高中数学第二章数列2-3-2等差数列前n项和的性质课时作业含解析新人教A版必修

高中数学第二章数列2-3-2等差数列前n项和的性质课时作业含解析新人教A版必修

课时作业12　等差数列前n项和的性质 时间：45分钟 ‎——基础巩固类——‎ 一、选择题 ‎1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝4，S4＝16，则a5＋a6＝(　C　)‎ A．11 B．16‎ C．20 D．28‎ 解析：由等差数列的性质知S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，即4,12，a5＋a6成等差数列，易知其公差为8，故a5＋a6＝20.‎ ‎2．已知等差数列{an}中，d＝2，S3＝－24，则其前n项和Sn取最小值时n的值为(　D　)‎ A．5 B．6‎ C．7 D．5或6‎ 解析：由d＝2，S3＝‎3a1＋3d＝－24，得a1＝－10，令an＝－10＋(n－1)×2＝0，得n＝6，所以a6＝0，S5＝S6均为最小值．‎ ‎3．设数列{an}是公差为－2的等差数列，如果a1＋a4＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于(　D　)‎ A．－182 B．－78‎ C．－148 D．－82‎ 解析：由a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，①‎ 令a3＋a6＋a9＋…＋a99＝x，②‎ ‎②－①，得2d×33＝x－50，∵d＝－2，‎ ‎∴x＝－132＋50＝－82.故选D.‎ ‎4．在等差数列{an}中，Sn为前n项和，若Sm＝20，S‎3m＝210，则S‎2m＝(　C　)‎ A．115 B．100‎ C．90 D．70‎ 解析：因为{an}为等差数列，所以Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m成等差数列，则有2(S‎2m－Sm)＝Sm＋S‎3m－S‎2m，即3S‎2m＝S‎3m＋3Sm＝210＋60＝270.‎ 所以S‎2m＝90.‎ ‎5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　A　)‎ A．1 B．－1‎ C．2 D. 4‎ 解析：＝＝＝×＝1.‎ ‎6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12>0，S13<0，则Sn中最大的是(　C　)‎ A．S12 B．S13‎ C．S6 D．S7‎ 解析：∵在等差数列{an}中，‎ S12＝＝>0，∴a6＋a7>0.‎ 又S13＝＝<0，∴a7<0.‎ ‎∴a6>0，a7<0.‎ ‎∴前6项和S6最大．‎ 二、填空题 ‎7．已知等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝10.‎ 解析：∵S9＝S4，∴a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0.‎ ‎∴a7＝0，从而a4＋a10＝‎2a7＝0.∴k＝10.‎ ‎8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a3－a4＋a5＋a6＝15.‎ 解析：易知数列{an}为等差数列，则a2＋a3－a4＋a5＋a6＝‎3a4，由Sn＝n2－2n知a4＝S4－S3＝42－2×4－32＋2×3＝5，所以a2＋a3－a4＋a5＋a6＝15.‎ ‎9．已知项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是11，项数是7.‎ 解析：设该等差数列的项数为2n＋1，‎ 由题意得解得 故该数列的中间项为an＋1＝a4＝11，项数为7.‎ 三、解答题 ‎10．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若S7＝7，S15＝75，求数列{}的前n项和Tn.‎ 解：设等差数列{an}的公差为d，则 Sn＝na1＋n(n－1)d.‎ 由S7＝7，S15＝75，‎ 得即 解得 ‎∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)．‎ ‎∵－＝(－2＋n)－[－2＋(n－1)]＝，‎ 4‎ ‎∴数列{}是首项为－2，公差为的等差数列．‎ 故Tn＝－2n＋n(n－1)×＝n2－n.‎ ‎11．在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值．‎ 解：设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a1＝20，S10＝S15，‎ ‎∴‎10a1＋d＝‎15a1＋d.解得d＝－.‎ ‎(方法一)由以上得an＝20－(n－1)‎ ‎＝－n＋.‎ 由an≥0得－n＋≥0，∴n≤13.‎ ‎∴数列{an}的前12项或前13项的和最大，其最大值为S12＝S13＝‎12a1＋d＝130.‎ ‎(方法二)由以上得Sn＝20n＋× ‎＝－n2＋n＋20n＝－n2＋n ‎＝－(n2－25n)＝－2＋.‎ 故当n＝12或n＝13时，Sn最大，最大值为S12＝S13＝130.‎ ‎——能力提升类——‎ ‎12．等差数列{an}的公差d<0，且a＝a，则数列{an}的前n项和Sn取最大值时的项数n是(　D　)‎ A．5 B．6‎ C．5或6 D．6或7‎ 解析：因为d<0，所以数列{an}为递减数列，又a＝a，所以a1＝－a13，且a1>0，a13<0，即a1＋a13＝‎2a7＝0，所以数列{an}的前n项和Sn取最大值时的项数n是6或7.‎ ‎13．{an}为等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，S6>S7>S5，则下列结论中不正确的是(　C　)‎ A．d<0 B．S11>0‎ C．S12<0 D．S13<0‎ 解析：S6>S7>S5，则d<0，a6>0且a7<0，‎ 所以S11＝＝>0，‎ S13＝＝<0，‎ 4‎ 而S12＝＝6(a6＋a7)无法判断大于0或小于0.‎ ‎14．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋＝.‎ 解析：由等差数列的性质得＋＝＋＝＝，又S11＝‎11a6，T11＝11b6，所以＝＝＝＝.所以＋＝.‎ ‎15．若数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)均在函数y＝x2－x的图象上．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m.‎ 解：(1)由题意知Sn＝n2－n.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2；‎ 当n＝1时，a1＝1，适合上式．‎ ‎∴an＝3n－2.‎ ‎(2)由(1)得bn＝＝＝－，‎ ‎∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－＋－＋…＋－＝1－<1，‎ 则要使Tn<对所有n∈N*都成立，只需≥1，‎ ‎∴m≥20，∴满足条件的最小正整数m的值为20.‎ 4‎