2019届二轮复习 数列的综合问题作业（全国通用）
第 4 节 数列的综合问题
一、选择题
1.设{an},{bn}分别是等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结
论正确的是( A )
(A)a2>b2 (B)a3
b5 (D)a6>b6
解析:因为 a1=4,a4=a1+3d=4+3d=1,
所以 d=-1,所以 an=4-(n-1)=5-n,
b1=4,b4=b1q3=4q3=1,
所以 q=( ) ,
所以 bn=4×( ) = ,
所以 a2=3,b2= = < =a2,a3=2,b3= = < =a3,
a5=0,b5= >0=a5,a6=-1<0,b6= >0>a6,故选 A.
2.已知函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数
x,y 都有 f(x·y)=f(x)+f(y),若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足
f(Sn+2)-f(an)=f(3),(n∈N+),则 an 等于( D )
(A)2n-1 (B)n
(C)2n+1 (D)( )n-1
解析:因为 f(x·y)=f(x)+f(y),
f(Sn+2)-f(an)=f(3),
所以 f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an),
Sn+2=3an,
当 n≥2 时,Sn-1+2=3an-1,
所以 an=3an-3an-1,
即 = ,
又因为 S1+2=3a1,所以 a1=1,
所以 an=a1qn-1=1×( )n-1=( )n-1.
故选 D.
3.气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用
的第一天起连续使用.第 n 天的维修保养费为 (n∈N+)元,使用它
直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最
少),一共使用了( B )
(A)600 天 (B)800 天
(C)1 000 天 (D)1 200 天
解析:第n天的维修保养费为an= ,前n天的维修保养费合计为Sn,
则 Sn= + +…+ = =
平均每天耗资为 = + + ≥2 + = ,
当且仅当 = ,
即 n=800 时,平均每天耗资最少.故选 B.
4.已知数列{an}的通项公式为 an= ,则数列{an}的最大值为
( B )
(A)第 7 项 (B)第 8 项
(C)第 7 项或第 8 项 (D)不存在
解析:因为 an= = ≤ ,当且仅当 n= ,即 n= 时,{an}最
大.
但 n= 不是整数,且 7< <8,
当 n=7 时,a7= = ,
a8= = > ,故选 B.
5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S9=-36,S13=-104,等比数列{bn}
中 b5=a5,b7=a7,则 b6 的值为( A )
(A)±4 (B)-4
(C)4 (D)无法确定
解析:因为 S9=9a1+36d=-36,
所以 a1+4d=-4,即 a5=-4,
S13=13a1+78d=-104,所以 a1+6d=-8,即 a7=-8,
又因为 b5=a5,b7=a7,所以 b5=-4,b7=-8,
所以 =b5·b7=(-4)×(-8)=32,
所以 b6=±4 ,故选 A.
6.定义:F(x,y)=yx(x>0,y>0),已知数列{an}满足 an= (n∈N+),若
对任意正整数 n,都有 an≥ak(k∈N+)成立,则 ak 的值为( A )
(A) (B)1 (C) (D)2
解析:根据题意有 an= = ,
当 n=1 时,a1= =2;当 n=2 时,a2= =1;
当 n=3 时,a3= = ;当 n=4 时,a4= =1;
当 n≥5 时,2n>n2,所以 an>1,
故选 A.
二、填空题
7.在等差数列{an}中,a1=2,a3=6,若将 a1,a4,a5 都加上同一个数,所得
的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为 .
解析:因为在等差数列{an}中,a1=2,a3=6,所以 a3=a1+2d=2+2d=6,
所以 d=2,an=a1+2(n-1)=2n,
设加上的这个数是 A,则 a1+A=2+A,a4+A=8+A,a5+A=10+A,
根据题意有(8+A)2=(2+A)(10+A),所以 A=-11.
答案:-11
8.设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为
Sn,满足 S5S6+15=0,则 d 的取值范围是 .
解析:因为 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,
所以 S5S6+15=(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
即 2 +9a1d+10d2+1=0,
所以Δ=(9d)2-4×2×(10d2-1)=d2-8≥0,
所以 d≥2 或 d≤-2 .
答案:(-∞,-2 ]∪[2 ,+∞)
9.某人从2013年9月1日起,每年这一天到银行存款一年定期1万元,
且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期,若一年定期存
款利率 2.50%保持不变,到 2018 年 9 月 1 日将所有的存款和利息全部
取出,他可取回的钱数约为 万元.
解析:设存入 1 万元一年定期,n 年后的本息为{an},
所以 an=(1+2.50%)n,
根据题意 n≤5 且 n∈N,所以{an}成等比数列,
Sn=a1+a2+…+a5
=(1+2.50%)1+(1+2.50%)2+…+(1+2.50%)5
=
≈5.387 737,
所以 2018 年 9 月 1 日他可取回的钱数约为 5.387 737 万元.
答案:5.387 737
10.夏季山上的温度从山脚起,每升高 100 米,降低 0.7 ℃,已知山顶
处的温度是 14.8 ℃,山脚处的温度为 26 ℃,则此山相对于山脚处的
高度是 米.
解析:设山脚温度为 a1=26,山顶温度 an=14.8,由于每升高 100 米,降低
0.7 ℃,所以温度的变化成等差数列,所以 an=26-0.7(n-1)=14.8,所
以 n=17,所以此山相对于山脚处的高度是 1 600 米.
答案:1 600
11. 如 图 的 倒 三 角 形 数 阵 满 足 :(1) 第 1 行 的 n 个 数 分 别 是
1,3,5,…,2n-1;(2)从第二行起,各行中的每一个数都等于它肩上的
两数之和;(3)数阵共有 n 行.问:当 n=2 012 时,第 32 行的第 17 个数
是 .
1 3 5 7 9 11…
4 8 12 16 20…
12 20 28 36…
…
解析:设第 n 行的第一个数为 an,
则 a1=1,a2=4=2a1+2,a3=12=2a2+22,a4=32=2a3+23,…,
由以上归纳,得 ak=2ak-1+2k-1(k≥2,且 k∈N+),
所以 = + ,
所以数列{ }是以 为首项,以 为公差的等差数列,
所以 = + (n-1)= ,所以 an=n×2n-1(n∈N+)
由数阵的排布规律可知,每行的数(倒数两行另行考虑)都成等差数列,
且公差依次为
2,22,…,2k,…
第 n 行的首项为 an=n×2n-1,公差为 2n,
所以,第 32 行的首项为 a32=32×231=236,公差为 232,
所以,第 32 行的第 17 个数是 236+16×232=237.
答案:237
三、解答题
12.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n2,数列{bn}为等比数列,且首
项 b1=1,b4=8.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若数列{cn}满足 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
解:(1)因为 Sn=n2,
所以 Sn-1=(n-1)2(n≥2),
所以 an=n2-(n-1)2=2n-1,
又因为{bn}为等比数列,且首项b1=1,b4=8,所以b4=q3=8,所以q=2,所以
bn=2n-1,
所以 an=2n-1,bn=2n-1.
(2)由(1)有 cn= = =2·2n-1-1=2n-1,
所以 Tn=(2-1)+(22-1)+…+(2n-1)
=(2+22+…+2n)-n
= -n
=2n+1-2-n.
13.某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍,并且每
年年底固定给股东们分红 500 万元,该企业 2010 年年底分红后的资金
为 1 000 万元.
(1)求该企业 2014 年年底分红后的资金;
(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过 32 500 万元.
解:设{an}为(2010+n)年年底分红后的资金,其中 n∈N+,则
a1=2×1 000-500=1 500,a2=2×1 500-500=2 500,…,an=2×an-1-500(n
≥2),
所以 an-500=2(an-1-500)(n≥2),
即数列{an-500}是首项为 a1-500=1 000,公比为 2 的等比数列,
所以 an-500=1 000×2n-1,即 an=1 000×2n-1+500.
(1)a4=1 000×24-1+500=8 500,
所以该企业 2014 年年底分红后的资金为 8 500 万元.
(2)an>32 500,即 2n-1>32,得 n>6,
所以该企业从 2017 年开始年底分红后的资金超过 32 500 万元.
14.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a10=15,且 a3,a4,a7 成等比
数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:- ≤Tn<-1(n∈N+).
(1)解:设数列{an}的公差为 d(d≠0),
由已知得
即
解得
所以 an=2n-5(n∈N+).
(2)证明:因为 bn= = ,n∈N+,
所以 Tn= + + +…+ ,①
Tn= + + +…+ + ,②
①-②得 Tn= +2( + +…+ )- =- + ,
所以 Tn=-1- (n∈N+),
因为 >0(n∈N+),所以 Tn<-1,
因为 Tn+1-Tn=(-1- )-(-1- )
= ,
所以 TnT2,所以 T2 最小.
即 Tn≥T2=- .
综上所述,- ≤Tn<-1(n∈N+).
