2019-2020学年江苏省徐州市高二上学期期末抽测数学试题 Word版

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2019-2020学年江苏省徐州市高二上学期期末抽测数学试题 Word版

徐州市2019-2020学年度第一学期期末抽测 高二年级数学试题 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 命题“,使得”的否定是( )‎ ‎ , , ‎ ‎ , , ‎ ‎【答案】 ‎2. 不等式的解集是( )‎ ‎ ‎【答案】 ‎3. 等差数列前项和为,若,,则( )‎ ‎ ‎【答案】 ‎4. 若平面的法向量分别为,,且,则的值为( )‎ ‎【答案】 ‎5. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆,且焦距为,则的值为( )‎ ‎【答案】 ‎6. 有同学用石子在沙滩上摆成各种形状来 研究数,如图1和图2所示. 图1中的 ‎1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成 三角形,将其称为三角形数;类似地,‎ 称图2中的1,4,9,16,…,这样的数为 正方形数.下列数中既是三角形数又是正 方形数的是( )‎ ‎ ‎【答案】 ‎7. 已知都是实数,那么“”是“”的( )‎ ‎ 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 ‎【答案】 ‎8.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多达芬奇创作的油画,现收藏于法国罗 浮宫博物馆.该油画规格为:纵77cm,横53cm.油画挂 在墙壁上的最低点处B离地面237cm(如图所示).有一 身高为175cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼 睛C的距离为15cm),设该游客离墙距离为xcm,视角 为.为使观赏视角最大,x应为( )‎ ‎ ‎【答案】 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项 中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选 错的得0分。‎ ‎9. 下列说法正确的有( )‎ ‎ 若,则 若,则 ‎ ‎ 若,则 若,则 ‎【答案】 ‎10.若双曲线的一个焦点,且渐近线方程为,则下列结论正确的是( )‎ ‎ 的方程为 的离心率为 ‎ ‎ 焦点到渐近线的距离为 两准线间的距离为 ‎【答案】 ‎11.等差数列的前项和为,若,公差,则下列命题正确的是( )‎ ‎ 若,则必有 若,则必有是中最大的项 若,则必有 若,则必有 ‎【答案】 ‎12.下列命题中正确的是( ) ‎ 是空间中的四点,若不能构成空间基底,则共面 ‎ 已知为空间的一个基底,若,则也是空间的基底 ‎ 若直线的方向向量为,平面的法向量为,则直线 若直线的方向向量为,平面的法向量为,则直线与平面 所成角的正弦值为 ‎【答案】 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.若数列满足,,则数列前项的和为 .‎ ‎【答案】 ‎14.在长方体中,,,则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎15.若是抛物线上一点,为抛物线的焦点,点,则取最 小值时点的坐标为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎16.已知正项等比数列满足,若存在两项使得,‎ 则的最小值是 ,此时 .‎ ‎【答案】 四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。‎ ‎17.(10分)已知,.‎ ‎(1)若,求; (2)若是的充分条件,求的取值范围.‎ ‎【解】(1)由题意,得 当时, …………………………………2分 所以, ……………………………………4分 ‎(2)由已知,是的充分条件,则 …………………………6分 又 ……………………………………………8分 所以 解得,, ‎ 所以的取值范围是 ………………………………………10分 ‎18.(12分)已知函数,且不等式的解集是.‎ ‎ (1)求的值;‎ ‎(2)若不等式对于恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【解】(1)因为不等式的解集是 所以且的解是,…………………2分 所以,所以,, ………………………4分 所以, ……………………………………………………6分 ‎ ‎(2)因为对于恒成立 所以对恒成立, ……………8分 当时,,‎ 所以, …………10分 所以.………………………………12分 ‎19.(12分)设为等差数列的前项和,已知,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的项和.‎ ‎【解】(1)由已知,,且,‎ 所以,……………………………………2分 所以 …………………………………………4分 ‎(2)由(1)知,,…………………6分 所以,‎ ‎,‎ 两式相减得, …………………4分 ‎ 所以 所以 …………………………………12分 ‎20.(12分)已知动点到定点的距离比它到轴的距离大.‎ ‎(1)求动点的轨迹的方程;‎ ‎(2)设点(为常数),过点作斜率分别为的两条直线与,交曲 线于两点,交曲线于两点,点分别是线段的中点,若 ,求证:直线过定点.‎ ‎【解】(1)因为点到定点的距离比它到轴的距离大1,‎ 所以,点到定点的距离等于它到的距离,‎ 所以点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线, ‎ 所以,动点的轨迹的方程为 ………………………………4分 ‎ ‎(2)由题意,直线的方程为,‎ 设,由,得,‎ 所以, ……………………………………6分 又线段的中点为,所以,同理……8分 所以,‎ 所以直线,‎ 即 ………………………………………………10分 所以,直线过定点 …………………………………12分 ‎21.(12分)如图,在三棱锥中,已知,,平面平 面,点分别是的中点,‎ ,连接.‎ ‎(1)若,并异面直线与 所成角的余弦值的大小;‎ ‎(2)若二面角的余弦值的大小 为,求的长. ‎ ‎【解】(1)连结OC.∵平面PAB⊥平面ABC,PO⊥AB,∴PO⊥平面ABC,所以PO⊥OC.‎ ‎∵AC=BC,点O是AB的中点,∴OC⊥AB.且. ‎ 如图,建立空间直角坐标系.………………2分 ‎,.‎ ‎,,, ‎ ‎,. ………………4分 从而, .‎ ‎∵,‎ ‎∴异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小为.…………………………6分 ‎(2)设,则.∵ PO⊥OC,OC⊥AB,∴OC⊥平面PAB.‎ 从而是平面PAB的一个法向量.…………………………8分 不妨设平面PBC的一个法向量为,‎ ‎∵,, ∴‎ 不妨令x=1,则y=1,,则. …………………10分 由已知,得,化简,得.‎ ‎∴. …………………………………12分 ‎22.(12分)在直角坐标系中,已知椭圆的上顶点坐标为,‎ 离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若椭圆上的点的横坐标为,且位于第 一象限,点关于轴的对称点为点,是位于直线异侧的椭圆上的动点.‎ ①若直线的斜率为,求四边形面积的最大值;‎ ②若动点满足,试探求直线的斜率是否为定值?说明理由.‎ ‎【解】(1)由题意,可得,‎ 则椭圆的标准方程为. …………………………………2分 ‎(2)由(1)可得点坐标为,则.‎ ‎①设直线方程为,联立椭圆方程,‎ 化简可得,‎ 设,则,‎ 所以当时,四边形面积最大值为. ………………6分 ‎②由题意,因为,则直线斜率与直线斜率互为相反数.‎ 设直线的方程为,联立椭圆方程,‎ 化简可得,设,‎ 则,又,所以,‎ 设,同理可得,‎ 所以,‎ 所以直线的斜率为定值. ………………12分
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