高考浙江卷数学理试题含解析

高考浙江卷数学理试题含解析

‎2016年高考浙江卷数学（理）试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知集合 则 A．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据补集的运算得．故选B．‎ ‎2. 已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足 则 A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n ‎【答案】C ‎3. 在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域 ‎ 中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=‎ A．2 B．‎4 C．3 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图为线性区域，区域内的点在直线上的投影构成了线段，即，而，由得，由得，．故选C．‎ ‎4. 命题“，使得”的定义形式是 A．，使得 B．，使得 ‎ C．，使得 D．，使得 ‎【答案】D ‎【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D．‎ ‎5. 设函数，则的最小正周期 A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 ‎【答案】B ‎6. 如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，‎ ‎，（）.‎ 若 A．是等差数列 B．是等差数列 ‎ C．是等差数列 D．是等差数列 ‎【答案】A ‎【解析】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，，作差后：，都为定值，所以为定值．故选A． ‎ ‎7. 已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则 A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<‎1 C．m1 D．m0)，则A=______，b=________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】，所以 ‎11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为 ‎12. 已知a>b>1.若logab+logba=，ab=ba，则a= ，b= .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设，因为，‎ 因此 ‎13.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1= ，S5= .‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎ ‎14. 如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】中，因为，‎ 所以.‎ 由余弦定理可得 ‎，‎ 所以.‎ 设，则，.‎ 在中，由余弦定理可得 ‎.‎ 故.‎ 在中，，.‎ 由余弦定理可得，‎ 所以.‎ 过作直线的垂线，垂足为.设 则，‎ 即，‎ 解得.‎ 而的面积.‎ 设与平面所成角为，则点到平面的距离.‎ 故四面体的体积 ‎.‎ 设，因为，所以.‎ 则.‎ ‎（2）当时，有，‎ 故.‎ 此时，‎ ‎.‎ 由（1）可知，函数在单调递减，故.‎ 综上，四面体的体积的最大值为.‎ ‎15. 已知向量a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜ ,则a·b的最大值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，即最大值为 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16. （本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=‎2a cos B.‎ ‎（I）证明：A=2B；‎ ‎（II）若△ABC的面积，求角A的大小.‎ ‎【试题分析】（I）由正弦定理及两角和的正弦公式可得，再判断的取值范围，进而可证；（II）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得，再利用三角形的内角和可得角的大小．‎ ‎（II）由得，故有 ‎，‎ 因，得．‎ 又，，所以．‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 综上，或．‎ ‎17. (本题满分15分)如图,在三棱台中,平面平面 ‎,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.‎ ‎(I)求证：EF⊥平面ACFD；‎ ‎(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.‎ ‎【试题分析】（I）先证，再证，进而可证平面；（II）方法一：先找二面角的平面角，再在中计算，即可得二面角的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面和平面的法向量，进而可得二面角 的平面角的余弦值． ‎ ‎（II）方法一：‎ 过点作，连结．‎ 因为平面，所以，则平面，所以．‎ 所以，是二面角的平面角．‎ 在中，，，得．‎ 在中，，，得．‎ 所以，二面角的平面角的余弦值为．‎ ‎ ‎ ‎18. （本小题15分）已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+‎4a−2}，‎ 其中min{p，q}= ‎ ‎（I）求使得等式F（x）=x2−2ax+‎4a−2成立的x的取值范围；‎ ‎（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；‎ ‎（ii）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.‎ ‎【试题分析】（I）分别对和两种情况讨论，进而可得使得等式成立的的取值范围；（II）（i）先求函数，的最小值，再根据的定义可得的最小值；（ii）分别对和两种情况讨论的最大值，进而可得在区间上的最大值．‎ ‎（II）（i）设函数，，则 ‎，，‎ 所以，由的定义知，即 ‎．‎ ‎（ii）当时，‎ ‎，‎ 当时，‎ ‎．‎ 所以，‎ ‎．‎ ‎19. （本题满分15分）如图，设椭圆（a＞1）.‎ ‎（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；‎ ‎（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.‎ ‎【试题解析】（I）设直线被椭圆截得的线段为，由得 ‎，‎ 故 ‎，．‎ 因此 ‎．‎ ‎（II）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足 ‎．‎ 记直线，的斜率分别为，，且，，．‎ ‎ ‎ ‎20.（本题满分15分）设数列满足，．‎ ‎（I）证明：，；‎ ‎（II）若，，证明：，．‎ ‎【试题分析】（I）先利用三角形不等式得，变形为，再用累加法可得 ‎，进而可证；（II）由（I）可得，进而可得，再利用的任意性可证．‎ ‎（II）任取，由（I）知，对于任意，‎ ‎，‎ 故 ‎．‎ 从而对于任意，均有 ‎ ‎