2018-2019学年吉林省长春外国语学校高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年吉林省长春外国语学校高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年吉林省长春外国语学校高一下学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．cos165°的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】把拆成特殊角的和，利用和角公式求解.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两角和的余弦公式应用，利用和角公式求解非特殊角的三角函数值时，通常把非特殊角拆分为特殊角的和差形式.‎ ‎2．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：因为矩形ABCD中，O是对角线的交点，若故选A ‎3．cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值是（ ）‎ A． B． C． D．1＋‎ ‎【答案】A ‎【解析】原式=,故选A.‎ 点睛:本题考查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式,属于基础题. (1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．‎ ‎4．已知向量 与 反向，则下列等式中成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】向量 与 反向： =， =，‎ 故选：C ‎5．与向量平行的单位向量为（　　）‎ A． B．‎ C．或 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用公式可求单位向量.‎ ‎【详解】‎ 因为向量，所以，所以所求单位向量的坐标为或者，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用向量的坐标求解单位向量，一般地与平行的单位向量可由求得.‎ ‎6．已知cosθ=，θ∈（0，π），则cos（+2θ）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据，求出，结合诱导公式及倍角公式可求.‎ ‎【详解】‎ 因为，θ∈（0，π），所以；‎ ‎；故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式及倍角公式，诱导公式使用时，注意符号的确定.‎ ‎7．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：,，即，，故选A.‎ ‎【考点】向量的模长.‎ ‎8．已知向量，且，则向量与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由，得，解得，所以，故选B．‎ ‎【考点】平面向量的夹角．‎ ‎9．已知=（2，3），=（-4，7），则向量在方向上射影的数量为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据向量射影的定义，求出在方向上的射影即可 详解：根据向量射影的定义，在方向上的射影为：‎ 故选 点睛：本题主要考查了平面向量中一向量在另一个向量方向上的射影的定义的应用题目，是基础题目。‎ ‎10．若tanα=2，tan（β-α）=3，则tan（β-2α）的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】,利用两角差的正切公式求解.‎ ‎【详解】‎ ‎；故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两角差的正切公式，三角函数中的给值求值问题，一般是先寻求已知角和所求角之间的关系，然后代入相应公式求解.‎ ‎11．在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（　　）‎ A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎【答案】C ‎【解析】∵2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B），且2sinAcosB＝sinC，‎ ‎∴sin（A－B）＝0．∴A＝B．‎ ‎12．已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，D是边BC上一动点，则=（　　）‎ A．4 B． C．16 D．无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】利用基向量表示出,再利用数量积的运算求解.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以；‎ 因为D是边BC上且∠ABC=90°，所以；‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量数量积的运算，选择合适的基底，利用基向量表示出目标向量，然后进行运算.‎ 二、填空题 ‎13．已知，，若⊥，则m=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用⊥，可得，代入可求m的值.‎ ‎【详解】‎ 因为⊥，所以，，所以，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的数量积应用，利用数量积可以解决垂直问题，注意数量积的坐标运算公式不要用错.‎ ‎14．在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=2，则•=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用基向量表示出,再利用数量积的运算求解.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以；‎ 因为∠ABC=90°，所以；‎ 所以.‎ 又因为斜边AC=2，所以,所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量数量积的在几何中的应用，选择合适的基底，利用基向量表示出目标向量，然后进行运算.‎ ‎15．设向量=（，sinθ），=（cosθ，），其中θ∈（0，），若∥，则θ=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用向量平行的坐标表示，结合的范围求解.‎ ‎【详解】‎ 因为∥，=（，sinθ），=（cosθ，），所以；‎ ‎，即；‎ 因为，所以，所以，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量共线的条件，利用三角函数值求角时注意角的范围.‎ ‎16．（1+tan17°）（1+tan28°）=______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】试题分析：由于原式=1+tan17°+tan28°+tan17°•tan28°，再由tan（17°+28°）==tan45°=1，可得tan17°+tan28°=1﹣tan17°•tan28°，代入原式可得结果．‎ 解：原式=1+tan17°+tan28°+tan17°•tan28°，又tan（17°+28°）==tan45°=1，‎ ‎∴tan17°+tan28°=1﹣tan17°•tan28°，‎ 故 （1+tan17°）（1+tan28°）=2，‎ 故答案为 2．‎ 三、解答题 ‎17．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，‎ ‎（1）求•；‎ ‎（2）求|+|．‎ ‎【答案】（1）1；（2）‎ ‎【解析】（1）利用向量数量积的定义求解；‎ ‎（2）先求模长的平方，再进行开方可得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）•=||||cos60°=2×1×=1；‎ ‎（2）|+|2=（+）2‎ ‎=+2•+‎ ‎=4+2×1+1‎ ‎=7.‎ 所以|+|=.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量数量积的定义及向量模长的求解，一般地，求解向量模长时，先把模长平方，化为数量积运算进行求解.‎ ‎18．已知，，当k为何值时，‎ ‎（1）与垂直？‎ ‎（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？‎ ‎【答案】（1）19；（2）见解析 ‎【解析】（1）先表示出和的坐标，利用数量积为0可得k；‎ ‎（2）先表示出和的坐标，利用共线的坐标表示可以求得k，方向的判定结合坐标分量的符号来进行.‎ ‎【详解】‎ k ‎=（1，2）-3（-3，2）=（10，-4）‎ ‎（1），得=10（k-3）-4（2k+2）=2k-38=0，k=19‎ ‎（2），得-4（k-3）=10（2k+2），k=-‎ 此时k（10，-4），所以方向相反．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的坐标运算，明确坐标运算时，垂直和平行的条件是求解关键，题目较简单.‎ ‎19．已知△ABC中，，求cosA与tan2A的值，‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用的值先求出，结合三角形内角关系式及和角公式求得,从而求得，结合二倍角公式可得tan2A.‎ ‎【详解】‎ ‎△ABC中，∵＜0，‎ ‎∴B为钝角，A，C为锐角，‎ ‎∴cosC==，sinB==，‎ ‎∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+（-）×=，‎ ‎∴cosA==，tanA==，‎ ‎∴tan2A===．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎20．已知，，α，β均为锐角，且|-|=，‎ ‎（1）求cos（α+β）的值．‎ ‎（2）若，求cosβ的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用|-|=，平方可得cos（α+β）的值；‎ ‎（2）结合的范围，求出，从而可得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得-=（cosα-cosβ，sinα+sinβ），∵|-|===，‎ ‎∴cos（α+β）=．‎ ‎（2）cos（α+β）=，α，β均为锐角，∴α+β仍为锐角，‎ sin（α+β）==．‎ ‎∵，∴sinα==，‎ ‎∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=+=．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量与三角函数的综合，以向量运算为载体，考查三角函数的求值问题，给值求值，先寻求已知角和所求角之间的关系，结合和差角公式求解.‎ ‎21．已知，，且f（x）=•．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；最小正周期及单调递增区间．‎ ‎（2）当时，f（x）的最小值是-4，求此时函数f（x）的最大值，并求出相应的x的值．‎ ‎【答案】（1）；;；（2）; .‎ ‎【解析】（1）利用向量数量积的定义，求出函数的 解析式，结合函数的周期公式以及单调性进行求解．‎ ‎（2）求出角2x的范围，结合函数的最小值求出，结合范围求出最大值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）f（x）=•=sinxcosx+（m+1）（-m+1）=sin2x+1-m2，‎ 最小正周期为T==π，由2kπ-≤2x≤2kπ+，k∈Z，‎ 得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，‎ 即函数的单调递增区间为；‎ ‎（2）当时，2x∈[-，]，‎ 则当2x=时，函数f（x）取得最小值，最小值为-4，‎ 即×sin（-）+1-m2=-4，‎ 即-×+1-m2=-4，‎ 得m2=，‎ 则f（x）=sin2x+1-m2=sin2x-‎ 当2x=，即x=时，函数f（x）取得最大值，最大值为×sin-=-=，‎ 即，此时．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用向量数量积的公式求出函数的解析式以及结合三角函数的周期性，单调性以及最值是解决本题的关键．‎