高中数学必修1抽象函数与具体函数值域的求法

高中数学必修1抽象函数与具体函数值域的求法

抽象函数与具体函数值域的求法 例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.‎ 分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.‎ 例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.‎ 分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.‎ 例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].‎ ‎（1） 判断f（x）的奇偶性；‎ ‎（2） 判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；‎ ‎（3） 若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范围.‎ 分析：（1）令y＝－1；‎ ‎ （2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；‎ ‎ （3）0≤a≤2.‎ 例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：‎ ‎（1） f（0）；‎ ‎（2） 对任意值x，判断f（x）值的符号.‎ 分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.‎ 例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.‎ 分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.‎ 例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：‎ ‎（1） f（1）；‎ ‎（2） 若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.‎ 分析：（1）利用3＝1×3；‎ ‎（2）利用函数的单调性和已知关系式.‎ 例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.‎ 分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，‎ 进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….‎ ‎ 例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：‎ ‎① x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝；‎ ‎② f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）；‎ ‎③ 当0＜x＜2a时，f（x）＜0.‎ ‎ 试问：‎ ‎（1） f（x）的奇偶性如何？说明理由；‎ ‎（2） 在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.‎ ‎ 分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数；‎ ‎（3） 先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.‎ ‎ 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.‎ ‎ 例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），‎ ‎（1） 求证：f（1）＝f（－1）＝0；‎ ‎（2） 求证：f（x）为偶函数；‎ ‎（3） 若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.‎ 分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0）‎ ‎（1） 先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1；‎ ‎（2） 令y＝ －1；‎ ‎（3） 由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.‎ 例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：‎ ‎（1） 当x＞0时，0＜f（x）＜1；‎ ‎（2） f（x）在x∈R上是减函数.‎ 分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；‎ ‎（3） 受指数函数单调性的启发：‎ 由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，‎ 进而由x1＜x2，有＝f（x1－x2）＞1.‎ 练习题：‎ ‎1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（ ）‎ ‎（A）f（0）＝0 （B）f（0）＝1 ‎ ‎（C）f（0）＝0或1 （D）以上都不对 ‎2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（ ）‎ ‎（A）f（1）＝0 （B）f（）＝ f（x） ‎ ‎（C）f（）＝ f（x）－f（y） （D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）‎ ‎3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（ ）‎ ‎（A）（1，＋∞） （B）（－∞，1）‎ ‎（C）（0，1） （D）（－1，＋∞）‎ ‎4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有 f（x1－x2）＝，则f（x）为（ ）‎ ‎（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数 ‎（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数 ‎5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（ ）‎ ‎（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数 ‎（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数 参考答案：‎ ‎1．A 2．B 3 ．C 4．A 5．B ‎10. 如何求复合函数的定义域？‎ ‎ ‎ 义域是_____________。 ‎ 复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。‎ 例 若函数的定义域为，则的定义域为 。‎ 分析：由函数的定义域为可知：；所以中有。‎ 解：依题意知： ‎ ‎ 解之，得 ‎ ‎∴ 的定义域为 ‎11、函数值域的求法 ‎1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。‎ 例 求函数y=的值域 ‎2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。‎ 例、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。‎ ‎3、判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂 ‎4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。‎ 例 求函数y=值域。‎ ‎5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。‎ 例 求函数y=，，的值域。‎ ‎6、函数单调性法 ‎ 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=（2≤x≤10）的值域 ‎7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。‎ 例 求函数y=x+的值域。‎ ‎8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。‎ 例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，‎ ‎ ‎ 例求函数y=+的值域。‎ 解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣ ‎ 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。‎ 由上图可知：当点P在线段AB上时，‎ y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10‎ 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，‎ y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10‎ 故所求函数的值域为：[10，+∞）‎ 例求函数y=+ 的值域 解：原函数可变形为：y=+‎ ‎ ‎ 上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，‎ 由图可知当点P为线段与x轴的交点时， y=∣AB∣==，‎ 故所求函数的值域为[，+∞）。‎ 注：求两距离之和时，要将函数 ‎ ‎9 、不等式法 利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。‎ 例：‎ 倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数y=的值域