2008年北京市东城区中考数学一模试卷

2008年北京市东城区中考数学一模试卷

‎21 2008年北京市东城区中考数学一模试卷 第Ⅰ卷(机读卷 共32分)‎ 一、选择题(共8个小题，每小题4分，共32分)‎ 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．‎ ‎1．－2的倒数是( )‎ A．－2 B．‎2 ‎C． D．‎ ‎2．如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1＝110°，则∠2的度数为( )‎ 第2题图 A．50° B．70° C．90° D．110°‎ ‎3．‎2008年1月10日以来，我国南方大部分地区发生了五十年一遇的低温雨雪冰冻灾害，因灾直接经济损失151 650 000 000元．将151 650 000 000用科学记数法表示为( )‎ A．15.165×1010 B．15.165×1011‎ C．1.516 5×1011 D．0.15165×1012‎ ‎4．若，则xy的值为( )‎ A．－8 B．‎8 ‎C． D．‎ ‎5．我市某一周的最高气温统计情况如下表．‎ 最高气温(℃)‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ 天数 ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 则这组数据的中位数与众数分别是( )‎ A．27，28 B．27.5，28‎ C．28，27 D．26.5，27‎ ‎6．有9张相同的卡片，上面写有汉字：我、参、与、我、奉、献、我、快、乐．9张卡片任意搅乱后，一个人随机抽取一张，卡片上写有汉字“我”的概率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如图，⊙O的半径为‎2cm，过点O向直线l引垂线，垂足为A，OA的长为‎3cm，将直线l沿AO方向平移，使直线l与⊙O相切，那么平移的距离为( )‎ A．‎1cm B．‎‎3cm C．‎5cm D．‎1cm或‎5cm ‎ ‎ ‎ 第7题图 第8题图 ‎8．如图，MN是圆柱底面的直径，MP是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P有一条绕了四周的路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿MP剪开，所得的侧面展开图可以是( )‎ 第Ⅱ卷(非机读卷 共88分)‎ 二、填空题(共4个小题，每小题4分，共16分)‎ ‎9．在函数中，自变量x的取值范围是________．‎ ‎10．分解因式：2x2－4x＋2＝________．‎ ‎11．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠＝30°，则∠等于________．‎ 第11题图 ‎12．k是整数，已知关于x的一元二次方程kx2＋(2k－1)·x＋k－1＝0只有整数根，则k＝________．‎ 三、解答题(共13个小题，共72分)‎ ‎13．(5分)计算：．‎ ‎14．(5分)解方程：．‎ ‎15．(5分)已知x2－2＝0，求代数式x(x2－x)＋x2(6－x)＋3的值．‎ ‎16．(5分)已知：如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别是AB、BC延长线上的点，且BD＝CE．‎ 求证：DC＝AE．‎ 第16题图 ‎17．(5分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝4，．求梯形ABCD的周长．‎ 第17题图 ‎18．(5分)已知：反比例函数和一次函数y＝2x－1，其中一次函数的图象经过点(k，5)．‎ ‎(1)试求反比例函数的解析式；‎ ‎(2)若点A在第一象限，且同时在上述两函数的图象上，求点A的坐标．‎ ‎19．(5分)网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注．有关部门在全国范围内对12～35岁的网瘾人群进行了抽样调查．下图是用来表示在调查的样本中不同年龄段的网瘾人数的，其中30～35岁的网瘾人数占样本总人数的20％．‎ 第19题图 ‎(1)被抽样调查的样本总人数为________人．‎ ‎(2)请把统计图中缺失的数据、图形补充完整．‎ ‎(3)据报道，目前我国12～35岁网瘾人数约为200万人，那么其中18～23岁的网瘾人数约有多少人?‎ ‎20．(5分)2008年春节期间，某超市七天销售总额达120万元，项目分类及销售额如下表所示，表中缺失了日用品类及烟酒类的相关数据．已知烟酒类销售额是日用品类销售额的5倍，结合表中信息，求日用品类及烟酒类的销售额．‎ 项目分类 食品类 服装类 日用品类 烟酒类 销售额(万元)‎ ‎12‎ ‎36‎ ‎21．(5分)如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于E，AB＝2,AD＝6．‎ 第21题图 ‎(1)求证：△ABE∽△ADB．‎ ‎(2)延长DB到F，使BF＝BO，连结FA，求证：FA是⊙O的切线．‎ ‎22．(5发)如图，把一个正方形割去四分之一，将余下的部分分成3个全等的图形(图①)；将余下的部分分成4个全等的图形(图②)．仿照示例，请你将一个正三角形割去四分之一后余下的部分 ‎(1)分成3个全等的图形(在图③中画出示意图)．‎ ‎(2)分成4个全等的图形(在图④中画出示意图)．‎ ‎(3)你还能利用所得的4个全等的图形拼成一个平行四边形吗?若能，画出大致的示意图．‎ 第22题图 ‎23．(7分)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(1，0)和B(0，5)．‎ 第23题图 ‎(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标．‎ ‎(2)抛物线与x轴的另一交点为C，在直线CB上是否存在一点P，使四边形PDCO为梯形?若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎24．(7分)在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(50，0)，B(50，50)，C(0，50)．若正方形OABC的内部(边界及顶点除外)一格点P(“格点”是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点)满足S△POA·S△PBC＝S△PAB·S△POC，就称P为“好点”．‎ ‎(1)请你判断：P(20，15)是“好点”吗?‎ ‎(2)求出正方形OABC内部“好点”的个数．‎ ‎25．(8分)已知△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处．‎ ‎(1)如图①，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF的面积(直接写出结果)．‎ ‎(2)如图②，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F，设AE＝x，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．‎ ‎(3)若BD＝2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E．设CF＝x(x＞1)，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．‎ 第25题图 答 案 ‎21．2008年北京市东城区中考数学一模试卷 一、选择题 ‎1．C 2．B 3．C 4．B 5．A 6．D 7．D 8．A 二、填空题 ‎9．x≥－3 10．2(x－1)2 11．60° 12．±1‎ 三、解答题 ‎13．解：原式．‎ ‎14．解：去分母，得3(x＋1)＋2x(x－1)＝2(x－1)(x＋1)．‎ 去括号，得3x＋3＋2x2－2x＝2x2－2．解得x＝－5．经检验x＝－5是原方程的解．‎ ‎∴原方程的解是x＝－5．‎ ‎15．解：x(x2－x)＋x2(6－x)＋3＝x3－x2＋6x2－x3＋3＝5x2＋3．‎ ‎∴原式＝13．‎ ‎16．证明：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BC＝CA．‎ ‎∴∠DBC＝∠ECA＝180°－60°＝120°．‎ 在△DBC与△ECA中，‎ ‎∴△DBC≌△ECA．‎ ‎∴DC＝AE．‎ ‎17．解：过点A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为点E、F．‎ 在Rt△DCF中，∠DFC＝90°．‎ 由CD＝4，，‎ 得．‎ 在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB＝CD，‎ ‎∴∠B＝∠C 同理：BE＝1．‎ 易证四边形AEFD为矩形．‎ ‎∴EF＝AD＝4．∴BC＝6．‎ ‎∴梯形ABCD的周长为AD＋AB＋DC＋BC＝18．‎ 第17题答图 ‎18．解：(1)因为一次函数y＝2x－1的图象经过点(k，5)，∴5＝2k－1．‎ ‎∴k＝3．所以反比例函数的解析式为．‎ ‎(2)由题意得：解这个方程组得：或因为点A在第一象限，则x＞0，y＞0．‎ 所以点A的坐标为．‎ ‎19．(1)2400 (2)如图．‎ 第19题答图 ‎(3)解：(万人)，‎ ‎∴18～23岁的网瘾人数约有50万人．‎ ‎20．解：设日用品类的销售额为x万元，烟酒类的销售额为y万元．‎ 依题意得解得 故日用品类的销售额为12万元，烟酒类销售额为60万元．‎ ‎21．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠D．‎ 第21题答图 又∵∠BAE＝∠DAB，‎ ‎∴△ABE∽△ADB．‎ ‎(2)连结OA．‎ ‎∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°．‎ Rt△BAD中，．‎ ‎∴∠ADB＝30°，‎ ‎，，‎ ‎∴△ABO是等边三角形．∴∠ABO＝∠OAB＝60°．‎ 又可得∠BAF＝30°‎ ‎∴∠OAF＝∠OAB＋∠BAF＝90°．‎ ‎∴FA是⊙O的切线．‎ ‎22．(3)答案不唯一，如图③④⑤．‎ ‎(1) (2)‎ ‎ ‎ ‎③ ④ ⑤‎ 第22题答图 ‎23．解：(1)根据题意，得解得 ‎∴抛物线的解析式为y＝－x2－4x＋5，顶点D的坐标为(－2，9)．‎ ‎(2)由抛物线的解析式y＝－x2－4x＋5，可得C点的坐标为(－5，0)．∵B点的坐标为(0，5)，‎ ‎∴直线CB的解析式为y＝x＋5．‎ ‎①当OP∥CD，且OP≠CD时，四边形PDCO为梯形．‎ ‎∵直线CD的解析式为y＝3x＋15，OP∥CD，‎ ‎∴直线OP的解析式为y＝3x．‎ 根据题意，得解得∴点．‎ ‎，，．∴点即为所求．‎ ‎②当DP∥CO，且DP≠CO时，四边形PDCO为梯形．‎ 根据题意，得解得 ‎∴点P(4，9)．∵OC＝5，DP＝6，‎ ‎∴OC≠DP．∴点P(4，9)即为所求．‎ 综上所述，使四边形PDCO为梯形的点P的坐标分别是，P2(4，9)．‎ ‎24．解：(1)∵，‎ ‎，‎ ‎∴S△POA·S△PBC≠S△PAB·S△POC．‎ ‎∴P(20，15)不是“好点”．‎ ‎(2)设P(x，y)，其中x，y均为正整数，且0＜x＜50，0＜y＜50．‎ 由S△POA·S△PBC＝S△PAB·S△POC，‎ 得y(50－y)＝x(50－x)，即(x－y)(x＋y－50)＝0．‎ ‎∴x＝y或x＋y＝50．‎ 于是，点P在对角线OB或AC上．‎ 故满足条件的“好点”共有2×49－1＝97(个)．‎ ‎25．解：(1)．‎ ‎(2)过点D作DM⊥AB，垂足为点M，(3－x)(0≤x≤3)．‎ ‎(3)①如图①，连结AD，过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为M，N．‎ ‎∵AB＝AC＝3,∠BAC＝90°,‎ ‎∴BC＝3．‎ ‎∵BD＝2CD,‎ ‎∴BD＝2,CD＝．‎ 易得DN＝1，DM＝2，‎ 易证∠1＝∠2，‎ ‎∵∠DME＝∠DNF＝90°,‎ ‎∴△DME∽△DNF．．‎ ‎∴ME＝2(x－1)．‎ ‎∴AE＝2(x－1)＋1＝2x－1．‎ ‎．‎ ‎②如图②，过点D作AC的垂线，垂足为N，‎ ‎∵AB＝AC＝3,∠BAC＝90°,‎ ‎∴BC＝3．‎ ‎∵BD＝2CD,∴BD＝2,CD＝．‎ 易得DN＝1，‎ ‎．‎ 第25题答图①‎ 第25题答图②‎