是多对一，错误．故选②③．‎ ‎17．（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）,解得,；‎ 时，；；‎ ‎（2）；‎ ‎① 时，；；② 时，；‎ 解得；‎ 综上，实数的取值范围为．‎ ‎18．（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为，所以 所以 ‎（2）因为，所以，代入得，‎ 因为为第二象限角，所以，故 ‎19．（（1）a=0.0075,b=0.020；（2）.‎ ‎【解析】（1）由题意得：n=，∴a=．‎ b=﹣0.0075﹣0.0125﹣0.0150﹣0.0450=0.020．此次参加厨艺大赛学生的平均成绩为：‎ ‎55×0.0125×10+65×0.020×10+75×0.0450×10+85×0.0150×10+95×0.0075×10=73.5．‎ ‎（2）由题意得厨霸有0.0150×10×40=6人，厨神有0.0075×10×40=3人，从中任取2 人，基本事件总数n=36，所取2人总至少有1人是厨神的对立事件是所取2人都是厨霸，∴所取2人总至少有1人是厨神的概率p=．‎ ‎20．(1) (2)见解析 ‎(1) 由及(Ⅰ)得 所以关于的回归方程为 ‎ ‎（3）当时，代入回归方程得（万件） ‎ 第8个月的毛利润为 ，因为 ，预测第8个月的毛利润不能突破万元.‎ ‎21．（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）取的中点，连接、，‎ ‎、分别为、的中点，且，又且，‎ 且，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面；‎ ‎（2），，，‎ 所以，的面积为，平面，且，所以，三棱锥的体积为，为的中点，则三棱锥的高为，所以，三棱锥的体积为.因此，三棱锥的体积为.‎ ‎22．（（1）x2+y2=4（2）x=2或x+2y-6=0‎ ‎【解析】（1）已知，动点满足 ．‎ 设点 ，所以，整理得．‎ ‎（2）由于为圆的切线，所以连接和，在直角三角形中 ，又有为定值．所以当取最小值时， 取最小值．的最小值为圆心到直线的距离．所以|NT|的最小值为．此时与直线垂直，且过原点，所以直线ON的直线方程为．‎ 联立和，解得．即过点做圆的切线，求出切线的方程．‎ ‎①当直线的斜率存在时，，由圆心到直线的距离，‎ 解得，即切线的方程为．‎ ‎②直线的斜率不存在时， ，满足题意．‎ 故当取最小值时切线的方程为或．‎