【数学】重庆市江津中学、綦江中学等六校2020届高三4月复学联合诊断性考试（理）

【数学】重庆市江津中学、綦江中学等六校2020届高三4月复学联合诊断性考试（理）

重庆市江津中学、綦江中学等六校2020届 高三4月复学联合诊断性考试（理）‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上.‎ ‎2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.‎ ‎3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上.‎ ‎4.考试结束后,将答题卷交回.‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、 选择题(本大题共12道小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1．已知集合,则（ ）‎ A．　　　　 B．‎ C．[，　　　　 D．‎ ‎2．已知,则“实数均不为零”是“实数成等比数列”的（ ）‎ A．必要不充分条件　　　 B．充分不必要条件 C．充要条件　　　 D．既不充分也不必要条件 ‎3．如果向量 与 共线且方向相反,那么实数的值为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．若函数(其中,且)可化为,则应满足条件（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．已知满足,则实数a,b,c满足（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎6．函数是上的偶函数,且,若在上单调递减,则函数在上是（ ）‎ A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．先减后增函数 ‎7．已知函数的图像与直线的某两个交点的横坐标分别为,若的最小值为,且将函数的图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数的一个递减区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知为上的可导函数,且有,则对于任意的,当时,有（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．如图所示,正方体中,点分别为边,的中点,过点作一平面与线段所在直线有一交点,若正方体边长为,则多面体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设点是以为左、右焦点的双曲线右支上一点,且满足 ,直线与圆有且只有一个公共点,则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数,方程有四个不相等实根,则的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题(本大题共4道小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13．已知复数满足,则________.‎ ‎14．二项式的展开式中，常数项为________.‎ ‎15．在中,已知 , ,,点满足 ,其中,则的最小值为________.‎ ‎16．已知数列满足：对任意,且,其中,则使得成立的最小正整数为________.‎ 三、解答题(本大题共6道小题,共70分)‎ ‎17．（12分）已知函数 ‎（1）求函数的最小正周期;‎ ‎（2）当时,求函数的最大值与最小值.‎ ‎18．（12分）如图所示,平面 ‎（1）求证：平面;‎ ‎（2）求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎19．（12分）新型冠状病毒属于β属的冠状病毒，人群普遍易感, 病毒感染者一般有发热咳嗽等临床表现，现阶段也出现无症状感染者.基于目前的流行病学调查和研究结果，病毒潜伏期一般为 1-14 天，大多数为 3-7 天.为及时有效遏制病毒扩散和蔓延，减少新型冠状病毒感染对公众健康造成的危害,需要对与确诊新冠肺炎病人接触过的人员进行检查.某地区对与确诊患者有接触史的1000名人员进行检查,检查结果统计如下:‎ 发热且咳嗽 发热不咳嗽 咳嗽不发热 不发热也不咳嗽 确诊患病 ‎200‎ ‎150‎ ‎80‎ ‎30‎ 确诊未患病 ‎150‎ ‎150‎ ‎120‎ ‎120‎ ‎（1）能否在犯错率不超过0.001的情况下,认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关。‎ ‎ 临界值表：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.645‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（2）在全国人民的共同努力下，尤其是全体医护人员的辛勤付出下，我国的疫情得到较好控制，现阶段防控重难点主要在境外输入病例和无症状感染者（即无相关临床表现但核酸检测或血清特异性免疫球蛋白M抗体检测阳性者）。根据防控要求，无症状感染者虽然还没有最终确诊患2019新冠肺炎，但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离医学观察14天，已知某人曾与无症状感染者密切接触，而且在家已经居家隔离10天未有临床症状，若该人员居家隔离第天出现临床症状的概率为，，两天之间是否出现临床症状互不影响，而且一旦出现临床症状立刻送往医院核酸检查并采取必要治疗，若14天内未出现临床症状则可以解除居家隔离，求该人员在家隔离的天数（含有临床症状表现的当天）的分布列以及数学期望值。（保留小数点后两位）‎ ‎20．（12分）已知函数在定义域内有两个不同的极值点.‎ ‎（1）求的取值范围;‎ ‎（2）设两个极值点分别为,且，证明：‎ ‎21．（12分）已知为抛物线上的一点，为抛物线上异于点的两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数.‎ ‎（1）求直线的斜率;‎ ‎（2）设直线过点并交抛物线于两点，且 ，直线与轴交于点，试探究 与 的夹角是否为定值，若是则求出定值，若不是，说明理由.‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为：(为参数),直线,以坐标原点为极点,轴为极轴建立极坐标系 ‎（1）求曲线的极坐标方程;‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点,求的取值范围.‎ ‎23．（10分）已知已知函数 ‎（1）求不等式恒成立,求的范围;‎ ‎（2）若,且对,总存在,使得,求实数的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题：‎ ‎1——5： BAACA 6——10：DCBAD 11——12： CC 二、填空题：‎ ‎13、 14、 15、 16、298‎ 三、解答题：‎ ‎17、（1）解：由题有， 4分 ‎ 故函数的最小正周期 6分 ‎（2）当时， 12分 ‎18、（1）证明：∵ 面 ‎ ∴面 2分 ‎ 同理：面 ‎ 又 面 面 ‎ ‎ 故面面 4分 ‎ 且面 ‎ 故面 6分 ‎ （2）解：由题可知，两两互相垂直，故可以以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，且 ‎ 若设平面的法向量为，则由 可得： 8分 ‎ 同理：若设平面的法向量为，则由 可得： 10分 ‎ 所以 11分 ‎ 即二面角的余弦值为 12分 ‎19、（1）由表可得，患者有发热症状与确诊的2╳2列联表如下：‎ ‎ ‎ 发热 不发热 合计 确诊 ‎350‎ ‎110‎ ‎460‎ 未确诊 ‎300‎ ‎240‎ ‎540‎ 合计 ‎650‎ ‎350‎ ‎1000‎ ‎ （这里可以酌情考虑给分，3分，主要是把发热归为一类）‎ ‎ 由公式可得： 4分 ‎ 故在犯错率不超过0.001的情况下,有把握认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关。 5分 ‎（2）由题可知，随机变量可以取值：11,12,13,14 6分 ‎ 其分布列为：‎ ‎ ‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎ 一个一分 11分 其数学期望为： 12分 ‎20、（1）由题意可知，的定义域为 ‎ ‎ 且 1分 ‎ 令 ‎ 则函数在定义域内有两个不同的极值点等价于在区间内至少有两个不同的零点 ‎ 由可知，‎ 当时，恒成立，即函数在上单调，不符合题意，舍去。 3分 ‎ 当时，由得，，即函数在区间上单调递增；‎ ‎ 由得，，即函数在区间上单调递减；‎ ‎ 故要满足题意，必有 解得： 6分 ‎（2）证明：由（1）可知，‎ ‎ 故要证：‎ ‎ 只需证明： 9分 ‎ 即证： 不妨设，即证 ‎ 构造函数： 其中 ‎ 由，所以函数在区间内单调递减，所以 得证 11分 ‎ 即证： 12分 或者（2）证明：由（1）可知，‎ ‎ 故要证：‎ ‎ 只需证明： 9分 ‎ 而由（1）可知 ‎ 故上式成立 11分 ‎ 即证： 12分 ‎21、已知为抛物线上的一点，为抛物线上异于点的两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数。‎ ‎（1）求直线的斜率；‎ ‎（2）设直线过点并交抛物线于两点，且，直线与轴交于点，试探究与的夹角是否为定值，若是则求出定值。‎ 解析：（1）设 ‎ 因为点为抛物线上的一点，所以 1分 ‎ 同时，有 ‎ ‎ 3分 ‎ 因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数 ‎ 即 即 4分 故 5分 ‎（2）设直线的方程为 ‎ ‎ 代入 得 ‎ 所以 6分 ‎ 因为，且 ‎ 所以 7分 ‎ 由题可知，‎ ‎ 又 ‎ 所以 ‎ 又 所以 ‎ 所以 即与的夹角为 12分 ‎22、（1）解：由曲线的普通方程为：‎ ‎ 得曲线的极坐标方程为： 5分 ‎ （2）解：由直线可得其极坐标方程：‎ ‎ 代入曲线的极坐标方程得： 6分 ‎ 可得：‎ ‎ 故 ‎ ‎ 8分 ‎ 故 10分 ‎23、（1）由题可知， 2分 ‎ 故 解之得： 5分 ‎ （2）由题可知，函数的值域包含的值域，‎ ‎ 即 7分 ‎ 解得： 10分