辽宁省辽阳市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

辽宁省辽阳市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

辽阳市2019-2020学年第一学期高一期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知集合A={x|-3＜x-1＜4}，B={x|1-x＞0}，则A∩B=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 命题“∀x∈Z，x∈R”的否定是（　　）‎ A. , B. , C. , D. ,‎ 3. 若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 函数f（x）=的定义域为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 已知函数f（x+1）=x2-x+3，则f（x）=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 设p：0＜x＜5，q：|x-2|＜3，那么p是q的（　　）条件．‎ A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 7. 函数f（x）=2x2-5x-6有两个零点x1，x2（x1＜x2），则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 8. 函数的部分图象大致为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 1. 已知集合A={x|-3≤x-1＜1}，B={-3，-2，-1，0，1，2}，若C⊆A∩B，则满足条件的集合C的个数是（　　）‎ A. 7 B. ‎8 ‎C. 15 D. 16‎ 2. 已知函数f（x）=是R上的单调函数，则a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 设a＞2，b＞0，若a+b=3，则的最小值为（　　）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ 4. 已知函数f（x+3）为奇函数，且对任意不相等的实数a，b，都有成立，则不等式f（3x+1）+f（-x+6）＞0的解集为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 5. 设全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3，5}，B={0，2，3，4}，则A∩（∁UB）=______．‎ 6. 已知函数f（x）=ax2-2是定义在[-‎2a，a+2]上的偶函数，则f（-2）=______．‎ 7. 不等式≥0的解集为______．‎ 8. 若函数f（x）=在[1，2]上单调递减，则正数k的取值范围为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 9. 已知集合A={x|x2-x-2=0}，B={x|x2+ax+‎2a-3=0}≠∅． （1）若a=0，求A∪B； （2）若A∩B=B，求a的取值集合． ‎ 10. 已知函数f（x）=mx+，点A（1，5），B（2，4）是f（x）图象上的两点． （1）求m，n的值； （2）用定义法证明：f（x）是[2，+∞）上的增函数． ‎ 1. ‎（1）已知a＜b＜c，且a+b+c=0，证明：． （2）用分析法证明：． ‎ ‎ ‎ 2. 已知关于x的不等式ax2-（‎2a+1）x+2＜0，其中a∈R． （1）当a=1时，求原不等式的解集； （2）当a≥0时，求原不等式的解集． ‎ 3. ‎2019年，随着中国第一款‎5G手机投入市场，‎5G技术已经进入高速发展阶段．已知某‎5G手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机x（0≤x≤10）万台，其成本为G（x），其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）万元满足， （1）将利润f（x）表示为产量x万台的函数； （2）当产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？ ‎ 4. 已知二次函数f（x）=x2-（‎2m+1）x+m． （1）若方程f（x）=0有两个不等的实根x1，x2，且-1＜x1＜0＜x2＜1，求m的取值范围； （2）若对任意的x∈[1，2]，≤2恒成立，求m的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵A={x|-2＜x＜5}，B={x|x＜1}， ∴A∩B={x|-2＜x＜1}． 故选：C． 可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可． 本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以，命题：∀x∈Z，x∈R的否定是命题：∃x∈Z，x∉R． 故选：D． 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：a＞b， 则与的大小关系不确定；由函数y=x5在R上单调递增，∴a5＞b5； c=0时，ac2=bc2；取a=-1，b=-2，|a|＞|b|不成立． 因此只有B成立． 故选：B． 利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论． 本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解：函数f（x）=， 令， 解得x≤3且x≠-1； 所以函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（-1，3]． 故选：A． 根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 本题考查了利用函数解析式求定义域的问题，是基础题． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵f（x+1）=x2-x+3， 令x+1=t，则x=t-1， ∴f（t）=（t-1）2-（t-1）+3=t2-2t+1-t+1+3=t2-3t+5， 则f（x）=x2-3x+5． 故选：C． 令x+1=t，则x=t-1，然后代入可得f（t）=（t-1）2-（t-1）+3=t2-3t+5，即可求解． 本题主要考查了利用换元法求解函数解析式，属于基础试题． 6.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由|x-2|＜3，得：-3＜x-2＜3，即-1＜x＜5，即q：-1＜x＜5， 故p是q的充分不必要条件， 故选：A． 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵函数f（x）=2x2-5x-6，函数的对称轴为x=， 函数f（x）=2x2-5x-6有两个零点x1，x2，可知x1＜＜x2， ∴函数是连续函数，∵f（0）=-6＜0， f（1）=-9＜0， f（2）=-8＜0， f（3）=-3＜0， f（4）=12＞0， f（5）=19＞0， ∴f（3）•f（4）＜0， 根据函数的零点的判定定理可得： 函数f（x）=2x2-5x-6的零点x2所在的区间是（ 3，4）， 故选：C． 直接利用函数的零点判断定理，求解f（0），f（1），f（2），f（3），f（4），f（5）的函数值，即可推出结果． 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，二次函数的性质的应用，属于基础题． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}， 又由f（-x）=e-x-ex+=-（ex-e-x-）=-f（x），则f（x）为奇函数，排除C、D； 在（0，+∞）上，当x→0时，f（x）→-∞，排除B， 故选：A． 根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在（0，+∞）上，当x→0时，f（x）→-∞，利用排除法分析可得答案． 本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性与单调性的判断，用排除法分析． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】解：∵集合A={x|-3≤x-1＜1}={x|-2≤x＜2}， B={-3，-2，-1，0，1，2}，C⊆A∩B={-2，-1，0，1}， ∴满足条件的集合C的个数是：24=16． 故选：D． 推导出C⊆A∩B={-2，-1，0，1}，由此能求出满足条件的集合C的个数． 本题考查满足条件的集合C的个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵f（x）=是R上的单调函数， 又y=-x2-1在（-∞，0）单调递增， ∴f（x）在R上单调递增． ∴a＞0且-02-1≤-a， ∴0＜a≤1． 故选：A ‎． 本题利用分段函数单调性的性质求解，保证每一段的单调性及端点的大小满足要求． 本题考查了数形结合思想，及分段函数单调性的性质．属于基础题． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解：根据题意，若a+b=3，则（a-2）+b=1， 则=（）×[（a-2）+b]=2+（+）， 又由a＞2，b＞0，则+≥2×=2， 则=2+（+）≥4，即的最小值为4； 故选：C． 根据题意，分析可得（a-2）+b=1，进而可得=（）×[（a-2）+b]=2+（+），结合基本不等式的性质分析可得答案． 本题考查基本不等式的性质以及应用，注意对a+b=3的变形，属于基础题． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵对任意不相等的实数a，b，都有成立， ∴f（x）在R上单调递减，且f（x+3）为奇函数， ∴原不等式可化成f（3x+1）＞f[-（-x+3）+3]， ∴f（3x+1）＞f（x）， ∴3x+1＜x，解得x， ∴原不等式的解集为． 故选：A． 根据题意可知f（x）在R上单调递减，再根据f（x+3）是奇函数即可将原不等式化成f（3x+1）＞f（x），从而得出3x+1＜x，解出x的范围即可． 本题考查了奇函数的定义，减函数的定义，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 13.【答案】{1，5} ‎ ‎【解析】解：由题意知∁UB={1，5，6}， 所以A∩（∁UB）={1，5}． 故答案为：{1，5}． 根据补集与交集的定义，计算即可． 本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题． 14.【答案】1 ‎ ‎【解析】解：∵f（x）是定义在[-‎2a，a+2]上的偶函数， ∴‎-2a+a+2=0， ∴a=2， ∴f（x）=2x2-2， ∴f（-2）=8-2=6． 故答案为：6． 根据偶函数定义域的对称性即可得出‎-2a+a+2=0，从而可求出a=2，进而可求出f（-2）的值． 本题考查了偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，考查了计算能力，属于基础题． 15.【答案】{x|x＞3或-2≤x≤2} ‎ ‎【解析】解：由≥0可得， 由高次不等式的求解可知，{x|x＞3或-2≤x≤2} 故答案为：{x|x＞3或-2≤x≤2} ‎ 由≥0可得，结合高次不等式的求解可求 本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础试题． 16.【答案】[1，3）∪（10，+∞） ‎ ‎【解析】解：要使f（x）=在[1，2]上单调递减， 则需g（x）=kx2-2x-8在[1，2]上单调递增且同号， 由k＞0，得，解得1≤k＜3或k＞10． 综上，正数k的取值范围为[1，3）∪（10，+∞）． 故答案为：[1，3）∪（10，+∞）． 要使f（x）=在[1，2]上单调递减，则需g（x）=kx2-2x-8在[1，2]上单调递增且同号，结合k＞0，转化为关于k的不等式组求解． 本题考查复合函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题． 17.【答案】解：（1）A={x|x2-x-2=0}={-1，2}， 因为a=0，所以， ∴； （2）因为A∩B=B，所以B⊆A，且B≠∅， 则B={-1}或B={2}或B={-1，2}， 若-1∈B，则1-a+‎2a-3=0，解得a=2，此时B={-1}⊆A； 若2∈B，则4+‎2a+‎2a-3=0，解得，此时⊈A； 若B={-1，2}，则，无解， ∴a的取值集合为{2}． ‎ ‎【解析】（1）可求出集合A={-1，2}，a=0时，求出集合B，然后进行并集的运算即可； （2）根据A∩B=B可得出B⊆A，并且B≠∅，从而得出B={-1}或B={2}或B={-1，2}，对于每种情况，求出a，并验证是否满足B⊆A即可． 本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集、并集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题． 18.【答案】解：由题意可得，， 解方程可得，m=1，n=4， （2）证明：由（1）可得，f（x）=x+， 设2≤x1＜x2， 则f（x1）-f（x2）==x1-x2=， ∵2≤x1＜x2， ∴＜0，即f（x1）＜f（x2）， ∴f（x）是[2，+∞）上的增函数． ‎ ‎【解析】（1）把点A（1，5），B（2，4）代入f（x），解方程可求m，n； （2）由（1）可求f（x），然后可设2≤x1＜x2，作差比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断． 本题主要考查了待定系数求解函数解析式及函数单调性的定义在判断函数单调性中的应用，属于基础试题． 19.【答案】证明：（1）由a＜b＜c，且a+b+c=0， 所以a＜0，且a-c＜b-c＜0， 所以（a-c）（b-c）＞0‎ ‎， 所以＜， 即＜； 所以＞， 即＜． （2）要证， 只需证+＜+， 即证a+（a-3）+2＜（a-1）+（a-2）+2； 即证＜， 即证a（a-3）＜（a-1）（a-2）； 即证0＜2，显然成立； 所以-＜-． ‎ ‎【解析】（1）由题意得出a＜0，且a-c＜b-c＜0，再证明＜，即可得出＜； （2）利用分析法证明命题成立的基本步骤是：要证…，只需证…，即证…，显然成立． 本题考查了不等式的证明问题，也考查了综合法与分析法的应用问题，是基础题． 20.【答案】解：（1）a=1时，原不等式可化为x2-3x+2＜0， 解可得，{x}1＜x＜2}， （2）a≥0时， ①当a=0时，原不等式可得，-x+2＜0， 解可得，{x|x＞2}； ②当a＞0，（ax+1）（x+2）＜0， ∴（x+）（x+2）＜0， （i）-＞-2即a时，解可得，{x|}； （ii））-＜-2即0＜a时，解可得，{x|-2}； （iii）-=-2即a=时，解可得，∅ 综上可得，a时，解集，{x|}； （ii））0＜a时，解集，{x|-2}； （iii）a=时，解集，∅ ‎ ‎【解析】（1）a=1时，原不等式可化为x2-3x+2＜0，解不等式即可求解； （2）a≥0时，对a分类讨论，结合二次不等式的求解即可． 本题主要考查了二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用． 21.【答案】解：（1）G（x）=1000x+800， ∴f（x）=R（x）-G（x）=． （2）当0≤x≤5时，f（x）=-400（x-4）2+5600， 故当x=4时，f（x）取得最大值5600； 当5＜x≤10时，f（x）=1000x-4600为增函数， 故当x=10时，f（x）取得最大值1000×10-4600=5400． 综上，当产量为4万台时，公司利润最大，最大利润为5600万元． ‎ ‎【解析】（1）根据f（x）=R（x）-G（x）得出解析式； （2）分段求出函数的最大值，从而得出利润的最大值． 本题考查了分段函数的解析式与最值计算，属于中档题． 22.【答案】解：（1）由方程f（x）=0有两个不等的实根x1，x2，且-1＜x1＜0＜x2＜1， 则，解得-＜m＜0， ∴m的取值范围是（-，0）； （2）对任意的x∈[1，2]，≤2恒成立，即对任意的x∈[1，2]，x2-（‎2m+1）x+m≤2x恒成立， ∴对任意的x∈[1，2]，x2-（‎2m+3）x+m≤0恒成立， 则，解得m≥-， ‎ ‎∴m的取值范围是[-，+∞）． ‎ ‎【解析】（1）二次函数f（x）=x2-（‎2m+1）x+m开口向上，方程f（x）=0有两个不等的实根x1，x2，且-1＜x1＜0＜x2＜1，找到等价条件，解不等式组即可； （2）把对任意的x∈[1，2]，≤2恒成立，等价转换为对任意的x∈[1，2]，x2-（‎2m+3）x+m≤0恒成立，得到关于m的不等式组，求解即可求得m的取值范围． 本题主要考查了二次函数的图象性质，二次式恒成立的问题，关键是找到等价条件，属于中档题． ‎