数学理卷·2018届河北省唐山市高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届河北省唐山市高二上学期期末考试（2017-01）

‎ 2016-2017学年河北省唐山市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共601分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 ‎1．抛物线x2=2y的焦点坐标为（　　）‎ A． B． C．（0，1） D．（1，0）‎ ‎2．椭圆C： +=1（a＞0）的长轴长为4，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．命题“∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0”的否定是（　　）‎ A．∃x0∈R，x02﹣x0+1≥0 B．∃x0∉R，x02﹣x0+1≥0‎ C．∀x∈R，x2﹣x+1≥0 D．∀x∉R，x2﹣x+1≥0‎ ‎4．下列双曲线中，焦点在x轴上且渐近线方程为y=±x的是（　　）‎ A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1‎ ‎5．下列命题中正确的是（　　）‎ A．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 B．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行 C．经过平面外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．经过平面外一点有且只有一平面与已知平面垂直 ‎6．“a=﹣1”是“直线ax+3y+2=0与直线x+（a﹣2）y+1=0平行”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABC1D1所成的角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知椭圆C： +y2‎ ‎=1的左、右顶点分别为A、B，点M为C上不同于A、B的任意一点，则直线MA、MB的斜率之积为（　　）‎ A． B．﹣4 C．﹣ D．4‎ ‎9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A． B．4 C． D．8‎ ‎10．三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，则该截面的周长为（　　）‎ A．16 B．12 C．10 D．8‎ ‎11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，以F为圆心且半径为4的圆交C于M，N两点，交C的准线l于A、B两点，若A、F、N三点共线，则p=（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎12．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，BC=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积的最小值为（　　）‎ A．13π B．14π C．15π D．16π ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上 ‎13．直线ax+y+2=0的倾斜角为135°，则a=　　．‎ ‎14．已知直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°，则r=　　．‎ ‎15．侧棱与底面垂直的三棱柱A1B1C1﹣ABC的所有棱长均为2，则三棱锥B﹣AB1C1的体积为　　．‎ ‎16．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2‎ ‎，若在C上存在一点P，使得PO=|F1F2|（O为坐标原点），且直线OP的斜率为，则，双曲线C的离心率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（10分）语句p：曲线x2﹣2mx+y2﹣4y+2m+7=0表示圆；语句q：曲线+=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p∨q为真命题，￢p为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎18．（12分）如图所示，三棱柱A1B1C1﹣ABC的侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=AA1，D是棱CC1的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BD；‎ ‎（Ⅱ）在棱A1B1上是否存在一点E，使C1E∥平面A1BD？并证明你的结论．‎ ‎19．（12分）已知点A的坐标为（4，1），点B（﹣7，﹣2）关于直线y=x的对称点为C．‎ ‎（Ⅰ）求以A、C为直径的圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设经过点A的直线l与圆E的另一个交点为D，|AD|=8，求直线l的方程．‎ ‎20．（12分）如图所示，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，弦PQ的中点为N，经过点N作y轴的垂线与C的准线交于点T．‎ ‎（Ⅰ）若直线l的斜率为1，且|PQ|=4，求抛物线C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F．‎ ‎21．（12分）如图所示，在四棱锥A﹣BCDE中，AB⊥平面BCDE，四边形BCDE为矩形，F为AC的中点，AB=BC=2，BE=．‎ ‎（Ⅰ）证明：EF⊥BD；‎ ‎（Ⅱ）在线段AE上是否存在一点G，使得二面角D﹣BG﹣E的大小为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎22．（12分）已知圆A：（x+1）2+y2=8，动圆M经过点B（1，0），且与圆A相切，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l与曲线C相切于点M，且l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若=λ，且λ∈[，2]，求△OPQ面积S的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省唐山市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共601分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 ‎1．抛物线x2=2y的焦点坐标为（　　）‎ A． B． C．（0，1） D．（1，0）‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=2y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．‎ ‎【解答】解：∵抛物线x2=2y中，p=1，∴ =，‎ ‎∵焦点在y轴上，开口向上，‎ ‎∴焦点坐标为（0，）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线 x2=2py 的焦点坐标为（0，），属基础题．‎ ‎　‎ ‎2．椭圆C： +=1（a＞0）的长轴长为4，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意求得a的值，求得椭圆方程，求得a=2，b=，c==，利用椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：由椭圆C： +=1（a＞0）的长轴长为4，可知焦点在x轴上，‎ 即2a=4，a=2，‎ ‎∴椭圆的标准方程为：，a=2，b=，c==，‎ 椭圆的离心率e==，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．命题“∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0”的否定是（　　）‎ A．∃x0∈R，x02﹣x0+1≥0 B．∃x0∉R，x02﹣x0+1≥0‎ C．∀x∈R，x2﹣x+1≥0 D．∀x∉R，x2﹣x+1≥0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题．‎ ‎∴命题p：∃x0∈R，使x02﹣x0+1＜0的否定是：∀x∈R，x2﹣x+1≥0．‎ 故选：C ‎【点评】本题考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎4．下列双曲线中，焦点在x轴上且渐近线方程为y=±x的是（　　）‎ A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】根据双曲线的渐近线的方程结合双曲线的标准方程的性质进行求解判断．‎ ‎【解答】解：A．双曲线的焦点在x轴，a=1，b=4，则双曲线的渐近线方程为y=±x=±4x，‎ B．双曲线的焦点在x轴，a=4，b=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，满足条件．‎ C．双曲线的焦点在y轴，不满足条件．‎ D．双曲线的焦点在y轴，不满足条件．‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解和应用，比较基础．‎ ‎　‎ ‎5．下列命题中正确的是（　　）‎ A．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 B．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行 C．经过平面外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．经过平面外一点有且只有一平面与已知平面垂直 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】A，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线平行，与两直线交于一点矛盾；‎ B，经过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，它们在该平面的一个平行平面内；‎ C，经过平面外一点有无数条直线与已知直线垂直，它们在该直线的一个垂面内；‎ D，经过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直；‎ ‎【解答】解：对于A，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线平行，与两直线交于一点矛盾，故正确；‎ 对于B，经过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，它们在该平面的一个平行平面内，故错；‎ 对于C，经过平面外一点有无数条直线与已知直线垂直，它们在该直线的一个垂面内，故错；‎ 对于D，经过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直，故错；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．“a=﹣1”是“直线ax+3y+2=0与直线x+（a﹣2）y+1=0平行”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据直线平行的等价条件以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若a=﹣1，则两条直线方程分别为﹣x+3y+2=0与x﹣y+1=0此时两直线平行，即充分性成立，‎ 若两直线平行，则ax+3y+2=0的斜截式方程为y=﹣x﹣，则直线斜率k=﹣，‎ x+（a﹣2）y+1=0的斜截式方程为为y=﹣x﹣，（a≠2）‎ 若两直线平行则﹣=﹣，且﹣≠﹣，‎ 由﹣=﹣，得a（a﹣2）=3，即a2﹣2a﹣3=0得a=﹣1或a=3，‎ 由﹣≠﹣得a≠，‎ 即“a=﹣1”是“直线ax+3y+2=0与直线x+（a﹣2）y+1=0平行”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABC1D1所成的角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．不妨时AB=1，取平面ABC1D1的法向量==（1，0，1），则直线AB1与平面ABC1D1所成的角的正弦值=|cos＜，＞|=，即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．‎ 不妨时AB=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B1（1，1，1），‎ A1（1，0，1）．‎ 则=（0，1，1），‎ 取平面ABC1D1的法向量==（1，0，1），‎ 则直线AB1与平面ABC1D1所成的角的正弦值 ‎=|cos＜，＞|===．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了空间位置关系、法向量的应用、线面角、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．已知椭圆C： +y2=1的左、右顶点分别为A、B，点M为C上不同于A、B的任意一点，则直线MA、MB的斜率之积为（　　）‎ A． B．﹣4 C．﹣ D．4‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】求得A和B点坐标，求得直线MA和MB的斜率，由M在椭圆上，x02=4﹣4y02，即可求得k1•k2=•==﹣．‎ ‎【解答】解：由题意得，椭圆C： +y2=1焦点在x轴上，a=2，b=1，‎ 设M（x0，y0）（y0≠0），A（﹣2，0），B（2，0），‎ 直线MA的斜率k1=，MB的斜率k2=，‎ 又点M在椭圆上，‎ ‎∴（y0≠0），x02=4﹣4y02，‎ ‎∴k1•k2=•==﹣，‎ 直线MA、MB的斜率之积﹣，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A． B．4 C． D．8‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可得，直观图是四棱锥，底面为2的正方形，高为2，即可求出体积．‎ ‎【解答】解：由三视图可得，直观图是四棱锥，底面为2的正方形，高为2，‎ ‎∴体积为=，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查三视图，考查几何体体积的计算，确定直观图的形状是关键．‎ ‎　‎ ‎10．三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，则该截面的周长为（　　）‎ A．16 B．12 C．10 D．8‎ ‎【考点】棱锥的结构特征．‎ ‎【分析】作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，过FE∥CD，交BC于E，连结PE，则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，由AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，能求出该截面的周长．‎ ‎【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，‎ 且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，‎ 作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，过FE∥CD，‎ 交BC于E，连结PE，‎ 则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，‎ ‎∵AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，‎ ‎∴PH=EF=，HF=PE=，‎ ‎∴该截面PEFH的周长为：4+4+2+2=12．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查截面的周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间培养．‎ ‎　‎ ‎11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，以F为圆心且半径为4的圆交C于M，N两点，交C的准线l于A、B两点，若A、F、N三点共线，则p=（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意，M的横坐标为，纵坐标取p，则p2+3p2=16，即可求出p的值．‎ ‎【解答】解：由题意，M的横坐标为，纵坐标取p，‎ 则p2+3p2=16，∴p=2，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查圆与抛物线的位置关系，比较基础．‎ ‎　‎ ‎12．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，BC=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积的最小值为（　　）‎ A．13π B．14π C．15π D．16π ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】由题意，求出△ABC外接圆半径的最小值，即可求出三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积的最小值．‎ ‎【解答】解：由题意，求出△ABC外接圆半径的最小值，即可，‎ 由2r=，可得r的最小值为1，‎ ‎∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径的最小值为2，‎ ‎∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积的最小值为4π•22=16π，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积的最小值，考查学生的计算能力，正确转化是关键．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上 ‎13．直线ax+y+2=0的倾斜角为135°，则a=　1　．‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】根据直线的倾斜角，得出斜率的值，从而求出a的值．‎ ‎【解答】解：当直线ax+y+2=0的倾斜角为135°时，‎ 直线l的斜率k=tan135°=﹣1；‎ ‎∴﹣a=﹣1‎ 解得a=1．‎ 故答案为：1‎ ‎【点评】本题考查了利用直线的倾斜角求直线斜率的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎14．已知直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°，则r=　2　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由已知得圆心O（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d等于半径r的一半，由此能求出半径r．‎ ‎【解答】解：∵直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°，‎ ‎∴圆心O（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d等于半径r的一半，‎ 即d=，解得r=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎15．侧棱与底面垂直的三棱柱A1B1C1﹣ABC的所有棱长均为2，则三棱锥B﹣AB1C1的体积为　　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】先求出，AA1=2，由此能求出三棱锥B﹣AB1C1的体积．‎ ‎【解答】解：∵侧棱与底面垂直的三棱柱A1B1C1﹣ABC的所有棱长均为2，‎ ‎∴==，AA1=2，‎ ‎∴三棱锥B﹣AB1C1的体积为：‎ V==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查三棱锥的体积的求不地，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎16．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若在C上存在一点P，使得PO=|F1F2|（O为坐标原点），且直线OP的斜率为，则，双曲线C的离心率为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】依题意可知|PO|=|F1F2|判断出∠F1PF2=90°，直线OP的斜率为，可求出出|PF2|=c，则|F1P|=c，进而利用双曲线定义可用c表示出a，最后可求得双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵|PO|=|F1F2|，‎ ‎∴|OF1|=|OF2|=|OP|‎ ‎∴∠F1PF2=90°，‎ ‎∵直线OP的斜率为，‎ ‎∴tan∠POF1=，‎ ‎∴cos∠POF1=‎ 由余弦定理可得|PF1|2=c2+c2﹣2c2•=c2，‎ 即|PF1|=，‎ 同理可得|PF2|=，‎ ‎∴﹣=2a，‎ ‎∴=‎ ‎∴e=．‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运用，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（10分）（2016秋•唐山期末）语句p：曲线x2﹣2mx+y2﹣4y+2m+7=0表示圆；语句q：曲线+=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p∨q为真命题，￢p为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由p∨q为真命题，￢p为真命题，得p假q真，进而可得实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：若p真，则曲线x2﹣2mx+y2﹣4y+2m+7=0化为（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2﹣2m﹣3，‎ 由已知m2﹣2m﹣3＞0，解得m＜﹣1或m＞3．…‎ 若q真，则m2＞2m＞0，解得m＞2．…‎ 由p∨q为真命题，¬p为真命题，得p假q真．…（8分）‎ 则解得2＜m≤3，‎ 所以实数m的取值范围是2＜m≤3．…（10分）‎ ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，椭圆的标准方程，圆的一般方程等知识点，难度中档．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•唐山期末）如图所示，三棱柱A1B1C1﹣ABC的侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=AA1，D是棱CC1的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BD；‎ ‎（Ⅱ）在棱A1B1上是否存在一点E，使C1E∥平面A1BD？并证明你的结论．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）要证平面AB1C⊥平面A1BD，只需在平面AB1C内找一条直线（A1B）垂直平面A1BD即可；‎ ‎（2）设AB1∩A1B=F，连接EF，FD，C1E，由EF=AA1，EF∥AA1，且C1D=AA1，C1D∥AA1，‎ 可得EF∥C1D，且EF=C1D，四边形EFDC1是平行四边形即可得到，当E为A1B1的中点时，C1E∥平面A1BD．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵AA1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，∴AA1⊥AC，‎ 又∵AB⊥AC，AA1∩AB=A，∴AC⊥平面ABB1A1，‎ 又∵A1B⊂平面ABB1A1，∴AC⊥A1B，‎ ‎∵AB=AA1，∴A1B⊥AB1，‎ 又∵AB1∩AC=A，∴A1B⊥平面AB1C，‎ 又∵A1B⊂平面A1BD，∴平面AB1C⊥平面A1BD．…‎ ‎（Ⅱ）当E为A1B1的中点时，C1E∥平面A1BD．下面给予证明．‎ 设AB1∩A1B=F，连接EF，FD，C1E，‎ ‎∵EF=AA1，EF∥AA1，且C1D=AA1，C1D∥AA1，‎ ‎∴EF∥C1D，且EF=C1D，‎ ‎∴四边形EFDC1是平行四边形，‎ ‎∴C1E∥FD，又∵C1E⊄平面A1BD，FD⊂平面A1BD，‎ ‎∴C1E∥平面A1BD．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查平面和平面垂直的判定和性质、线面平行的推导．解决此类问题的关键是熟练掌握有关定理以及空间几何体中点、线、面之间的位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•唐山期末）已知点A的坐标为（4，1），点B（﹣7，﹣2）关于直线y=x的对称点为C．‎ ‎（Ⅰ）求以A、C为直径的圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设经过点A的直线l与圆E的另一个交点为D，|AD|=8，求直线l的方程．‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出B的对称点C，从而求出AC的中点坐标，求出元旦圆心和半径，求出圆的方程即可；‎ ‎（Ⅱ）分别讨论直线斜率存在和不存在时的情况，结合点到直线的距离公式求出直线l的方程即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）点B（﹣7，﹣2）关于直线y=x的对称点为C（﹣2，﹣7），‎ ‎∵AC为直径，AC中点E的坐标为（1，﹣3），‎ ‎∴圆E的半径为|AE|=5，‎ ‎∴圆E的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=25．…‎ ‎（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，易求|AD|=8，此时直线l的方程为x=4，…（7分）‎ 当直线l的斜率存在时，设l：y﹣1=k（x﹣4），‎ ‎∴圆心E到直线l的距离d=，‎ ‎∵圆E的半径为5，|AD|=8，所以d=3，‎ ‎∴=3，解得k=，‎ ‎∴直线l的方程为7x﹣24y﹣4=0．‎ 综上所述，直线l的方程为x=4或7x﹣24y﹣4=0．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查了直线方程问题，考查求圆的方程，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•唐山期末）如图所示，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，弦PQ的中点为N，经过点N作y轴的垂线与C的准线交于点T．‎ ‎（Ⅰ）若直线l的斜率为1，且|PQ|=4，求抛物线C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设直线l的方程为y=x﹣，与抛物线C的方程联立，化简得x2﹣3px+=0，根据|PQ|=4，求抛物线C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）求出点N、点T的坐标，证明•=﹣p2m2+p2m2=0，即可证明：无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：由直线l的斜率为1，可设直线l的方程为y=x﹣，‎ 与抛物线C的方程联立，化简得x2﹣3px+=0，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理可知，x1+x2=3p，‎ ‎∴|PQ|=x1+x2+p=4p=4，p=1，‎ ‎∴抛物线C的方程为y2=2x．…‎ ‎（Ⅱ）证明：设直线l的方程为x=my+，‎ 与抛物线C的方程联立，化简得y2﹣2pmy﹣p2=0，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理可知，y1+y2=2pm，‎ ‎∴x1+x2=m（y1+y2）+p=2pm2+p，‎ ‎∴点N的坐标为（pm2+，pm），‎ ‎∴点T的坐标为（﹣，pm），‎ ‎∴=（﹣p，pm），=（pm2，pm），‎ ‎∴•=﹣p2m2+p2m2=0，‎ ‎∴无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，同时考查向量与解析几何的交汇，综合性强．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•唐山期末）如图所示，在四棱锥A﹣BCDE中，AB⊥平面BCDE，四边形BCDE为矩形，F为AC的中点，AB=BC=2，BE=．‎ ‎（Ⅰ）证明：EF⊥BD；‎ ‎（Ⅱ）在线段AE上是否存在一点G，使得二面角D﹣BG﹣E的大小为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取BC的中点M，连接MF，ME，推导出MF⊥BD，ME⊥BD，由此能证明EF⊥BD．‎ ‎（Ⅱ）以B为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在一点G，且=时，二面角D﹣BG﹣E的大小为．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）取BC的中点M，连接MF，ME，‎ ‎∵AB⊥平面BCDE，MF∥AB，‎ ‎∴MF⊥平面BCDE，又BD⊂平面BCDE，∴MF⊥BD．‎ 在Rt△MBE与Rt△BED中，‎ ‎∵==，∴Rt△MBE∽Rt△BED．‎ ‎∴∠BME=∠EBD，而∠BME+∠BEM=90°，‎ 于是∠BEM+∠EBD=90°，∴ME⊥BD，‎ 又∵MF∩ME=M，∴BD⊥平面MEF，‎ 又∵EF⊂平面MEF，∴EF⊥BD．…‎ 解：（Ⅱ）∵AB⊥平面BCDE，四边形BCDE为矩形，‎ ‎∴以B为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 设AG=λAE，依题意可得B（0，0，0），C（2，0，0），‎ D（2，，0），A（0，0，2），E（0，，0），F（1，0，1），‎ ‎∴=+=+λ=（0，λ，2﹣2λ），=（2，，0），‎ 设平面BGD的法向量为=（x，y，z），‎ 则，取x=1，则=（1，﹣，），…（9分）‎ 平面BGE的法向量为=（1，0，0），‎ ‎∵二面角D﹣BG﹣E的大小为，‎ ‎∴|cos＜，＞|===，解得λ=．‎ ‎∴存在一点G，且=时，二面角D﹣BG﹣E的大小为．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足条件点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•唐山期末）已知圆A：（x+1）2+y2=8，动圆M经过点B（1，0），且与圆A相切，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l与曲线C相切于点M，且l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若=λ，且λ∈[，2]，求△OPQ面积S的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；轨迹方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可知：|MA|=2﹣r，|MB|=r，则|MA|+|MB|=2＞|AB|=2，M点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，即2a=2，a=，2c=2，c=1，b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设l：y=kx+b，代入椭圆方程，由△=0，求得b2=1+2k2，利用韦达定理求得切点坐标，△OPQ的面积S=•|OP|•|OQ|==|k|+，由λ的取值范围求得k的取值范围，利用函数的单调性即可求得△OPQ面积S的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设动圆M的半径为r，依题意，|MA|=2﹣r，|MB|=r，‎ ‎∴|MA|+|MB|=2＞|AB|=2，‎ ‎∴M点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，即2a=2，a=，2c=2，c=1，‎ 则b2=a2﹣c2=1，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为： +y2=1．…‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l：y=kx+b，‎ ‎，化简得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，‎ ‎∵l与椭圆C相切于点M，设M（x0，y0），‎ ‎∴△=8（1+2k2﹣b2）=0，即b2=1+2k2，…‎ 且2x0=﹣=﹣，解得：x0=﹣，y0=﹣+b=，‎ ‎∴点M的坐标为（﹣，），‎ 又l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，‎ ‎∴点P的坐标为（﹣，0），点Q的坐标为（0，b），‎ ‎∴△OPQ的面积S=•|OP|•|OQ|=，又b2=1+2k2，‎ ‎∴S==|k|+，…（9分）‎ ‎∴=（﹣，），=（，b﹣），‎ 由=λ得， =λ（b﹣），化简得λ==，‎ 由λ∈[，2]，得k2∈[，1]，|k|∈[，1]，‎ 又S=|k|+，且函数y=x+在[，]上单调递减，在[，1]上单调递增，‎ ‎∴当|k|=时，S取得最小值，当|k|=或1时，S取得最大值，‎ ‎∴△OPQ面积S的取值范围是[，]．…（12分）‎ ‎【点评】‎ 本题考查椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查向量的坐标运算，函数单调性与椭圆的综合应用，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎