2014高考导数压轴题终极解答60930

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2014高考导数压轴题终极解答60930

导数解答题专项 目  录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (3) 二、交点与根的分布  (7) 三、不等式证明  (8) (一)作差证明不等式  (二)变形构造函数证明不等式 (三)替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围  (13) (一)恒成立之最值的直接应用 (二)恒成立之分离常数 (三)恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用  (16) 六、导数应用题  (20) 七、导数结合三角函数  (21) 书中常用结论: ⑴ ,变形即为 , 其几何意义为 上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵ ⑶ ⑷ . sin 1x x < sin , (0, )y x x π= ∈ 1xe x> + ln( 1)x x> + ln , 0xx x e x< < > sin , (0, )x x x π< ∈ 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. (切线)设函数 . (1)当 时,求函数 在区间 上的最小值; (2)当 时,曲线 在点 处的切线为 , 与 轴交于点 求证: . 2. (2009天津理20,极值比较讨论) 已知函数 其中 ⑴当 时,求曲线 处的切线的斜率;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ⑵当 时,求函数 的单调区间与极值. 3. 已知函数 ⑴设两曲线 有公共点,且在公共点处的切线相同,若 ,试建立 关 于 的函数关系式,并求 的最大值; ⑵若 在(0,4)上为单调函数,求 的取值范围。 4. (最值,按区间端点讨论) 已知函数f(x)=lnx- . (1)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性; (2)若f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求a的值. 5. (最值直接应用) 已知函数 ,其中 . (Ⅰ)若 是 的极值点,求 的值; (Ⅱ)求 的单调区间; (Ⅲ)若 在 上的最大值是 ,求 的取值范围. 6. (2010北京理数18) 已知函数 =ln(1+ )- + ( ≥0). (Ⅰ)当 =2时,求曲线 = 在点(1, (1))处的切线方程; (Ⅱ)求 的单调区间. 7. (2010山东文21,单调性) 已知函数 ⑴当 时,求曲线 在点 处的切线方程; axxf −= 2)( 1=a )()( xxfxg = ]1,0[ 0>a )(xfy = )))((,( 111 axxfxP > l l x )0,( 2xA axx >> 21 2 2( ) ( 2 3 ) ( ),xf x x ax a a e x= + − + ∈R a∈R 0a = ( ) (1, (1))y f x f= 在点 2 3a ≠ ( )f x 2 21( ) 2 , ( ) 3 ln .2f x x ax g x a x b= + = + ( ) ( )y f x y g x= =与 0a > b a b [0,2], ( ) ( ) ( ) (2 )b h x f x g x a b x∈ = + − − a a x )1ln(2 1)( 2 xaxxxf +−−= a∈R 2x = )(xf a )(xf )(xf [0, )+ ∞ 0 a x x 2 2 x x k k y f 1( ) ln 1( )af x x ax a Rx −= − + − ∈ 1a = − ( )y f x= (2, (2))f 3 2 ( )f x ( )f x ( )f x ⑵当 时,讨论 的单调性 8. (是一道设计巧妙的好题,同时用到 e 底指、对数,需要构造函数,证存在且唯一时结合零 点存在性定理不好想,⑴⑵联系紧密) 已知函数 ⑴若函数 φ (x) = f (x)- ,求函数 φ (x)的单调区间; ⑵设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0,f (x0))处的切线,证明:在区间(1,+∞)上存在唯一的 x0,使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切. 9. (最值应用,转换变量) 设函数 . (1)讨论函数 在定义域内的单调性; (2)当 时,任意 , 恒成立,求实 数 的取值范围. 10. (最值应用) 已知二次函数 对 都满足 且 ,设函数 ( , ). (Ⅰ)求 的表达式; (Ⅱ)若 ,使 成立,求实数 的取值范围; (Ⅲ)设 , ,求证:对于 ,恒有 . 11. 设 是函数 的一个极值点. (1)求 与 的关系式(用 表示 ),并求 的单调区间; (2)设 ,若存在 ,使得 成立,求 的取值范围. 12. . (1)若 ,求函数 的极值; (2)若 是函数 的一个极值点,试求出 关于 的关系式(用 表示 ),并确 定 的单调区间; (3)在(2)的条件下,设 ,函数 .若存在 使得 成立,求 的取值范围. . 13. (2010山东,两边分求,最小值与最大值) 1 2a ≤ ( )f x 1 1 x x + - 22 1( ) (2 )ln ( 0)axf x a x ax += − + < ( )f x ( 3, 2)a∈ − − 1 2, [1,3]x x ∈ 1 2( ln3) 2ln3 | ( ) ( ) |m a f x f x+ − > − m ( )g x x R∀ ∈ 2( 1) (1 ) 2 1g x g x x x− + − = − − (1) 1g = − 1 9( ) ( ) ln2 8f x g x m x= + + + m R∈ 0x > ( )g x x R+∃ ∈ ( ) 0f x ≤ m 1 m e< ≤ ( ) ( ) ( 1)H x f x m x= − + 1 2 [1, ]x x m∀ ∈, 1 2| ( ) ( ) | 1H x H x− < 3x = ( ) ( ) ( )2 3 ,xf x x ax b e x R−= + + ∈ a b a b ( )f x ( ) 2 250, 4 xa g x a e > = +   [ ]1 2, 0,4ξ ξ ∈ ( ) ( )1 2 1f gξ ξ− < a 2( ) ( ) ( )xf x x ax b e x R= + + ∈ 2, 2a b= = − ( )f x 1x = ( )f x a b a b ( )f x 0a > 2 4( ) ( 14) xg x a e += + ]4,0[, 21 ∈λλ 1|)()(| 21 <− λλ ff a ( ) ln , ( ) .xf x x g x e= = 已知函数 . ⑴当 时,讨论 的单调性; ⑵设 当 时,若对任意 ,存在 ,使 ,求实数 取值范围. . 14. 设函数 . (Ⅰ)当 时,过原点的直线与函数 的图象相切于点 P,求点 P 的坐标; (Ⅱ)当 时,求函数 的单调区间; (Ⅲ)当 时,设函数 ,若对于 ], [0,1] 使 ≥ 成立,求实数 b 的取值范围.( 是自然对数的底, ) 15. (2010山东,两边分求,最小值与最大值) 已知函数 . ⑴求 在 上的最小值; ⑵若存在 ( 是常数, =2.71828 )使不等式 成立,求实数 的取 值范围; ⑶证明对一切 都有 成立. 16. (最值应用) 设函数 ,且 ,其中 是自然对数的底数. ⑴求 与 的关系; ⑵若 在其定义域内为单调函数,求 的取值范围; ⑶设 ,若在 上至少存在一点 ,使得 > 成立,求实数 的取值范 围. 17. (2011湖南文,第2问难,单调性与极值,好题) 设函数 ⑴讨论函数 的单调性; ⑵若 有两个极值点 ,记过点 的直线斜率为 ,问:是否存 在 ,使得 ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由. 1( ) ln 1af x x ax x −= − + − ( )a∈R 1 2a ≤ ( )f x 2( ) 2 4.g x x bx= − + 1 4a = 1 (0,2)x ∈ [ ]2 1,2x ∈ 1 2( ) ( )f x g x≥ b 2( ) ln , ( ) 3f x x x g x x ax= = − + − ( )f x [ , 2]( 0)t t t+ > 1 ,x ee  ∈   e e ⋅⋅⋅ 2 ( ) ( )f x g x≥ a (0, ),x∈ +∞ 1 2ln xx e ex > − ( ) 2lnqf x px xx = − − ( ) 2pf e qe e = − − e p q ( )f x p 2( ) eg x x = [ ]1,e 0x 0( )f x 0( )g x p 1( ) ln ( ).f x x a x a Rx = − − ∈ ( )f x ( )f x 1 2,x x 1 1( , ( )),A x f x 2 2( , ( ))B x f x k a 2k a= − a 11ln)( −−+−= x aaxxxf 1=a )(xf 2 10 << a )(xf 3 1=a 12 52)( 2 −−= bxxxg ex ,01 (∈∀ ∈∃ 2x )( 1xf )( 2xg e 13 + ( ) 2lnf x x ax= − 0x > ( )f x ( )f x [ ]1,3 ,α β 1β α− ≥ ( ) ( )f fα β= ln3 ln 2 ln 2 5 3a − ≤ ≤ 2( ) ln( 1) , 0f x ax x ax a= + + − > 2 1=x )(xf a )(xf [1,2]a∈ ( )f x m≤ 1[ ,1]2 m Ra ∈ eaaxexf x )(1(2)( 2 ++= − )(xf ]2,1[1)( 2 ∈> xexf 在 ( )f x ( )f x ( )f x ( )f x xxf ln)( = 21( ) ln ( 1) ( 0)2f x x ax a x a R a= − + − ∈ ≠, ( )f x ( )F x C 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 C C 0 0( , )M x y 1 2 0 2 x xx += C M AB ( )F x ( )f x ⑴若 ,求 的极大值; ⑵若 在定义域内单调递减,求满足此条件的实数k的取值范围.   二、交点与根的分布 24. (2008四川22,交点个数与根的分布) 已知 是函数 的一个极值点. ⑴求 ; ⑵求函数 的单调区间; ⑶若直线 与函数 的图像有 个交点,求 的取值范围. 25. 已知函数 在 上是减函数,在 上是增函数,函数 在 上有三个零点. (1)求 的值; (2)若1是其中一个零点,求 的取值范围; (3)若 ,试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y=g(x) 相切?请说明理由. 26. (交点个数与根的分布) 已知函数 ⑴求 在区间 上的最大值 ⑵是否存在实数 使得 的图像与 的图像有且只有三个不同的交点?若 存在,求出 的取值范围;若不存在,说明理由。 27. (交点个数与根的分布) 已知函数 ⑴求f(x)在[0,1]上的极值; ⑵若对任意 成立,求实数a的取值范围; ⑶若关于x的方程 在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围. 28. (2009宁夏,利用根的分布) 已知函数 ⑴如 ,求 的单调区间; ⑵若 在 单调增加,在 单调减少,证明: <6. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 于是 w.w 29. (2009天津文,利用根的分布讨论) )()()( Rax axfxF ∈+= )(xF kxxfxG −= 2)]([)( 3x = 2( ) ln(1 ) 10f x a x x x= + + − a ( )f x y b= ( )y f x= 3 b ( ) 3 2f x x ax bx c= − + + + ( ),0−∞ ( )0,1 ( )f x R b ( )2f ( ) ( )' 21 3 lna g x f x x x= = + +, 2( ) 8 , ( ) 6ln .f x x x g x x m= − + = + ( )f x [ ], 1t t + ( );h t ,m ( )y f x= ( )y g x= m .2 3)32ln()( 2xxxf −+= 0]3)(ln[|ln|],3 1,6 1[ >+′+−∈ xxfxax 不等式 bxxf +−= 2)( 3 2( ) ( 3 ) xf x x x ax b e−= + + + 3a b= = − ( )f x ( )f x ( , ),(2, )α β−∞ ( ,2),( , )α β +∞ β α− 6.a < − 6.β α− > 设函数 ,其中 ⑴当 时,求曲线 在点 处的切线的斜率 ⑵求函数 的单调区间与极值 ⑶已知函数 有三个互不相同的零点 ,且 ,若对任意的 恒成立,求 的取值范围. 30. (2007全国II理22,转换变量后为根的分布) 已知函数 . (1)求曲线 在点 处的切线方程; (2)设 ,如果过点 可作曲线 的三条切线,证明: . 31. 已知函数 在点 处的切线方程为 . ⑴求函数 的解析式; ⑵若对于区间 上任意两个自变量的值 都有 ,求实数 的最 小值; ⑶若过点 可作曲线 的三条切线,求实数 的取值范围. 32. (2011省模,利用⑴的结论,转化成根的分布分题) 已知 ,函数 (其中 ) (I)求函数 在区间 上的最小值; (II)是否存在实数 ,使曲线 在点 处的切线与y轴垂直?若存在,求 出 的值;若不存在,请说明理由。 33. 已知函数 ,函数 是区间[-1,1]上的减函数. (I)求 的最大值; (II)若 上恒成立,求t的取值范围; (Ⅲ)讨论关于x的方程 的根的个数. 三、不等式证明 作差证明不等式 34. (2010湖南,最值、作差构造函数) 已知函数 . (1)求函数 的单调递减区间; ( ) ( ) ( )3 2 21 13f x x x m x x= − + + − ∈R 0m > 1m = ( )y f x= ( )( )1, 1f ( )f x ( )f x 1 20 x x、 、 1 2x x< [ ] ( ) ( )1 2, , 1x x x f x f∈ > m 3( )f x x x= − ( )y f x= ( ( ))M t f t, 0a > ( )a b, ( )y f x= ( )a b f a− < < ( ) ( )3 2 3 ,f x ax bx x a b R= + − ∈ ( )( )1, 1f 2 0y + = ( )f x [ ]2,2− 1 2,x x ( ) ( )1 2f x f x c− ≤ c ( )( )2, 2M m m ≠ ( )y f x= m a∈R ( ) ln 1, ( ) (ln 1) ,xaf x x g x x e xx = + − = − + 2.718e ≈ ( )f x ( ]0,e ( ]0 0,x e∈ ( )y g x= 0x x= 0x xxf =)( xxfxg sin)()( += λ λ ]1,1[1)( 2 −∈++< xttxg 在λ mexxxf x +−= 2)( ln 2 xxxf −+= )1ln()( )(xf (2)若 ,求证: ≤ ≤x. 35. (2007湖北20,转换变量,作差构造函数,较容易) 已知定义在正实数集上的函数 , ,其中 .设两曲线 , 有公共点,且在该点处的切线相同. ⑴用 表示 ,并求 的最大值; ⑵求证:当 时, . 36. (2009全国II理21,字母替换,构造函数) 设函数 有两个极值点 ,且 ⑴求 的取值范围,并讨论 的单调性; ⑵证明: . 变形构造函数证明不等式 37. (变形构造新函数,一次) 已知函数 . ⑴试讨论 在定义域内的单调性; ⑵当 <-1时,证明: , .求实数 的取值范围. 38. (2011辽宁理21,变形构造函数,二次) 已知函数 . ⑴讨论函数 的单调性; ⑵设 ,如果对任意 , ≥ ,求 的取值范围. 39. (2010辽宁文21,构造变形,二次) 已知函数 . ⑴讨论函数 的单调性; ⑵设 ,证明:对任意 , . 40. (辽宁,变形构造,二次) 已知函数f(x)= x2-ax+(a-1) , . (1)讨论函数 的单调性;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)证明:若 ,则对任意x ,x ,x x ,有 . 41. 已知函数 (1)确定函数 的单调性; 1−>x 1 11 +− x )1ln( +x 21( ) 22f x x ax= + 2( ) 3 lng x a x b= + 0a > ( )y f x= ( )y g x= a b b 0x > ( ) ( )f x g x≥ ( ) ( )2 ln 1f x x a x= + + 1 2x x、 1 2x x< a ( )f x ( )2 1 2ln 2 4f x −> ( ) ( 1)lnf x a x ax= + − ( )f x a 1 2, (0,1)x x∀ ∈ 1 2 1 2 | ( ) ( ) | 1| | f x f x x x − >− m 1ln)1()( 2 +++= axxaxf )(xf 1− ( )f x 5a < 1 2 ∈ (0, )+∞ 1 ≠ 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 1f x f x x x − > −− ( ) 1 ln ( 0).f x x a x a= − − < ( )y f x= (2)若对任意 ,且 ,都有 ,求实数 a 的取值 范围。 42. (变形构造) 已知二次函数 和“伪二次函数” ( 、 、 ), (I)证明:只要 ,无论 取何值,函数 在定义域内不可能总为增函数; (II)在二次函数 图象上任意取不同两点 ,线段 中 点的横坐标为 ,记直线 的斜率为 , (i)求证: ; (ii)对于“伪二次函数” ,是否有①同样的性质?证明你的结论. 43. (变形构造,第2问用到均值不等式) 已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+4ax+1,g(x)=6a2lnx+2b+1,其中a>0. ⑴设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同,用a表示b,并求b的最大值; ⑵设h(x)=f(x)+g(x)-8x,证明:若a≥-1,则h(x)在(0,+∞)上单调递增; ⑶设F(x)=f(x)+g(x),求证:对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2有>8. 44. 已知函数 ,a为正常数. ⑴若 ,且a ,求函数 的单调增区间; ⑵在⑴中当 时,函数 的图象上任意不同的两点 , ,线段 的 中点为 ,记直线 的斜率为 ,试证明: . ⑶若 ,且对任意的 , ,都有 ,求a的 取值范围. 45. 已知函数 ( ). (Ⅰ)求函数 的单调区间; (Ⅱ)记函数 的图象为曲线 .设点 , 是曲线 上的不同两 点.如果在曲线 上存在点 ,使得:① ;②曲线 在点 处的切 线平行于直线 ,则称函数 存在“中值相依切线”.试问:函数 是否存在“中 值相依切线”,请说明理由. 46. 已知函数 . (1)若 对任意的 恒成立,求实数 的取值范围; ( ]1 2, 0,1x x ∈ 1 2x x≠ 1 2 1 2 1 1| ( ) ( ) | 4 | |f x f x x x − < − ( ) 2f x ax bx c= + + ( ) 2g x ax= + lnbx c x+ a b ,c R∈ 0abc ≠ 0a < b ( )g x ( ) 2f x ax bx c= + + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y AB 0x AB k 0( )k f x′= ( ) 2 lng x ax bx c x= + + 1)( += x axϕ )(ln)( xxxf ϕ+= 2 9= )(xf 0=a )(xfy = ( )11, yxA ( )22 , yxB AB ),( 00 yxC AB k )( 0xfk ′> )(ln)( xxxg ϕ+= ( ]2,0, 21 ∈xx 21 xx ≠ 1)()( 12 12 −<− − xx xgxg 21( ) ln ( 1)2f x x ax a x= − + − 0= aaxxxf 2)(' xxf ≤ 0>x a (2)当 时,设函数 ,若 ,求证 47. 已知 . (1) 求函数 在 上的最小值; (2) 对一切 , 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) 证明: 对一切 ,都有 成立. 48. (2011陕西21,变形构造,反比例) 设函数 定义在 上, ,导函数 , . (1)求 的单调区间和最小值; (2)讨论与 的大小关系; (3)是否存在 ,使得 对任意 成立?若存在,求出 的取值 范围;若不存在,请说明理由. 49. 已知函数 , (Ⅰ)求 的极值 (Ⅱ)若 在 上恒成立,求 的取值范围 (Ⅲ)已知 , 且 ,求证 50. 已知函数 的图象为曲线 , 函数 的图象为直线 . (Ⅰ) 当 时, 求 的最大值; (Ⅱ) 设直线 与曲线 的交点的横坐标分别为 , 且 , 求证: . 51. 已知函数 ,其中常数 ⑴若 处取得极值,求 a 的值; ⑵求 的单调递增区间; ⑶ 已 知 若 , 且 满 足 , 试 比 较 的大小,并加以证明。 1=a x xfxg )()( = 1),1,1(, 2121 <+∈ xxexx 4 2121 )( xxxx +< 2( ) ln , ( ) 3f x x x g x x ax= = − + − ( )f x [ , 2]( 0)t t t+ > (0, )x∈ +∞ 2 ( ) ( )f x g x≥ (0, )x∈ +∞ 1 2ln xx e ex > − ( )f x (0, )+∞ (1) 0f = 1( )f x x ′ = ( ) ( ) ( )g x f x f x′= + ( )g x ( )g x 1( )g x 0 0x > 0 1| ( ) ( ) |g x g x x − < 0x > 0x 1 ln( ) a xf x a Rx − += ∈ ( )f x ln 0x kx− < R+ k 1 0x > 2 0x > 1 2x x e+ < 1 2 1 2x x x x+ > x xxf ln)( = C baxxg += 2 1)( l 3,2 −== ba )()()( xgxfxF −= l C 21, xx 21 xx ≠ 2)()( 2121 >++ xxgxx 21 1( ) ln( )4f x x x x aa = − + + 0.a > ( ) 1f x x =在 ( )f x 10 ,2a< < 1 2 1 2, ( , ),x x a a x x∈ − ≠ 1 2'( ) '( ) 0f x f x+ = 1 2'( ) '(0)f x x f+ 与 替换构造不等式证明不等式 52. ( 第 3 问 用 第 2 问 ) 已 知 , 直 线 与 函 数 的图像都相切,且与函数 的图像的切点的横坐标为1。 (I)求直线 的方程及m的值; (II)若 ,求函数 的最大值。 (III)当 时,求证: 53. 已知函数 、 (Ⅰ)求函数 的单调区间; (Ⅱ)若 为正常数,设 ,求函数 的最小值; (Ⅲ)若 , ,证明: 、 54. (替换构造不等式) 已知函数 在点 的切线方程为 . ⑴求函数 的解析式; ⑵设 ,求证: ≥ 在 上恒成立;(反比例,变形构造) ⑶已知 ,求证: .(替换构造) 55. (替换证明) 已知函数 . (1)试判断函数 的单调性; (2)设 ,求 在 上的最大值; (3)试证明:对任意 ,不等式 都成立(其中 是自然对数的底数). 56. (2010湖北,利用⑵结论构造) 已知函数 的图象在点 处的切线方程为 . (反比例,作差构造) ⑶ .(替换构造) 21 7( ) ln , ( ) ( 0)2 2f x x g x x mx m= = + + < l ( ), ( )f x g x ( )f x l ( ) ( 1) '( )( )h x f x g x= + − 其中g' ( x) 是g( x) 的导函数 ( )h x 0 b a< < ( ) (2 ) .2 b af a b f a a −+ − < ( ) xxxf ln= ( )f x k ( ) ( ) ( )g x f x f k x= + − ( )g x 0a > 0b > ( ) ( ) ( ) ( )2f a a b ln f a b f b+ + + −≥ 1)( 2 + += x baxxf ))1(,1( −− f 03 =++ yx ( )f x xxg ln)( = )(xg )(xf ),1[ +∞∈x ba <<0 22 2lnln ba a ab ab +>− − ln( ) 1xf x x = − ( )f x 0m > ( )f x [ ,2 ]m m *n∈N 1 1ln( )en n n n + +< e 0bf x ax c ax = + + >( ) ( ) (1, (1))f 1y x= − a b c⑴用 表示出 、 ; ( ) ln [1 )f x x a+ ∞≥⑵若 在 , 上恒成立,求 的取值范围; 1 1 11 ln( 1) ( 1)2 3 2( 1) nn nn n + + +⋅⋅⋅+ > + + ≥+证明: 57. 已知 的图像在点 处的切线与直线 平行. (1)求 a,b 满足的关系式; (2)若 上恒成立,求 a 的取值范围; (3)证明: (n∈N*) 58. 已知函数 (1)求函数 的极值点。 (2)若 恒成立,试确定实数 的取值范围。 (3)证明: . 59. (替换构造) 已知函数 ⑴求函数 的单调区间; ⑵若 ≤0恒成立,试确定实数 的取值范围;(一次,作差构造) ⑶证明:①当 时, ;② . 60. (2011浙江理22,替换构造) 已知函数 . ⑴求 的单调区间和极值; ⑵求证: . 61. (替换构造) 已知函数 . ⑴求函数 的最小值; ⑵若 ≥0对任意的 恒成立,求实数a的值;(一次,作差构造) ⑶在⑵的条件下,证明: . 四、不等式恒成立求字母范围 恒成立之最值的直接应用 62. (2011北京理18倒数第3大题,最值的直接应用) 已知函数 。 ⑴求 的单调区间; ⑵若对于任意的 ,都有 ≤ ,求 的取值范围. ( ) 2 2 ( 0)bf x ax a ax = + + − > (1, (1))f 2 1y x= + ( ) 2ln )f x x≥ ∞在[ 1, + 1 1 1 11 (2 1) ( )3 5 2 1 2 2 1 nn nn n ++ + + + > + + ∈− + 12)12ln(2 1 +++ n nn .1)1()1ln()( +−−−= xkxxf )(xf 0)( ≤xf k )1,(6 )1)(4( 1 ln 15 4ln 8 3ln 3 2ln 2 >∈−+<−++++ nNnnn n n  ( ) ln( 1) ( 1) 1.f x x k x= − − − + ( )f x ( )f x k 2x > ln( 1) 2x x− < − * 1 ln ( 1) ( , 1)1 4 n i i n n n N ni= −< ∈ >+∑ ( ) 2 ln(1 ) ( 0)f x a x x a= + − > ( )f x (1 )lg lg lg4lg lg ( 1)2 3 n n n ne e ee e nn + + + +⋅⋅⋅+ > + *( )n N∈ ( ) 1( 0, )xf x e ax a e= − − > 为自然对数的底数 ( )f x ( )f x x∈R 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( *)1 n n n nn n e nn n n n e −+ +⋅⋅⋅+ + < ∈− N其中 2( ) ( ) x kf x x k e= − ( )f x (0, )x∈ +∞ ( )f x 1 e k 63. (2008天津理20倒数第3大题,最值的直接应用,第3问带有小的处理技巧) 已知函数 ,其中 . ⑴若曲线 在点 处切线方程为 ,求函数 的解析式; ⑵讨论函数 的单调性; ⑶若对于任意的 ,不等式 在 上恒成立,求 的取值范围. 64. (转换变量,作差) 已知函数 . ⑴若 ,求 的单调区间; ⑵ 已 知 是 的 两 个 不 同 的 极 值 点 , 且 , 若 恒成立,求实数b的取值范围。 恒成立之分离常数 65. (分离常数) 已知函数 (1) 若 在 处的切线平行于直线 ,求函数 的单调区间; (2) 若 ,且对 时, 恒成立,求实数 的取值范围 66. (2011长春一模,恒成立,分离常数,二阶导数) 已知函数 ,(其中 R, 为自然对数的底数). (1)当 时,求曲线 在 处的切线方程; (2)当 ≥1时,若关于 的不等式 ≥0恒成立,求实数 的取值范围. (改x≥0时, ≥0恒成立. ≤1) 67. (两边取对数的技巧)设函数 且 ) (1)求 的单调区间; (2)求 的取值范围; (3)已知 对任意 恒成立,求实数 的取值范围。 68. (分离常数) 已知函数 . ( ) ( )0≠++= xbx axxf Rba ∈, ( )xfy = ( )( )2,2 fP 13 += xy ( )xf ( )xf    ∈ 2,2 1a ( ) 10≤xf     1,4 1 b 2( ) ( ) xf x x a e= − 3a = ( )f x 1 2,x x ( )f x 1 2 1 2| | | |x x x x+ ≥ 3 233 ( ) 32f a a a a b< + − + ( ) ln 1, .af x x a Rx = + − ∈ ( )y f x= 0(1, )P y 1y x= − + ( )y f x= 0a > (0,2 ]x e∈ ( ) 0f x > a 12)( 2 −−−= axxexf x ∈a e 0=a )(xfy = ))0(,0( f x x )(xf a )(xf 1( ) ( 1( 1)ln( 1)f x xx x = > −+ + 0x ≠ ( )f x ( )f x 1 12 ( 1)mx x+ > + ( 1,0)x∈ − m 1 ln( ) xf x x += a (Ⅰ)若函数在区间 其中a >0,上存在极值,求实数a的取值范围; (Ⅱ)如果当 时,不等式 恒成立,求实数k的取值范围; 69. (2010湖南,分离常数,构造函数) 已知函数 对任意的 恒有 . ⑴证明:当 ⑵若对满足题设条件的任意b、c,不等式 恒成立,求M的最小值。 70. (第3问不常见,有特点,由特殊到一般,先猜后证)已知函数 (Ⅰ)求函数f (x)的定义域 (Ⅱ)确定函数f (x)在定义域上的单调性,并证明你的结论. (Ⅲ)若x>0时 恒成立,求正整数k的最大值. 71. (恒成立,分离常数,涉及整数、较难的处理) 已知函数 (Ⅰ)试判断函数 上单调性并证明你的结论; (Ⅱ)若 恒成立,求整数k的最大值;(较难的处理) (Ⅲ)求证:(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n-3. 72. (分离常数,双参,较难)已知函数 , . (1)若函数 依次在 处取到极值. ①求 的取值范围;②若 ,求 的值. (2)若存在实数 ,使对任意的 ,不等式 恒成立.求正整数 的 最大值. 73. (2008湖南理22,分离常数,复合的超范围) 已知函数 ⑴求函数 的单调区间; ⑵若不等式 对任意的 都成立(其中e是自然对数的底数),求a的最大值. (分离常数) 74. (变形,分离常数) 已知函数 (a为实常数). (1)若 ,求证:函数 在(1,+∞)上是增函数; 1( , )2a a + 1x ≥ ( ) 1 kf x x ≥ + 2( ) ( , ),f x x bx c b c= + + ∈R ,x∈R ( ) ( )f x f x′ ≤ 20 ( ) ( ) ;x f x x c+≥ 时, ≤ 2 2( ) ( ) ( )f c f b M c b− −≤ x xnxf )1(11)( ++= 1)( +> x kxf ).0()1ln(1)( >++= xx xxf ),0()( +∞在xf 1)( +> x kxf 3 2( ) ( 6 3 ) xf x x x x t e= − + + t R∈ ( )y f x= , , ( )x a x b x c a b c= = = < < t 22a c b+ = t [ ]0,2t ∈ [ ]1,x m∈ ( )f x x≤ m 2 2( ) ln (1 ) .1 xf x x x = + − + ( )f x 1(1 )n a en ++ ≤ N*n∈ xaxxf ln)( 2 += 2−=a )(xf (2)求函数 在[1,e]上的最小值及相应的 值; (3)若存在 ,使得 成立,求实数a的取值范围. 75. (分离常数,转换变量,有技巧) 设函数 . ⑴若函数 在 处与直线 相切: ①求实数 的值;②求函数 在 上的最大值; ⑵当 时,若不等式 ≥ 对所有的 都成立,求实数 的取值 范围. 恒成立之讨论字母范围 76. (2007全国I,利用均值,不常见) 设函数 . ⑴证明: 的导数 ; ⑵若对所有 都有 ,求 的取值范围. 77. 设函数 f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)-g(x). (Ⅰ)若 x=0 是 F(x)的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)当 a=1 时,设 P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x1>0,x2>0), 且 PQ//x 轴,求 P、Q 两点间的最短距离; (Ⅲ):若 x≥0 时,函数 y=F(x)的图象恒在 y=F(-x)的图象上方,求实数 a 的取值范围. 78. (用到二阶导数,二次) 设函数 . ⑴若 ,求 的最小值; ⑵若当 时 ,求实数 的取值范围. 79. (第 3 问设计很好,2 问是单独的,可以拿掉)已知函数 ,斜率 为 的直线与 相切于 点. (Ⅰ)求 的单调区间; (Ⅱ)当实数 时,讨论 的极值点。 (Ⅲ)证明: . 80. (2011全国I文21,恒成立,一次,提出一部分再处理的技巧) )(xf x ],1[ ex ∈ xaxf )2()( +≤ 2( ) lnf x a x bx= − ( )f x 1x = 1 2y = − ,a b ( )f x 1[ , ]ee 0b = ( )f x m x+ 23[0, ], [1, ]2a x e∈ ∈ m ( ) e ex xf x −= − ( )f x ( ) 2f x′ ≥ 0x≥ ( )f x ax≥ a 2( ) 2 x kf x e x x= − − 0k = ( )f x 0x ≥ ( ) 1f x ≥ k 1ln)1()( +−+= xxxbxf 1 )(xf (1,0) ( ) ( ) lnh x f x x x= − 0 1a< < 21( ) ( ) ( )ln 2g x f x a x x ax= − + + ( 1) ( ) 0x f x− ≥ 设函数 . ⑴若a = ,求 的单调区间; ⑵若当 ≥0时 ≥0,求a的取值范围. 81. (2011全国新理21,恒成立,反比例,提出公因式再处理的技巧,本题的创新之处是将一 般的过定点(0,0)变为过定点(1,0),如果第2问范围变为 则更间单) 已知函数 在点 处的切线方程为 . ⑴求 、 的值; ⑵如果当 ,且 时, ,求 的取值范围。 82. (恒成立,讨论,较容易,但说明原理)已知函数 . (1)求函数 的单调区间和极值; (2)若 对 上恒成立,求实数 的取值范围. 83. (2010新课程理21,恒成立,讨论,二次,用到结论 ) 设函数 . ⑴若 ,求 的单调区间; ⑵若当 时 ,求 的取值范围. 84. (恒成立,2010全国卷2理数,利用⑴结论,较难的变形讨论) 设函数 . ⑴证明:当 时, ; ⑵设当 时, ,求a的取值范围. 85. 已知函数 ,且函数 是 上的增函数。 (1)求 的取值范围; (2)若对任意的 ,都有 (e 是自然对数的底),求满足条件的最大整数 的值。 86. (2008山东卷21) 已知函数 其中n∈N*,a为常数. ⑴当n=2时,求函数f(x)的极值; ( ) 2( ) 1xf x x e ax= − − 1 2 ( )f x x ( )f x 1x > ln( ) 1 a x bf x x x = ++ (1, (1))f 2 3 0x y+ − = a b 0x > 1x ≠ ln( ) 1 x kf x x x > +− k xaxxf ln)1()( −−= )(xf 0)( ≥xf ),1[ +∞∈x a 1xe x+≥ 2( ) 1xf x e x ax= − − − 0a = ( )f x 0x≥ ( ) 0f x ≥ a ( ) 1 xf x e−= − x>- 1 ( ) 1 xf x x ≥ + 0x ≥ ( ) 1 xf x ax ≤ + 1 1)( + −= x kxxf ( )f x ( )1,− +∞ k 0x > 11 1 +<+ − xe x kx k 1( ) ln( 1),(1 )nf x a xx = + −− ⑵当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x-1. 五、函数与导数性质的综合运用 87. (综合运用) 已知函数 ⑴求函数 的单调区间和极值; ⑵已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称,证明当 时, ⑶如果 ,且 ,证明 88. (2010天津理数21,综合运用) 已知函数 ⑴求函数 的单调区间和极值; ⑵已知函数 对任意 满足 ,证明:当 时, ⑶如果 ,且 ,证明:           89. 已知函数 (1) 求函数 的单调区间和极值; (2) 若函数 对任意 满足 ,求证:当 , (3) 若 ,且 ,求证: 90. 已知函数 , (Ⅰ)若 ,求 的单调区间; (Ⅱ)对于任意的 ,比较 与 的大小,并说明理由. 91. (2011辽宁理21,利用2的对称) 已知函数 . ⑴讨论 的单调性; ⑵设 ,证明:当 时, ;(作差) ⑶若函数 的图像与x轴交于A、B两点,线段AB中点的横坐标为 ,证明: . 92. (恒成立,思路不常见) ( ) ( )xf x xe x−= ∈R ( )f x ( )y g x= ( )y f x= 1x = 1x > ( ) ( )f x g x> 1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 2x x+ > 1 1( ) (x xf x xe − −= ∈R). ( )f x ( )y g x= x ( ) (4 )g x f x= − 2x > ( ) ( );f x g x> 1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 4.x x+ > 1( ) x xf x e −= . ( )f x ( )y g x= x ( ) (4 )g x f x= − 2x > ( ) ( );f x g x> 1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 4.x x+ > xaaxxxf )2(ln)( 2 −+−= )(xf 0>a ax 10 << )1()1( xafxaf −>+ )(xfy = 0x 0( ) 0f x′ < ( ) ln( 1), ( ) 1xf x x g x e= + = − ( ) ( )F x f x px= + ( )F x 2 1 0x x> > 2 1( ) ( )f x f x− 2 1( )g x x− 已知函数 ,其中 为实数. (1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程; (2)是否存在实数 ,使得对任意 , 恒成立?若不存在,请说 明理由,若存在,求出 的值并加以证明. 93. 已知函数 ,在区间 上有最大值4,最小值1,设 . (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)不等式 在 上恒成立,求实数 的范围; (Ⅲ)方程 有三个不同的实数解,求实数 的范围. 94. 已知函数 , 设 (1)是否存在唯一实数 ,使得 ,若存在,求正整数 m 的值;若不存在, 说明理由。 (2)当 时, 恒成立,求正整数 n 的最大值。 95. (第 3 问难想)已知函数 ,其中e是自然数的底数, 。 (1) 当 时,解不等式 ; (2) 若 在[-1,1]上是单调增函数,求 的取值范围; (3) 当 时,求整数k的所有值,使方程 在[k,k+1]上有解。 96. (2011高考,单调性应用,第2问难) 已知a、b是实数,函数 和 是 的导 函数,若 在区间I上恒成立,则称 和 在区间I上单调性一致. (1)设 ,若函数 和 在区间 上单调性一致,求实数b的取值范围; (2)设 且 ,若函数 和 在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求 |a-b|的最大值. 97. (2010湖南文数,另类区间) 已知函数 其中a<0,且a≠-1. (Ⅰ)讨论函数 的单调性; (Ⅱ)设函数 (e是自然数的底数)。是否存在 x axxf ln)( −= a 2=a )(xfy = ))2(,2( f a ),1()1,0( +∞∈ x xxf >)( a )1,0(12)( 2 <≠++−= babaxaxxg [ ]3,2 ( )( ) g xf x x = ba, 02)2( ≥⋅− xx kf ]1,1[−∈x k 0)3|12| 2(|)12(| =−−+− x x kf k 1( ) (1 )[1 ln( 1)]f x xx = + + + 2( ) ( )g x x f x′= ⋅ ( 0)x > ( , 1)a m m∈ + ( ) 0g a = 0x > ( )f x n> 2( ) ( ) xf x ax x e= + a R∈ 0a < ( ) 0f x > ( )f x a 0a = ( ) 2f x x= + ,)(,)( 23 bxxxgaxxxf +=+= )(xf ′ )(xg′ )(),( xgxf 0)()( ≥′′ xgxf )(xf )(xg 0>a )(xf )(xg ),1[ +∞− ,0 = a,使 在[a,-a]上为减函数?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由。 98. (2008辽宁理22,第2问无从下手,思路太难想) 设函数 . ⑴求 的单调区间和极值; ⑵是否存在实数 ,使得关于 的不等式 的解集为 ?若存在,求 的取值范围; 若不存在,试说明理由. 99. (第二问较难) 设函数 , , 是 的一个极大值点. ⑴若 ,求 的取值范围; ⑵当 是给定的实常数,设 是 的3个极值点,问是否存在实数 ,可找到 ,使得 的某种排列 (其中 = ) 依次成等差数列?若存在,求所有的 及相应的 ;若不存在,说明理由. 100. 已知函数 , ,记 (Ⅰ)求 的单调区间; (Ⅱ)当 时,若 ,比较: 与 的大小; (Ⅲ)若 的极值为 ,问是否存在实数 ,使方程 有四个 不同实数根?若存在,求出实数 的取值范围;若不存在,请说明理由。 六、导数应用题 101. 某工厂生产某种儿童玩具,每件玩具的成本为30元,并且每件玩具的加工费为t元(其中t为 常数,且2≤t≤5),设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售 量与ex(e为自然对数的底数)成反比例,当每件玩具的出厂价为40元时,日销售量为10件. (1)求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式; (2)当每件玩具的日售价为多少元时,该工厂的利润y最大,并求y的最大值. 102. 如图,ABCD是正方形空地,正方形的边长为30m,电源在点P处,点P到边AD、AB的距离 分别为9m、3m,某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF,MN:NE=16: 9,线段MN必须过点P,满足M、N分别在边AD、AB上,设 ,液晶广告屏幕MNEF 的面积为 ( )g x ln( ) ln ln( 1)1 xf x x xx = − + ++ ( )f x a x ( )f x a (0, )+∞ a 2( ) ( ) ( ) xf x x a x b e= − + a b R∈、 x a= ( )f x 0a = b a 1 2 3x x x, , ( )f x b 4x R∈ 1 2 3 4x x x x, , , 1 2 3 4 , , ,i i i ix x x x { }1 2 3 4i i i i, , , { }1 2 3 4,,, b 4x ( )f x = lna x 2( )g x x= ( ) ( ) ( )F x g x f x= − ( )F x 1 2a ≥ 1x ≥ ( 1)g x − 1( )f x ( )F x 2 a k 21 ( ) (1 )2 g x f x k− + = k ( )AN x m= 2( ).S m (I)求S关于x的函数关系式,并写出该函数的定义域; (II)当x取何值时,液晶广告屏幕MNEF的面积S最小? 七、导数结合三角函数 103. 已知函数 ,函数 是区间[-1,1]上的减函数. (I)求 的最大值; (II)若 上恒成立,求t的取值范围; (Ⅲ)讨论关于x的方程 的根的个数. 104. 设函数 ( ),其中 . (Ⅰ)当 时,求曲线 在点 处的切线方程; (Ⅱ)当 时,求函数 的极大值和极小值; (Ⅲ)当 , 时,若不等式 对任意的 恒成 立,求 的值。 xxf =)( xxfxg sin)()( += λ λ ]1,1[1)( 2 −∈++< xttxg 在λ mexxxf x +−= 2)( ln 2 2( ) ( )f x x x a= − − x∈R a∈R 1a = ( )y f x= (2 (2))f, 0a ≠ ( )f x 3a > [ ]1 0k ∈ − , 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x− −≥ x∈R k
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