武昌区 2020 届高三年级四月调研测试文科数学试题

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高三文科数学 第 1 页（共 5 页） 武昌区 2020 届高三年级四月调研测试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．设全集U  R ，集合 A  {x | 0  x  2}， B  {x | x  1  0} ，则 A  B  A. (2,) B. [2,) C. (,2] D. (,1] 2．已知复数 z  5 3 4i ，则复数 z 的虚部为 A. 4 5 B. 4 5  C. 4 5 i D. 4 5  i 3．已知双曲线C : 2 2 2 2 x y a b   1(a  0,b  0) 的焦距为 8，一条渐近线方程为 y  3 x ，则C A. 2 2 14 12 x y  B. 2 2 112 4 x y  C. 2 2 116 48 x y  D. 2 2 148 16 x y  4．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为 [20,40) ，[40,60) ，[60,80) ，[80,100].若低于 60 分的人数是 18 人，则该班的学生人 数是 A. 45 B. 48 C. 54 D. 60 5．已知l ， m 是两条不同的直线， m  平面 ，则“ l //  ”是“ l  m ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知向量 a  (1,2) ，b  (3,1) ，则 A. a // b B. a  b C. a // ( ab ) D. a  ( a b) 高三文科数学 第 2 页（共 5 页） 2 3 2 3 7．已知点(m,8) 在幂函数 f (x)  (m  1)xn 的图像上，设a  f () ，b f (ln π) ，c f ( n ) ， 则 A. b  a c B. a  b c C.b  c  a D.a  c  b 8．函数 48ln | | ( ) e ex x x xf x     的图像大致为 A. B. C. D. 9．一艘海轮从A 处出发，以每小时 24 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分 钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海 轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°， 在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°， 那么B，C 两点间的距离是 A. 6 海里 B. 6 海里 C. 8 海里 D.8 海里 10．已知三棱锥 P  ABC 的顶点都在球O 的球面上， PA ， PB ， AB  4 ， CA  CB ，面 PAB 面 ABC ，则球O 的表面积为 A. 10 3 . B. 25 6  C. 40 9  D. 50 3  2 14 10 高三文科数学 第 3 页（共 5 页） 3 11．已知函数 f (x)  Asin(x   )(A  0,  0,0    2  ) 的部分图像如图所示，则 f ( 3 4  )  A. 2  6 4 B. 2  6 4 C. 6  2 4 D. 6  2 2 12．已知函数 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数，且满足 f ( x)  f (2  x) ，当 x [0, 1] 时， f (x)  x ，则函数 F (x)  f (x)  x  4 在区间[10, 9] 上零点的个数为 1  2x A．9 B．10 C．18 D．20 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．直线mx  ny  1  0(m  0, n  0) 过圆C : x2  y 2  2x  2 y  1  0 的圆心，则 1 1 m n  的最 小值是 . 14．从分别写有 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽 得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 . 15．给出以下式子： ○   ① tan 25+tan 35+ tan 25 tan 35 ；② 2(sin 35 cos 25+ cos 35 cos 65) ；③1 tan15 1 tan15     . 其中，结果为 的式子的序号是 . 16．已知椭圆C : 2 2 2 2 x y a b  =1(a  b  0) 的左、右焦点分别为F1 ，F 2 ，椭圆的焦距为2c ， 过C 外一点 P(c,2c) 作线段 PF1 ， PF2 分别交椭圆C 于点 A 、 B ，若| PA || AF1 | ，则 | PF2| ． | BF2 | 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（本题 12 分） 已知等差数列{an}的各项均为正数， Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a1=1， a4a5  11 . （1）求数列{an}的通项 an； （2）设bn  a n 3n ，求数列{b n} 的前 n 项和Tn 3 高三文科数学 第 4 页（共 5 页） 18．（本题 12 分） 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，A1A 丄平面 ABC，ACB  90 ，AC=CB=C1C=1, M， N 分别是 AB，A1C 的中点. (1)求证：直线 MN ⊥平面 ACB1； (2)求点 C1 到平面 B1MC 的距离. 19．（本题 12 分） 某校共有学生 2000 人，其中男生 900 人，女生 1100 人，为了调查该校学生每周平均 体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校 100 名学生每周平均体育锻炼时间（单位： 小时）. （1）应抽查男生与女生各多少人？ （2）根据收集 100 人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表： 时间（小时） [0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] (5,6] 频率 0.05 0.20 0.30 0.25 0.15 0.05 若在样本数据中有 38 名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过 2 小时，请完成每周 平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均 体育锻炼时间与性别有关”? 男生 女生 总计 每周平均体育锻炼时间不超过 2 小时 每周平均体育锻炼时间超过 2 小时 总计 附： K 2 n(ad  bc)2 . (a  b)(c  d )(a  c)(b  d ) P（ K 2  k ） 0 0.100 0.050 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879  高三文科数学 第 5 页（共 5 页） 20．（本题 12 分） 已知 A 是抛物线 E ：y 2  2 px(p  0) 上的一点，以点 A 和点 B(2, 0) 为直径两端点的圆 C 交直线 x  1 于 M ， N 两点. （1）若| MN | 2 ，求抛物线 E 的方程； （2）若0  p  1 ，抛物线 E 与圆( x  5)2  y 2  9 在 x 轴上方的交点为 P ，Q ，点G 为 PQ 的中点， O 为坐标原点，求直线OG 斜率的取值范围. 21．（本题 12 分） 已知函数 f ( x)  x2  (t  2)x  t ln x  2 . （1）若 x  2 是 f ( x) 的极值点，求 f ( x) 的极大值； （2）求实数t 的范围，使得 f ( x)  2 恒成立. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本题 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l 的参数方程为 22 2 21 3 x t t t       （t为参数），以坐标原 点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为  2  4 cos  3 . （1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （2）直线l 与圆C 交于 A ， B 两点，点 P(2,1) ，求| PA |  | PB | 的值. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（本题 10 分） 已知函数 f (x) | x  a | ． （1）当a  1 时，求不等式 f ( x) | 2x  1 | 1 的解集； （2）若函数 g( x)  f ( x) | x  3 | 的值域为 A ，且[2,1]  A ，求a 的取值范围. 高三文科数学 第 1 页（共 4 页） P Q 武昌区 2020 届高三年级四月调研测试 文科数学参考答案及评分细则 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A D A D B A A D A B 二、填空题： 13．4 14． 8 5 15．①②③ 16． 22 三、解答题： 17．（本题 12 分） 解：（1）由 a1=1， 1154 aa 得， 11)41)(31(  dd ，所以 3 2d 或 2 3d （舍去）. 所以， 3 12)1(1  ndnaan ，即 3 12  nan . ………….(4 分) (2) 因为 13)12(33 12  nn n nnb ， 所以 110 3)12(3533  n n nT  ， 于是 n n nT 3)12(35333 21   . 以上两式相减，得 n n nT 3 . ………….(12 分) 18．（本题 12 分） 解：（1）过点 M，N 分别作 BCMP  1CCNQ  ，垂足分别为 P，Q. 则 NQMP // 且 NQMP  ，所以 PQMN // . 因为 1// BCPQ ， CBBC 11  ，所以 CBPQ 1 . 因为 1AA 平面 ABC ， ACAA 1 ， 所以 11 // AACC ，所以 ACCC 1 . 因为 CBAC  ，所以 AC 平面 11BBCC ，所以 PQAC  ， 所以 PQ ⊥平面 ACB1. 因为 PQMN // ，所以 MN ⊥平面 ACB1. ……….(4 分) （2）设 C1 到平面 B1MC 的距离为 h . 因为 2 1MP ， 2 1 11  CCBS ，所以 12 1 3 1 1111   MPSV CCBCCBM . 因为 2 2CM ， 21 CB ， 2 6 1 MB ，所以 4 3 2 1 11  MBCMS CMB . 高三文科数学 第 2 页（共 4 页） 因为 CCBMMCBC VV 1111   ，所以 MPShS CCBMCB  111 3 1 3 1 ，解得 3 3h . 所以，点 C1 到平面 B1MC 的距离为 3 3 . …………(12 分) 19．（本题 12 分） 解：（1）因为，男生人数︰女生人数=900︰1100=9︰11， 所以， 男生人数为 4510020 9  人，女生人数为 5510020 11  人. ………..(4 分) （2）由频率分布直方图可得到学生平均每周体育锻炼时间超过 2 小时的人数为： (1 0.300 1 0.250 1 0.150 1 0.050) 100 75         人， 所以，平均每周体育锻炼时间超过 2 小时的女生人数为 37 人. 所以，每周体育锻炼时间与性别的列联表为： 男生 女生 总计 每周平均体育锻炼时间不超过 2 小时 7 18 25 每周平均体育锻炼时间超过 2 小时 38 37 75 总计 45 55 100 因为 841.3892.345557525 )3773818(100 ))()()(( )( 22 2    dbcadcba bcadnK ， 所以，有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”. …(12 分) 20．（本题 12 分） 解：（1）设 ),( 00 yxA ，且 0 2 0 2pxy  ，则 ),2 2( 0 0 yxC  . 圆C 的直径 2 0 2 0 )2(|| yxAB  ，圆心C 到直线 1x 的距离为 |2||12 2| 00 xxd  . 因为 2MN ，所以 222 )2 ||()2 ||( ABdMN  ， 即 4 )2( 41 2 0 2 0 2 0 yxx  ，将 0 2 0 2pxy  代入， 化简，得 0)42( 0  xp ，所以 2p . 所以，抛物线 E 的方程为 xy 42  . ………….(4 分) （2）由      ,9)5( ,2 22 2 yx pxy 得 016)5(22  xpx ，且 0 . 设 ),( 11 yxP ， ),( 22 yxQ ，则 )5(221 pxx  ， 1621 xx . 高三文科数学 第 3 页（共 4 页） 所以 pxG  5 ， 2 21 21 9)(2 2 2 ppxxpyyyG  . 所以， )10(5 9 2   pp ppkOG . 令 )54(5  ttp ，则 )4 11 5 1(112020 22 2  tttt ttkOG ， 解得 2 20  OGk ，即直线OG 斜率的取值范围为 )2 2,0( . ………….(12 分) 21．（本题 12 分） 解：（1） x ttxxf  22)( ，因为 2x 是 )(xf 的极值点， 所以 0224)2(  ttf ，解得 4t . 此时 x xx x xx xxxf )2)(1(2462462)( 2  . 所以， )(xf 的极大值为 3)1( f . ………….(4 分) （2）要使得 2)( xf 恒成立，即 0x  时， 0ln)2(2  xtxtx 恒成立. 设 xtxtxxg ln)2()( 2  ，则 x txx x ttxxg )2)(1()2(2)(  . （ⅰ）当 0t 时，函数 )(xg 在 )1,0( 单调递减，在 ),1(  单调递增， 所以 01)1()( min  tgxg ，解得 1t . （ⅱ）当 02  t 时，函数 )(xg 在 )1,2( t 单调递减，在 )2,0( t 和 ),1(  单调递增， 此时 11)1(  tg ，不合题意. （ⅲ）当 2t 时， 0)1(2)( 2  x xxg ，函数 )(xg 在 ),0(  单调递增， 此时 31)1(  tg ，不合题意. （ⅳ）当 2t 时，函数 )(xg 在 )2,1( t 单调递减，在 )1,0( 和 ),2(  t 单调递增， 此时 31)1(  tg ，不合题意. 综上所述，当 1t 时， 2)( xf 恒成立. ………….(12 分) 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本题 10 分） 解：（1）直线l 的普通方程为 3 0x y   ， 圆C 的直角坐标方程为 03422  xyx . ………….(5 分) （2）联立直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程可得 高三文科数学 第 4 页（共 4 页） 03)2 22(4)2 21()2 22( 22  ttt ， 化简可得 0622  tt . 所以， 6|||||| 21  ttPBPA . ………….(10 分) 另解：将 3 yx 代入 4)2( 22  yx ，并整理得 06102 2  xx ， 所以 521  xx ， 321 xx . 因为 |-2|2|| 1xPA  ， |2|2|| 2  xPB ， 所以 6]4)(2[(2|||| 2121  xxxxPBPA . ……………….(10 分) 23．[选修 4-5：不等式选讲]（本题 10 分） 解：（1）当 1a 时， |1|)(  xxf ． ①当 1x   时，原不等式可化为 1 2 2x x     ，解得 1x   ． ②当 11 2x    时，原不等式可化为 1 2 2x x    ，解得 1x   ，此时原不等式无解． ③当 1 2x   时，原不等式可化为 1 2x x  ，解得 1x  ． 综上可知，原不等式的解集为 1x x   或 1x  ． ………….(5 分) （2） ①当 3a 时，        .3,3 ,3,32 ,,3 )( xa xaax axa xg 所以函数 )(xg 的值域 }33|{  axaxA . 因为 A ]1,2[ ，所以      ,13 ,23 a a 解得 5a . ②当 3a 时，        .,3 ,33,32 ,3,3 )( axa xax xa xg 所以函数 )(xg 的值域 }33|{ axaxA  . 因为 A ]1,2[ ，所以      ,13 ,23 a a 解得 1a . 综上可知， a 的取值范围是 ),1[]5,(   . ………….(10 分)