2014高考导数压轴题终极解答60930
导数解答题专项
目 录
一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （3）
二、交点与根的分布 （7）
三、不等式证明 （8）
（一）作差证明不等式
（二）变形构造函数证明不等式
（三）替换构造不等式证明不等式
四、不等式恒成立求字母范围 （13）
（一）恒成立之最值的直接应用
（二）恒成立之分离常数
（三）恒成立之讨论字母范围
五、函数与导数性质的综合运用 （16）
六、导数应用题 （20）
七、导数结合三角函数 （21）
书中常用结论:
⑴ ，变形即为 ，
其几何意义为 上的的点与原点连线斜率小于1.
⑵
⑶
⑷ .
sin 1x
x
<
sin , (0, )y x x π= ∈
1xe x> +
ln( 1)x x> +
ln , 0xx x e x< < >
sin , (0, )x x x π< ∈
一、导数单调性、极值、最值的直接应用
1. （切线）设函数 .
（1）当 时，求函数 在区间 上的最小值；
（2）当 时，曲线 在点 处的切线为 ， 与 轴交于点
求证： .
2. （2009天津理20，极值比较讨论）
已知函数 其中
⑴当 时，求曲线 处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
⑵当 时，求函数 的单调区间与极值.
3. 已知函数
⑴设两曲线 有公共点，且在公共点处的切线相同，若 ，试建立 关
于 的函数关系式，并求 的最大值；
⑵若 在(0,4)上为单调函数，求 的取值范围。
4. （最值，按区间端点讨论）
已知函数f(x)=lnx－ .
(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为 ，求a的值.
5. （最值直接应用）
已知函数 ，其中 .
（Ⅰ）若 是 的极值点，求 的值；
（Ⅱ）求 的单调区间；
（Ⅲ）若 在 上的最大值是 ，求 的取值范围.
6. （2010北京理数18）
已知函数 =ln(1+ )- + ( ≥0).
(Ⅰ)当 =2时，求曲线 = 在点(1, (1))处的切线方程；
(Ⅱ)求 的单调区间.
7. （2010山东文21，单调性）
已知函数
⑴当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
axxf −= 2)(
1=a )()( xxfxg = ]1,0[
0>a )(xfy = )))((,( 111 axxfxP > l l x )0,( 2xA
axx >> 21
2 2( ) ( 2 3 ) ( ),xf x x ax a a e x= + − + ∈R a∈R
0a = ( ) (1, (1))y f x f= 在点
2
3a ≠ ( )f x
2 21( ) 2 , ( ) 3 ln .2f x x ax g x a x b= + = +
( ) ( )y f x y g x= =与 0a > b
a b
[0,2], ( ) ( ) ( ) (2 )b h x f x g x a b x∈ = + − − a
a
x
)1ln(2
1)( 2 xaxxxf +−−= a∈R
2x = )(xf a
)(xf
)(xf [0, )+ ∞ 0 a
x x 2
2
x x k
k y f
1( ) ln 1( )af x x ax a Rx
−= − + − ∈
1a = − ( )y f x= (2, (2))f
3
2
( )f x
( )f x
( )f x
⑵当 时，讨论 的单调性
8. (是一道设计巧妙的好题，同时用到 e 底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零
点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密)
已知函数
⑴若函数 φ (x) = f (x)－ ，求函数 φ (x)的单调区间；
⑵设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0，f (x0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的
x0，使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切．
9. （最值应用，转换变量）
设函数 ．
(1)讨论函数 在定义域内的单调性；
(2)当 时，任意 ， 恒成立，求实
数 的取值范围．
10. （最值应用）
已知二次函数 对 都满足 且 ，设函数
（ ， ）．
（Ⅰ）求 的表达式；
（Ⅱ）若 ，使 成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）设 ， ，求证：对于 ，恒有
．
11. 设 是函数 的一个极值点.
（1）求 与 的关系式（用 表示 ），并求 的单调区间；
（2）设 ，若存在 ，使得 成立，求
的取值范围.
12. ．
（1）若 ，求函数 的极值；
（2）若 是函数 的一个极值点，试求出 关于 的关系式（用 表示 ），并确
定 的单调区间；
（3）在（2）的条件下，设 ，函数 ．若存在 使得
成立，求 的取值范围．
.
13. (2010山东，两边分求，最小值与最大值)
1
2a ≤ ( )f x
1
1
x
x
+
-
22 1( ) (2 )ln ( 0)axf x a x ax
+= − + <
( )f x
( 3, 2)a∈ − − 1 2, [1,3]x x ∈ 1 2( ln3) 2ln3 | ( ) ( ) |m a f x f x+ − > −
m
( )g x x R∀ ∈ 2( 1) (1 ) 2 1g x g x x x− + − = − − (1) 1g = −
1 9( ) ( ) ln2 8f x g x m x= + + + m R∈ 0x >
( )g x
x R+∃ ∈ ( ) 0f x ≤ m
1 m e< ≤ ( ) ( ) ( 1)H x f x m x= − + 1 2 [1, ]x x m∀ ∈，
1 2| ( ) ( ) | 1H x H x− <
3x = ( ) ( ) ( )2 3 ,xf x x ax b e x R−= + + ∈
a b a b ( )f x
( ) 2 250, 4
xa g x a e > = +
[ ]1 2, 0,4ξ ξ ∈ ( ) ( )1 2 1f gξ ξ− < a
2( ) ( ) ( )xf x x ax b e x R= + + ∈
2, 2a b= = − ( )f x
1x = ( )f x a b a b
( )f x
0a > 2 4( ) ( 14) xg x a e += + ]4,0[, 21 ∈λλ
1|)()(| 21 <− λλ ff a
( ) ln , ( ) .xf x x g x e= =
已知函数 .
⑴当 时，讨论 的单调性；
⑵设 当 时，若对任意 ，存在 ，使
，求实数 取值范围.
.
14. 设函数 ．
（Ⅰ）当 时，过原点的直线与函数 的图象相切于点 P，求点 P 的坐标；
（Ⅱ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅲ）当 时，设函数 ，若对于 ]， [0，1]
使 ≥ 成立，求实数 b 的取值范围.（ 是自然对数的底， ）
15. (2010山东，两边分求，最小值与最大值)
已知函数 ．
⑴求 在 上的最小值；
⑵若存在 （ 是常数， ＝2.71828 ）使不等式 成立，求实数 的取
值范围；
⑶证明对一切 都有 成立．
16. （最值应用）
设函数 ，且 ，其中 是自然对数的底数.
⑴求 与 的关系；
⑵若 在其定义域内为单调函数，求 的取值范围；
⑶设 ，若在 上至少存在一点 ，使得 ＞ 成立，求实数 的取值范
围.
17. （2011湖南文，第2问难，单调性与极值，好题）
设函数
⑴讨论函数 的单调性；
⑵若 有两个极值点 ，记过点 的直线斜率为 ,问：是否存
在 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
1( ) ln 1af x x ax x
−= − + − ( )a∈R
1
2a ≤ ( )f x
2( ) 2 4.g x x bx= − + 1
4a = 1 (0,2)x ∈ [ ]2 1,2x ∈
1 2( ) ( )f x g x≥ b
2( ) ln , ( ) 3f x x x g x x ax= = − + −
( )f x [ , 2]( 0)t t t+ >
1 ,x ee
∈ e e ⋅⋅⋅ 2 ( ) ( )f x g x≥ a
(0, ),x∈ +∞ 1 2ln xx e ex
> −
( ) 2lnqf x px xx
= − − ( ) 2pf e qe e
= − − e
p q
( )f x p
2( ) eg x x
= [ ]1,e 0x 0( )f x 0( )g x p
1( ) ln ( ).f x x a x a Rx
= − − ∈
( )f x
( )f x 1 2,x x 1 1( , ( )),A x f x 2 2( , ( ))B x f x k
a 2k a= − a
11ln)( −−+−=
x
aaxxxf
1=a )(xf
2
10 << a )(xf
3
1=a 12
52)( 2 −−= bxxxg ex ,01 （∈∀ ∈∃ 2x
)( 1xf )( 2xg e 13 +
( ) 2lnf x x ax= − 0x > ( )f x
( )f x
[ ]1,3 ,α β 1β α− ≥ ( ) ( )f fα β=
ln3 ln 2 ln 2
5 3a
− ≤ ≤
2( ) ln( 1) , 0f x ax x ax a= + + − >
2
1=x )(xf a
)(xf
[1,2]a∈ ( )f x m≤ 1[ ,1]2
m
Ra ∈ eaaxexf
x
)(1(2)( 2 ++=
−
)(xf
]2,1[1)( 2
∈> xexf 在
( )f x
( )f x ( )f x
( )f x
xxf ln)( =
21( ) ln ( 1) ( 0)2f x x ax a x a R a= − + − ∈ ≠，
( )f x
( )F x C 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 C
C 0 0( , )M x y 1 2
0 2
x xx
+= C M AB
( )F x ( )f x
⑴若 ，求 的极大值；
⑵若 在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.
二、交点与根的分布
24. （2008四川22，交点个数与根的分布）
已知 是函数 的一个极值点．
⑴求 ；
⑵求函数 的单调区间；
⑶若直线 与函数 的图像有 个交点，求 的取值范围．
25. 已知函数 在 上是减函数，在 上是增函数，函数
在 上有三个零点．
（1）求 的值；
（2）若1是其中一个零点，求 的取值范围；
（3）若 ，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)
相切？请说明理由.
26. （交点个数与根的分布）
已知函数
⑴求 在区间 上的最大值
⑵是否存在实数 使得 的图像与 的图像有且只有三个不同的交点？若
存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由。
27. （交点个数与根的分布）
已知函数
⑴求f(x)在[0,1]上的极值；
⑵若对任意 成立，求实数a的取值范围；
⑶若关于x的方程 在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.
28. (2009宁夏，利用根的分布)
已知函数
⑴如 ，求 的单调区间；
⑵若 在 单调增加，在 单调减少，证明： ＜6. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
于是 w.w
29. （2009天津文，利用根的分布讨论）
)()()( Rax
axfxF ∈+= )(xF
kxxfxG −= 2)]([)(
3x = 2( ) ln(1 ) 10f x a x x x= + + −
a
( )f x
y b= ( )y f x= 3 b
( ) 3 2f x x ax bx c= − + + + ( ),0−∞ ( )0,1
( )f x R
b
( )2f
( ) ( )' 21 3 lna g x f x x x= = + +，
2( ) 8 , ( ) 6ln .f x x x g x x m= − + = +
( )f x [ ], 1t t + ( );h t
,m ( )y f x= ( )y g x=
m
.2
3)32ln()( 2xxxf −+=
0]3)(ln[|ln|],3
1,6
1[ >+′+−∈ xxfxax 不等式
bxxf +−= 2)(
3 2( ) ( 3 ) xf x x x ax b e−= + + +
3a b= = − ( )f x
( )f x ( , ),(2, )α β−∞ ( ,2),( , )α β +∞ β α−
6.a < − 6.β α− >
设函数 ，其中
⑴当 时，求曲线 在点 处的切线的斜率
⑵求函数 的单调区间与极值
⑶已知函数 有三个互不相同的零点 ，且 ，若对任意的
恒成立，求 的取值范围.
30. （2007全国II理22，转换变量后为根的分布）
已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设 ，如果过点 可作曲线 的三条切线，证明：
．
31. 已知函数 在点 处的切线方程为 ．
⑴求函数 的解析式；
⑵若对于区间 上任意两个自变量的值 都有 ，求实数 的最
小值；
⑶若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围．
32. （2011省模，利用⑴的结论，转化成根的分布分题）
已知 ，函数 （其中 ）
（I）求函数 在区间 上的最小值；
（II）是否存在实数 ，使曲线 在点 处的切线与y轴垂直？若存在，求
出 的值；若不存在，请说明理由。
33. 已知函数 ，函数 是区间[-1，1]上的减函数.
（I）求 的最大值；
（II）若 上恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于x的方程 的根的个数．
三、不等式证明
作差证明不等式
34. （2010湖南，最值、作差构造函数）
已知函数 ．
(1)求函数 的单调递减区间；
( ) ( ) ( )3 2 21 13f x x x m x x= − + + − ∈R 0m >
1m = ( )y f x= ( )( )1, 1f
( )f x
( )f x 1 20 x x、 、 1 2x x<
[ ] ( ) ( )1 2, , 1x x x f x f∈ > m
3( )f x x x= −
( )y f x= ( ( ))M t f t，
0a > ( )a b， ( )y f x= ( )a b f a− < <
( ) ( )3 2 3 ,f x ax bx x a b R= + − ∈ ( )( )1, 1f 2 0y + =
( )f x
[ ]2,2− 1 2,x x ( ) ( )1 2f x f x c− ≤ c
( )( )2, 2M m m ≠ ( )y f x= m
a∈R ( ) ln 1, ( ) (ln 1) ,xaf x x g x x e xx
= + − = − + 2.718e ≈
( )f x ( ]0,e
( ]0 0,x e∈ ( )y g x= 0x x=
0x
xxf =)( xxfxg sin)()( += λ
λ
]1,1[1)( 2 −∈++< xttxg 在λ
mexxxf
x +−= 2)(
ln 2
xxxf −+= )1ln()(
)(xf
(2)若 ，求证： ≤ ≤x．
35. （2007湖北20，转换变量，作差构造函数，较容易）
已知定义在正实数集上的函数 ， ，其中 ．设两曲线
， 有公共点，且在该点处的切线相同．
⑴用 表示 ，并求 的最大值；
⑵求证：当 时， ．
36. （2009全国II理21，字母替换，构造函数）
设函数 有两个极值点 ，且
⑴求 的取值范围，并讨论 的单调性；
⑵证明： .
变形构造函数证明不等式
37. （变形构造新函数，一次）
已知函数 ．
⑴试讨论 在定义域内的单调性；
⑵当 ＜－1时，证明： ， ．求实数 的取值范围．
38. （2011辽宁理21，变形构造函数，二次）
已知函数 .
⑴讨论函数 的单调性；
⑵设 ，如果对任意 ， ≥ ，求 的取值范围.
39. （2010辽宁文21，构造变形，二次）
已知函数 .
⑴讨论函数 的单调性；
⑵设 ，证明：对任意 ， .
40. （辽宁，变形构造，二次）
已知函数f(x)= x2－ax+(a－1) ， .
（1）讨论函数 的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）证明：若 ，则对任意x ,x ，x x ，有 .
41. 已知函数
（1）确定函数 的单调性；
1−>x 1
11 +−
x
)1ln( +x
21( ) 22f x x ax= + 2( ) 3 lng x a x b= + 0a >
( )y f x= ( )y g x=
a b b
0x > ( ) ( )f x g x≥
( ) ( )2 ln 1f x x a x= + + 1 2x x、 1 2x x<
a ( )f x
( )2
1 2ln 2
4f x
−>
( ) ( 1)lnf x a x ax= + −
( )f x
a 1 2, (0,1)x x∀ ∈ 1 2
1 2
| ( ) ( ) | 1| |
f x f x
x x
− >− m
1ln)1()( 2 +++= axxaxf
)(xf
1−
( )f x
5a < 1 2
∈ (0, )+∞ 1 ≠ 2
1 2
1 2
( ) ( ) 1f x f x
x x
− > −−
( ) 1 ln ( 0).f x x a x a= − − <
( )y f x=
（2）若对任意 ，且 ，都有 ，求实数 a 的取值
范围。
42. （变形构造）
已知二次函数 和“伪二次函数” （ 、 、
），
(I)证明：只要 ，无论 取何值，函数 在定义域内不可能总为增函数；
(II)在二次函数 图象上任意取不同两点 ，线段 中
点的横坐标为 ，记直线 的斜率为 ，
(i)求证： ；
(ii)对于“伪二次函数” ，是否有①同样的性质?证明你的结论.
43. (变形构造，第2问用到均值不等式)
已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋4ax＋1，g(x)＝6a2lnx＋2b＋1，其中a＞0.
⑴设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b，并求b的最大值；
⑵设h(x)＝f(x)＋g(x)－8x，证明：若a≥－1，则h(x)在(0,＋∞)上单调递增；
⑶设F(x)＝f(x)＋g(x)，求证：对任意x1,x2∈(0,＋∞)，x1＜x2有＞8.
44. 已知函数 ，a为正常数．
⑴若 ，且a ，求函数 的单调增区间；
⑵在⑴中当 时，函数 的图象上任意不同的两点 ， ，线段 的
中点为 ，记直线 的斜率为 ，试证明： ．
⑶若 ，且对任意的 ， ，都有 ，求a的
取值范围．
45. 已知函数 （ ）．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）记函数 的图象为曲线 ．设点 , 是曲线 上的不同两
点．如果在曲线 上存在点 ，使得：① ；②曲线 在点 处的切
线平行于直线 ，则称函数 存在“中值相依切线”．试问：函数 是否存在“中
值相依切线”，请说明理由．
46. 已知函数 .
（1）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围；
( ]1 2, 0,1x x ∈ 1 2x x≠ 1 2
1 2
1 1| ( ) ( ) | 4 | |f x f x x x
− < −
( ) 2f x ax bx c= + + ( ) 2g x ax= + lnbx c x+ a b
,c R∈ 0abc ≠
0a < b ( )g x
( ) 2f x ax bx c= + + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y AB
0x AB k
0( )k f x′=
( ) 2 lng x ax bx c x= + +
1)( +=
x
axϕ
)(ln)( xxxf ϕ+=
2
9= )(xf
0=a )(xfy = ( )11, yxA ( )22 , yxB AB
),( 00 yxC AB k )( 0xfk ′>
)(ln)( xxxg ϕ+= ( ]2,0, 21 ∈xx 21 xx ≠ 1)()(
12
12 −<−
−
xx
xgxg
21( ) ln ( 1)2f x x ax a x= − + − 0= aaxxxf
2)(' xxf ≤ 0>x a
（2）当 时，设函数 ，若 ，求证
47. 已知 ．
(1) 求函数 在 上的最小值；
(2) 对一切 ， 恒成立，求实数 a 的取值范围；
(3) 证明: 对一切 ，都有 成立．
48. （2011陕西21，变形构造，反比例）
设函数 定义在 上， ，导函数 ， ．
（1）求 的单调区间和最小值；
（2）讨论与 的大小关系；
（3）是否存在 ，使得 对任意 成立？若存在，求出 的取值
范围；若不存在，请说明理由．
49. 已知函数 ，
（Ⅰ）求 的极值
（Ⅱ）若 在 上恒成立，求 的取值范围
（Ⅲ）已知 ， 且 ，求证
50. 已知函数 的图象为曲线 , 函数 的图象为直线 .
(Ⅰ) 当 时, 求 的最大值;
(Ⅱ) 设直线 与曲线 的交点的横坐标分别为 , 且 , 求证:
.
51. 已知函数 ，其中常数
⑴若 处取得极值，求 a 的值；
⑵求 的单调递增区间；
⑶ 已 知 若 ， 且 满 足 ， 试 比 较
的大小，并加以证明。
1=a x
xfxg )()( = 1),1,1(, 2121 <+∈ xxexx 4
2121 )( xxxx +<
2( ) ln , ( ) 3f x x x g x x ax= = − + −
( )f x [ , 2]( 0)t t t+ >
(0, )x∈ +∞ 2 ( ) ( )f x g x≥
(0, )x∈ +∞ 1 2ln xx e ex
> −
( )f x (0, )+∞ (1) 0f = 1( )f x x
′ = ( ) ( ) ( )g x f x f x′= + ( )g x
( )g x
1( )g x
0 0x > 0
1| ( ) ( ) |g x g x x
− < 0x > 0x
1 ln( ) a xf x a Rx
− += ∈
( )f x
ln 0x kx− < R+ k
1 0x > 2 0x > 1 2x x e+ < 1 2 1 2x x x x+ >
x
xxf ln)( = C baxxg +=
2
1)( l
3,2 −== ba )()()( xgxfxF −=
l C 21, xx 21 xx ≠
2)()( 2121 >++ xxgxx
21 1( ) ln( )4f x x x x aa
= − + + 0.a >
( ) 1f x x =在
( )f x
10 ,2a< < 1 2 1 2, ( , ),x x a a x x∈ − ≠ 1 2'( ) '( ) 0f x f x+ =
1 2'( ) '(0)f x x f+ 与
替换构造不等式证明不等式
52. （ 第 3 问 用 第 2 问 ） 已 知 ， 直 线 与 函 数
的图像都相切，且与函数 的图像的切点的横坐标为1。
（I）求直线 的方程及m的值；
（II）若 ，求函数 的最大值。
（III）当 时，求证：
53. 已知函数 、
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 为正常数，设 ，求函数 的最小值；
（Ⅲ）若 ， ，证明： 、
54. （替换构造不等式）
已知函数 在点 的切线方程为 .
⑴求函数 的解析式；
⑵设 ，求证： ≥ 在 上恒成立；（反比例，变形构造）
⑶已知 ，求证： .（替换构造）
55. （替换证明）
已知函数 ．
（1）试判断函数 的单调性；
（2）设 ，求 在 上的最大值；
（3）试证明：对任意 ，不等式 都成立（其中 是自然对数的底数）．
56. （2010湖北，利用⑵结论构造）
已知函数 的图象在点 处的切线方程为 .
（反比例，作差构造）
⑶ .（替换构造）
21 7( ) ln , ( ) ( 0)2 2f x x g x x mx m= = + + < l
( ), ( )f x g x ( )f x
l
( ) ( 1) '( )( )h x f x g x= + − 其中g' ( x) 是g( x) 的导函数 ( )h x
0 b a< < ( ) (2 ) .2
b af a b f a a
−+ − <
( ) xxxf ln=
( )f x
k ( ) ( ) ( )g x f x f k x= + − ( )g x
0a > 0b > ( ) ( ) ( ) ( )2f a a b ln f a b f b+ + + −≥
1)( 2 +
+=
x
baxxf ))1(,1( −− f 03 =++ yx
( )f x
xxg ln)( = )(xg )(xf ),1[ +∞∈x
ba <<0 22
2lnln
ba
a
ab
ab
+>−
−
ln( ) 1xf x x
= −
( )f x
0m > ( )f x [ ,2 ]m m
*n∈N 1 1ln( )en n
n n
+ +< e
0bf x ax c ax
= + + >（ ） （ ） (1, (1))f 1y x= −
a b c⑴用 表示出 、 ；
( ) ln [1 )f x x a+ ∞≥⑵若 在 ， 上恒成立，求 的取值范围；
1 1 11 ln( 1) ( 1)2 3 2( 1)
nn nn n
+ + +⋅⋅⋅+ > + + ≥+证明：
57. 已知 的图像在点 处的切线与直线 平行.
（1）求 a，b 满足的关系式；
（2）若 上恒成立，求 a 的取值范围；
（3）证明： （n∈N*）
58. 已知函数
（1）求函数 的极值点。
（2）若 恒成立，试确定实数 的取值范围。
（3）证明： .
59. (替换构造)
已知函数
⑴求函数 的单调区间；
⑵若 ≤0恒成立，试确定实数 的取值范围；（一次，作差构造）
⑶证明：①当 时， ；② .
60. （2011浙江理22,替换构造）
已知函数 .
⑴求 的单调区间和极值；
⑵求证： .
61. （替换构造）
已知函数 .
⑴求函数 的最小值；
⑵若 ≥0对任意的 恒成立，求实数a的值；（一次，作差构造）
⑶在⑵的条件下，证明： .
四、不等式恒成立求字母范围
恒成立之最值的直接应用
62. （2011北京理18倒数第3大题，最值的直接应用）
已知函数 。
⑴求 的单调区间；
⑵若对于任意的 ，都有 ≤ ，求 的取值范围.
( ) 2 2 ( 0)bf x ax a ax
= + + − > (1, (1))f 2 1y x= +
( ) 2ln )f x x≥ ∞在[ 1, +
1 1 1 11 (2 1) ( )3 5 2 1 2 2 1
nn nn n ++ + + + > + + ∈− + 12)12ln(2
1
+++
n
nn
.1)1()1ln()( +−−−= xkxxf
)(xf
0)( ≤xf k
)1,(6
)1)(4(
1
ln
15
4ln
8
3ln
3
2ln
2
>∈−+<−++++ nNnnn
n
n
( ) ln( 1) ( 1) 1.f x x k x= − − − +
( )f x
( )f x k
2x > ln( 1) 2x x− < − *
1
ln ( 1) ( , 1)1 4
n
i
i n n n N ni=
−< ∈ >+∑
( ) 2 ln(1 ) ( 0)f x a x x a= + − >
( )f x
(1 )lg lg lg4lg lg ( 1)2 3
n
n
n
ne e ee e nn
+
+ + +⋅⋅⋅+ > + *( )n N∈
( ) 1( 0, )xf x e ax a e= − − > 为自然对数的底数
( )f x
( )f x x∈R
1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( *)1
n n n nn n e nn n n n e
−+ +⋅⋅⋅+ + < ∈− N其中
2( ) ( )
x
kf x x k e= −
( )f x
(0, )x∈ +∞ ( )f x 1
e k
63. （2008天津理20倒数第3大题，最值的直接应用，第3问带有小的处理技巧）
已知函数 ，其中 .
⑴若曲线 在点 处切线方程为 ,求函数 的解析式；
⑵讨论函数 的单调性；
⑶若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，求 的取值范围.
64. （转换变量，作差）
已知函数 .
⑴若 ，求 的单调区间；
⑵ 已 知 是 的 两 个 不 同 的 极 值 点 ， 且 ， 若
恒成立，求实数b的取值范围。
恒成立之分离常数
65. （分离常数）
已知函数
(1) 若 在 处的切线平行于直线 ，求函数 的单调区间；
(2) 若 ，且对 时， 恒成立，求实数 的取值范围
66. （2011长春一模，恒成立，分离常数，二阶导数）
已知函数 ,（其中 R, 为自然对数的底数）.
(1)当 时,求曲线 在 处的切线方程；
(2)当 ≥1时,若关于 的不等式 ≥0恒成立,求实数 的取值范围.
（改x≥0时， ≥0恒成立. ≤1）
67. （两边取对数的技巧）设函数 且 ）
（1）求 的单调区间；
（2）求 的取值范围；
（3）已知 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。
68. （分离常数）
已知函数 ．
( ) ( )0≠++= xbx
axxf Rba ∈,
( )xfy = ( )( )2,2 fP 13 += xy ( )xf
( )xf
∈ 2,2
1a ( ) 10≤xf
1,4
1 b
2( ) ( ) xf x x a e= −
3a = ( )f x
1 2,x x ( )f x 1 2 1 2| | | |x x x x+ ≥
3 233 ( ) 32f a a a a b< + − +
( ) ln 1, .af x x a Rx
= + − ∈
( )y f x= 0(1, )P y 1y x= − + ( )y f x=
0a > (0,2 ]x e∈ ( ) 0f x > a
12)(
2
−−−= axxexf x ∈a e
0=a )(xfy = ))0(,0( f
x x )(xf a
)(xf
1( ) ( 1( 1)ln( 1)f x xx x
= > −+ + 0x ≠
( )f x
( )f x
1
12 ( 1)mx x+ > + ( 1,0)x∈ − m
1 ln( ) xf x x
+=
a
（Ⅰ）若函数在区间 其中a >0，上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当 时，不等式 恒成立，求实数k的取值范围；
69. （2010湖南，分离常数，构造函数）
已知函数 对任意的 恒有 .
⑴证明：当
⑵若对满足题设条件的任意b、c，不等式 恒成立，求M的最小值。
70. （第3问不常见，有特点，由特殊到一般，先猜后证）已知函数
（Ⅰ）求函数f (x)的定义域
（Ⅱ）确定函数f (x)在定义域上的单调性，并证明你的结论.
（Ⅲ）若x>0时 恒成立，求正整数k的最大值.
71. (恒成立，分离常数，涉及整数、较难的处理)
已知函数
（Ⅰ）试判断函数 上单调性并证明你的结论；
（Ⅱ）若 恒成立，求整数k的最大值；（较难的处理）
（Ⅲ）求证：(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n－3.
72. (分离常数，双参，较难)已知函数 ， .
（１）若函数 依次在 处取到极值．
①求 的取值范围；②若 ，求 的值．
（２）若存在实数 ，使对任意的 ，不等式 恒成立．求正整数 的
最大值．
73. （2008湖南理22，分离常数，复合的超范围）
已知函数
⑴求函数 的单调区间;
⑵若不等式 对任意的 都成立（其中e是自然对数的底数），求a的最大值.
（分离常数）
74. （变形，分离常数）
已知函数 (a为实常数).
(1)若 ，求证：函数 在(1,+∞)上是增函数；
1( , )2a a +
1x ≥ ( ) 1
kf x x
≥ +
2( ) ( , ),f x x bx c b c= + + ∈R ,x∈R ( ) ( )f x f x′ ≤
20 ( ) ( ) ;x f x x c+≥ 时， ≤
2 2( ) ( ) ( )f c f b M c b− −≤
x
xnxf )1(11)(
++=
1)( +>
x
kxf
).0()1ln(1)( >++= xx
xxf
),0()( +∞在xf
1)( +>
x
kxf
3 2( ) ( 6 3 ) xf x x x x t e= − + + t R∈
( )y f x= , , ( )x a x b x c a b c= = = < <
t 22a c b+ = t
[ ]0,2t ∈ [ ]1,x m∈ ( )f x x≤ m
2
2( ) ln (1 ) .1
xf x x x
= + − +
( )f x
1(1 )n a en
++ ≤ N*n∈
xaxxf ln)( 2 +=
2−=a )(xf
(2)求函数 在[1,e]上的最小值及相应的 值；
(3)若存在 ，使得 成立，求实数a的取值范围.
75. （分离常数，转换变量，有技巧）
设函数 .
⑴若函数 在 处与直线 相切：
①求实数 的值；②求函数 在 上的最大值；
⑵当 时，若不等式 ≥ 对所有的 都成立，求实数 的取值
范围.
恒成立之讨论字母范围
76. （2007全国I，利用均值，不常见）
设函数 ．
⑴证明： 的导数 ；
⑵若对所有 都有 ，求 的取值范围．
77. 设函数 f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).
(Ⅰ)若 x=0 是 F(x)的极值点,求 a 的值；
(Ⅱ)当 a=1 时,设 P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x1>0,x2>0), 且 PQ//x 轴,求 P、Q 两点间的最短距离；
(Ⅲ):若 x≥0 时,函数 y=F(x)的图象恒在 y=F(－x)的图象上方,求实数 a 的取值范围．
78. （用到二阶导数，二次）
设函数 .
⑴若 ，求 的最小值；
⑵若当 时 ，求实数 的取值范围.
79. (第 3 问设计很好，2 问是单独的，可以拿掉)已知函数 ，斜率
为 的直线与 相切于 点.
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）当实数 时，讨论 的极值点。
（Ⅲ）证明： .
80. （2011全国I文21，恒成立，一次，提出一部分再处理的技巧）
)(xf x
],1[ ex ∈ xaxf )2()( +≤
2( ) lnf x a x bx= −
( )f x 1x = 1
2y = −
,a b ( )f x 1[ , ]ee
0b = ( )f x m x+ 23[0, ], [1, ]2a x e∈ ∈ m
( ) e ex xf x −= −
( )f x ( ) 2f x′ ≥
0x≥ ( )f x ax≥ a
2( ) 2
x kf x e x x= − −
0k = ( )f x
0x ≥ ( ) 1f x ≥ k
1ln)1()( +−+= xxxbxf
1 )(xf (1,0)
( ) ( ) lnh x f x x x= −
0 1a< < 21( ) ( ) ( )ln 2g x f x a x x ax= − + +
( 1) ( ) 0x f x− ≥
设函数 .
⑴若a = ，求 的单调区间；
⑵若当 ≥0时 ≥0，求a的取值范围.
81. （2011全国新理21，恒成立，反比例，提出公因式再处理的技巧，本题的创新之处是将一
般的过定点（0,0）变为过定点（1,0），如果第2问范围变为 则更间单）
已知函数 在点 处的切线方程为 .
⑴求 、 的值；
⑵如果当 ，且 时， ，求 的取值范围。
82. (恒成立，讨论,较容易，但说明原理)已知函数 .
（1）求函数 的单调区间和极值；
（2）若 对 上恒成立，求实数 的取值范围.
83. （2010新课程理21，恒成立，讨论，二次，用到结论 ）
设函数 .
⑴若 ，求 的单调区间；
⑵若当 时 ，求 的取值范围.
84. （恒成立，2010全国卷2理数，利用⑴结论，较难的变形讨论）
设函数 ．
⑴证明：当 时， ；
⑵设当 时， ，求a的取值范围．
85. 已知函数 ，且函数 是 上的增函数。
（1）求 的取值范围；
（2）若对任意的 ，都有 （e 是自然对数的底），求满足条件的最大整数
的值。
86. （2008山东卷21）
已知函数 其中n∈N*,a为常数.
⑴当n=2时，求函数f(x)的极值；
( ) 2( ) 1xf x x e ax= − −
1
2
( )f x
x ( )f x
1x >
ln( ) 1
a x bf x x x
= ++ (1, (1))f 2 3 0x y+ − =
a b
0x > 1x ≠ ln( ) 1
x kf x x x
> +− k
xaxxf ln)1()( −−=
)(xf
0)( ≥xf ),1[ +∞∈x a
1xe x+≥
2( ) 1xf x e x ax= − − −
0a = ( )f x
0x≥ ( ) 0f x ≥ a
( ) 1 xf x e−= −
x＞- 1 ( )
1
xf x x
≥ +
0x ≥ ( )
1
xf x ax
≤ +
1
1)( +
−=
x
kxxf ( )f x ( )1,− +∞
k
0x > 11
1
+<+
−
xe x
kx
k
1( ) ln( 1),(1 )nf x a xx
= + −−
⑵当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x－1.
五、函数与导数性质的综合运用
87. （综合运用）
已知函数
⑴求函数 的单调区间和极值；
⑵已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，证明当 时，
⑶如果 ，且 ，证明
88. （2010天津理数21，综合运用）
已知函数
⑴求函数 的单调区间和极值；
⑵已知函数 对任意 满足 ，证明：当 时，
⑶如果 ，且 ，证明：
89. 已知函数
(1) 求函数 的单调区间和极值；
(2) 若函数 对任意 满足 ,求证：当 ,
(3) 若 ，且 ，求证：
90. 已知函数 ，
（Ⅰ）若 ，求 的单调区间；
（Ⅱ）对于任意的 ，比较 与 的大小，并说明理由．
91. （2011辽宁理21，利用2的对称）
已知函数 ．
⑴讨论 的单调性；
⑵设 ，证明：当 时， ；（作差）
⑶若函数 的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为 ，证明：
.
92. （恒成立，思路不常见）
( ) ( )xf x xe x−= ∈R
( )f x
( )y g x= ( )y f x= 1x = 1x >
( ) ( )f x g x>
1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 2x x+ >
1
1( ) (x
xf x xe −
−= ∈R).
( )f x
( )y g x= x ( ) (4 )g x f x= − 2x > ( ) ( );f x g x>
1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 4.x x+ >
1( ) x
xf x e
−= .
( )f x
( )y g x= x ( ) (4 )g x f x= − 2x > ( ) ( );f x g x>
1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 4.x x+ >
xaaxxxf )2(ln)( 2 −+−=
)(xf
0>a ax 10 << )1()1( xafxaf −>+
)(xfy = 0x
0( ) 0f x′ <
( ) ln( 1), ( ) 1xf x x g x e= + = −
( ) ( )F x f x px= + ( )F x
2 1 0x x> > 2 1( ) ( )f x f x− 2 1( )g x x−
已知函数 ，其中 为实数．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在实数 ，使得对任意 ， 恒成立?若不存在，请说
明理由，若存在，求出 的值并加以证明．
93. 已知函数 ，在区间 上有最大值4，最小值1，设
．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）不等式 在 上恒成立，求实数 的范围；
（Ⅲ）方程 有三个不同的实数解，求实数 的范围．
94. 已知函数 ， 设
（1）是否存在唯一实数 ，使得 ，若存在，求正整数 m 的值；若不存在，
说明理由。
（2）当 时， 恒成立，求正整数 n 的最大值。
95. (第 3 问难想)已知函数 ，其中ｅ是自然数的底数， 。
（１） 当 时，解不等式 ；
（２） 若 在［－１，１］上是单调增函数，求 的取值范围；
（３） 当 时，求整数ｋ的所有值，使方程 在［ｋ，ｋ＋１］上有解。
96. （2011高考，单调性应用，第2问难）
已知a、b是实数，函数 和 是 的导
函数，若 在区间I上恒成立，则称 和 在区间I上单调性一致.
（1）设 ，若函数 和 在区间 上单调性一致,求实数b的取值范围；
（2）设 且 ，若函数 和 在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求
|a－b|的最大值.
97. （2010湖南文数，另类区间）
已知函数 其中a<0,且a≠-1.
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）设函数 （e是自然数的底数）。是否存在
x
axxf ln)(
−= a
2=a )(xfy = ))2(,2( f
a ),1()1,0( +∞∈ x xxf >)(
a
)1,0(12)( 2 <≠++−= babaxaxxg [ ]3,2
( )( ) g xf x x
=
ba,
02)2( ≥⋅− xx kf ]1,1[−∈x k
0)3|12|
2(|)12(| =−−+−
x
x kf k
1( ) (1 )[1 ln( 1)]f x xx
= + + + 2( ) ( )g x x f x′= ⋅ ( 0)x >
( , 1)a m m∈ + ( ) 0g a =
0x > ( )f x n>
2( ) ( ) xf x ax x e= + a R∈
0a < ( ) 0f x >
( )f x a
0a = ( ) 2f x x= +
,)(,)( 23 bxxxgaxxxf +=+= )(xf ′ )(xg′ )(),( xgxf
0)()( ≥′′ xgxf )(xf )(xg
0>a )(xf )(xg ),1[ +∞−
,0
=
a，使 在[a,－a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
98. （2008辽宁理22，第2问无从下手，思路太难想）
设函数 .
⑴求 的单调区间和极值;
⑵是否存在实数 ,使得关于 的不等式 的解集为 ?若存在,求 的取值范围;
若不存在,试说明理由.
99. （第二问较难）
设函数 ， ， 是 的一个极大值点．
⑴若 ，求 的取值范围；
⑵当 是给定的实常数，设 是 的3个极值点，问是否存在实数 ，可找到
，使得 的某种排列 （其中 = ）
依次成等差数列?若存在，求所有的 及相应的 ；若不存在，说明理由．
100. 已知函数 ， ，记
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，若 ，比较： 与 的大小；
（Ⅲ）若 的极值为 ，问是否存在实数 ，使方程 有四个
不同实数根？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由。
六、导数应用题
101. 某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本为30元，并且每件玩具的加工费为t元(其中t为
常数，且2≤t≤5)，设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售
量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件．
(1)求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式；
(2)当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．
102. 如图，ABCD是正方形空地，正方形的边长为30m，电源在点P处，点P到边AD、AB的距离
分别为9m、3m，某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MN：NE=16：
9，线段MN必须过点P，满足M、N分别在边AD、AB上，设 ，液晶广告屏幕MNEF
的面积为
( )g x
ln( ) ln ln( 1)1
xf x x xx
= − + ++
( )f x
a x ( )f x a (0, )+∞ a
2( ) ( ) ( ) xf x x a x b e= − + a b R∈、 x a= ( )f x
0a = b
a 1 2 3x x x， ， ( )f x b
4x R∈ 1 2 3 4x x x x， ， ， 1 2 3 4
, , ,i i i ix x x x { }1 2 3 4i i i i， ， ， { }1 2 3 4，，，
b 4x
( )f x = lna x 2( )g x x= ( ) ( ) ( )F x g x f x= −
( )F x
1
2a ≥ 1x ≥ ( 1)g x − 1( )f x
( )F x
2
a k 21 ( ) (1 )2 g x f x k− + =
k
( )AN x m=
2( ).S m
（I）求S关于x的函数关系式，并写出该函数的定义域；
（II）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？
七、导数结合三角函数
103. 已知函数 ，函数 是区间[-1，1]上的减函数．
（I）求 的最大值；
（II）若 上恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于x的方程 的根的个数．
104. 设函数 （ ），其中 ．
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求函数 的极大值和极小值；
（Ⅲ）当 ， 时，若不等式 对任意的 恒成
立,求 的值。
xxf =)( xxfxg sin)()( += λ
λ
]1,1[1)( 2 −∈++< xttxg 在λ
mexxxf
x +−= 2)(
ln 2
2( ) ( )f x x x a= − − x∈R a∈R
1a = ( )y f x= (2 (2))f，
0a ≠ ( )f x
3a > [ ]1 0k ∈ − ， 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x− −≥ x∈R
k
