5年高考真题精选与最新模拟备战数学（文） 专题03 导数与函数
【2012年高考试题】
1.【2012高考安徽文3】（）·（4）=
（A） （B） （C）2 （D）4
2.【2012高考新课标文11】当0
0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是
（A）幂函数 （B）对数函数 （C）指数函数 （D）余弦函数
答案：C
解析：本题考查幂的运算性质
4.（2010辽宁文数）（12）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是
(A)[0,) (B) （C） (D)
答案： D
解析：.，，
即，
5.（2010辽宁文数）（10）设，且，则
（A） （B）10 （C）20 （D）100
答案：A
解析：选A.又
6.（2010辽宁文数）（4）已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是
（A） （B）
（C） （D）
7.（2010全国卷2文数）（7）若曲线在点处的切线方程是，则
（A） (B)
(C) (D)
答案：A
解析：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程
∵ ，∴ ，在切线，∴
8.（2010全国卷2文数）（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是
（A）y=-1(x>0) (B) y=+1(x>0)
(C) y=-1(x R) (D）y=+1 (x R)
答案：D
解析：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数y=1+ln（x-1）(x>1)，∴
9.（2010安徽文数）（7）设，则a，b，c的大小关系是
（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a
答案：A
解析:在时是增函数，所以，在时是减函数，所以。
10.（2010安徽文数）（6）设,二次函数的图像可能是
答案： D
解析:当时，、同号，（C）（D）两图中，故，选项（D）符合.
11.（2010重庆文数）（4）函数的值域是
（A） （B）
（C） （D）
答案：C
解析：
12.（2010浙江文数）（9）已知x是函数f(x)=2x+ 的一个零点.若∈（1，），
∈（，+），则
（A）f()＜0，f()＜0 （B）f()＜0，f()＞0
（C）f()＞0，f()＜0 （D）f()＞0，f()＞0
答案：B
解析：考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题
13.（2010浙江文数）2.已知函数 若 =
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
答案：B
解析：+1=2，故=1
14.（2010天津文数）（10）设函数，则的值域是
（A） （B） （C）（D）
【答案】D
【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。
依题意知，
15.（2010天津文数）
(6)设
(A)af(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).
【解析2】由00，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意。
M<0，时有因为在上的最小值为2，所以1+即>1,解得m<-1.
25.（2010上海文数）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
若实数、、满足，则称比接近.
（1）若比3接近0，求的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；
（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.
解析：(1) xÎ(-2,2)；
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，，
因为，
所以，即a2b+ab2比a3+b3接近；
(3) ,kÎZ，
f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T=p，函数f(x)的最小值为0，
函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kÎZ．
26.（2010陕西文数）21、(本小题满分14分)
已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR。
（1） 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
（2） 设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；
（3） 对（2）中的（a），证明：当a（0，+）时， （a）1.
解 （1）f’(x)=,g’(x)=(x>0),
由已知得 =alnx，
=， 解德a=,x=e2,
两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f’(e2)= ,
切线的方程为y-e=(x- e2).
（2）由条件知
Ⅰ 当a.>0时，令h (x)=0,解得x=,
所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在（0，）上递减；
当x>时，h (x)>0，h(x)在（0，）上递增。
所以x>是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。
所以Φ （a）=h()= 2a-aln=2
Ⅱ当a ≤ 0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。
故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式为2a(1-ln2a) (a>o)
（3）由（2）知Φ （a）=2a(1-ln2a)
则 Φ 1（a ）=-2ln2a，令Φ 1（a ）=0 解得 a =1/2
当 00，所以Φ （a ） 在(0,1/2) 上递增
当 a>1/2 时， Φ 1（a ）<0，所以Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。
所以Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值Φ（1/2 ）=1
因为Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值
所当a属于 (0, +∞)时，总有Φ（a）≤ 1
27.（2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性； K^S*5U.C#
（Ⅱ）设，证明：对任意，.
解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，.
当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；
当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；
当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0, )时, ＞0；
x∈(，+)时，＜0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.
(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.
所以等价于
≥4x1－4x2,
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
令g(x)=f(x)+4x,则
+4
＝.
于是≤＝≤0.
从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，
即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+) ，.
28.（2010全国卷2文数）（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。
（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；
（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。
29.（2010安徽文数）20.（本小题满分12分）
设函数，，求函数的单调区间与极值。
【解析】（1）对函数求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.
30.（2010北京文数）（20）（本小题共13分）
已知集合对于，，定义A与B的差为
A与B之间的距离为
（Ⅰ）当n=5时，设，求，；
（Ⅱ）证明：，且;
(Ⅲ) 证明：三个数中至少有一个是偶数
（Ⅰ）解：=（1,0,1,0,1）
=3
(Ⅱ)证明：设
因为，所以
从而
由题意知
当时，
当时，
所以
(Ⅲ)证明：设
记由（Ⅱ）可知
所以中1的个数为k,中1的个数为
设是使成立的的个数。则
由此可知，三个数不可能都是奇数
即三个数中至少有一个是偶数。
31.（2010天津文数）（20）（本小题满分12分）
已知函数f（x）=，其中a>0.
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.
【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.
（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.
（Ⅱ）解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.
以下分两种情况讨论：
（1） 若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：
X
0
f’(x)
+
0
-
f(x)
极大值
当等价于
解不等式组得-52，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：
X
0
f’(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
当时，f（x）>0等价于即
解不等式组得或.因此20(x<0),故函数单调递增，显然符合题意；而函数，有y’=-<0(x<0),故其在（上单调递减，不符合题意，综上选C。
3．( 2009·福建文11)．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0．25， 则可以是
A． B．
C． D．
答案：A[来源:学科网]
解析：的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=．现在我们来估算的零点，因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0．25，只有的零点适合，故选A。
4． (2009·广东文4) 若函数是函数的反函数，且，则
A． B． C． D．2
答案：A
解析：函数的反函数是,又,即,
所以,,故,选A．
5．( 2009·辽宁文6)已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝，则＝
（A） （B） （C） （D）
答案：A
解析：∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)
且3＋log23＞4
∴＝f(3＋log23)
＝
6． (2009·辽宁文理9)已知偶函数在区间上单调增加，则的x取值范围是
答案： A
解析：由已知有，即，
∴。
7．( 2009·山东文理6．) x
y
1
1
D
O
x
y
O
1
1
C
x
y
O
1
1
B
1
x
y
1
O
A
函数的图像大致为( )．
答案：A
解析：:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A．
答案:A．
8．( 2009·山东文7)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则
f（3）的值为( )
A．-1 B． -2 C．1 D． 2
解析：由已知得,,,
,,故选B．
答案:B．
9．( 2009·山东文10)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( )
A．-1 B． 0 C．1 D． 2
答案：C
解析：由已知得,,,
,,
,,,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现．,所以f（2009）= f（5）=1,故选C．
答案:C．
10．( 2009·山东文12．)12． 已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( )．
A． B．
C． D．
解析：因为满足,所以
,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,,,又因为在R上是奇函数， ,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D．
答案：D．
11．( 2009·天津文15) 5．设，则
A a1,则不恒成立.
所以使恒成立的a的取值范围是
16. (2009·辽宁文21) （本小题满分12分）
设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。
而当时，.
从而
20. (2009·广东文21).（本小题满分14分）
已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数
(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值
(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.
解析：（1）设，则；
又的图像与直线平行
又在取极小值， ，
， ；
， 设
则
；
（2）由，
得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，若，，
函数有两个零点；若，
，函数有两个零点；
当时，方程有一解, , 函数有一零点 [来源:学,科,网]
21.20090423
( 2009·浙江文21)（本题满分15分）已知函数 ．
（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；
（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．
解析：（Ⅰ）由题意得
又 ，解得，或
（Ⅱ）函数在区间不单调，等价于
导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数
即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有
， 即：
整理得：，解得
23.（2009·安徽文21）（本小题满分14分）
已知函数，a＞0，
（I） 讨论的单调性;
（II） 设a=3，求在区间[1，]上值域。其中e=2.71828…是自然对数的底数。
解：（Ⅰ）由于
令得
① 当，即时，恒成立，∴在上都是增函数。
② 当，即时，
由得或
∴或或
又由得，∴
综上 当在上都是增函数；当在及上都是增函数，
在是减函数。
（2）当时，由（1）知，在[1，2]上是减函数，在[上市增函数。
又
∴函数在区间[1，]上的值域为。
（安徽文9）．设函数，其中，则导数的取值范围是
（A）． （B）. （C） （D
解析：，∴
∴，选D
26．(2009·天津文21)（本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）当曲线处的切线斜率
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅲ）已知函数有三个互不相同的零点0，，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。
答案（1）1（2）在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=
函数在处取得极小值，且=
解析解：当
所以曲线处的切线斜率为1.
（2）解：，令，得到
因为
当x变化时，的变化情况如下表：
+
0
-
0
+
极小值
极大值
在和内减函数，在内增函数。
函数在处取得极大值，且=
函数在处取得极小值，且=
（3）解：由题设，
所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得
因为
若，而，不合题意
若则对任意的有
则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得
综上，m的取值范围是
【2008高考试题】
1．（2008·山东卷文5）设函数则的值为（ ）
A． B． C． D．
解析：本小题主要考查分段函数问题。正确利用分段函数来进行分段求值。
选A．
2．（2008·山东卷文12）
O
y
x
已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
解析：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。
由图易得取特殊点
．选A．
3．（2008·山东卷理3文3）函数y＝lncosx(-＜x＜的图象是
解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。是偶函数，可排除B、D，由排除C,选A．
4．（2008·山东卷文15）已知，则的值等于 ．
解析：本小题主要考查对数函数问题。
6． (2008·广东文9)设，若函数，，有大于零的极值点，则（ ）
A、 B、 C、 D、
解析：题意即有大于0的实根，数形结合令，则两曲线交点在第一象限，结合图像易得，选A。
（方法二）：。
7．（2008广东文12）函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是 ．
解析：由可得,答案:.
8.(辽宁文15)若函数在处取极值，则
解析：f’(x)＝
f’(1)＝＝0 Þ a＝3
答案3
9.(宁夏海南文13)曲线在点（0,1）处的切线方程为 。
答案：
解析：，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即
10. (福建文15)若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .
解析：由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。
解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填
或是。
解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得
11．（2008·广东文17）（本小题满分12分）
某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）
解析设楼房每平方米的平均综合费用为元，则
, 令 得
当 时，；当 时，
因此当时，取最小值；
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。
12．(2008·山东文21)（本小题满分12分）
设函数，已知和为的极值点．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（Ⅲ）设，试比较与的大小．
标准答案
（Ⅰ）因为，
又和为的极值点，所以，
因此 解方程组得，．
（Ⅱ）因为，，所以，
令，解得，，．
因为 当时，；
当时，．
所以 在和上是单调递增的；在和上是单调递减的．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，
故，
令，则．
令，得，因为时，，
所以在上单调递减．故时，；
因为时，，所以在上单调递增．
故时，．
所以对任意，恒有，又，因此，
故对任意，恒有．
13．(2008·海南、宁夏文21)（本小题满分12分）设函数，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值。
试题解析
（Ⅰ）方程可化为，当时，；
又，于是，解得， 故
（Ⅱ）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为
，即
令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；
令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；
所以点处的切线与直线所围成的三角形面积为；
故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形面积为定值，此定值为6；
【最新模拟】
1.函数的大致图象是
解析：易知为偶函数，故只考虑时的图象，将函数图象向轴正方向平移一个单位得到的图象，再根据偶函数性质得到的图象.
2．函数的值域为
A．R B．
C． D．
3. 函数的图象大致为
【答案】A
4．函数的定义域为
(A)(0，+∞) (B)(1，+∞)
(C)(0，1) (D)(0，1)(1，+)
5．已知函数则，则实数的值等于 （ ）
A．－3 B．－l或3 C．1 D．－3或l
6.已知函数，，且关于的方程有两个实根，则实数
的范围是
【答案】
【 解析】当时，，所以由图象可知当要使方程有两个实根，即有两个交点，所以由图象可知。
7.实数满足如果目标函数的最小值为，则实数m的值为
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】D
【解析】先做出的区域如图,可知
在三角形区域内，由得，
可知直线的截距最大时，取得最小值，此时直线为，作出直线，交于点，则目标函数在该点取得最小值，如图所示。
所以直线过点，由，得，代入得，.
8.函数的图象大致是
时，，排除D.,由，得，所以函数的极值有很多个，所以选C.
9.下列函数中，满足“对任意的时，都有”的是
A. B.
C. D.
【答案】C
【 解析】由条件可知函数在，函数递增，所以选C.
10.已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图像如图所示
若函数有4个零点，则的取值范围为__________.
【答案】
【 解析】由导数图象可知，当或时，，函数递增。当或时，，函数递减。所以在处，函数取得极小值。由得。由图象可知，要使函数有4个零点，由图象可知，所以的取值范围为，即。
11.若，，，则
A． B.
C. D.
【答案】A
【解析】,，所以。选A.
12.已知偶函数在R上的任一取值都有导数，且则曲线在处的切线的斜率为
A.2 B.-2 C.1 D.-1
【答案】D
【 解析】由得可知函数的周期为4，又函数为偶函数，所以，即函数的对称轴为，所以，所以函数在处的切线的斜率，选D.
13.设，函数的图象可能是
【答案】B
【 解析】由图象可知。，则，排除A,C.，当时，，排除D,选B.
14．已知a>0，b>0，且，则函数 与函数的图象可能是 （ ）
15、有下列四个命题：
p1：；
p2：已知a>0，b>0，若a+b=1，则的最大值是9；
p3：直线过定点(0，-l)；
p4：区间是的一个单调区间．
其中真命题是
(A)p1,p4 (B)p2,p3 (c)p2,p4 (D)p3,p4
【答案】A
【解析】：当时，满足，所以
正确，排除B,C,D.所以选A. :，所以最小值为9，所以错误。：由得，即，解得，即过定点，所以错误。：当时，，，此时函数单调递增，所以正确。综上选A.
（16、已知实数x，y满足不等式组若目标函数取得最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a的取值范围为
(A)a<-l (B)01
17. 下列命题正确的序号为 .
①函数的定义域为;
②定义在上的偶函数最小值为;
③若命题对，都有，则命题，有
;
④若，，则的最小值为.
【答案】②③④
【解析】①要使函数有意义，则有，得，所以①错误。②因为函数为偶函数，所以，即且，所以，所以，所以最小值为5，所以②正确。③正确。④因为所以，所以，所以④正确。所以正确的序号为②③④。
18．已知若使得成立，则实数a的取值范围是 。
19.已知函数， .令.
(Ⅰ)当时，求的极值；
(Ⅱ)当时，求的单调区间；
(Ⅲ)当时，若对，
使得恒成立，求的取值范围.
解：(Ⅰ)依题意，
所以 其定义域为. ……………1分
当时， ，. ……………2分
令，解得
当时，；当时， .
所以的单调递减区间是，单调递增区间是；
所以时， 有极小值为，无极大值 ……………4分
(Ⅱ) ……5分
当时，， 令，得或，
令，得；
所以，当时，的单调递减区间是，，[来源:学_科_网]
单调递增区间是……………7分
（Ⅲ）由(Ⅱ)可知，当时，在单调递减.
所以； . …………8分
所以
………………9分
因为对，有成立，
所以，
整理得. ……………11分
又 所以， 又因为 ，得，
所以，所以 . ……………13分
20.已知函数，其中是自然对数的底数，．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求的单调区间；
（3）若，函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围.
.
………12分
因为函数与函数的图象有3个不同的交点，
所以，即. 所以.…………14分
21．(本小题满分13分)
已知函数．
(I)若a>0，试判断在定义域内的单调性；
(Ⅱ)若在[1，e]上的最小值为，求a的值；
(III)若在(1，+)上恒成立，求a的取值范围
(Ⅲ)∵f(x)0，∴a>xln x－x3. ………………………………………………9分
令g(x)＝xln x－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x2，…………………10分
h′(x)＝－6x＝.
∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，
∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数．
∴h(x)
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