北京市第二中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题

北京市第二中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题

北京二中教育集团2018—2019学年度第三学段高二年级学段考试试卷数学选修2—3‎ 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ‎1.已知双曲线的一条渐近线为，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出双曲线的渐近线，和已知条件对比，即可求出 ‎【详解】双曲线的渐近线方程为：‎ 因为题目中告诉一条渐近线为，即 所以，即 故选：D ‎【点睛】本题考查的是双曲线的渐近线方程，较简单.‎ ‎2.已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得线性回归方程可能为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 由变量与正相关可排除A、C，然后线性回归方程要过点，可得出答案 ‎【详解】因为变量与正相关，所以A、C不满足 因为线性回归方程要过点，故B不满足 故选：D ‎【点睛】线性回归方程一定过点.‎ ‎3.某工厂生产、、三种不同型号的产品，其数量之比依次是，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为的样本，样本中型号产品有15件，那么等于（ ）‎ A. 50 B. ‎60 ‎C. 70 D. 80‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出A型号产品的占有的比例，列出等式，求解样本容量n.‎ ‎【详解】由分层抽样方法得，解之得.‎ ‎【点睛】本题考查了分层抽样，考查了运算能力.‎ ‎4.某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，‎ 故其概率是，本题选择C选项.‎ 点睛：准确理解并运用二项分布的概率公式是求解该类问题的关键，表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率.‎ ‎5.‎ 袋中有10个大小相同但编号不同的球，6个红球和4个白球，无放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：先求出“第一次摸到红球”的概率为：，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是，再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为，根据条件概率公式，得：,故选D.‎ 考点：条件概率与独立事件.‎ ‎【易错点晴】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解.利用定义，分别求和，得.注意：事件与事件有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清的求法．属于中档题，看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键.‎ ‎6.2019年春运已经拉开序幕，在外漂泊的游子归家心切，有两位来自南方的北漂商讨着购票事宜，希望购买的火车票座位能挨着在一起，并且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的是( )‎ 窗口 ‎1‎ ‎2‎ 过道 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 窗口 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ A. 48，49 B. 62，‎63 ‎C. 75，76 D. 84，85‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图得出被5除余1的数和能被5整除的数对应的座位临窗即可分析出满足条件的答案 ‎【详解】由已知图形中的座位的排列顺序可得：被5除余1的数和能被5整除 的数对应的座位临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗 分析答案中的4组座位号，只有D符合条件 故选：D ‎【点睛】本题考查的是对表格的观察能力，较简单 ‎7.甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是，乙能解决这个问题的概率是，那么至少有一人能解决这个问题的概率是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 事件“至少有一人能解决这个问题”的对立事件是“两个人都不能解决这个问题”，算出后者的概率即可 ‎【详解】因为事件“至少有一人能解决这个问题”的对立事件是 ‎“两个人都不能解决这个问题”，‎ 事件“两个人都不能解决这个问题”的概率为 所以至少有一人能解决这个问题的概率是 故选：D ‎【点睛】若事件A、B对立，则有.‎ ‎8.在的二项展开式中，的系数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】因为,可得时，的系数为，C正确.‎ ‎9.已知抛物线的焦点为，点、、在抛物线上，且，则有 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题可知：在抛物线上任一点到焦点的距离等于它到准线L的距离，因此，到准线的距离为，到准线的距离为，到准线的距离为，故．‎ 考点：抛物线的定义 ‎10.设为等差数列，p，q，k，l为正整数，则“”是“”的（）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式，得到等差数列公差的正负性和p，q，k，l之间的关系，结合充分性、必要性的定义选出正确答案即可.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，‎ 或，显然由 不一定能推出，由也不一定能推出 ，‎ 因此是的既不充分也不必要条件，故本题选D.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了充要条件的判断.‎ ‎11.某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查.若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是( )‎ A. 48 B. ‎72 ‎C. 84 D. 168‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 分两步，第一步选2名理科班的学生检查文科班，第二步，理科班检查的方法，需要分三类，根据分布和分类计数原理可得.‎ ‎【详解】第一步：选2名理科班的学生检查文科班，有种 第二步：分三类 ‎①2名文科班的学生检查剩下的2名理科生所在的班级，2名理科生检查 另2名理科生所在的班级，有种 ‎②2名文科班的学生检查去文科班检查的2名理科生所在班级，剩下的2名理科生 互查所在的班级，有种 ‎③2名文科生一人去检查去文科班检查的2名理科生所在的班级的一个和一人去 检查剩下的2名理科生其中一个所在的班级，有种 根据分步分类技术原理可得，共有不同的安排方法 故选：D ‎【点睛】本题考查的是分步分类计数原理及排列组合的知识，怎么将一个复杂的事情进行合理的分步分类去完成是解题的关键.‎ ‎12.已知为椭圆上一点，为椭圆长轴上一点，为坐标原点，有下列结论：①存在点，，使得为等边三角形；②不存在点，，使得 为等边三角形；③存在点，，使得；④不存在点，，使得.其中，所有正确结论的序号是( )‎ A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的简单几何性质，直接可判断①正确②错误，分情况讨论点、的位置，利用余弦定理判断，即可确定③错误④正确.‎ ‎【详解】过原点且倾斜角为的直线一定与椭圆有交点，假设轴右侧的交点 是，在长轴上取，则就是等边三角形 故①正确，②错误 若点和点在轴两侧，则一定是锐角 若点和点在轴同侧，不妨设为在轴右侧 设点，则，且 由椭圆性质可知，当点是长轴端点时，最大 因为，，‎ 所以 所以 即，故③错误，④正确 故选：A ‎【点睛】1.本题考查的是椭圆性质的应用，椭圆关于原点、轴、轴对称.‎ ‎2.可以用余弦定理判断一个角是锐角、直角还是钝角.‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎13.某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，…，后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在内的人数是__________．‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】‎ 由频率分布直方图得,分数在内的频率为：，分数在内的人数为：，故答案为.‎ ‎14.随机变量的分布列如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎0.2‎ ‎0.25‎ ‎0.1‎ ‎0.15‎ ‎0.2‎ 则______，______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可算出，‎ ‎【详解】由得 故答案为：，‎ ‎【点睛】本题考查分布列的知识，较简单.‎ ‎15.某市教委派出5名调查人员到3所学校去调研学生作业负担问题，每校至少1人，则共有______种不同的派遣方法.‎ ‎【答案】150‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将5人分成3组，然后再将3组分配到3个学校.‎ ‎【详解】第一步，把5人分成3组，有两类分法：‎ ‎①一组3人，另两组各1人，有种分法 ‎②一组1人，另两组各2人，有种分法 第二步：将3个小组分配到3所学校去，有种分法 所以共有种不同的选派方案.‎ ‎【点睛】解决分组分配问题的基本指导思想是先分组，后分配.‎ ‎16.椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F‎1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.‎ 利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：，，.又已知，，成等比数列，故，即，则.故.即椭圆的离心率为.‎ ‎【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程，然后化为有关的齐次式方程，进而转化为只含有离心率的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.‎ ‎17.已知的展开式中没有项，且，则______.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将问题转化成二项式的展开式中没有常数项、项和项，利用二项展开式的通项公式求出第项，然后即可求解 ‎【详解】因为的展开式中没有项 所以的展开式中没有常数项、项和项 的展开式的通项为 所以方程，当且时无解 检验可得 故答案为：‎ ‎【点睛】二项式的展开式的通项为：‎ ‎18.甲乙二人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷.规定：若甲掷出1点，则由甲继续掷，否则下一次由乙掷；若乙掷出3点，则由乙继续掷，否则下一次由甲掷，两人始终按此规则进行.记第次由甲掷的概率为，则______，______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出甲掷到1点（乙掷到3点）的概率为，甲未掷到1点（乙未掷到3点）的概率为，设第次由甲掷的概率为，可得到递推公式，然后用数列的知识即可求出.‎ ‎【详解】甲掷到1点（乙掷到3点）的概率为，‎ 甲未掷到1点（乙未掷到3点）的概率为，‎ 设第次由甲掷的概率为，则乙掷的概率为 第一次由甲掷，故第二次由甲掷的概率 于是，第次由甲掷的概率为 即，因为，‎ 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列（）‎ 所以，适合 从而 所以 故答案为：，‎ ‎【点睛】本题主要考查递推数列和等比数列通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ 三、解答题（共5小题，共60分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎19.已知等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得 d=== 3．∴an=a1+（n﹣1）d=3n 设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则 q3===8，∴q=2，‎ ‎∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1， ∴bn=3n+2n﹣1‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=3n+2n﹣1， ∵数列{3n}的前n项和为n（n+1），‎ 数列{2n﹣1}的前n项和为1×= 2n﹣1，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为；‎ 考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和．‎ ‎20.、两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：‎ ‎(1)试估计班的学生人数；‎ ‎(2)从班和班抽出的学生中，各随机选取一人，班选出的人记为甲，班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量.规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记；当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记；当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记.求随机变量的分布列及数学期望.‎ ‎(3)再从、两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小.（结论不要求证明）‎ ‎【答案】（1）35，（2）随机变量的分布列：‎ X ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意可知，抽出的13名学生中，来自班的学生有7名，根据分层抽样方法，能求出班的学生人数 ‎(2)由题意可知X的可能取值为： ，分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布列和期望 ‎(3)利用数学期望的性质能得出 ‎【详解】（1）由题意可知，抽出的13名学生中，来自班的学生有7名，‎ 根据分层抽样方法可得：班的学生人数估计为 ‎(2)X的可能取值为：‎ ‎，，‎ 则随机变量的分布列：‎ X ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎(3) ‎ ‎【点睛】本题考查的是离散型随机变量得分布列及期望，在解题的时候关键是要把概率求正确.‎ ‎21.某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[ 0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下： ‎ 假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．‎ ‎（1）写出频率分布直方图（甲）中的的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）‎ ‎（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率； ‎ ‎（3）设表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求的数学期望．‎ ‎【答案】（1），；（2）0．42；（3）0．9．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由各个小矩形的面积和为1，先求出，由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，由此可得出与的大小关系；（Ⅱ）首先设事件：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱；然后分别求出事件和事件的概率，最后由相互独立事件的概率乘法计算公式即可得出所求的结果；（Ⅲ）首先由题意可知的可能取值为0，1，2，3，然后运用相互独立重复试验的概率计算公式分别计算相应的概率，最后得出其分布列即可．‎ 试题解析：（Ⅰ）由各小矩形的面积和为1可得：，解之的 ‎；由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在箱，故 ‎．‎ ‎（Ⅱ）设事件：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件 ‎：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则，．所以．‎ ‎（Ⅲ）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3．‎ ‎，，‎ ‎，．‎ 所以的分布列为 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎ ‎ ‎0．343 ‎ ‎0．441 ‎ ‎0．189 ‎ ‎0．027 ‎ 所以的数学期望．‎ 考点：1、离散型随机变量的均值与方差；2、相互独立事件的概率乘法公式；3、频率分布直方图．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查频率分布直方图、离散型随机变量的均值与方差和相互独立事件的概率乘法公式，属中档题．这类题型是历年高考的必考题型之一，其解题的关键有二点：其一是认真审清题意，掌握二项分布与几何分布，并区分两者的适用范围；其二是掌握离散型随机变量的分布列和均值的求法以及频率分布直方图的性质的应用．‎ ‎22.已知椭圆：的离心率为，椭圆的下顶点和上顶点分别为，，且.过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)当时，求的面积；‎ ‎(3)求证：不论为何值，直线与直线的交点恒在一条定直线上.‎ ‎【答案】（1），（2），（3）证明见详解 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由可求出，可算出 ‎（2）算出和点到直线的距离即可 ‎（3）设，联立方程消元可得，由三点共线得，由三点共线得，然后通过变形可得出，即可得出点恒在直线上.‎ ‎【详解】（1）由，得 由得 所以椭圆的标准方程为 ‎（2）当时，直线的方程为 联立方程得 设，则有 所以 点到直线的距离为 所以 ‎（3）直线的方程为 由得 由得 设，则有 因，设 由三点共线得①‎ 由三点共线得②‎ 由得 所以可得，即 故可得点恒在直线上.‎ ‎【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.‎ ‎23.‎ 对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数 列具有“性质”．‎ 不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同 时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”．‎ ‎（I）设数列的前项和，证明数列具有“性质”；‎ ‎（II）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由；‎ ‎（III）对于有限项数列：1，2，3，…，，某人已经验证当时，‎ 数列具有“变换性质”，试证明：当”时，数列也具有“变换性质”．‎ ‎【答案】（I）证明见解析．（II）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”，数列为3，2，1，5，4．数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”理由见详解；（III）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（I）当时， ‎ 又． ‎ 所以是完全平方数，‎ 数列具有“P性质” ‎ ‎（II）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”， ‎ 数列为3，2，1，5，4 ‎ 数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质” ‎ 因为11，4都只有5的和才能构成完全平方数 所以数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质” ‎ ‎（III）设 注意到 令 由于，‎ 所以 又 所以 即 ‎ 因为当时，数列具有“变换P性质”‎ 所以1，2，…，‎4m+4-j-1可以排列成 使得都是平方数 另外，可以按相反顺序排列，‎ 即排列为 使得 ‎ ‎ 所以1，2，可以排列成 满足都是平方数.‎ 即当时，数列A也具有“变换P性质”‎