高中数学第二章数列2-3-2等差数列前n项和的性质课时作业含解析新人教A版必修

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高中数学第二章数列2-3-2等差数列前n项和的性质课时作业含解析新人教A版必修

课时作业12 等差数列前n项和的性质 时间:45分钟 ‎——基础巩固类——‎ 一、选择题 ‎1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2=4,S4=16,则a5+a6=( C )‎ A.11 B.16‎ C.20 D.28‎ 解析:由等差数列的性质知S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,即4,12,a5+a6成等差数列,易知其公差为8,故a5+a6=20.‎ ‎2.已知等差数列{an}中,d=2,S3=-24,则其前n项和Sn取最小值时n的值为( D )‎ A.5 B.6‎ C.7 D.5或6‎ 解析:由d=2,S3=‎3a1+3d=-24,得a1=-10,令an=-10+(n-1)×2=0,得n=6,所以a6=0,S5=S6均为最小值.‎ ‎3.设数列{an}是公差为-2的等差数列,如果a1+a4+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99等于( D )‎ A.-182 B.-78‎ C.-148 D.-82‎ 解析:由a1+a4+a7+…+a97=50,①‎ 令a3+a6+a9+…+a99=x,②‎ ‎②-①,得2d×33=x-50,∵d=-2,‎ ‎∴x=-132+50=-82.故选D.‎ ‎4.在等差数列{an}中,Sn为前n项和,若Sm=20,S‎3m=210,则S‎2m=( C )‎ A.115 B.100‎ C.90 D.70‎ 解析:因为{an}为等差数列,所以Sm,S‎2m-Sm,S‎3m-S‎2m成等差数列,则有2(S‎2m-Sm)=Sm+S‎3m-S‎2m,即3S‎2m=S‎3m+3Sm=210+60=270.‎ 所以S‎2m=90.‎ ‎5.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=( A )‎ A.1 B.-1‎ C.2 D. 4‎ 解析:===×=1.‎ ‎6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S12>0,S13<0,则Sn中最大的是( C )‎ A.S12 B.S13‎ C.S6 D.S7‎ 解析:∵在等差数列{an}中,‎ S12==>0,∴a6+a7>0.‎ 又S13==<0,∴a7<0.‎ ‎∴a6>0,a7<0.‎ ‎∴前6项和S6最大.‎ 二、填空题 ‎7.已知等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=10.‎ 解析:∵S9=S4,∴a5+a6+a7+a8+a9=0.‎ ‎∴a7=0,从而a4+a10=‎2a7=0.∴k=10.‎ ‎8.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n,则a2+a3-a4+a5+a6=15.‎ 解析:易知数列{an}为等差数列,则a2+a3-a4+a5+a6=‎3a4,由Sn=n2-2n知a4=S4-S3=42-2×4-32+2×3=5,所以a2+a3-a4+a5+a6=15.‎ ‎9.已知项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是11,项数是7.‎ 解析:设该等差数列的项数为2n+1,‎ 由题意得解得 故该数列的中间项为an+1=a4=11,项数为7.‎ 三、解答题 ‎10.已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若S7=7,S15=75,求数列{}的前n项和Tn.‎ 解:设等差数列{an}的公差为d,则 Sn=na1+n(n-1)d.‎ 由S7=7,S15=75,‎ 得即 解得 ‎∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1).‎ ‎∵-=(-2+n)-[-2+(n-1)]=,‎ 4‎ ‎∴数列{}是首项为-2,公差为的等差数列.‎ 故Tn=-2n+n(n-1)×=n2-n.‎ ‎11.在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn有最大值,并求出它的最大值.‎ 解:设等差数列{an}的公差为d,‎ ‎∵a1=20,S10=S15,‎ ‎∴‎10a1+d=‎15a1+d.解得d=-.‎ ‎(方法一)由以上得an=20-(n-1)‎ ‎=-n+.‎ 由an≥0得-n+≥0,∴n≤13.‎ ‎∴数列{an}的前12项或前13项的和最大,其最大值为S12=S13=‎12a1+d=130.‎ ‎(方法二)由以上得Sn=20n+× ‎=-n2+n+20n=-n2+n ‎=-(n2-25n)=-2+.‎ 故当n=12或n=13时,Sn最大,最大值为S12=S13=130.‎ ‎——能力提升类——‎ ‎12.等差数列{an}的公差d<0,且a=a,则数列{an}的前n项和Sn取最大值时的项数n是( D )‎ A.5 B.6‎ C.5或6 D.6或7‎ 解析:因为d<0,所以数列{an}为递减数列,又a=a,所以a1=-a13,且a1>0,a13<0,即a1+a13=‎2a7=0,所以数列{an}的前n项和Sn取最大值时的项数n是6或7.‎ ‎13.{an}为等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,S6>S7>S5,则下列结论中不正确的是( C )‎ A.d<0 B.S11>0‎ C.S12<0 D.S13<0‎ 解析:S6>S7>S5,则d<0,a6>0且a7<0,‎ 所以S11==>0,‎ S13==<0,‎ 4‎ 而S12==6(a6+a7)无法判断大于0或小于0.‎ ‎14.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意自然数n都有=,则+=.‎ 解析:由等差数列的性质得+=+==,又S11=‎11a6,T11=11b6,所以====.所以+=.‎ ‎15.若数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)均在函数y=x2-x的图象上.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m.‎ 解:(1)由题意知Sn=n2-n.‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2;‎ 当n=1时,a1=1,适合上式.‎ ‎∴an=3n-2.‎ ‎(2)由(1)得bn===-,‎ ‎∴Tn=b1+b2+…+bn=1-+-+…+-=1-<1,‎ 则要使Tn<对所有n∈N*都成立,只需≥1,‎ ‎∴m≥20,∴满足条件的最小正整数m的值为20.‎ 4‎
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