北师大版九年级数学上册全册精品教案（共160页）

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第一章 特殊平行四边形 ‎1 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 ‎【知识与技能】‎ 理解菱形的概念，掌握菱形的性质.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法.‎ ‎【情感态度】‎ 培养学生主动探究的习惯、严密的思维意识和审美意识.‎ ‎【教学重点】‎ 理解并掌握菱形的性质.‎ ‎【教学难点】‎ 形成推理的能力.‎ 一、情境导入,初步认识 四人为一小组先在组内交流自己收集的有关菱形的图片，实物等，然后进行全班性交流.‎ 引入定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.‎ ‎【教学说明】认识菱形，感受菱形的生活价值.‎ 二、思考探究，获取新知 教师拿出平行四边形木框（可活动的），操作给学生看，让学生体会到：平移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱形也是平行四边形的特例，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质.‎ ‎【教学说明】通过教师的教具操作感受菱形的定义.‎ 如图：将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开.‎ 思考：1.这是一个什么样的图形呢？‎ ‎2.有几条对称轴？‎ ‎3.对称轴之间有什么位置关系？‎ 160‎ ‎4.菱形中有哪些相等的线段？‎ ‎【教学说明】充分地利用学具的制作，发现菱形所具有的性质，激发课堂学习的热情.‎ ‎【归纳结论】菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.见教材P3第1题.‎ ‎2.见教材P3例1 .‎ ‎3.如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（A）‎ A.15 B.‎ C.7.5 D.‎ ‎【教学说明】本题考查有一个角是60°的菱形的一条对角线等于菱形的边长.‎ ‎4.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC且交BC的延长线于点E.‎ 求证：DE=BE.‎ 分析：由四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，易得BD⊥AC，∠DBC=30°，又由DE∥AC，即可证得DE⊥BD，由30°所对的直角边等于斜边的一半，即可证得DE=BE.‎ 证明：‎ 方法一：如图，连接BD，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，‎ ‎∴BD⊥AC，∠DBC=30°，‎ ‎∵DE∥AC，‎ ‎∴DE⊥BD，即∠BDE=90°，‎ ‎∴DE=BE.‎ 方法二：‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，‎ ‎∴AD∥BC，AC=AD，‎ 160‎ ‎∵AC∥DE，‎ ‎∴四边形ACED是菱形，‎ ‎∴DE=CE=AC=AD，‎ 又四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AD=AB=BC=CD，‎ ‎∴BC=EC=DE，即C为BE的中点，‎ ‎∴DE=BC=BE.‎ ‎【教学说明】此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识.此题难度不大，注意数形结合思想的应用.‎ ‎5.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E.‎ ‎（1）求∠ABD的度数；‎ ‎（2）求线段BE的长.‎ 分析：（1）根据菱形的四条边都相等，又∠A=60°，得到△ABD是等边三角形，∠ABD是60°；‎ ‎（2）先求出OB的长和∠BOE的度数，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出.‎ 解：（1）在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，‎ ‎∴△ABD为等边三角形，‎ ‎∴∠ABD=60°；‎ ‎（2）由（1）可知BD=AB=4，‎ 又∵O为BD的中点，‎ ‎∴OB=2，‎ 又∵OE⊥AB，∠ABD=60°，‎ ‎∴∠BOE=30°，‎ ‎∴BE=1.‎ ‎【教学说明】本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握.‎ 学生自主完成，如有一定难度可相互交流，最后由教师总结.‎ 四、师生互动、课堂小结 160‎ 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作补充.‎ ‎1.布置作业:教材“习题1.1”中第1、2 题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 本节课中，重在探索菱形性质的过程，在操作活动和观察分析过程中发展学生的审美意识，进一步体会和理解说理的基本步骤，了解菱形的现实应用.‎ 第2课时 菱形的判定 ‎【知识与技能】‎ ‎1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；‎ ‎2.会用这些判定方法进行有关的论证和计算.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历探索菱形判定思想的过程，领会菱形的概念以及应用方法，发展学生主动探究的思想和说理的基本方法.‎ ‎【情感态度】‎ 培养良好的思维意识以及推理的能力，感悟其应用价值及培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.‎ ‎【教学重点】‎ 菱形的两个判定方法.‎ ‎【教学难点】‎ 判定方法的证明及运用.‎ 一、情境导入，初步认识 回顾：‎ ‎（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形. ‎ ‎（2）菱形的性质：‎ 性质1菱形的四条边都相等；‎ 性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角.‎ ‎（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件）‎ ‎【教学说明】通过对菱形的性质复习回顾，让学生养成勤复习的习惯.用以温故而知新.‎ 二、思考探究，获取新知 160‎ 活动1 ‎ 按下列步骤画出一个平行四边形：‎ ‎(1)画一条线段长AC=6cm；‎ ‎(2)取AC的中点O,再以点O为中点画另一条线段BD=8cm,且使BD⊥AC；‎ ‎(3)顺次连接A、B、C、D四点，得到平行四边形ABCD.‎ 猜猜你画的是什么四边形?‎ ‎【归纳结论】菱形的判定方法1： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.‎ 注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直.‎ ‎【教学说明】首先教师活动让学生观察，然后让学生自己动手亲自体验活动从而猜想出结论来.‎ 已知：在□ABCD中，AC⊥BD.‎ 求证：□ABCD是菱形.‎ 证明：‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形， AC ⊥ BD，‎ ‎∴□ABCD是菱形.‎ 活动2 ‎ 画一画：作一条线段AC，分别以A、C为圆心，以大于AC的一半为半径画弧，两弧分别交于B、D两点，依次连接A、B、C、D.‎ 思考：四边形ABCD是什么四边形？你能证明吗？‎ ‎【归纳结论】菱形的判定方法2：四条边相等的四边形是菱形.‎ ‎【教学说明】让学生亲自动手体验活动，猜想出结论来并进行证明.从而加深印象.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.见教材P6例2 .‎ ‎2.如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是菱形四边的中点，连结EG与FH交点于O，则图中的菱形共有（B）‎ A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 160‎ ‎3.下列说法正确的是（B）‎ A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D.对角线相等的四边形是菱形 ‎4.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD.‎ 求证：AD=CE；‎ 证明：∵MN是AC的垂直平分线.‎ ‎∴OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°，‎ ‎∵CE∥AB，‎ ‎∴∠DAO=∠ECO，‎ ‎∴△ADO≌△CEO，‎ ‎∴AD=CE.‎ ‎5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG是菱形；‎ 证明：∵CE平分∠ACB，EA⊥CA，EF⊥BC，‎ ‎∴AE=FE，‎ ‎∵∠ACE=∠ECF，‎ ‎∴△AEC≌△FEC，‎ ‎∴AC=FC，‎ 160‎ ‎∵CG=CG，‎ ‎∴△ACG≌△FCG，‎ ‎∴∠CAG =∠CFG =∠B，‎ ‎∴GF∥AE，‎ ‎∵AD⊥BC，EF⊥BC，‎ ‎∴AG∥EF，故四边形AGFE是平行四边形 又∵AG=GF（或AE=EF），‎ ‎∴平行四边形AGFE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.‎ ‎【教学说明】让学生先独立完成，然后将不会的问题各小组交流讨论得出结果.让学生从题目中找解题信息，从图形中找解决问题的突破口.‎ 四、师生互动、课堂小结 ‎1.师生共同回顾判定一个四边形是菱形的方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.‎ ‎2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.‎ ‎1.布置作业:教材“习题1.2”中第2、3题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 本节课让学生动手操作，不仅可以调动学生的积极性，而且通过动手做一做，然后再说一说的过程，巩固了菱形的判定.只有这样，才能使学生在今后的学习中有更严密的思维，使他们的抽象概括能力有更好的提升.‎ 第3课时 菱形的性质与判定的运用 ‎ ‎ ‎【知识与技能】‎ 能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化的思想.‎ ‎【情感态度】‎ 培养良好的探究意识以及推理能力，感悟其应用价值；培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.‎ ‎【教学重点】‎ 160‎ 利用菱形性质定理与判定定理解决一些相关问题.‎ ‎【教学难点】‎ 菱形性质的探究.‎ 一、情境导入，初步认识 活动： 如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使∠A成为菱形的一个内角吗？‎ ‎【教学说明】通过折纸活动激发学生的兴趣，同时对于菱形的相关判定方法也进行了巩固.‎ 二、思考探究，获取新知 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？‎ 拓展：若纸条的宽度是4cm，∠ABC=60°，你会求菱形的面积吗？你有几种不同的方法？与同学交流.‎ ‎【归纳结论】菱形面积的计算公式：①如图，S菱形ABCD=AB·DE，即菱形的面积等于底乘高；‎ ‎②S菱形ABCD=AC·BD，即菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.‎ ‎【教学说明】对菱形性质的归纳是学生对菱形特征的认识、是知识的一次升华，有助于培养学生的概括能力，突出教学重点.‎ 三、运用新知，深化理解 如图，在△ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB的重点.‎ ‎（1）求证：四边形BDEF是菱形；‎ 160‎ ‎（2）若AB=10cm，求菱形BDEF的周长.‎ 解：（1）证明：∵E、F分别是AC、AB的中点，‎ ‎∴EF=BC，EF∥CB.‎ 又∵D、E分别是BC、AC的中点，‎ ‎∴DE=AB，DE∥AB,‎ ‎∴四边形BDEF是平行四边形.‎ 又∵AB=BC，∴EF=DE，‎ ‎∴四边形BDEF是菱形.‎ ‎（2）∵F是AB的中点，∴BF=AB.‎ 又∵AB=10cm，‎ ‎∴BF=5cm.‎ ‎∵四边形BDEF是菱形，‎ ‎∴BD=DE=EF=BF，‎ ‎∴四边形BDEF的周长为4×5=20（cm）.‎ ‎【教学说明】菱形的性质与判定的综合应用，一般先证明四边形是菱形，再利用菱形的性质进行求解或证明，要注意两者的区别与联系.‎ 四、师生互动、课堂小结 通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.‎ ‎1.布置作业:教材“习题1.3”中第2、3、4题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 通过复习回顾菱形的性质和判定，唤醒学生的记忆，然后给学生设置好一个个有梯度的问题，调动学生的求知欲，树立勇于战胜自我的信念.‎ ‎2 矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 ‎【知识与技能】‎ 160‎ 了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质.‎ ‎【过程与方法】‎ 经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法.‎ ‎【情感态度】‎ 培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值.‎ ‎【教学重点】‎ 掌握矩形的性质，并学会应用.‎ ‎【教学难点】‎ 理解矩形的特殊性.‎ 一、情境导入，初步认识 将收集来的有关长方形的图片给学生观察，让学生进行感性认识，引入新课——矩形.‎ ‎【教学说明】让学生体会到数学来源于生活，找到数学的价值.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点并观察，它还是一个平行四边形吗？为什么？（演示拉动过程如图）‎ ‎2.再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形?‎ ‎【归纳结论】矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).让学生观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有性质.‎ 思考：矩形还具有哪些特殊的性质？为什么？‎ ‎【教学说明】采用观察、操作、交流、演绎的手法来解决重点突破难点.‎ ‎【归纳结论】‎ 矩形性质1 矩形的四个角都是直角.‎ 矩形性质2 矩形的对角线相等.‎ ‎3.矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？‎ ‎4.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，求AO与BD的数量关系.‎ 160‎ ‎【归纳结论】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.‎ ‎【教学说明】引导学生尽可能多地发现结论，养成善于观察的好习惯.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长.‎ 分析：因为矩形是特殊的平行四边形，它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知条件，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求.‎ 解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AC与BD相等且互相平分.‎ ‎∴OA=OB.‎ 又∠AOB=60°，‎ ‎∴△OAB是等边三角形.‎ ‎∴矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）.‎ ‎2.已知：如图，矩形 ABCD，AB长8cm ，对角线比AD长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.‎ 分析：因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法.‎ 解：（1）设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：x2+82=（x+4）2，解得x=6. 则 AD=6cm.‎ ‎（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE·DB＝ AD·AB，解得 AE＝ 4.8cm.‎ ‎3.已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC.求证：CE=EF.‎ 160‎ 分析：CE、EF分别是BC，AE线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形.‎ 证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠B=90°，且AD∥BC.‎ ‎∴∠1=∠2.‎ ‎∵DF⊥AE，‎ ‎∴∠AFD=90°. ‎ ‎∴∠B=∠AFD.‎ 又 AD=AE，‎ ‎∴△ABE≌△DFA（AAS）.‎ ‎∴AF=BE.‎ ‎∴EF=EC.‎ 此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC.‎ ‎【教学说明】给予学生足够的时间，让学生独立思考，小组合作，由不同学生表述自己的不同思路，展示不同的方法.使学生能做一题会一类，熟知矩形中的基本图形.‎ ‎4.若矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则矩形的周长为22或20 cm.‎ 解：本题需分两种情况解答.‎ 即矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm，或者矩形的角平分线分一边为3cm和4cm.‎ 当矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×4=22cm；‎ 当矩形的角平分线分一边为3cm和4cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×3=20cm.‎ ‎【教学说明】本题考查的是矩形的基本性质，学生需要注意的是分两种情况作答即可.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎1.师生共同回顾矩形的性质.‎ ‎2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.‎ ‎1.布置作业：教材“习题1.4”中第2、3题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 本节课以“平行四边形变形为矩形的过程”的演示引入课题，将学生的视线集中在数学图形上，思维集中在数学思考上，更好地突出了观察的对象，使学生更容易把握问题的本质，真实、自然、和谐，体现了数学学习的内在需要，加强了学生对知识之间的理解和把握.‎ 160‎ 第2课时 矩形的判定 ‎【知识与技能】‎ ‎1.理解并掌握矩形的判定方法.‎ ‎2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历探索矩形判定的过程，发展学生实验探索的意识；形成几何分析思路和方法.‎ ‎【情感态度】‎ 培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自于实践的需要.‎ ‎【教学重点】‎ 理解并掌握矩形的判定方法及其证明，掌握判定的应用.‎ ‎【教学难点】‎ 定理的证明方法及运用.‎ 一、情境导入，初步认识 事例引入：小华想做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框吗？看看谁的方法可行？‎ ‎【教学说明】事例引入，激发学生的兴趣.‎ 二、思考探究，获取新知 动手操作，拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点.‎ 思考：1.随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？‎ ‎2.当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗？‎ ‎【教学说明】让学生动脑思考，动手操作.为下面的学习做准备.‎ ‎【归纳结论】对角线相等的平行四边形是矩形.‎ 证明：（见教材P14例题）‎ 矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流.‎ ‎【归纳结论】有三个角是直角的四边形是矩形.‎ ‎【教学说明】培养学生的归纳总结能力，同时也训练了学生的语 160‎ 言表达能力和分析问题的能力.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1. 对角线相等 的平行四边形是矩形.‎ ‎ 有三个角是直角 的四边形是矩形.‎ 解析：矩形的判定定理有：‎ ‎（1）对角线相等的平行四边形是矩形；‎ ‎（2）有三个角是直角的四边形是矩形.‎ ‎2.下列说法正确的是（ D ）‎ A.一组对边平行且相等的四边形是矩形 B.一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D.一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 解析：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A错误；B、一组对边平行且相等并有一个角是直角的四边形是矩形，故B错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”），故C错误；D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D正确.‎ ‎【教学说明】让学生口答第1、2道题，训练学生的语言表达能力.‎ ‎3.如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，试说明四边形EFGH是矩形.‎ 解：∵∠HAB+∠HBA=90°.‎ ‎∴∠H=90°.‎ 同理可求得 ‎∠HEF=∠F=∠FGH=90°‎ ‎∴四边形EFGH是矩形.‎ ‎【教学说明】在黑板上展示第3题，有多种证明方法的题目学生口答展示，教师予以总结.既训练了学生的语言表达能力，也训练了学生的书写能力和分析问题的能力.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎1.师生共同回顾矩形有哪些判定定理？‎ ‎2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.‎ 160‎ ‎1.布置作业：教材“习题1.5”中第2、3题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 本节课用逻辑推理的方法对以前曾用直观感知、操作说明得到的矩形判定进行的重新研究，让学生充分感受到逻辑推理是研究几何的重要方法.尽可能地提供多种机会让学生自己去理解、感悟、体验，从而提高学生的数学认识，激发学生的数学情感，促进学生数学水平的提高.‎ 第3课时 矩形的性质与判定的运用 ‎【知识与技能】‎ 熟练运用矩形的性质和判定定理进行相关的计算和证明.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历从性质到判定的转化过程，合理、准确地运用已有的知识进行推导、证明，体会数学知识之间的联系和区别.‎ ‎【情感态度】‎ 通过严谨的推理，强化学生的规范意识.‎ ‎【教学重点】‎ 灵活运用矩形的性质和判定定理进行相关的计算和证明.‎ ‎【教学难点】‎ 利用矩形的相关性质构造新的图形，进而对知识进行转化.‎ 一、情境导入，初步认识 如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长.‎ ‎【教学说明】通过例题感受知识的应用的同时体会知识之间的联系及转化，并通过规范的步骤强调教学推理的严谨性.‎ 160‎ 二、思考探究，获取新知 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形.‎ ‎【思考】在上例中，连接DE，交AC于点F. ‎ ‎（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论；‎ ‎（2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.‎ ‎【教学说明】让学生感受矩形与等腰三角形之间的联系，感受知识转化在解决问题中的作用.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.见教材P16~P17例3.‎ ‎2.如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，过点O的直线EF分别交AB、CD于点E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（ B ）‎ ‎3.（一题多解）如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC，CD⊥ AB于D，P为BC上的一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F，则有PE+PF=CD，你能说明为什么吗？‎ 解：解法一：能.如图所示，过P点作PH⊥DC，垂足为H.‎ 可得四边形PHDE是矩形，‎ ‎∴PE=DH，PH∥BD ‎∴∠HPC=∠B又 ‎ ‎∵AB=AC ‎∴∠B=∠ACB 160‎ ‎∴∠HPC=∠FCP.‎ 又∵PC=CP，∠PHC=∠CFP=90°‎ ‎∴△PHC≌△CFP ‎∴PF=HC ‎∴DH+HC=PE+PF 即：DC=PE+PF.‎ 解法二：能.如图，延长EP，过C点作CH⊥EP，垂足为点H，如图所示，‎ 可得四边形HEDC是矩形，‎ ‎∴EH=PE+PH=DC，CH∥AB ‎∴∠HCP=∠B.‎ ‎∴△PHC≌△PFC ‎∴PH=PF ‎∴PE+PF=DC.‎ ‎【教学说明】通过应用性的练习，巩固基础知识的同时，感受知识的综合运用在解题过程中的重要性，使所学知识进行深化.‎ 四、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.‎ ‎1.布置作业：教材“习题1.6”中第1、2、3题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 本节课在复习前一节课内容的基础上利用矩形的性质和判定解决具体问题，在例题的选择和设计上，追寻知识向能力的转化，让学生主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，同时训练学生清晰、有条理地表达自己的思考过程，从而培养学生的推理能力和分析问题的能力.‎ ‎3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 160‎ ‎【知识与技能】‎ 使学生掌握正方形的概念，知道正方形具有矩形和菱形的一切性质，并会用它们进行有关的论证和计算.‎ ‎【过程与方法】‎ ‎ 学会用正方形的性质解决一些问题，进一步发展学生的推理能力，促进其逐步掌握说理的基本方法.‎ ‎【情感态度】‎ ‎ 通过分析正方形的概念、性质与矩形、菱形的概念、性质的联系和区别，对学生进行辩证唯物主义教育.‎ ‎【教学重点】‎ 正方形的性质.‎ ‎【教学难点】‎ 正方形的性质.‎ 一、情境导入，初步认识 ‎1.在我们的生活中除了平行四边形、矩形、菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？‎ ‎2.展示正方形图片，学生观察它们有什么共同特征？‎ ‎【教学说明】学生回答后，再展示图片，使学生感受到生活中到处存在数学，激发学习热情.‎ ‎【归纳结论】有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.做一做：用一张长方形的纸片折出一个正方形.‎ ‎2.观察：这个正方形具有哪些性质？‎ ‎【教学说明】让学生在动手操作中对正方形产生感性认识.‎ ‎【归纳结论】正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等且互相垂直平分.‎ ‎3.议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地说明吗？‎ ‎【教学说明】小组交流，引导学生从角、对角线的角度归纳总结.使学生感受变化过程，更清晰地了解各四边形之间的联系与区别.‎ 160‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.见教材P21例1 .‎ ‎2.如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中互相全等的三角形的对数为（ ）‎ A.12 B.13 C.26 D.30‎ 解析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏.设AB=3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；斜边长为的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对.故选C.‎ ‎3.已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为 （1，0） 和 （1，1） .（只写一组）‎ 解析：首先根据正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D的坐标.∵正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），∴AD∥x轴，CD∥y轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，分别为：C（1，0），D（1，1）.‎ ‎4.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，求∠EAF度数.‎ 分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF=∠GAF，再证明△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE，所以可得∠EAF=45°.‎ 解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，‎ ‎∵AB=AG，AF=AF，∠B=∠G=90°，‎ ‎∴△ABF≌△AGF（HL），‎ ‎∴∠BAF=∠GAF，‎ 同理易得：△AGE≌△ADE，‎ 有∠GAE=∠DAE；‎ 即∠EAF=∠EAG+∠FAG 160‎ ‎=（∠DAG+ ∠BAG）‎ ‎=∠DAB=45°，‎ 故∠EAF=45°‎ ‎【教学说明】主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定.‎ ‎5.如图，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°.‎ ‎（1）求证：DF+BE=EF；‎ ‎（2）求∠EFC的度数.‎ 分析：（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG.利用正方形的性质，证明△AGE≌△AFE，△FAE≌△GAE，得出DF+BE=EF；‎ ‎（2）根据△AGE≌△AFE及角之间的关系从而求得∠EFC的度数；‎ 解：（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，‎ ‎∵BG=DF，‎ ‎∴△ABG≌△ADF，‎ ‎∴AG=AF，‎ ‎∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，‎ ‎∴∠FAE=∠GAE=45°，‎ ‎∵AE=AE，‎ ‎∴△FAE≌△GAE，‎ ‎∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；‎ ‎（2）∵△AGE≌△AFE，‎ ‎∴∠AFE=∠AGE=∠DFA=90°-∠DAF=75°，‎ 160‎ ‎∴∠EFC=180°-∠DFA-∠AFE=180°-75°-75°=30°，‎ ‎∴∠EFC=30°.‎ ‎【教学说明】学生独立完成以培养学生的独立意识.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎1.师生共同回顾正方形有哪些性质？‎ ‎2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.‎ ‎1.布置作业:教材“习题1.7”中第2 、3题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 本课虽然是学习正方形的性质，实际上应起到对平行四边形、矩形、菱形性质的复习、归纳和总结的作用，培养学生的发散思维能力.‎ 第2课时 正方形的判定 ‎【知识与技能】‎ ‎1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算.‎ ‎2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历探索正方形有关性质、判定重要条件的过程.在观察中寻求新知，在探索中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法.‎ ‎【情感态度】‎ 通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力.‎ ‎【教学重点】‎ 正方形的判定方法.‎ ‎【教学难点】‎ 正方形的判定方法.‎ 一、情境导入，初步认识 宁宁在商场 160‎ 看中了一块方形纱巾，但不知是否是正方形，只见销售员阿姨拉起纱巾的一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，只见另一组对角也能完全重合，认为是正方形，把纱巾给了宁宁.你认为手上的纱巾一定是正方形吗？‎ ‎【教学说明】采用情境引入，使学生主动的联想、想象、积极地发散思维，也体现了数学建模思想.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.引导学生把实际问题转化为数学问题.“对折两次，能够完全重合”实际上告诉了我们什么？小组讨论说一说.‎ ‎2.汇报讨论结果，统一结果.对折两次可以得出四边相等，也可以得出对角线垂直平分，即纱巾的两条对角线是对称轴，即只能保证纱巾是菱形.‎ ‎【教学说明】学生自己动手用纸代替纱巾折一折，鼓励学生说出自己的结论和想法.‎ 思考：由矩形变为正方形还需要哪些条件？ 由菱形变为正方形还需要哪些条件？‎ ‎【教学说明】引导学生独立思考，得到正方形所需要的条件.‎ ‎【归纳结论】对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形叫做正方形.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.见教材P23例2 .‎ ‎2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（D）‎ A.当AB=BC时，它是菱形 B.当AC⊥BD时，它是菱形 C.当∠ABC=90°时，它是矩形 D.当AC=BD时，它是正方形 解析：A、正确，一组邻边相等的平行四边形是菱形；B、正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C、正确，有一个角为90°的平行四边形是矩形；D、不正确，对角线相等的平行四边形是矩形而不是正方形.故选D.‎ ‎3.用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（A）‎ A.（1）（2）（5） B.（2）（3）（5）‎ C.（1）（4）（5） D.（1）（2）（3）‎ 解析：两个全等的直角三角形直角边重合拼成的四边形一定是平行四边形；直角边重合拼成的三角形一定是等腰三角形；斜边重合拼成的四边形一定是矩形.‎ 160‎ ‎【教学说明】本题考查学生的动手能力，有些题只要学生动手就能很快解决，注意题目的要求有“一定”二字.‎ ‎4.已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F.且BF=CE ‎（1）求证：△ABC是等腰三角形；‎ ‎（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论.‎ 分析：先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE，从而得到∠B=∠C，即△ABC是等腰三角形；‎ 由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形.‎ ‎（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，‎ ‎∴∠BFD=∠CED=90°，‎ 又∵BD=CD，BF=CE，‎ ‎∴Rt△BDF≌Rt△CDE，‎ ‎∴∠B=∠C.‎ 故△ABC是等腰三角形；‎ ‎（2）解：四边形AFDE是正方形.‎ 证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，‎ ‎∴四边形AFDE是矩形，‎ 又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，‎ ‎∴DF=DE，‎ ‎∴矩形AFDE是正方形.‎ ‎5.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形.‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是菱形；‎ ‎（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形.‎ 分析：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由题意易得△AOE≌△COE，∴∠AOE=∠COE=90°，∴BE⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；‎ ‎（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形.由题意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=2∠DAO=90°，∴四边形ABCD是正方形.‎ 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ 160‎ ‎∴AO=CO.‎ ‎∵△ACE是等边三角形，‎ ‎∴EO⊥AC（三线合一）‎ ‎∴四边形ABCD是菱形.‎ ‎（2）从上易得：△AOE是直角三角形，‎ ‎∴∠AED+∠EAO=90°‎ ‎∵△ACE是等边三角形，‎ ‎∴∠EAO=60°，‎ ‎∴∠AED=30°‎ ‎∵∠AED=2∠EAD ‎∴∠EAD=15°，‎ ‎∴∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴∠BAD=2∠DAO=90°‎ ‎∴平行四边形ABCD是正方形.‎ ‎【教学说明】学生先独立完成，然后将不会的问题各小组交流讨论得出结果.既达到巩固新知识的目的又能让学生意识到数学知识的应用是非常容易的.养成学以致用的好习惯.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎1.师生共同回顾正方形有哪些判定定理？‎ ‎2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.‎ ‎1.布置作业：教材“习题1.8”中第3 、4题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 前边已经学习了平行四边形、矩形、菱形的判定方法，正方形的判定是平行四边形、矩形、菱形的判定的综合.可以通过本节的学习总结、归纳前面所学内容，理清学习中存在的一些模糊概念，有助于我们发展演绎推理能力.‎ 第一章 特殊平行四边形 ‎【知识与技能】‎ 160‎ 熟练掌握平行四边形的定义，平行四边形的性质及判定定理，并运用它们进行有关的证明和计算.‎ ‎【过程与方法】‎ 引导学生通过练习回忆已学过的知识，提高逻辑思维能力、推理能力和归纳概括能力，训练思维的灵活性，领悟数学思想.‎ ‎【情感态度】‎ 在整理知识点的过程中发展学生的独立思考习惯，让学生感受成功，并找到解决平行四边形问题的一般方法.‎ ‎【教学重点】‎ 使学生能熟练地运用平行四边形的性质、判定定理.‎ ‎【教学难点】‎ 构造平行四边形解决问题.‎ 一、知识结构 二、释疑解惑，加深理解 ‎1.菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直.‎ ‎2.菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形.‎ ‎3.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.‎ ‎4.矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形.‎ ‎5.正方形的性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等；正方形的对角线相等且互相垂直平分.‎ ‎6.正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形叫做正方形.‎ ‎【教学说明】让学生对知识进行回忆，进一步体会特殊平行四边形的性质、判定.‎ 三、典例精析，复习新知 ‎1.矩形的一条较短边的长为5cm，两条对角线的夹角为60°，则它的对角线的长等于 10 cm.‎ ‎2.已知菱形的锐角是60°，边长是20cm，则较长的对角线是cm.‎ ‎3.如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE为等边三角形，那么∠DCE=15度.‎ 160‎ ‎4.如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个大小完全一样的小矩形，则矩形ABCD的面积为（C）‎ A.98 B.196‎ C.280 D.248‎ 解析：设小矩形的长、宽分别为x、y，根据周长为68的矩形ABCD，可以列出方程3x+y=34；根据图示可以列出方程2x=5y，联立两个方程组成方程组，解方程组就可以求出矩形ABCD的面积.设小矩形的长、宽分别为x、y，‎ 依题意得 解之得 ‎∴则矩形ABCD的面积为7×10×4=280.‎ 故选C.‎ ‎5.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AP∥BD，DP∥AC，AP、DP相交于点P，则四边形AODP是什么样的特殊四边形，并说明你的理由.‎ 分析：由AP∥BD，DP∥AC先判断四边形AODP是平行四边形，再由AO=DO判断四边形AODP为菱形.‎ 解：四边形AODP是菱形，理由如下：‎ ‎∵AP∥BD，DP∥AC，‎ ‎∴四边形AODP是平行四边形.‎ 又∵矩形的对角线互相平分，‎ 得AO=DO，‎ 由菱形的判定得四边形AODP为菱形.‎ 160‎ ‎6.如图所示，有两条笔直的公路BD和EF（宽度不计），从一块矩形的土地ABCD中穿过，已知EF是BD的垂直平分线，BD=40米，EF=30米，求四边形BEDF的面积.‎ 分析：连接DE、BF，因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，进而求证DF=BE，再求证FD=FB，即可判定四边形BFDE是菱形，根据菱形面积计算公式即可计算菱形BFDE的面积.‎ 解：如图，连接DE、BF，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠ODF=∠OBE，‎ 由EF垂直平分BD，‎ 得OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，‎ 又BE∥DF，∴∠FDO=∠OBE，‎ ‎∴△DOF≌△BOE，‎ ‎∴DF=BE，‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形，‎ 又∵EF是BD的垂直平分线，‎ ‎∴FD=FB，因此四边形BFDE是菱形，‎ ‎∴S菱形BFDE=EF·BD ‎=×30×40=600（米2）.‎ ‎7.如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，求这个矩形色块图的面积.‎ 分析：因为矩形内都是正方形，正方形的各边长相等，又有中间小正方形的边长为1，可利用边长之间的关系建立等式.‎ 解：由图可知DF-AE=1，AE=BE+1，2CF-DF=1，‎ 即DF=AE+1，AE=CF+1+1，DF=CF+3，‎ 故2CF-CF-3=1，解得CF=4，‎ ‎∴BE=5，AE=6，‎ 160‎ ‎∴AB=11，BC=13，S=AB·BC=11×13=143.‎ ‎【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展.‎ 四、复习训练，巩固提高 ‎1.已知：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB=3∶1，则∠ACE=45度.‎ 解析：根据矩形的性质首先求出∠DCE，∠ECB的度数.然后利用三角形内角和定理求解即可.‎ ‎2.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E= 22.5 度. ‎ 解析：由于正方形的对角线平分一组对角，那么∠ACB=45°，即∠ACE=135°，在等腰△CAE中，已知顶角的度数，即可由三角形内角和定理求得∠E的度数.‎ ‎3.如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由.‎ ‎（1）四边形ADEF是什么四边形；‎ ‎（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形.‎ 分析：（1）四边形ADEF是平行四边形.根据△ABD，△EBC都是等边三角形，容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC≌△FEC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF是平行四边形.‎ ‎（2）若平行四边形ADEF是矩形，则∠DAE=90°，然后根据已知可以得到∠BAC=150°.‎ 解：（1）四边形ADEF是平行四边形.‎ 理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形.‎ ‎∴AD=BD=AB，BC=BE=EC ‎∠DBA=∠EBC=60°‎ 160‎ ‎∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA.‎ ‎∴∠DBE=∠ABC.‎ 在△DBE和△ABC中 ‎∴△DBE≌△ABC.‎ ‎∴DE=AC.‎ 又∵△ACF是等边三角形，‎ ‎∴AC=AF.‎ ‎∴DE=AF.‎ 同理可证：AD=EF，‎ ‎∴四边形ADEF是平行四边形.‎ ‎（2）若四边形ADEF是矩形，‎ 则∠FAD=90°，‎ ‎∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°.‎ ‎∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形.‎ ‎【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题各小组交流讨论得出结果.养成学以致用的好习惯.‎ 五、师生互动，课堂小结 先小组内交流本节课的收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结.教师进行补充.‎ ‎【教学说明】归纳平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，体验事物之间的联系与区别.‎ 布置作业:教材“复习题”中第5、8、12题.‎ 通过本节课的复习，归纳矩形、菱形、正方形的性质和判定，使学生体验事物之间的联系与区别.从而加强对新知识的理解与应用.‎ 第二章 一元二次方程 ‎1 认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程的定义 160‎ ‎【知识与技能】‎ 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识.‎ ‎【过程与方法】‎ 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系.‎ ‎【情感态度】‎ 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.‎ ‎【教学重点】‎ 一元二次方程的概念.‎ ‎【教学难点】‎ 如何把实际问题转化为数学方程.‎ 一、情境导入,初步认识 问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？‎ 问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？‎ 你能设出未知数，列出相应的方程吗？‎ ‎【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫.‎ 二、思考探究，获取新知 你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？‎ ‎（1）(100-2x)(50-2x)＝3600‎ ‎（2）（x+6）2+72=102‎ ‎【教学说明】‎ 分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2.‎ ‎【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程；‎ 160‎ 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0） ‎ 这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.‎ 活动中教师应重点关注：‎ ‎(1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点；‎ ‎(2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义；‎ ‎(3)强调定义中体现的3个特征：‎ ‎ ①整式；②一元；③2次.‎ ‎【教学说明】‎ 让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.下列方程是一元二次方程的有_______.‎ ‎（1）x2+1/x-5=0 （2）x2-3xy+7=0‎ ‎（3）x+ =4 （4）m3-2m+3=0‎ ‎（5）x2-5=0 （6）ax2-bx=4‎ 解答：（5）‎ ‎2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程.‎ 解析：当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠-2时，方程是一元二次方程.‎ 解答：m=-2 m≠-2‎ ‎3.一元二次方程（x+1）2-x=3（x2-2）化成一般形式是_______.‎ 解析：一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0），对照一般形式可先去括号，再移项，合并同类项，得2x2-x-7=0.‎ 解答：2x2－x－7=0‎ ‎4.把方程-5x2+6x+3=0的二次项系数化为1，方程可变为（ ）‎ A.x2+6/5x+3/5=0 B.x2-6x-3=0‎ C.x2-6/5x-3/5=0 D.x2-6/5x+3/5=0‎ 解析：注意方程两边除以-5，另两项的符号同时发生变化.‎ 解答：C ‎5.已知（m+3）x2-3mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是_______.‎ 160‎ 解答：m≠-3 ‎ ‎6.把方程(1-3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项. ‎ 解：原方程化为一般形式是：5x2+8x-2=0，其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是-2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的符号).‎ ‎7.关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m应满足什么条件？ ‎ 分析：先把这个方程化为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.‎ 解：由mx2-3x=x2-mx+2得到（m-1）x2+（m-3）x-2=0,所以m-1≠0，即m≠1.所以关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m应满足m≠1. ‎ ‎【教学说明】这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中3个特征的理解，进一步巩固学生对一元二次方程的基本概念的理解.‎ 四、师生互动、课堂小结 本节课你学到了哪些内容和方法？‎ ‎【教学说明】小结反思中，不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，为每个学生创造数学活动中获得活动经验的机会.‎ ‎1.布置作业：教材“习题2.1”中第1、2题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 本节课是一元二次方程的第一课时，通过对本节课的学习，学生将掌握一元二次方程的定义、一般形式及有关概念，并学会利用方程解决实际问题.在教学过程中，注重重难点的体现.本节课内容对于学生整个中学阶段的数学学习有着重大的意义，能否学好关系到日后学习的成败，因此必须要让学生吃透内容并且能够真正消化.‎ 第2课时 一元二次方程的根及近似解 ‎【知识与技能】‎ 会进行简单的一元二次方程的试解.‎ ‎【过程与方法】‎ 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目.‎ ‎【情感态度】‎ 160‎ 理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力.‎ ‎【教学重点】‎ 判定一个数是否是方程的根.‎ ‎【教学难点】‎ 会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义.‎ 一、情境导入，初步认识 学生活动：请同学独立完成下列问题.‎ 问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？‎ 设梯子底端距墙为xm，那么，‎ 根据题意，可得方程为x2+82=102.‎ 整理，得x2-36=0.‎ 列表：‎ 问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？‎ 设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m.‎ 根据题意，得x（x+2）=120.‎ 整理，得x2+2x-120=0.‎ 列表：‎ ‎【教学说明】通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围.‎ 二、思考探究，获取新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？‎ ‎（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？‎ 老师点评：（1）问题1中x=6是x2-36=0的解；问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解.‎ ‎（2）如果抛开实际问题，问题1中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解.‎ 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的情况区 160‎ 别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根.‎ 回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是-6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也不满足题意.‎ ‎【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？‎ ‎ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.‎ 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把它代入等式，看它是否能使等式两边相等即可.‎ 解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.‎ ‎2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2014(a+b+c)的值.‎ 分析:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这一点同学们要深刻理解.‎ ‎3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？‎ ‎（1）x2-64=0（2）3x2-6=0‎ ‎（3）x2-3x=0‎ 分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义来求解.‎ ‎4.x（x-1）=2的两根为（D）‎ A.x1=0，x2=1 B.x1=0，x2=-1‎ C.x1=1，x2=2 D.x1=-1，x2=2‎ ‎5.方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（B）‎ A.x1=b，x2=a B.x1=b，x2=1/a C.x1=a，x2=1/a D.x1=a2，x2=b2‎ ‎6.如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1= 9 ，x2= -9 .‎ ‎7.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值.‎ 解：由已知，得a+b=-3，‎ 原式=（a+b）2‎ ‎=（-3）2‎ ‎=9‎ ‎8.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠‎ 160‎ ‎0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根.‎ 解：由题意可知：‎ a+c=b，a-b+c=0，‎ 把x=-1代入原方程，得 ax2+bx+c ‎=a×（-1）2+b×（-1）+c ‎=a-b+c ‎=0‎ ‎∴-1必是该方程的一个根.‎ ‎9.在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（）2-2×+1=0，令=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法）解决小明给出的问题：求（x2-1）2+（x2-1）=0的根.‎ 解：设y=x2-1，则y2+y=0，y1=0，y2=-1，‎ 当x2-1=0时，x1=1，x2=-1；‎ 当x2-1=-1时，x3=x4=0.‎ ‎∴x1=1，x2=-1，x3=x4=0是原方程的根.‎ ‎【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题同各小组交流讨论得出结果.‎ 四、师生互动，课堂小结 本节课应掌握：‎ ‎1.一元二次方程根的概念；‎ ‎2.一个数是否是一元二次方程的根的判断方法；‎ ‎3.求一元二次方程的根的方法.‎ ‎1.布置作业：教材“习题2.2”第1、2题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 本节课通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围，从而会进行简单的一元二次方程的解的计算.‎ ‎2 用配方法求解一元二次方程 160‎ ‎【知识与技能】‎ 理解配方法的意义，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.‎ ‎【情感态度】‎ 学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣.‎ ‎【教学重点】‎ 运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.‎ ‎【教学难点】‎ 了解并掌握用配方求解一元二次方程.‎ 一、情境导入,初步认识 ‎1.根据完全平方公式填空：‎ ‎（1）x2+6x+9=（ ）2‎ ‎（2）x2-8x+16=（ ）2‎ ‎（3）x2+10x+（ ）2=（ ）2‎ ‎（4）x2-3x+（ ）2=（ ）2‎ ‎2.解下列方程：‎ ‎（1）（x+3）2=25；‎ ‎（2）12（x-2）2-9=0.‎ ‎3.你会解方程x2+6x-16=0吗？你会将它变成（x+m）2=n（n为非负数）的形式吗？试试看，如果是方程2x2+1=3x呢？‎ ‎【教学说明】利用完全平方知识填空，为后面学习打下基础.‎ 二、思考探究，获取新知 思考：怎样解方程x2+6x-16=0？‎ x2+6x-16=0‎ 移项：x2+6x=16‎ 两边都加上9,即，使左边配成 x2+2bx+b2的形式：x2+6x+9，右边为：16+9；‎ 写成平方形式：（x+3）2=25‎ 160‎ 降次：x+3=±5‎ 解一次方程：x+3=5，x+3=-5，‎ ‎∴x1=2，x2=-8‎ ‎【教学说明】通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能逆向转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将x2+px+q=0形式转化为（x+m）2=n（n≥0）的形式.‎ ‎【归纳结论】通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种方法称为配方法.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.解方程（注：学生练习，教师巡视，适当辅导）.‎ ‎（1）x2-10x+24=0； ‎ ‎（2）(2x-1)(x+3)=5； ‎ ‎（3）3x2-6x+4=0.‎ 解：（1）移项，得x2-10x=-24‎ 配方，得x2-10x+25=-24+25，‎ 由此可得(x-5)2=1，‎ x-5=±1，‎ ‎∴x1=6，x2=4‎ ‎（2）整理，得2x2+5x-8=0.‎ 移项，得2x2+5x=8‎ 二次项系数化为1得x2+x=4‎ 配方，得 x2+x+（）2=4+（）2‎ 由此可得（x+）2=‎ x+=‎ ‎∴x1=， x2=‎ ‎（3）移项，得3x2-6x=-4‎ 二次项系数化为1，得x2-2x=‎ 配方，得x2-2x+12=+12‎ 160‎ ‎(x-1)2= ‎ 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式不成立，即原方程无实数根.‎ ‎2.用配方法将下列各式化为a（x+h）2+k的形式.‎ ‎（1）-3x2-6x+1；‎ ‎（2）y2+y-2；‎ ‎（3）0.4x-0.8x-1.‎ ‎【教学说明】化二次三项式ax2+bx+c(a≠0)为a(x+h)2+k形式分以下几个步骤：‎ ‎（1）提取二次项系数使括号内的二次项系数为1；‎ ‎（2）配方：在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去一次项系数一半的平方；‎ ‎（3）化简、整理.‎ 本题既让学生巩固配方法，又为后面学习二次函数打下基础.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎1.本节课学习的数学知识是用配方法解一元二次方程；‎ ‎2.本节课学习的数学方法是：①转化思想，②根据实际问题建立数学模型；‎ ‎3.用配方法求解一元二次方程的一般步骤是什么？‎ ‎(1)把二次项系数化为1，方程的两边同时除以二次项系数；‎ ‎(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；‎ ‎(3)配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x+h)2=k的形式；‎ ‎(4)用直接开平方法解变形后的方程.‎ 160‎ ‎【教学说明】使学生在直观的基础上学习归纳，促进学生形成科学的、系统的数学知识体系.‎ ‎1.布置作业：教材“习题2.4”中第1题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 在教学过程中，由简单到复杂，由特殊到一般的原则，采用了观察对比，合作探究等不同的学习方式，充分发挥学生的主体作用，让学生主动探究并发现结论，教师做学生学习的引导者、合作者、促进者，要适时鼓励学生，实现师生互动.同时，我认识到教师不仅仅要教给学生知识，更要在教学中渗透数学中的思想方法，培养学生良好的数学素养和学习能力，让学生学会学习.‎ ‎3 用公式法求解一元二次方程 ‎【知识与技能】‎ ‎1.理解求根公式的推导过程和判别公式.‎ ‎2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想.‎ ‎【情感态度】‎ 让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感.‎ ‎【教学重点】‎ 求根公式的推导和公式法的应用.‎ ‎【教学难点】‎ 理解求根公式的推导过程及判别公式的应用.‎ 一、情境导入,初步认识 用配方法解方程：‎ ‎（1）x2+3x+2=0‎ ‎（2）2x2-3x+5=0‎ ‎【教学说明】学生板演，复习旧知.‎ 160‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.探究：用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0）.‎ 分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成具体数字，根据配方法的解题步骤推下去.‎ 解：移项，得：ax2+bx=-c 因为a≠0，所以方程两边同除以a，得：‎ x2+x=‎ 配方，得：x2+x+（）2=+（）2‎ 即（x+）2=‎ ‎∵a≠0，∴4a2>0，当 b2-4ac≥0时，≥0‎ ‎∴x+= 即x=‎ ‎∴x1=，x2=‎ ‎【归纳总结】由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：‎ ‎（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=（b2-4ac≥0），‎ 就可求出方程的根；‎ ‎（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式；‎ ‎（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；‎ ‎（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.‎ 用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：（1）将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错；（2）式子b2-4ac≥0是公式的一部分.‎ ‎【教学说明】让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 能否用配方法求出它的解，通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式.‎ ‎2.用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？‎ ‎（1）2x2-3x=0；‎ ‎（2）3x2-2x+1=0；‎ 160‎ ‎（3）4x2+x+1=0.‎ ‎【归纳总结】（1）当Δ=b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，即x1=，x2=；‎ ‎（2）当Δ=b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=-；‎ ‎（3）当Δ=b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.‎ ‎【教学说明】进一步体会一元二次方程的根与b2-4ac的关系.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.用公式法解下列方程.‎ ‎（1）2x2-x-1=0；‎ ‎（2）x2+1.5=-3x；‎ ‎（3）x2-x+12=0；‎ ‎（4）4x2-3x+2=0.‎ 分析：用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、c的值，再算出b2-4ac的值，最后代入求根公式求解.‎ ‎【教学说明】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的；‎ ‎（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入x=中，可求得方程的两个根；‎ ‎（3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.‎ ‎2.不解方程，判定方程根的情况 ‎（1）16x2+8x=-3；‎ ‎（2）9x2+6x+1=0；‎ ‎（3）2x2-9x+8=0；‎ ‎（4）x2-7x-18=0.‎ 分析：不解方程，判定方程根的情况，只需根据b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可.b2-4ac的值是在一元二次方程一般形式下得出的，所以首先必须将方程化为一般形式.‎ ‎3.若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）.‎ 160‎ 分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0.因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即 （-2a）2-4（a-2）（a+1）<0，就可求出a的取值范围.‎ 解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根.‎ ‎∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0‎ ‎∴a<-2‎ ‎∵ax+3>0即ax>-3，∴x<-3/a，‎ ‎∴所求不等式的解集为x<-3/a.‎ ‎【教学说明】主体探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式.‎ 四、师生互动，课堂小结 本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况.‎ ‎1.布置作业：教材“习题2.5”中第1、2题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 通过复习配方法使学生对一元二次方程的定义及解法有一个深刻的印象.然后让学生用配方法推导一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的解，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，使学生的推理能力得到加强.‎ ‎4 用因式分解法求解一元二次方程 ‎【知识与技能】‎ 能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程.能够根据一元二次方程的结构特点，灵活选用简单的方法.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力.‎ ‎【情感态度】‎ 通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，树立转化的思想方法.‎ ‎【教学重点】‎ 用因式分解法解一元二次方程.‎ ‎【教学难点】‎ 160‎ 理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.‎ 一、情境导入,初步认识 复习：将下列各式分解因式 ‎（1）5x2-4x；‎ ‎（2）x2-4x+4；‎ ‎（3）4x（x-1）-2+2x；‎ ‎（4）x2-4；‎ ‎（5）（2x-1）2-x2.‎ ‎【教学说明】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确地将多项式因式分解，从而有利地降低本节的难度.‎ 二、思考探究，获取新知 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？板演小颖、小明和小亮的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程.‎ 当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解，这种方法解一元二次方程的方法称为分解因式法.‎ ‎【教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.解方程5x2＝4x.‎ 解：原方程可变形x（5x-4）＝0……第一步 ‎∴x＝0或5x-4＝0……第二步 ‎∴x1=0，x2=4/5.‎ ‎【教学说明】教师提问、板书，学生回答.‎ 分析步骤（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”.分析步骤（二）对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解.用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法.由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法.‎ ‎2.用因式分解法解下列方程：‎ ‎（1）5x2+3x＝0；‎ ‎（2）7x（3-x）＝4（x-3）；‎ ‎（3）9（x-2）2＝4（x+1）2.‎ 160‎ 分析：（1）左边＝x（5x+3），右边＝0；（2）先把右边化为0，即7x（3-x）-4（x-3）＝0，找出（3-x）与（x-3）的关系；（3）应用平方差公式.‎ 解：（1）因式分解，得x（5x+3）＝0，‎ 于是得x＝0或5x+3＝0，‎ x1＝0，x2＝-3/5；‎ ‎（2）原方程化为7x（3-x）-4（x-3）＝0，‎ 因式分解，得（x-3）（-7x-4）＝0，‎ 于是得x-3＝0或-7x-4＝0，‎ x1＝3，x2＝-4/7；‎ ‎（3）原方程化为9（x-2）2-4（x+1）2＝0，‎ 因式分解，得 ‎［3（x-2）+2（x+1）］［3（x-2）-2（x+1）］＝0，‎ 即（5x-4）（x-8）＝0，‎ 于是得5x-4＝0或x-8＝0，‎ x1＝4/5，x2＝8.‎ ‎【教学说明】（1）用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解.（2）对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数.‎ ‎3.选择合适的方法解下列方程.‎ ‎（1）2x2-5x+2=0；‎ ‎（2）（1-x）（x+4）=（x-1）（1-2x）；‎ ‎（3）3（x-2）2＝x2-2x.‎ 分析：（1）题宜用公式法；（2）题中找到（1-x）与（x-1）的关系用因式分解法；（3）3（x-2）2＝x·（x-2）用因式分解法.‎ 解：（1）a=2，b=-5，c=2，‎ b2-4ac=（-5）2-4×2×2=9＞0，‎ x==，‎ x1=2，x2=；‎ ‎（2）原方程化为（1-x）（x+4）+（1-x）（1-2x）＝0，‎ 因式分解，得（1-x）（5-x）=0，‎ 即（x-1）（x-5）=0，‎ x-1=0或x-5=0，‎ 160‎ x1=1，x2=5；‎ ‎（3）原方程变形为3（x-2）2-x（x-2）=0，‎ 因式分解，得（x-2）（2x-6）＝0，‎ x-2＝0或2x-6＝0，‎ x1＝2，x2＝3.‎ ‎【教学说明】解一元二次方程的几种方法中，如果不能直接由平方根定义解得，首先考虑的方法通常是因式分解法，对于不易分解的应考虑配方法，而公式法比较麻烦.公式法、配方法一般可以解所有一元二次方程.‎ ‎4.已知（a2+b2）2-（a2+b2）-6＝0，求a2+b2的值.‎ 分析：若把（a2+b2）看作一个整体，则已知条件可以看作是以（a2+b2）为未知数的一元二次方程.‎ 解：设a2+b2=x，则原方程化为x2-x-6=0.‎ a=1，b=-1，c=-6，b2-4ac=（-1）2-4×1×（-6）＝25＞0，‎ x＝，∴x1=3，x2=-2.‎ 即a2+b2=3或a2+b2=-2，‎ ‎∵a2+b2≥0，∴a2+b2=-2不符合题意应舍去，取a2＋b2=3.‎ ‎【教学说明】（1）整体思想能帮助我们解决一些较“麻烦”的问题.（2）在做题时要注意隐含条件.‎ ‎5.用一根长40cm的铁丝围成一个面积为91cm2的矩形，问这个矩形长是多少？若围成一个正方形，它的面积是多少？‎ 解：设长为xcm，则宽为（-x）cm，‎ x·（-x）＝91，‎ 解这个方程，得x1=7，x2=13.‎ 当x=7cm时，-x=20-7=13（cm）（舍去）；当x=13cm时，-x=20-13=7（cm）.‎ 当围成正方形时，它的边长为＝10（cm），面积为102=100（cm2）.‎ ‎【教学说明】应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎1.本节课我们学习了哪些知识？‎ ‎2.因式分解法解一元二次方程的步骤有哪些？‎ 160‎ ‎【教学说明】对某些方程而言因式分解法比较快捷，不适合因式分解法的再考虑其它方法.‎ ‎1.布置作业：教材“习题2.7”中第1、2题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程，而达到目的，我们主要利用了因式分解“降次”.在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法.‎ ‎*5 一元二次方程的根与系数的关系 ‎【知识与技能】‎ 掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，解决问题的能力，渗透整体的数学思想、求简思想.‎ ‎【情感态度】‎ 通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神.‎ ‎【教学重点】‎ 根与系数的关系及运用.‎ ‎【教学难点】‎ 定理的发现及运用.‎ 一、情境导入,初步认识 我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律.那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天我们共同去探究，感受一次当科学家的滋味.‎ ‎【教学说明】让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣、探究欲望.‎ 二、思考探究，获取新知 解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2‎ 160‎ 的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？‎ ‎【教学说明】通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，引导学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法.‎ ‎【归纳总结】一般地，对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) ，用求根公式求出它的两个根x1、x2 ，由一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式知x1=，x2=，能得出以下结果：‎ x1+x2=-，x1·x2=.‎ ‎【教学说明】让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.求下列方程的两根之和与两根之积.‎ ‎（1）x2-6x-15=0；‎ ‎（2）5x-1=4x2；‎ ‎（3）x2=4；‎ ‎（4）2x2 =3x.‎ ‎2.已知关于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根x1，x2.‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）若|x1+x2|=x1x2-1，求k的值.‎ ‎【教学说明】让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积.‎ ‎3.已知方程5x2+kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；‎ 解：设方程的另一个根是x1，‎ 160‎ 那么2x1=‎ ‎∴ x1=‎ 又x1+2=‎ ‎∴k=-7‎ ‎4.利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2+3x-1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和.‎ 解：设方程的两个根分别为x1，x2，‎ 那么x1+x2=， ‎ x1x2=.‎ ‎（1）∵ （x1+x2）2=x12+2x1·x2+x22，‎ ‎∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=13/4‎ ‎（2） = 3 ‎ ‎5.已知关于x的方程x2-（k+1）x+1/4k2+1=0，且方程两实根的积为5，求k的值.‎ 解：∵方程两实根的积为5‎ ‎∴ ‎ 得 .‎ ‎∴当k=4时，方程两实根的积为5.‎ ‎6.已知关于x的一元二次方程x2+2（k-1）x+k2-1=0有两个不相等的实数根.‎ ‎（1）求实数k的取值范围；‎ ‎（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由.‎ 解：（1）Δ=［ 2（k-1）］ 2-4（k2-1）‎ ‎=4k2-8k+4-4k2+4=-8k+8.‎ ‎∵ 原方程有两个不相等的实数根，‎ ‎∴-8k+8＞0，解得 k＜1，即实数k的取值范围是 k＜1.‎ 160‎ ‎（2）假设0是方程的一个根，则代入得 02+2（k-1）· 0+k2-1 = 0，‎ 解得k=-1或 k=1（舍去）.‎ 即当k=-1时，0就为原方程的一个根.‎ 此时，原方程变为 x2-4x = 0，解得 x1=0，x2=4，所以它的另一个根是4. ‎ ‎【教学说明】目的是考察学生灵活运用知识解决问题的能力，让学生了解到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性.‎ 四、师生互动，课堂小结 不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值：‎ ‎（1）先化成一般形式，再确定a,b,c. ‎ ‎（2）当且仅当b2-4ac≥0时，才能应用根与系数的关系.‎ ‎（3）要注意符号：两个根的和是前面有负号，两个根的积是前面没有负号.‎ 让学生谈谈本节课的收获与体会，教师可适当引导和点拨.‎ ‎1.布置作业：教材“习题2.8”中第2 、3题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 此节课在研究方程的根与系数关系时，先从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数不是1的方程，由此，猜想一般的一元二次方程的根与系数的关系，最后对此猜想的正确性作出证明.这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值.‎ ‎6 应用一元二次方程 第1课时 利用一元二次方程解决几何问题 ‎【知识与技能】‎ 使学生会用一元二次方程解应用题.‎ ‎【过程与方法】‎ 进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生运用数学的意识.‎ ‎【情感态度】‎ 160‎ 通过列方程解应用题，进一步体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优越性.‎ ‎【教学重点】‎ 实际问题中的等量关系如何找.‎ ‎【教学难点】‎ 根据等量关系设未知数列方程.‎ 一、情境导入，初步认识 列方程解应用题的步骤是什么？‎ ‎①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答.‎ ‎【教学说明】 初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决.但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用.‎ 二、思考探究，获取新知 问题：有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）‎ 分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.‎ 解：设四周垂下的宽度为x尺时，依题意可列方程为（6+2x）(3+2x)=2×6×3.整理方程，得2x2+9x-9=0.解得x1≈0.84，x2≈-5.3(不合题意，舍去).即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.‎ ‎【教学说明】 注意引导学生分析、理清题目中的数量关系，挖掘已知条件与要解决问题，激发学生解决问题的欲望，体会数形结合思想的应用.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.见教材P52例1.‎ ‎2.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（ B ）‎ A. B.5 C. D.7‎ ‎3.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为64cm2.‎ ‎4.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40m2，求花边的宽. ‎ 解：设花边的宽为x m，依题意有（6+2x）（3+2x）=40，‎ 160‎ 解得x1=1，x2=（不合题意应舍去）.‎ 即花边的宽度为1m.‎ ‎5.如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m. ‎ ‎（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；‎ ‎（2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？‎ ‎（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.‎ 分析:如图，若设BC = x m，则AB的长为 m，若设AB = x m，则BC=(35-2x)m，再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a = 18m意味着BC边长应小于或等于18m，从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.‎ 解:（1）设BC=xm，则AB=CD=m，依题意可列方程为x·=150，解这个方程，得x1=20，x2=15.‎ 当BC=x=20m时，AB=CD=7.5m，当BC=15m时，AB=CD=10m.即这个长方形鸡场的长与宽分别为20m和7.5m或15m和10m;‎ ‎（2）当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m和10m;‎ ‎（3）不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：设BC = x m，由（1）知AB=m，从而有x·=160，方程整理为x2-35x+320=0.此时Δ=352-4×1×320=1225-1280＜0，原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的鸡场.‎ ‎6.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. ‎ ‎（1）如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？‎ ‎（2）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？‎ 分析：（1）如果P，Q同时出发，x s后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为×2x（6-x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意值；‎ 160‎ ‎（2）△ABC的面积的一半等于×AC·BC=12（cm2），令×2x（6-x）=12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在.‎ 解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2.由题意得AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，则·（6-x）·2x=8.整理，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4.所以P，Q同时出发2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.‎ ‎（2）由题意，得S△ABC=AC·BC=×6×8=24（cm2），令×2x×（6-x）=×24，x2-6x+12=0，b2-4ac=62-4×12=-12<0，该方程无实数解，所以不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻.‎ 四、师生互动、课堂小结 ‎1.回顾、整理并总结，让学生在活动中积累实践经验，理解建立数学模型的重要性.‎ ‎2.独立完成以上例题.‎ ‎1.布置作业：教材“习题2.9”中第2、3、4题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 本课时无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己的机会，在此过程中发现并总结学生存在的思维误区，便于今后的教学.课堂上注意激发学生的学习热情，帮助学生形成积极主动的求知态度.‎ 第2课时 利用一元二次方程解决经济问题 ‎【知识与技能】‎ 理解一元二次方程在销售利润、增长率等问题的实际应用.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历分析具体问题的数量关系、建立方程并解决问题的过程，进一步体会方程在刻画现实世界中数量关系的有效性.‎ ‎【情感态度】‎ 根据问题的实际意义检验结果是否合理，增强数学的实际应用意识，体会数学与现实生活的紧密联系.‎ ‎【教学重点】‎ 160‎ 利用一元二次方程解决相关经济问题，根据实际意义检验结果的合理性.‎ ‎【教学难点】‎ 根据具体问题的数量关系建立方程模型.‎ 一、情境导入，初步认识 我们经常从电视新闻中听到或看到有关增长率的问题，例如今年我市人均收入Q元，比去年同期增长x%；环境污染比去年降低y%；某厂预计两年后使生产总值翻一番……由此我们可以看出，增长率问题无处不在，无时不有，这节课我们就一起来探索增长率问题.‎ ‎【教学说明】说明：举出以实际问题为背景的题目，能够培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，突出体现了数学在现实生活中的应用价值.‎ 建议：创设问题情境，激发学生学习的兴趣和欲望，体现了数学应用于实际的思想.‎ 二、思考探究，获取新知 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本为6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本为3000元，生产1t乙种药品的成本为3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？‎ 思考（1）甲种药品成本的年平均下降额与乙种药品的年平均下降额分别是多少？它与年平均下降率是否是一回事？‎ ‎（2）若设甲种药品的年平均下降率为x，则第一年后的成本为 5000（1-x）元，第二年后的成本为 5000（1-x）2元，你能列出相应的方程并求出问题的解吗？对于乙种药品呢？‎ ‎【教学说明】思考（1）旨在让学生感受成本下降问题中，成本下降额和成本下降率这两个接近而不同的概念，前者表示绝对变化量，单位是元，后者表示相对变化量，是表示比率的数字，从而全面比较对象的变化状况；思考（2）则进一步让学生感受到两个时间段的平均变化率，如经济增长率、人口增长率等，设平均变化率为x，则有变化前数量×(1+x)2=两年后的数量，由此可得到一元二次方程的数学模型，并确定方程和问题的解，教学过程中，教师应引导学生积极思考，寻求出实际问题中所蕴含的等量关系，让学生体会到寻找等量关系是解决问题的关键，最后师生共同完成解答过程.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.见教材P54例2.‎ ‎2.为落实“两免一补”政策，某市2013年投入教育经费2500万元，预计2015年要投入教育经费3600万元.已知2013年至2015年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2014年该市要投入的教育经费为 3000 万元.‎ 分析：设增长率为x，根据 160‎ 题意，得2014年为2500（1+x）万元，2015年为2500（1+x）（1+x）万元.则2500（1+x）（1+x）=3600，解得x=0.2或x=-2.2（不合题意，舍去）.故这两年投入教育经费的平均增长率为20%，2014年该市要投入的教育经费为2500（1+20%）=3000（万元）.‎ ‎3.某小区2012年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方米.如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？‎ 分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案.‎ 解：设这个增长率是x，根据题意得：‎ ‎2000×（1+x）2=2880‎ 解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）‎ 答：这个增长率是20%.‎ ‎4.某种服装进价每件60元，据市场调查，这种服装按80元销售时，每月可卖出400件，若销售价每涨价1元，就要少卖出5件，如果服装店预计在销售这种服装时每月获利12000元，那么这种服装的销售价定为多少时，可使顾客更实惠？‎ 解：设销售价提高了x个1元，则每月应少卖出5x件.依题意可列方程为 ‎（80+x-60）×(400-5x)=12000.‎ 解这个方程，得x1=20，x2=40.‎ 显然，当x=40时，销售价为120元，当x=20时，销售价为100元，要使顾客得到实惠，则销售价越低越好，故这种服装的销售价应定为100元合适.‎ ‎【教学说明】让学生学以致用，巩固新知.‎ ‎5.某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视眼人数逐年减少.据统计，2013年和2012年的近视眼人数只占2011年人数的75%，这两年平均每年近视眼人数下降的百分率是多少？‎ 解：设平均每年的近视眼人数下降的百分率为x，2011年的近视眼人数为a人，‎ 由题意有（1-x）a+(1-x)2·a=75%a，‎ 解得x1=0.5，x2=2.5，‎ 显然x=2.5不合题意，应舍去，即平均每年近视眼人数下降的百分率为50%.‎ ‎6.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元.经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个.因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？‎ 分析：利用销售利润=售价-进价，根据题中条件可以列出利润与定价的关系式，求解即可.‎ 解：设每个商品的定价是x元，由题意，‎ 得（x-40）［180-10（x-52）］=2000，‎ 整理，得x2-110x+3000=0，‎ 160‎ 解得x1=50，x2=60.‎ 当x=50时，进货180-10×（50-52）=200（个）＞180个，不符合题意，舍去；‎ 当x=60时，进货180-10×（60-52）=100（个）＜180个，符合题意.‎ 答：当该商品每个定价为60元，进货为100个时，商店获利2000元.‎ ‎【教学说明】此题主要考查了一元二次方程的应用.找到关键描述语，建立等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.‎ 四、师生互动、课堂小结 列一元二次方程解应用题，步骤与以前列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件.方程的解必须进行实际意义的检验.‎ ‎1.布置作业：教材“习题2.10”中第2、4题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 这节课是“列一元二次方程解应用题”，这类注重联系实际考查学生数学应用能力的问题，体现时代性，并且结合社会热点、焦点问题，引导学生关注国家、人类和世界的命运.既有强烈的德育功能，又可以让学生从数学的角度分析社会现象，体会数学在现实生活中的作用.在课堂中始终贯彻数学源于生活又用于生活的数学观念，同时用方程来解决问题，使学生树立一种数学建模的思想.‎ 第二章 一元二次方程 ‎【知识与技能】‎ ‎1.一元二次方程的相关概念；‎ ‎2.灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；‎ ‎3.能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；‎ ‎4.能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；‎ ‎5.构造一元二次方程解决简单的实际问题；‎ ‎【过程与方法】‎ 通过灵活运用解方程的方法，体会几种解法之间的联系与区别，进一步熟练地根据方程特征找出最优解法.‎ 160‎ ‎【情感态度】‎ 通过实际问题的解决，进一步熟练地运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用.‎ ‎【教学重点】‎ 运用知识、技能解决问题.‎ ‎【教学难点】‎ 解题分析能力的提高.‎ 一、知识结构 ‎【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，使学生系统地了解本章知识以及之间的关系 二、释疑解惑，加深理解 ‎1.一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个求知数（一元），并且求知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.‎ ‎2.一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项.‎ ‎3.一元二次方程的解法：①直接开方法；②配方法；③公式法；④因式分解法.‎ ‎4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是Δ=b2-4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根；当Δ≥0时，方程有实数根.‎ ‎5.一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）‎ 当Δ=b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为x=；若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1+x2=，x1·x2=.‎ 若一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1、x2，则x1+x2=-p， x1x2=q.‎ ‎6.一元二次方程的应用.‎ ‎【教学说明】学生独立完成，通过对重点知识的回顾为本节课的学习内容做好铺垫.‎ 三、典例精析，复习新知 160‎ ‎1.（1）方程（m+1）xm2-2m-1+7x-m=0是一元二次方程，则m是多少？‎ 分析：首先根据一元二次方程的定义得，m2-2m-1=2；再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定义中a≠0这一条件得m+1≠0来求m的值.‎ 解：m=3.‎ ‎（2）若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0，则m等于（ ）‎ A.1 B.2 C.1或2 D.0‎ 解析：首先得出m2-3m+2=0；再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定义中a≠0这一条件得m-1≠0来求m的值.‎ 解答：B ‎【教学说明】此时要注意二次项系数不为0，在讨论含字母系数的一元二次方程问题时，命题者常利用a≠0设计陷阱.‎ ‎2.用适当的方法解一元二次方程：‎ ‎（1）x2=3x；‎ ‎（2）（x-1）2=3；‎ ‎（3）x2-2x-99=0；‎ ‎（4）2x2+5x-3=0.‎ 分析：方程（1）选用因式分解法；方程（2）选用直接开平方法；方程（3）选用配方法；方程（4）选用公式法.‎ ‎3.若（x2+y2）2-4（x2+y2）-5=0，‎ 则x2+y2=______.‎ 解析：用换元法设x2+y2=m得m2-4m-5=0，解得m1=5，m2=-1.‎ 对所求结果，还要结合“x2+y2”进行取舍，从而得到最后结果.‎ 解答：5‎ ‎【教学说明】一元二次方程的解法要根据方程的特点，灵活选用具体方法.对于特殊的方程要通过适当的变换，使之转化为常规的一元二次方程，如用换元法.‎ ‎4.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）‎ A.k＞-1 B.k＞-1且k≠0‎ C.k＜0 D.k＜0且≠0‎ 解析：b2-4ac=（-2）2-4×（-1）k=4k+4＞0得k＞-1，再由一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的定义中a≠0这一条件得k≠0.‎ 解答：B ‎【教学说明】一元二次方程的判别式可以用来：（1）不解方程，判断根的情况；（2）利用方程有无实数根，确定取值范围，解题时，务必分清“有实数根”、“有两个实数根”、“有两个相等的实数根”、“有两个不相等的实数根”等关键性字眼.‎ 160‎ ‎5.某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个.市场调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个.若销售利润率不得高于100%，那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？‎ 分析：如果这种台灯售价上涨x元，那么每个月台灯获利（40+x-30）元，每月平均销售数量为（600-10x）个，销售利润为（40+x-30）和（600-10x）的积.用一元二次方程解决实际问题时，所求得的结果往往有两个，而实际问题的答案常常是一个，这就需要我们仔细审题，看清题目的要求，进而作出正确的选择.‎ 解：设这种台灯的售价上涨x元，根据题意，得 ‎（40+x-30）（600-10x）=10000‎ 即x2-50x+400=0‎ 解得x1=10，x2=40.‎ 所以每个台灯的售价应定为50元或80元.‎ 当台灯售价定为80元，售价利润率为166.7%，高于100%，不符合要求；当台灯售价定为50元时，售价利润率为66.7%，低于100%，符合要求.‎ 答：每个台灯售价应定为50元.‎ ‎【教学说明】列方程解应用题注重考查能力问题，表面文字比较复杂，但认真阅读，抓住实质，问题就迎刃而解了.‎ 四、复习训练，巩固提高 ‎1.一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为（ ）‎ A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 解析：b2-4ac=（-2）2-4×（-1）=8＞0‎ 解答：B ‎2.关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+｜a｜-1=0的一个根为0，则实数a的值为（ ）‎ A.-1 B.0 C.1 D.-1或1‎ 解析：把x=0代入方程得：｜a｜-1=0，∴a=±1，‎ ‎∵a-1≠0，∴a=-1.‎ 解答：A ‎3.已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为__________.‎ 解析：设方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两根为x1，x2，得 ‎∵Δ=（2k+1）2-4×（k2-2）=4k+9＞0，‎ 160‎ ‎∴k＞‎ ‎∵x1+x2=-（2k+1），x1·x2=k2-2，‎ 又∵x12+x22=11，‎ 即（x1+x2）2-2x1x2=11‎ ‎∴（2k+1）2-2（k2-2）=11，‎ 解得k=1或-3‎ ‎∵k＞，∴k=1‎ 解答：1‎ ‎4.若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，则a的取值范围是_____.‎ 解析：∵关于x的一元二次方程有实根，‎ ‎∴Δ=22-4a≥0，解得a≤1‎ 解答：a≤1‎ ‎5.若关于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的两个实数根为x1、x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值.‎ 分析：根据根与系数的关系列出等式，再由已知条件x1=3x2联立组成方程组，解方程组即可.‎ 解：由根与系数的关系得：x1+x2=4 ①，x1·x2=k-3 ②‎ 又∵x1=3x2 ③，联立①、③，解方程组得 ‎∴k=x1x2+3=3×1+3=6‎ 故：方程组两根为x1=3，x2=1，k=6.‎ ‎6.某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当每月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万.‎ ‎（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为_______万元；‎ ‎（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）‎ 分析：用销售数量表示出每辆的进价、返利等，再表示出盈利，列出方程，求解.‎ 解：（1）27-（3-1）×0.1=26.8.‎ ‎（2）设销售汽车x辆，则汽车的进价为27-（x-1）×0.1=（27.1-0.1x）万元，‎ 若x≤10，则（28-27.1+0.1x）x+0.5x=12‎ 160‎ 解得x1=6，x2=-20（不符合题意，舍去）‎ 若x＞10，则（28-27.1+0.1x）x+x=12‎ 解得x3=5（与x＞10不符，舍去），x4=-24（不符合题意，舍去）‎ 答：公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车.‎ 五、师生互动，课堂小结 ‎1.回顾整理今日收获.‎ ‎2.你还有哪些困惑和疑问？‎ ‎【教学说明】引导学生回顾本章知识点，可让学生相互交流.对学生存在的疑惑进行解答.‎ 布置作业：教材“复习题”中第2、4、8题.‎ 通过画知识结构图，完成一元二次方程的知识点的梳理，构建 知识体系；让学生对典型例题、自身错题进行整理，从而使学生抓住本章的重点、突破学习的难点.‎ 第三章 概率的进一步认识 ‎1 用树状图或表格求概率 第1课时 用树状图或表格求概率（1）‎ ‎【知识与技能】‎ 能运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.‎ ‎【情感态度】‎ 通过自主探究、合作交流激发学生的学习兴趣，感受数学的简捷美，及数学应用的广泛性.‎ ‎【教学重点】‎ 运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率.‎ ‎【教学难点】‎ 运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率.‎ 160‎ 一、情境导入,初步认识 问题1：求概率的基本步骤是什么？‎ 问题2：列举一次试验的所有可能结果时，学过哪些方法？‎ ‎【教学说明】对以前所学方法的步骤进行归纳，温故以利知新．‎ 二、思考探究，获取新知 自主学习：阅读课本P148，这个游戏为什么对三人不公平？请相互交流.‎ ‎【教学说明】通过自主学习、相互交流可提高学生自学的能力.‎ 探究 甲乙两地之间有A和B两条道路，小亮从甲地到乙地，大刚从乙地到甲地，二人同时出发.如果每人从A和B两条道路中都任选一条，那么他们途中相遇的概率是多少？思考以下问题：‎ 小亮从甲地到乙地，有几条路可走，大刚从乙地到甲地，有几条路可走？‎ 如果小亮选了A道路，那么这时大刚选的有可能是哪条路？同样，如果小亮选的是B呢？‎ 什么情况下，他们才能相遇？‎ 小亮走的道路可能是A或B，当小亮选A时，大刚可能是A或B；当小亮选B时，大刚也可能是A或B，画图如下：‎ ‎【归纳结论】上图像一棵横倒的树，我们叫它树状图.由上图可知，所有等可能性的结果共有4种：AA,AB,BA,BB.其中两人相遇的情况有2种，即AA,BB.由已学过的的概率计算方法，可得P（相遇）=2/4=1/2 .所以，他们途中相遇的概率是1/2 .‎ 160‎ 上表中的第一行表示小亮走道路A或B的两种可能，第一列则表示大刚走道路A或B的两种可能，从而在表中列出了本题所有等可能的4种结果，其中二人相遇的结果有两种，即：可得P（相遇）=2/4=1/2.‎ ‎【教学说明】设计探究学习活动,有利于向学生展示解决问题的不同策略,真正体会解决问题的过程，培养学生的创新精神和克服困难的勇气．‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.在A、B两个盒子里都装入写有数字0、1的两张卡片，分别从每个盒子里任取1张卡片，两张卡片上的数字之积为0的概率是多少？‎ 解法1：画树状图 从A盒或B盒中任取一张卡片，上面有数字0或1的可能性相等，由树状图可以看出，两张卡片上的数字之积共有4种等可能的结果，其中两数之积为0的结果有3种，于是P(积为0)= 3/4.‎ 解法2：完成下表：‎ 由上表可知，两张卡片上的数字之积共有4种等可能的结果，积为0的结果有3种.所以P(积为0）=3/4.‎ ‎2.把大小和形状一模一样的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上数字1，2，3．将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张，试求取出的两张卡片数字之和为偶数的概率（要求用树状图或列表法求解）.‎ 解：画树状图：‎ 由上图可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片数字之和为偶数的结果有5种．‎ ‎∴P（和为偶数）=5/9.‎ 160‎ 列表如下：‎ 由上表可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片数字之和为偶数的结果有5种．‎ ‎∴P（和为偶数）=5/9.‎ ‎3.袋中有一个红球和两个白球，它们除了颜色外都相同．任意摸出一个球，记下球的颜色，放回袋中，搅匀后再任意摸出一个球，记下球的颜色．为了研究两次摸球出现某种情况的概率，画出如下树状图．‎ ‎（1）请把树状图填写完整． ‎ ‎（2）根据树状图可知摸到一红一白两球的概率是______．‎ 解答：（1）红 白 白 （2）4/9‎ ‎【教学说明】巩固画树状图求概率的知识，感受概率与生活的密切联系．‎ 四、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习你有什么收获？还有哪些疑惑？请与同伴交流.‎ ‎1.布置作业:教材“习题3.1”中第1、2题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 在教学时要反复强调：在借助于树状图或表格求事件发生的概率时,应注意到各种情况出现的等可能性，以免学生忽略这个条件错误使用树状图或表格求事件发生的概率.‎ 第2课时 用树状图或表格求概率（2）‎ ‎【知识与技能】‎ 会运用树状图和列表法计算事件发生的概率.‎ 160‎ ‎【过程与方法】‎ 经历试验、探讨过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.‎ ‎【情感态度】‎ 通过自主探究、合作交流激发学生的学习兴趣，感受数学的简捷美，及数学应用的广泛性．‎ ‎【教学重点】‎ 运用树状图和列表法计算事件发生的概率．‎ ‎【教学难点】‎ 树状图和表格法的运用方法．‎ 一、情境导入，初步认识 ‎（1）从黑桃1和2中摸一张牌，摸到几的可能性大？概率是多少？‎ ‎（2）加上红桃1和2，如果摸得黑桃为1，那么摸到红桃数字为几的可能性大？如果摸得黑桃的数字为2呢？‎ ‎【教学说明】学生交流讨论，利用上节课所学知识解答.‎ 二、思考探究，获取新知 探究1 若同时从两组牌中各摸一张出来，共有几种可能性？每种可能性是否相同？概率分别是多少？‎ 可能出现的结果（1，1）（1，2）（2，1）（2，2）.‎ 从上面的树状图可以看出，一次试验可能出现的结果共有4种：（1，1）（1，2）（2，1）（2，2）而且每种结果出现的可能性相同，也就是说，每种结果出现的概率都是1/4.‎ 探究2 小颖设计了一个“配紫色”的游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形.游戏者同时转动两个转盘，两个转盘停止转动时，若一个转盘的指针指向蓝色，另一个转盘的指针指向红色，则“配紫色”成功，游戏者获胜．求游戏者获胜的概率．（指针指在分界线上则重转）‎ 用树状图来说明：‎ 160‎ 用表格来说明：‎ ‎ 所以，配成紫色的概率P（配成紫色）=3/6=1/2， 所以游戏者获胜的概率为1/2.‎ ‎ 【教学说明】思考讨论，由两位学生板书展示他们的思维过程.通过学生互学感受思维的条理性和实施的有序性，为后续的教学做好准备．‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.将分别标有数字1，1，2，3的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上.‎ ‎(1)任意抽取一张卡片，求抽到卡片上的数字是奇数的概率；‎ ‎(2)任意抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，请你列表或画树状图分析并求出组成的两位数恰好是13的概率.‎ 解：（1）P（抽到奇数）＝3/4；‎ ‎（2）解法一：列表 所以组成的两位数恰好是13的概率P=2/12=1/6． ‎ 解法二：树状图 所以组成的两位数恰好是13的概率P=2/12=1/6.‎ 160‎ ‎2.有2个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1、2、3、4四个数，另一个信封内的四张卡片上分别写有5、6、7、8四个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜，否则乙获胜．‎ ‎（1）请你通过列表（或画树状图）的方法计算甲获胜的概率．‎ ‎（2）你认为这个游戏公平吗？为什么？‎ 解：（1）利用列表法得出所有可能的结果，如下表：‎ 由上表可知，该游戏所有可能的结果共16种，其中两卡片上的数字之积大于20的有5种，所以甲获胜的概率P（甲获胜）=5/16．‎ ‎（2）这个游戏对双方不公平，因为甲获胜的概率P（甲获胜）=5/16，乙获胜的概率P（乙获胜）=11/16，5/16≠11/16，所以，游戏对双方是不公平的．‎ ‎3.如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C，都可使小灯泡发光．‎ ‎（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于_______；‎ ‎（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．‎ 解：（1）1/4‎ ‎（2）正确画出树状图（或列表），图略（表略）.任意闭合其中两个开关的情况共有1/2种，其中能使小灯泡发光的情况有6种，所以小灯泡发光的概率是1/2．‎ ‎【教学说明】巩固画树状图求概率的知识，感受概率与生活的密切联系．‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎1.本节课你有哪些收获？有何感想？‎ ‎2.用树状图或表格求概率时应注意什么情况？‎ ‎1.布置作业:教材“习题3.2”中第1 、3题.‎ 160‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 以现实生活为背景提出问题，激发学生的学习兴趣和主动参与意识．面对这些问题时，鼓励学生主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，使学生感受数学和生活的密切联系，在解决问题的过程中培养学习兴趣和解题能力.‎ ‎2 用频率估计概率 ‎【知识与技能】‎ 能够通过试验获得事件发生的频率，并通过大量重复试验，让学生体会到随机事件内部所蕴涵的客观规律——频率的稳定性.知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值.‎ ‎【过程与方法】‎ 结合生活实例，能进一步明确频率与概率的区别与联系，了解用频率估计概率的方法与列举法求概率的区别，并能够通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率.‎ ‎【情感态度】‎ 培养学生的动手能力和处理数据的能力，培养学生的理性精神．‎ ‎【教学重点】‎ 了解用频率估计概率的必要性和合理性.‎ ‎【教学难点】‎ 大量重复试验得到频率稳定值的分析，对频率与概率之间关系的理解.‎ 一、情境导入,初步认识 问题1：投掷一枚质地均匀的硬币时，结果正面向上的概率是多少？‎ ‎ 答：0.5‎ 问题2：周末，县体育馆有一场精彩的篮球比赛，小亮手中有一张球票，小强和小明都是班上的篮球迷，两人都想去，小亮很为难，不知给谁，请大家帮小亮想个办法解决这个问题.‎ 方案：投掷硬币，若正面朝上，小强获得球票；若反面朝上，小明获得球票.‎ 问题3：为什么要用投掷硬币的方法呢？‎ 理由：这样做公平.能保证小强和小明得到球票的可能性一样大，即得票概率相同.‎ 问题4：如果掷硬币机会均等，‎ 160‎ 若投掷10次硬币，是否一定是5次正面向上？投掷50次，100次……？‎ ‎【教学说明】在此基础上，导出课题试验.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.自主学习课本157~159页内容，初步了解如何用频率估计概率.‎ ‎2.小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了60次试验，试验的结果如下：‎ ‎（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.‎ ‎（2）小颖说：“根据上述试验，一次试验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次”.小颖和小红的说法正确吗？为什么？‎ 分析：概率是描述随机现象的数学模型，它不能等同于频率.只有在一定的条件下，大量重复试验时，随机事件的频率所逐渐稳定到的常数，才可估计此事件的概率.‎ 解：（1）“3点朝上”的频率是6/60=1/10；“5点朝上”的频率是20/60=1/3.‎ ‎（2）小颖的说法是错误的.因为“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大，只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近.小红的说法也是错误的.因为事件的发生具有随机性，所以“6点朝上”的次数不一定是100次.‎ ‎3.六一期间，某公园游戏场举行“迎奥运”活动．有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干个白球(每个球除颜色外其他都相同)的不透明的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具.已知参加这种游戏活动的人数为40000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10000个.‎ ‎（1）求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率；‎ ‎（2）请你估计袋中白球接近多少个？‎ 分析:（1）由40000人次中公园游戏场发放的福娃玩具为10000个，结合频率的意义可直接求得.（2）由概率与频率的关系可估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率，从而引进未知数，构造方程求解.‎ 解:（1）因为1000/040000=1/4,所以参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率为1/4.‎ ‎（2）因为试验次数很大时，频率接近于理论概率.‎ 所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是1/4.‎ 160‎ 设袋中白球有x个，则根据题意，得6/(x+6)=1/4,解得x＝18.经检验x＝18是方程的解.所以估计袋中白球接近18个.‎ ‎【教学说明】利用频率估计概率，并以此引进未知数构造方程是求解此类问题的常用方法，同学们在学习时应注意体会和运用.‎ ‎【归纳结论】1.概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计事件发生的概率，但两者不能简单地等同.‎ ‎2.用频率估计概率的方法，主要适合试验的所有可能结果不是有限个，或者各种可能结果发生的可能性不相等的随机事件.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为（C）‎ A.1/16‎ B.1/4‎ C.π/16‎ D.π/4‎ ‎2.如图，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成六等份，若在这个圆面上均匀地撒一把豆子，则豆子落在阴影部分的概率是1/2.‎ ‎3.在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15％左右，则口袋中红色球可能有6个.‎ ‎4.在有一个10万人的小镇,随机调查了2000人,其中有250人看中央电视台的早间新闻.在该镇随便问一个人,他看早间新闻的概率大约是多少?该镇看中央电视台早间新闻的大约是多少人?‎ 解：根据概率的意义,可以认为其概率大约等于250/2000=0.125；‎ 该镇约有100000×0.125=12500人看中央电视台的早间新闻.‎ ‎【教学说明】让学生进一步感受用频率估计概率方法的适用范围，并用概率值来解释生活经验．‎ 四、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习你有哪些收获？还有哪些疑惑？请与同伴交流.‎ ‎【教学说明】学生根据本节课所学，总结本节课的内容，教师补充强调.‎ 160‎ ‎1.布置作业:教材“习题3.4”中第1题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 通过本节课的学习，使学生明白通过大量的重复试验，可以把稳定在某个常数附近的频率作为事件发生的概率．教师需要引导学生体会统计概率的本质是估计，用频率估计概率的目的是为了解释现象、解释生活，而不是为了得到一个准确的数值．‎ 概率的进一步认识 ‎【知识与技能】‎ 回顾本章内容，用所学的概率知识去解决某些现实问题，再归纳和总结试验频率与理论概率的关系.‎ ‎【过程与方法】‎ 学会与人合作，进一步发展学生合作交流的意识和能力.‎ ‎【情感态度】‎ 形成解决问题的一些策略，体验解决问题的多样性，发展实践能力和创新精神.‎ ‎【教学重点】‎ 用所学的概率知识去解决某些现实问题.‎ ‎【教学难点】‎ 用所学的概率知识去解决某些现实问题.‎ 一、知识结构 ‎【教学说明】通过回顾知识点，使学生掌握各知识点之间的联系.‎ 二、释疑解惑，加深理解 ‎1.用树状图或表格求概率.‎ 回顾：用树状图或表格求概率时应注意什么情况？‎ ‎2.用频率估计概率.‎ 160‎ 如何用频率估计概率？‎ ‎【教学说明】让学生通过知识性内容的小结，了解本章所学内容，如何用所学知识解决实际问题.‎ 三、典例精析，复习新知 ‎1.十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是（ ）‎ A.1/3 B.5/12 C.1/12 D.1/2‎ 解析：让黄灯亮的时间处于总时间即为抬头看信号灯时，是黄灯的概率.每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒共60秒，所以是黄灯的概率是5/60=1/12.故选C.‎ 解答：C ‎2.以下说法合理的是（ ）‎ ‎ A.小明在10次抛图钉的试验中发现有3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%‎ ‎ B.抛掷一枚普通的正方体骰子，出现6的概率是1/6的意思是每6次就有1次掷得6‎ ‎ C.某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定有2张中奖 ‎ D.在一次课堂上进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51‎ 解析：概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生.A选项，10次抛图钉的试验太少，错误；B选项，概率是反映事件发生机会的大小的概念，机会大也不一定发生，错误；C选项，概率是反映事件发生机会的大小的概念，机会大也不一定发生，错误；D选项，根据概率的统计定义，可知正确.‎ 解答：D ‎3.如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（ ）‎ A.2/5 B.3/10 C.3/20 D.1/5‎ 解析：列举出所有情况，看转盘停止后，指针都落在奇数上的情况数占总情况数的多少即可.列表得：‎ 160‎ 所以两个转盘的组合有20种结果，其中有6种指针都落在奇数，所以指针都落在奇数上的概率是6/20=3/10，故选B.‎ 解答：B ‎4.小明每天骑自行车上学都要经过三个安装有红绿灯的路口，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相等，那么，小明从家随时出发去学校，他至少遇到一次红灯的概率是多少？不遇红灯的概率是多少？‎ 分析：用列举法列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可.‎ 解：A表示红灯，B表示绿灯，根据题意画出树状图，如图所示：‎ 他至少遇到一次红灯的概率是7/8；不遇红灯的概率是1/8.‎ ‎【教学说明】通过例题的分析和讲解，突出本章内容的重点、难点和解题的方法.在整节课中起到画龙点睛的作用.‎ 四、复习训练，巩固提高 ‎1.某学校的初二（1）班，有男生20人，女生24人，其中男生有18人住宿，女生有20人住宿．现随机抽一名学生，则抽到一名走读女生的概率是_______.‎ 解析：本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式.共44名学生，其中女生24人，有20人住宿，即4人走读．故抽到一名走读女生的概率是4/44=1/11.‎ 解答：1/11‎ ‎2.小明与小亮在一起做游戏时需要确定做游戏的先后顺序，他们约定用“锤子、剪刀、布”的方式确定，请问在一个回合中两个人都出“布”的概率是______.‎ 160‎ 解析：小明与小亮在用“锤子、剪刀、布”的方式确定时共9种结果，故在一个回合中两个人都出“布”的概率是1/9.‎ 解答：1/9‎ ‎3.中央电视台《幸运52》栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻）．某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是________.‎ 解析：本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式.∵某观众前两次翻牌均获得若干奖金，即现在还有18个商标牌，其中有奖的有3个，∴他第三次翻牌获奖的概率是3/18=1/6.‎ 解答：1/6‎ ‎4.口袋里有红球4个、绿球5个和黄球若干个，任意摸出一个球是绿色的概率是1/3.‎ 求：（1）口袋里黄球的个数；‎ ‎（2）任意摸出一个球是红色的概率.‎ 分析：（1）设口袋中有黄球m个，根据概率的求法求任意摸出一个球是绿色的概率，将1/3代入即可求出m的值；（2）口袋里有红球4个，共有15个球任意摸出一个球是红色的概率为4/15.‎ 解：（1）设口袋中有黄球m个，任意摸出一个球是绿色的概率是5/(4+5+m)=1/3，解可得m=6，即有6个黄球；‎ ‎（2）口袋里有红球4个，共有4+5+6=15个球，故任意摸出一个球是红色的概率为4/15.‎ ‎5.将分别标有数字1、2、3的三张硬纸片，反面一样，现把三张硬纸片搅均反面朝上．‎ ‎（1）随机抽取一张，恰好是奇数的概率是多少？‎ ‎（2）先抽取一张作为十位数（不放回），再抽取一张作为个位数，能组成哪些两位数，将它们全部列出来，并求所组成的两位数中大于20的概率.‎ 分析：根据概率的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率.‎ 解：（1）根据题意分析可得：有分别标有数字1、2、3的三张硬纸片，其中奇数有2个，故随机抽取一张，恰好是奇数的概率为2/3；‎ ‎（2）共有12、13、21、23、31、32六种情况，大于20的有4个，故其概率为2/3.‎ 160‎ ‎6.某校九年级1，2班联合举行毕业晚会，组织者为了使晚会气氛热烈、有趣，策划时计划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．1班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3和4，5，6，7的两个转盘（如图）设计了一个游戏方案，两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时，1班代表胜，否则2班代表胜，你认为该方案对双方是否公平？为什么？‎ 分析：本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可：‎ 解：该方案对双方是公平的．理由如下：‎ 列表如下：‎ 由上表可知，该游戏所有可能的结果共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，和为奇数的也有6种.‎ 所以1班代表获胜的概率为P1=6/12，2班代表获胜的概率为P2=6/12，即P1=P2，所以该游戏方案对双方是公平的.‎ ‎【教学说明】通过练习，巩固概率的基础知识，加深对概率知识、方法及应用的认识.通过老师的辅导，帮助学生对本节内容进行查漏补缺.‎ 五、师生互动，课堂小结 你有什么收获？请同学们自己谈谈.‎ ‎【教学说明】师生共同小结.在小结时教师根据学生完成以上练习的情况穿插点评.‎ 布置作业:教材“复习题”中第2、4、5题.‎ 本节课复习课，力求串起全章主要知识点，达到复习目的.使学生具备随机观念，从而能明智地应付变化和不确定性，是概率教学的主要目标.随机观念的培养需要一个长期的过程，教学中以学生自主活动和合作交流为主，使学生在活动中加深对知识的理解，并能进一步应用.‎ 第四章 图形的相似 160‎ ‎1 成比例线段 第1课时 线段的比和比例的基本性质 ‎【知识与技能】‎ ‎1.通过简单实例了解两条线段的比的概念.‎ ‎2.了解比例的基本性质及应用.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历探索成比例线段的过程，并利用其解决一些简单的问题.‎ ‎【情感态度】‎ 通过现实情境，培养应用意识，了解数学、自然、社会的密切联系.‎ ‎【教学重点】‎ 成比例线段的基本性质.‎ ‎【教学难点】‎ 成比例线段的基本性质.‎ 一、情境导入，初步认识 请写出线段AB和CD的比，并讨论线段的比有哪些地方是需要特别留意的？‎ ‎【教学说明】让学生初步了解线段的比就是线段长度的比.‎ 让学生在两个实例中理解线段的比要注意以下几点：‎ ‎1.线段的比是正数 ‎2.单位要统一 ‎3.线段的比与线段的长度无关 二、思考探究，获取新知 ‎1.由下面的格点图可知，=_______，=_______，这样与之间有关系_______.‎ 160‎ ‎【归纳结论】对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如=（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.此时也称这四条线段成比例.‎ ‎【教学说明】从具体的事例中感受线段的成比例.‎ ‎ 2.如果四条线段a、b、c、d成比例，即.那么ad＝bc吗？如果ad＝bc，那么a、b、c、d成比例吗？‎ ‎【归纳结论】如果，那么ad=bc.如果ad=bc（a、b、c、d都不等于0），那么.‎ ‎【教学说明】培养学生的自学能力及归纳能力.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.一条线段的长度是另一条线段的3倍，则这两条线段的比为3∶1.‎ ‎2.已知3x=4y，则=.‎ ‎3.已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例？‎ ‎（1）a=16cm b=8cm c=5cm d=10cm;‎ ‎（2）a=8cm b=5cm c=6cm d=10cm.‎ 分析：（1）=2，=2，则=，所以a、b、d、c成比例.‎ ‎（2）由已知得ab≠cd，ac≠bd，ad≠bc，所以a、b、c、d四条线段不成比例.‎ ‎4.在比例尺为1∶200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5cm，求A，B两地间的实际距离.‎ 分析：利用比例尺的定义即“”列出等量关系式.‎ 解：设A、B两地间的实际距离为xcm，则.解得x=900.‎ ‎∴设A、B两地间的实际距离为900cm.‎ ‎5.已知a、b、c、d是成比例线段，且a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长.‎ 160‎ 分析：由a、b、c、d是成比例线段得，代入计算求出线段d的长.‎ 解：∵a、b、c、d是成比例线段，‎ ‎∴，即.‎ 解得d=4cm.‎ ‎6.已知三条线段的长分别为2、4、8，请你再添上一条线段，使它们成比例，求出所有符合条件的线段长.‎ 分析：‎ 解：设添加的线段长为x，‎ 当x≤2时，x∶2=4∶8，x=1;‎ 当2≤x≤4时，2∶x=4∶8，x=4;‎ 当4≤x≤8时，2∶4=x∶8，x=4;‎ 当x≥8时，2∶4=8∶x，x=16.‎ 综上，符合条件的线段长可为：1，4，16.‎ ‎【教学说明】本题运用了分类讨论思想求解，解题的关键是找出各种可能的情况.先设要添加的线段长为x，然后使这四个数各自成比例，再算出x的值.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎1.本节课你有哪些收获？‎ ‎2.通过这节课的学习，你还存在哪些疑惑？‎ ‎【教学说明】让学生相互交流后，单独回答、提问.‎ ‎1.布置作业:教材“习题4.1”中第1 题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 本节的重点是线段的比和比例线段的概念以及比例的性质.‎ 160‎ 虽然小学时已经接触过比例性质的一些知识，但内容比较简单，而本节涉及到的比例基本性质变式较多，容易混淆.所以应多加训练.‎ 第2课时 等比性质 ‎【知识与技能】‎ ‎1.能用比例的基本性质推出等比性质.‎ ‎2.学会用设“k”法解答比例的相关题目.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历等比性质的推导过程，掌握并灵活运用等比性质解决相关问题.‎ ‎【情感态度】‎ 培养学生分析、解决问题的能力，增强数学应用意识，体会数学与现实的紧密联系.‎ ‎【教学重点】‎ 理解并掌握等比性质.‎ ‎【教学难点】‎ 等比性质的实际应用.‎ 一、情境导入，初步认识 如图，已知，你能求出的值吗？由此你能得出什么结论？‎ ‎【教学说明】让学生以小组为单位进行思考、探讨和交流，教师采用巡视的方式参与到学生的交流活动中.教师巡视时可关注：①学生的研究方法，发现好的方法时，可在适当时间让其和同学们一起交流分享.②还有哪些小组的同学研究有困难，此时教师可抓住分分秒秒对其进行讲解，争取不让任何一个学生掉队.‎ 二、思考探究，获取新知 已知a，b，c，d，e，f六个数，如果=k，（b=d=f≠0），那么=k成立吗？为什么？‎ ‎【归纳结论】‎ 160‎ 如果=k，（b=d=f≠0），那么=k ‎【教学说明】理解比例的性质可以由等式的基本性质推出.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.已知（b+d+f≠0），求的值.‎ 分析：根据等比性质，‎ ‎∵‎ ‎∴.‎ ‎2.已知==3，=成立吗？‎ 分析：由==3，得a=3b，c=3d.所以==2， ==2，因此=.‎ ‎3.已知a∶b∶c=4∶3∶2，且a+3b-3c=14.‎ ‎（1）求a、b、c；‎ ‎（2）求4a-3b+c的值.‎ 解：（1）设a=4k，b=3k，c=2k.‎ ‎∵a+3b-3c=14，‎ ‎∴4k+9k-6k=14，‎ ‎∴7k=14，‎ ‎∴k=2，‎ ‎∴a=8，b=6，c=4.‎ ‎（2）4a-3b+c=32-18+4=18.‎ ‎4.已知a∶b∶c=3∶4∶5，求的值.‎ 解：方法一：由a∶b∶c=3∶4∶5，得，‎ 所以，‎ 所以，所以，‎ 160‎ 所以.‎ 方法二：由a∶b∶c=3∶4∶5，得，‎ 设=k，‎ 则a=3k，b=4k，c=5k，‎ 所以.‎ ‎5.在△ABC中，D是BC上一点，若AB=15cm，AC=10cm，且BD∶DC=AB∶AC，BD-DC=2cm，求BC.‎ 解：∵AB=15cm，AC=10cm，‎ ‎∴.‎ 设BD=3k，DC=2k，‎ ‎∵BD-DC=2cm，‎ ‎∴k=2cm.‎ ‎∴BC=3k+2k=5k=10cm.‎ ‎【教学说明】让学生清楚的理解比例的基本性质的应用，熟练掌握设“k”法.‎ ‎6.已知k=，求k的值.‎ 分析：解决这个问题时一定要注意分类讨论，不能只用等比性质，而把a+b+c=0这种情况漏掉.‎ 解：当a+b+c=0时，a+b=-c，k==-1；‎ 当a+b+c≠0时，可以用等比性质k==2；所以k=-1或k=2.‎ ‎【教学说明】在利用等比性质时，一定要注意等比性质成立的条件，千万不能忽视这一点.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎1.本节课你有哪些收获？‎ ‎2.通过这节课的学习，你还存在哪些疑惑？‎ ‎【教学说明】让学生相互交流后，单独回答、提问.‎ ‎1.布置作业:教材“习题4.2”中第1、2题.‎ 160‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 本节采用以问题为载体，以培养学生能力为目的的教学模式，教学从提出新的问题开始，引导学生获取知识、探索发现、积极创新，加深对问题的认识，采用讲练结合的方式，增加了教学的弹性.‎ ‎2平行线分线段成比例 ‎【知识与技能】‎ 在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边平行线的性质与判定定理，并会灵活应用.会作已知线段成已知比的作图题.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.‎ ‎【情感态度】‎ 通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美.‎ ‎【教学重点】‎ 定理的应用.‎ ‎【教学难点】‎ 定理的推导证明.‎ 一、情境导入,初步认识 ‎1.求出下列各式中的x∶y.‎ ‎（1）3x=5y；（2）x=23y；‎ ‎（3）3∶2=y∶x；（4）3∶x=5∶y.‎ ‎2.已知x/y=7/2，求x/（x+y）.‎ ‎3.已知x/2=y/3=z/4，求(x+y+z)/(2x+3y-z).‎ ‎【教学说明】其中第1题以学生口答、共同核对的方式进行；第2、3题以学生各自解答，指定2人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行.‎ 二、思考探究，获取新知..‎ 160‎ ‎1.在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今天，在此基础上，我们来研究平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理，如图（1）：‎ ‎∵AD∥BE∥CF ，且AB=BC ，‎ 则DE=EF.‎ 问题1：图（1）中若AD∥BE∥CF，则成立吗？‎ 解：由于 AB=BC,DE=EF,故=1.‎ 问题2：如果将CF向下平移到如图（2）的位置，则AB/BC=DE/EF仍成立吗？‎ 解：若AD∥BE∥CF，则=2/3.‎ ‎【教学说明】学生之间相互交流，探讨得出结论.‎ 问题3：在一般情况下，如图，若AD∥BE∥CF，这个结论吗？‎ ‎【教学说明】学生可以动手量一量，算一算.得出结论.‎ ‎【归纳总结】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.‎ ‎【教学说明】这里不要让学生死记硬背，要让学生会看图，达到根据图作出正确的比例即可.‎ ‎2.在如图所示的三个图形中，DE∥BC，以上得到的那些比例是否成立？说说你的理由.‎ 与上图对比，通过添加一组平行线，得到平行线分线段成比例定理的基本图形，从而得到比例线段.‎ 160‎ 在图（1）中，因为平行于BC的直线DE与△ABC的两边AB、AC相交与D、E，‎ 在图（2）中，因为平行于BC的直线DE与△ABC的两边AB、AC的反向延长线相交于D、E，‎ ‎【归纳结论】平行于三角形一边的直线与三角形的两边或两边的延长线相交，所截得的对应线段成比例.‎ ‎【教学说明】引导学生初步总结出平行线分线段成比例定理及推论，然后师生共同归纳得出定理并板书定理.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎2.如图，在△ABC中，若BD∶DC=CE∶EA=2∶1，AD和BE交于F，则AF∶FD=________.‎ 解答：过点D作DH∥BE交AC于H，‎ ‎∴=2‎ ‎∴EH=CE ‎∵BD∶DC=CE∶EA=2∶1‎ ‎∴AE=CE=EH ‎∴.‎ ‎3.如图，在△ABC中，D、E分别在BC、AC上，且DC∶BD=1∶3，AE∶EC=2∶‎ 160‎ ‎1，AD与BE交于F，则AF∶FD=________.‎ 解答：过点D作DH∥BE交AC于H，‎ ‎∴=3‎ ‎∴EH=CE ‎ ‎∵AE∶EC=2∶1‎ ‎∴AE=2CE ‎∴.‎ ‎【教学说明】通过本题分析使学生进一步理解定理.‎ 四、师生互动，课堂小结 今天我们学习了平行线分线段成比例定理，当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广.‎ ‎1、布置作业：教材“习题4.3”中第1、2 题.‎ ‎2、完成练习册中相应练习.‎ 对于本节课的学习，学生还是要以探索归纳，动手练习为主.既要复习知识点，更重要的是要在复习的过程中不断提高学生用数学解决问题的能力.‎ ‎3相似多边形 ‎【知识与技能】‎ ‎1.了解相似多边形的概念和性质.‎ ‎2.在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似.‎ ‎3.会用相似多边形的性质解决简单的几何问题.‎ ‎【过程与方法】‎ 理解相似多边形的概念和性质，并能熟练运用.‎ ‎【情感态度】‎ 激发学习兴趣，培养想象力，挖掘学生潜力.‎ ‎【教学重点】‎ 160‎ 相似多边形的定义和性质.‎ ‎【教学难点】‎ 如何判断两个多边形是否相似.‎ 一、情境导入,初步认识 如图：四边形A1B1C1D1是四边形ABCD经过相似变换所得的图象.‎ 请分别求出这两个四边形的对应边的长度,并分别量出这两个四边形各个内角的度数.‎ 然后与你的同伴讨论：这两个四边形的对应角之间有什么关系？对应边之间有什么关系？‎ ‎【教学说明】培养学生从图片直观地获取信息的能力，并通过亲身体验归纳总结相似图形的共同特点.由此自然地引出课题——相似多边形.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.相似多边形：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.‎ 对应顶点的字母写在对应的位置上，如四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD.‎ 相似多边形对应边的比叫做相似比.图中四边形A1B1C1D1与四边形ABCD的相似比为k=1/2.‎ ‎2.观察下面两个图，判断：它们形状相同吗？它们是相似图形吗？‎ 这两个五边形是_____________________________________，‎ 即_______________________________________.‎ ‎3.问题：如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？‎ 相似多边形的性质：____________________________________________.‎ ‎【教学说明】通过对各种相似图形特点的一个自然感知的过程，使学生都能用自己的语言归纳总结出相似多边形的特点.‎ ‎【归纳结论】相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似用“∽”表示，读作“相似于”.‎ 160‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？‎ ‎（1） 正三角形ABC与正三角形DEF；‎ ‎（2）正方形ABCD与正方形EFGH.‎ 解：(1)由于正三角形每个角都等于60°，‎ 所以∠A=∠D=60°，∠B=∠E=60°，‎ ‎∠C=∠F= 60°.‎ 由于正三角形三边相等，‎ 所以AB∶DE=BC∶EF=CA∶FD；‎ ‎(2)由于正方形的每个角都是直角，‎ 所以∠A=∠E=90°，∠B=∠F=90°，‎ ‎∠C=∠G=90°，∠D=∠H=90°，‎ 由于正方形的四边相等，‎ 所以AB∶EF=BC∶FG=CD∶GH=DA∶HE.‎ ‎2.两个相似多边形，其中一个多边形的周长和面积分别是10和8，另一多边形的周长为25，则另一个多边形的面积是________.‎ 解答：两个相似多边形的周长的比等于相似比，因而相似比是10∶25=2∶5，‎ 而面积的比等于相似比的平方，设另一个多边形的面积是x，‎ 则8：x=（2∶5）2，解得：x=50，即另一个多边形的面积是50.‎ ‎3.两个相似的五边形，一个五边形的各边长分别为1，2，3，4，5，另一个的最大边长为10，则后一个五边形的最短边的长为________.‎ 分析：根据相似多边形的对应边的比相等可得.‎ 解：两个相似的五边形，最长的边是5，另一个最大边长为10，则相似比是5∶10=1∶2，根据相似五边形的对应边的比相等，设后一个五边形的最短边的长为x，则1∶x=1∶2，解得：x=2，即后一个五边形的最短边的长为2.‎ ‎4.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠1=_____，AD=_____.‎ 解析：根据相似多边形对应边之比相等，对应角相等可得.‎ 解答：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，‎ 则∠1=∠B=70°，.‎ 160‎ 即，解得AD=28，∠1=70°.‎ ‎5.设四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，且A与A1、B与B1、C与C1是对应点，已知AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8，则四边形A1B1C1D1的周长为________.‎ 解析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，则根据相似多边形对应边的比相等，就可求得A1B1C1D1的其它边的长，就可求得周长.‎ 解答：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，‎ ‎∴.‎ 又∵AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8，‎ ‎∴，‎ ‎∴B1C1=12，C1D1=12，D1A1=6，‎ ‎∴四边形A1B1C1D1的周长=8+12+12+6=38.‎ ‎【教学说明】学生在应用中更深层次认识相似多边形的基本涵义；初步掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例的性质.‎ 四、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习，你有何收获？还有哪些疑问？‎ ‎【教学说明】鼓励学生结合本节课的学习过程，谈谈自己的收获与感想，让学生学会疏理、归纳和总结.‎ ‎1、布置作业:教材“习题4.4”中第1 、2 题.‎ ‎2、完成练习册中相应练习.‎ 本节课是在探索相似多边形的过程中,进一步发展学生归纳、类比、反思、交流、论证等方面的能力，提高数学思维水平，体会反例的作用及直觉的不可靠性.‎ ‎4 探索三角形相似的条件 第1课时 相似三角形的判定（1）‎ ‎【知识与技能】‎ ‎1.经历三角形相似的判定定理1 的探索及证明过程.‎ 160‎ ‎2.能应用判定定理1判定两个三角形相似，解决相关问题.‎ ‎【过程与方法】‎ 让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.‎ ‎【情感态度】‎ 通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造快乐.‎ ‎【教学重点】‎ 三角形相似的判定定理1及应用.‎ ‎【教学难点】‎ 三角形相似的判定定理1的证明.‎ 一、情境导入，初步认识 现有一块三角形玻璃ABC， 不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整.如果用这两个角去配制一张完全一样的玻璃，能成功吗？‎ ‎【教学说明】选择以旧孕新为切入点，创设问题情境，引入新课.‎ 二、思考探究，获取新知 问题情景出现后，让学生充分发表自己的想法.‎ ‎1、动手实验： ‎ 现在，已量出∠A=60°，∠B=45°，请同学们当一当工人师傅，在纸片上作∠A=60°，∠B=45°的△ABC，剪下与同桌所做的三角形比较，研究这两个三角形的关系.你有哪些发现？在小组内交流.‎ ‎【教学说明】学生动手操作，教师巡回指导，启发点拨.‎ 学生经过画一画、剪一剪、量一量、算一算、拼一拼，在小组合作基础上，讨论交流，可能得出下面结论：‎ ‎① 这样的两个三角形不一定全等.‎ ‎② 两个三角形三个角都对应相等.‎ ‎③ 通过度量后计算，得到三边对应成比例.‎ ‎④ 通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似.‎ 此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题：两角对应相等，两三角形相似.‎ ‎2.进而让学生画出图形，写出已知、求证.‎ 已知：如图△A′B′C′和△ABC中，∠A′=∠A，∠B′=∠B.求证： △A′B′C′∽△ABC.‎ 160‎ 证明：在△ABC的AB上截取BD=B′A′，过D作DE∥AC，交BC于E.‎ ‎∴‎ ‎∴△ABC∽△DBE ‎∵∠BDE=∠A，∠A=∠A′‎ ‎∴∠BDE=∠A′‎ ‎∵∠B=∠B′，BD=B′A′‎ ‎∴△DBE≌△A′B′C′‎ ‎∴△ABC∽△A′B′C′.‎ ‎【教学说明】如果学生还能从不同角度研究，或许还有新的方法进行证明，要大胆鼓励.‎ ‎【归纳结论】判定定理1：两角对应相等，两三角形相似.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原来的三角形相似.‎ 已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.‎ 求证：△ABC∽△ACD∽△CBD.‎ 证明：略.‎ ‎2.判断题：‎ ‎（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.（√）‎ ‎（2）所有的直角三角形都相似.（×）‎ ‎（3）有一个角相等的两个等腰三角形相似.（×）‎ ‎（4）顶角相等的两个等腰三角形相似.（√）‎ ‎3.已知：△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′=75°，∠C=50°，∠A′=55°，问：这两个三角形相似吗？为什么？‎ 解：相似.理由如下：在△ABC中，‎ ‎∵∠B=75°，∠C=50°，‎ ‎∴∠A=55°，‎ ‎∴∠B=∠B′，∠A=∠A′.‎ 160‎ ‎∴△ABC∽△A′B′C′.‎ ‎4.已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD.‎ 分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得.借助于计算也是一种常用的方法.‎ 证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°，又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°.‎ 在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°，∴△ABC∽△BCD.‎ ‎5.如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽ △EGC或△EAB .‎ 解析：关键在于找“角相等”，除已知条件中已明确给出的条件外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角.本例除公共角∠G外，由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC.又∠1=∠3（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB.‎ ‎6. 如图，D点是△ABC的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在△ABC的边上，并且点D、点E和△ABC的一个顶点组成的小三角形与△ABC相似.并说明线段DE的画法.‎ 分析：画相似的三角形主要是作相等的角.所以需要画平行线.‎ 如：‎ 画法：略 ‎【教学说明】学生在独立思考的基础上，小组讨论交流，让学生随时展示自己的想法.从而得到提高.‎ 四、师生互动，课堂小结 提问：“通过这节课的学习你有什么收获？”‎ 让学生相互畅谈自己的学习感受和体会，并请个别学生发言.‎ ‎1、布置作业：教材“习题4.5”中第3、4 题.‎ ‎2、完成练习册中相应练习.‎ 160‎ 通过这节课的教学，绝大多数学生能运用本节课所学的知识进行相关的计算和证明；少数学生在探究两个三角形相似的定理时，还不太熟练，教师需加强针对训练.‎ 第2课时 相似三角形的判定（2）‎ ‎【知识与技能】‎ ‎1.掌握相似三角形的判定定理，并能与性质定理、定义综合应用.‎ ‎2.理解并掌握判定定理与性质定理的区别与联系.‎ ‎【过程与方法】‎ 学会从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，提高分析问题、解决问题的能力.‎ ‎【情感态度】‎ 在合作、交流、探讨的学习氛围中，体验学习的快乐，树立学习的信心.‎ ‎【教学重点】‎ 掌握判定定理，会运用判定定理判定两个三角形相似.‎ ‎【教学难点】‎ 会准确的运用两个三角形相似的条件来判定两个三角形是否相似.‎ 一、情境导入，初步认识 问题：（1）相似三角形的定义是什么？‎ ‎ 三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似.‎ ‎ （2）判断两个三角形相似，你有哪些方法？ ‎ 方法1：通过定义 (不常用)；‎ 方法2：通过平行线（条件特殊，使用起来有局限性）；‎ 方法3：判定定理1， 两角分别相等的两个三角形相似. ‎ ‎【教学说明】引导学生复习学过的知识，承前启后，激发学生学习新知识的欲望.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.完成教材P91的做一做.‎ ‎【教学说明】老师引导学生分析、讨论得出结果，学生口述证明过程，老师板书.‎ ‎【归纳结论】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.‎ ‎2.已知：，∠B=∠B′.‎ 求证：△ABC∽△A′B′C′.‎ 160‎ 证明：过点B′在B′A′上取线段AB的长，同理过点B′在B′C′上取线段BC的长，连接AC.‎ ‎∵ ，‎ 则AC//A′C′，‎ ‎∴∠BAC=∠B′A′C′，∠BCA=∠B′C′A′‎ ‎∴△ABC ∽△A′B′C′.‎ ‎【教学说明】用已学过的知识解题，并通过解题结论证明定理.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AC=4，BC=5，A′C′=8，B′C′=10.‎ 解：∵‎ ‎∴‎ 又∵∠C=∠C′=90°，‎ 故△ABC∽△A′B′C′.‎ ‎2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长.‎ 分析：由于已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明两三角形相似.再利用相似三角形的性质得出关于AD的比例式 ，从而求出AD的长.‎ 解：由已知条件可以得出：，‎ 又∠B=∠ACD，根据判定定理2可得出：‎ ‎△ABC∽△DCA，∴，‎ 又AC=5，BC=4，‎ ‎∴.‎ ‎3.如图，已知△ABD∽△ACE.求证：△ABC∽△ADE.‎ 160‎ 分析：由于△ABD∽△ACE，则∠BAD=∠CAE，因此∠BAC=∠DAE，再进一步证明，则问题得证.‎ 证明：∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD=∠CAE.又∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∴∠BAC=∠DAE.∵△ABD∽△ACE，∴.在△ABC和△ADE中，∵∠BAC=∠DAE，，∴△ABC∽△ADE.‎ ‎4.如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC=1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）.‎ 分析：根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，△BCA与△MNA的相似关系就明确了.‎ 解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，‎ ‎∠BAC=∠MAN，‎ 所以△BCA∽△MNA.‎ 所以MN∶BC=AN∶AC，‎ 即MN∶1.6=20∶1.5.‎ 所以MN=1.6×20÷1.5≈21.3（m）.‎ ‎5.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD2=DC·AC.‎ 分析：有一个角是36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分线，∴∠CBD=36°，则可推出△ABC∽△BCD，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.‎ 证明：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°.∴AD=BD=BC，且△ABC∽△BCD，∴BC∶AB=CD∶BC，∴BC2=AB·CD，即AD2=AC·CD.‎ ‎【教学说明】能够运用所学的判定方法解决简单问题.‎ 四、师生互动，课堂小结 这节课你有哪些收获？‎ 160‎ ‎1.布置作业：教材“习题4.6”中第1、2题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 本节课主要运用问题引入和与学生共同探究讨论的教学方法，激发学生的论证思维并提高学生分析问题.解决问题的能力.‎ 第3课时 相似三角形的判定（3）‎ ‎【知识与技能】‎ 理解并掌握相似三角形的判定的表述及运用.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历相似三角形判定定理的推导过程，掌握相似三角形的判定方法.‎ ‎【情感态度】‎ 在探索相似三角形判定方法的活动中，提出问题与思考问题，体会化归思想.‎ ‎【教学重点】‎ 导出相似三角形的判定定理并会运用.‎ ‎【教学难点】‎ 相似三角形判定定理的运用.‎ 一、情境导入，初步认识 回想一下，我们已经学习过哪些判定两个三角形相似的方法？‎ 由此我们能否由全等的另一种方法（S.S.S）想到判定相似的新方法？‎ ‎【教学说明】学生猜测，并写出已知、求证.‎ ‎【归纳结论】三边对应成比例，两三角形相似.‎ 二、思考探究，获取新知 证明：三边对应成比例，两三角形相似.‎ ‎【教学说明】在教师的指导下学生口述，教师板书，最后提示三个步骤：运动、预备定理、相似的传递性.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，‎ 160‎ ‎，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形木框（A）‎ A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判断 ‎2.如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁4点中的（C）‎ A.甲点 B.乙点 C.丙点 D.丁点 ‎3.如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（B）‎ A.（6，0） B.（6，3）‎ C.（6，5） D.（4，2）‎ ‎4.在△ABC和△A1B1C1中，已知：AB=6cm，BC=8cm，AC=11cm，A1B1=18cm，B1C1=24cm，A1C1=33cm.求证：△ABC∽△A1B1C1.‎ 分析：正确求得三条对应边的比，根据三条对应边的比相等证明两个三角形相似.‎ 证明：∵AB=6cm，BC=8cm，AC=11cm，A1B1=18cm，B1C1=24cm，A1C1=33cm，∴‎ ‎∴△ABC∽△A1B1C1.‎ ‎【教学说明】判断两个三角形三边是否成比例的方法：‎ ‎（1）排：将三角形的边按长短顺序排列；‎ ‎（2）算：分别计算它们对应边的比；‎ ‎（3）判：由三个比值是否相等来判定两个三角形的三边是否成比例.‎ 160‎ ‎5.如图，已知，∠BAD=20°，求∠CAE的大小.‎ 分析：根据三边对应成比例得△ABC与△ADE相似，再利用相似三角形的性质解答.‎ 解：∵，‎ ‎∴△ABC∽△ADE.‎ ‎∴∠BAC=∠DAE.‎ 又∠DAC是公共角，‎ ‎∴∠CAE=∠BAD=20°.‎ ‎6.如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.‎ 解：相似.‎ 证明：∵AB=2，BC=，AC=，EF=2，DF=，DE=.‎ ‎∴ ‎ ‎∴△ABC∽△DEF.‎ ‎7.如图为三个并列的边长相同的正方形，试说明：∠1+∠2+∠3=90°.‎ 分析：如图，运用勾股定理分别求出BE、CE、DE的长度（用λ表示），求出△BEC与△BDE的三边之比，证明△BEC∽△BDE；借助三角形外角的性质即可解决问题.‎ 解：设每个小正方形的边长为λ，由勾股定理得：BE2=λ2+λ2，CE2=（2λ）2+λ2，DE2=（3λ）2+λ2，‎ ‎∴BE=λ，CE=λ，DE=λ；‎ ‎∴‎ 同理可求： ‎ ‎∴‎ ‎∴△BEC∽△BDE，‎ ‎∴∠2=∠BED；‎ ‎∵∠1=∠BED+∠3，且∠1=45°，‎ 160‎ ‎∴∠1+∠2+∠3=90°.‎ 四、师生互动、课堂小结 引导学生自主完成以上例题.‎ ‎1.布置作业：教材“习题4.7”中第1、2题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 在课堂教学中通过引导学生分析问题、解决问题，让学生体验到他们才是学习的主人，教师是他们平等的合作者.对于例题、练习，强调学生先独立思考，需要合作探索的内容让学生大胆动手操作.最后让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达的能力.‎ 第4课时 黄金分割 ‎【知识与技能】‎ ‎1.理解黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点.‎ ‎2.会判断一点是否是线段的黄金分割点.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解能力和动手能力.‎ ‎【情感态度】‎ 理解黄金分割点的现实意义，动手制作相关图形，感受黄金分割的美，体会教学的应用价值.‎ ‎【教学重点】‎ 找一条线段的黄金分割点.‎ ‎【教学难点】‎ 黄金分割比的应用.‎ 一、情境导入，初步认识 现实生活中存在许多优美的图画和建筑，例如古埃及金字塔、古希腊巴台农神庙，这些建筑的边长之间的比都接近某一个数，你知道这个数是多少吗？‎ ‎【教学说明】利用来源于生活中的美丽图象或建筑吸引学生的注意力，营造一个感受美、关注美、探究美的氛围，唤醒学生对美的感受.‎ 160‎ 二、思考探究，获取新知 动手量一量，五角星图案中，线段AC、BC的长度，然后计算与,它们的值相等吗？‎ ‎【教学说明】学生亲自动手操作，得到黄金比并加深对黄金分割的理解.‎ ‎【归纳结论】在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果=,那么称线段AB被点C黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为（D）‎ ‎2.把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为 0.764 米.‎ ‎3.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F.那么BF∶FD的值为.‎ ‎4.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感.张女士的身高为1.68米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.02米，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美.(精确到十分位)‎ 解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，‎ 则=0.618，‎ 解得：x≈4.8cm.故答案为：4.8cm.‎ ‎5.已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点C，使AC＞BC.‎ 解：作法如下：‎ ‎（1）延长线段AB至F，使AB＝BF，分别以A、F为圆心，以大于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，使BD＝AB；‎ 160‎ ‎（2）连接AD，在AD上截取DE＝DB；‎ ‎（3）在AB上截取AC＝AE.如图，点C就是线段AB的黄金分割点.‎ ‎【教学说明】通过例题分析使学生进一步理解定理的应用和黄金分割的意义.使学生能更好地掌握本节知识.‎ ‎6.在矩形ABCD中，AB>BC，如图.若BC∶AB=∶1，那么这个矩形成为黄金矩形.在黄金矩形ABCD内作正方形EBCF，则矩形AEFD是黄金矩形吗？试说明理由.‎ 解：矩形AEFD是黄金矩形.理由如下：‎ 设AB=1，由BC∶AB=∶1可知BC=，‎ 所以BE=，AE=1-=3-52，‎ 所以AE∶EF=∶=∶1.‎ 故矩形AEFD是黄金矩形.‎ 四、师生互动，课堂小结 如何找一条线段的黄金分割点，这节课你有哪些收获？‎ ‎1.布置作业：教材“习题4.8”中第1 题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 本节课知识点较多，具有一定的抽象性，所以有一部分学生掌握的不够好.在今后的教学中将努力改变，铺设阶梯，给大多数同学发言、参与的机会，活跃课堂气氛.‎ ‎*5相似三角形判定定理的证明 160‎ ‎【知识与技能】‎ 掌握判定两个三角形相似的方法及证明过程，并应用它解决一些实际问题.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历相似三角形判定定理的证明过程，体会它在数学学习中的作用.‎ ‎【情感态度】‎ 发展学生的推理能力.‎ ‎【教学重点】‎ 判定定理的证明.‎ ‎【教学难点】‎ 会用定理解决一些实际问题.‎ ‎`‎ 一、情境导入，初步认识 问题：三角形相似的判定定理有哪些？你能证明这些定理吗？‎ ‎【教学说明】从回顾判定定理来引出新知，帮助学生建立新旧知识的联系.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.证明：两角分别相等的两个三角形相似，‎ 见教材P83页.‎ ‎2.证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，‎ 见教材P84~85页.‎ ‎3.证明：三边成比例的两个三角形相似，‎ 见教材P85页.‎ ‎【教学说明】教师带领学生探究证明方法，指导学生书写过程，并指出不足之处.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？‎ ‎（1）所有的直角三角形都相似.‎ ‎（2）所有的等腰三角形都相似.‎ ‎（3）所有的等腰直角三角形都相似.‎ ‎（4）所有的等边三角形都相似.‎ 分析： （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同.（2）不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同.（3）正确.设有等腰直角三角形ABC和A′B′C′，其中∠C=∠C′=90°，则∠A=∠A′=45°,∠B=∠B′=45°，设△ABC的三边为a、b、c，△A′B′C′的三边为a′、b′、c′，则a=b,c=a,a′=b′,c′=a′，∴a/a′=b/b′,c/c′=a/a′，∴△ABC∽△A′B′C 160‎ ‎′.（4）正确，如△ABC与△A′B′C′都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此△ABC∽△A′B′C′.解：（1）、（2）不正确.（3）、（4）正确.‎ ‎2.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（B）‎ A.只有1个 B.可以有2个 C.有2个以上但有限 D.有无数个 ‎3.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（A）‎ ‎4.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.‎ 分析：根据平行线的性质可知∠AED=∠C，∠A=∠FEC，根据相似三角形的判定定理，可知：△ADE∽△EFC.‎ 证明：∵DE∥BC，‎ ‎∴∠AED=∠C.‎ 又∵EF∥AB，‎ ‎∴∠A=∠FEC.‎ ‎∴△ADE∽△EFC.‎ ‎5.已知，如图，D为△ABC内一点，连接BD、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，连接ED，求证：△DBE∽△ABC. ‎ 分析： 由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用，所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例.从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决.‎ 证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD,‎ ‎∠BCE=∠BAD，∴△CBE∽△ABD.‎ ‎∴，即：. ‎ ‎△DBE和△ABC中，∠CBE=∠ABD， ‎ ‎∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC，‎ 160‎ ‎∴∠DBE=∠ABC且，‎ ‎∴△DBE∽△ABC.‎ ‎【教学说明】培养和提高学生利用已学知识解决实际问题的能力.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎1.相似三角形有哪几种判定方法？‎ ‎2.上述几种判定方法如何进行证明？‎ ‎3.你还存在哪些疑惑？‎ ‎1.布置作业:教材“习题4.9”中第1、2、3、4题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 通过本节课的学习，加强了对学生能力的培养与训练，但在一些综合应用的题目中，学生感到有一定的难度，所以要在实际应用时，尽量开阔学生的思维方式，多鼓励学生用多种方法解题.‎ ‎6利用相似三角形测高 ‎【知识与技能】‎ 让学生会用相似三角形解决实际问题.‎ ‎【过程与方法】‎ 能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等一些实际问题.‎ ‎【情感态度】‎ 通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力.‎ ‎【教学重点】‎ 运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.‎ ‎【教学难点】‎ 灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.‎ 一、情境导入,初步认识 160‎ 在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯.泰勒斯年轻时是一名商人，到过不少东方国家.一年春天，泰勒斯来到埃及，埃及法老对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时的条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？‎ ‎【教学说明】教师利用金字塔的事例导入新课，激发学生的兴趣，提高学生探究新知的欲望.为本节课问题的探究作出准备.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.利用阳光下的影子测量旗杆高度.‎ 从图中我们可以看出人与人在阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形.即△EFD∽△ABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据可得BC=，代入测量数据即可求出旗杆BC的高度.‎ ‎2.利用标杆测量旗杆高度.‎ 当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G,交标杆EF于H,于是得△DHF∽△DGC.‎ 因为可以量得AE、AB,观测者身高AD、标杆长EF,且DH=AE，DG=AB，‎ 由得GC=，‎ ‎∴旗杆高度BC=GC+GB=GC+AD.‎ ‎［对比］过D、F分别作EF、BC的垂线交EF于H，交BC于M，因标杆与旗杆平行，容易证明△DHF∽△FMC∴由，可求得MC的长.于是旗杆的长BC=MC+MB=MC+EF.‎ ‎3.利用镜子的反射测量旗杆高度.‎ 160‎ 这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C′，∵△EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC，∴△EAD∽△EBC,测出AE、EB与观测者身高AD，可求得BC=.‎ 问：你还可以用什么方法来测旗杆的高度？现在你能测量金字塔的高度了吗？‎ ‎【教学说明】让学生进行观察，分析，探究，交流解决实际问题，培养学生运用数学知识解决问题的能力，体验数学与生活的密切关系.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高.‎ 分析：本题所叙述的内容可以画出如上图那样的几何图形，即DF=60厘米=0.6米，GF=12厘米=0.12米，CE=30米，求BC.由于△ADF∽△AEC,，又△AGF∽△ABC，∴，∴，从而可以求出BC的长.‎ 解：∵AE⊥EC,DF∥EC，∴∠ADF=∠AEC,∠DAF=∠EAC，∴△ADF∽△AEC.∴.又GF⊥EC,BC⊥EC，∴GF∥BC,∠AFG=∠ACB,∠AGF=∠ABC，∴△AGF∽△ABC，∴，∴.又DF=60厘米=0.6米，GF=12厘米=0.12米，EC=30米，∴BC=6米.即电线杆的高为6米.‎ ‎2.如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上.求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（1丈=10尺，1米=3尺）‎ 解：AB=2510米，BD=30750步.‎ 160‎ ‎【教学说明】进一步加深学生对相似三角形知识的理解，培养学生的应用能力，并获得学习数学的喜悦感.‎ 四、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？‎ ‎1、布置作业：教材“习题4.10”中第1~4 题.‎ ‎2、完成练习册中相应练习.‎ 通过本节课的学习，使学生能将实际问题转化为数学问题，通过作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例，可以计算出不能直接使用皮尺或刻度尺测量的物体的长度或高度.‎ ‎7 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形对应线段的比 ‎【知识与技能】‎ 理解并掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）比与相似比之间的关系【过程与方法】‎ 对性质定理的探究：学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨的学习态度.‎ ‎【情感态度】‎ 在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律.‎ ‎【教学重点】‎ 相似三角形性质定理的探索及应用.‎ ‎【教学难点】‎ 相似三角形的性质与判定的综合应用.‎ 一、情境导入，初步认识 ‎1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？‎ ‎2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？‎ ‎3.相似三角形的判定方法有哪些？‎ ‎4.根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质？‎ ‎5.相似三角形还有其它的性质吗？本节我们就来探索相似三角形的其它性质.‎ 160‎ ‎【教学说明】回顾前面所学的知识，为本节课的学习作铺垫.‎ 二、思考探究，获取新知 1. 如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？‎ 证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B=∠B ′，‎ ‎ 又∵AD⊥BC， A′D′⊥B′C′‎ ‎ ∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，‎ ‎ ∴△ABD∽△A′B′D′，‎ ‎∴AB︰A′B′=AD︰A′D′=k.‎ 2. ‎△ABC ∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′边上的中线，AE、A′E′分别是△ABC 和△A′B′C′的角平分线，且AB︰A′B′=k，那么AD与A′D′、AE与A′E′之间有怎样的关系？‎ ‎【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.‎ ‎【教学说明】学生小组内交流讨论，写出过程，教师点评.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且 ，B′D′=4，则BD的长为 6 .‎ 解析：因为△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，根据对应中线的比等于相似比，，即，∴BD=6.‎ ‎2.已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，且AD=8cm， A′D′=3cm.则△ABC与△A′B′C′对应高的比为.‎ ‎3.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O， 则等于（ D ）‎ 160‎ A. B. C. D.‎ 解析：由题意可知△DAO∽△DEA，∴==.所以选D.‎ ‎4.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.（1）则图中有几对相似三角形;‎ ‎（2）若AD=9cm，CD=6cm，求BD；（3）若AB=25cm，BC=15cm，求BD.‎ 解析：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°.在△ADC和 △ACB中，∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，同理可知，△CDB∽△ACB，△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形.‎ ‎（2）∵△ACD∽△CBD，∴，即，∴BD=4（cm）.‎ ‎（3）∵△CBD∽△ABC，∴，即，∴BD==9（cm）.‎ ‎5.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连接DF与AB的延长线交于点G.‎ ‎（1）求证：△CDF∽△BGF；‎ ‎（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长.‎ ‎（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，‎ ‎∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，‎ ‎∴△CDF∽△BGF.‎ ‎（2）解：∵△CDF∽△BGF，‎ 又F是BC的中点，‎ ‎∴△CDF≌△BGF，‎ ‎∴DF=FG，CD=BG，‎ 又∵EF∥CD，AB∥CD，‎ ‎∴EF∥AG，得2EF=AB+BG.‎ 160‎ ‎∴BG=2EF-AB=2×4-6=2cm，‎ ‎∴CD=BG=2cm.‎ ‎【教学说明】通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的习惯，提高分析问题和解决问题的能力.‎ 四、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？‎ ‎1、布置作业：教材“习题5.11及5.12”中第1 、3 题.‎ ‎2、完成练习册中相应练习.‎ 本节课的主要内容是导出相似三角形的性质定理，并进行初步运用，让学生经历相似三角形性质探索的过程，体会相似三角形中的变量与不变量，体会其中蕴涵的数学思想.‎ 第2课时 相似三角形的对应周长比与面积比 ‎【知识与技能】‎ 理解并掌握相似三角形的周长及面积与相似比的关系.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程，发展合理推理和有条理的表达能力.‎ ‎【情感态度】‎ 培养学生积极进取的学习态度，发展学生的认知，使学生体会数学知识的价值.‎ ‎【教学重点】‎ 相似三角形的周长比及面积比与相似比的关系.‎ ‎【教学难点】‎ 相似三角形的面积比等于相似比的平方.‎ 一、情境导入，初步认识 我们已经学过哪些三角形的性质？‎ 有一块面积为100平方米，周长为80米的三角形绿地一块，由于学校改建，绿地被削去一角，变成一个梯形，原来绿地一边AB的长由原来的30米，缩短成20米，你能求出被削去的部分面积和周长是多少吗？‎ 160‎ ‎【教学说明】通过这个情境，目的是为了让学生了解学习相似三角形的性质是生活的需要.激发学生探索新知，验证自己猜想的欲望，同时揭开本节课所要学习内容的实质. ‎ 二、思考探究，获取新知 如图，△ABC∽△A′B′C′，，AD、A′D′为高线.‎ ‎（1）这两个相似三角形周长比为多少？‎ ‎（2）这两个相似三角形面积比为多少？‎ 分析：（1）由于△ABC ∽△A′B′C′，所以AB︰A′B′=BC︰B′C′=AC︰A′C′=k， 由等比性质可知（AB+BC+AC) ︰(A′B′+B′C′+A′C′)=k ，（2）由题意可知 △ABD∽△A′B′D′，所以AB︰A′B′=AD︰A′D′=k， 因此可得△ABC的面积︰△A′B′C′的面积=（AD·BC）︰（A′D′·B′C′）=k2.‎ ‎【教学说明】通过这两个问题，引导学生通过合作交流，找出解决问题的方法.‎ ‎【归纳结论】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE=1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ B ）‎ A.1∶2 B.1∶4 C.2∶1 D.4∶1‎ ‎2.在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（ A ）‎ A.8，3 B.8，6 C.4，3 D.４，6‎ 分析：根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为8，面积为3.‎ ‎3.已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′=1∶2，AB∶A′B′=.‎ 分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得AB∶A′B′=.‎ ‎4.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的 倍.‎ 解析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为，所以边长应缩小到原来的倍.‎ ‎5. 已知△ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的△A′B′C′‎ 160‎ 的最大边长为26，求△A′B′C′的面积S.‎ 解：设△ABC的三边依次为：BC=5，AC=12，AB=13，则∵AB2=BC2+AC2，∴∠C=90°.又∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠C′=∠C=90°. ==，而.所以，S=120.‎ ‎6.（1）已知，且3x+4z-2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长之差为560cm，求它们的周长.‎ 分析：（1）用同一个字母k表示出x，y，z.再根据已知条件列方程求得k的值，从而进行求解；（2）根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长差进行求解.‎ 解：（1）设=k，那么x=2k，y=3k，z=5k， 由于3x+4z-2y=40，∴6k+20k-6k=40，∴k=2，∴x=4，y=6，z=10.‎ ‎（2）设一个三角形周长为Ccm，则另一个三角形周长为（C+560）cm，则，∴C=240，C+560=800，即它们的周长分别为240cm，800cm.‎ ‎【教学说明】“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是一个难点，学生不易把握，通过这些例题，进一步巩固这个难点，让学生切实理解相似三角形的面积比与相似比（即对应边的比）的关系.‎ ‎【归纳结论】（1）解此类题目先设一个未知量，再根据已知条件列方程求得未知量的值，从而代入求解；（2）此题需熟悉相似三角形的性质：相似三角形周长比等于对应高的比.‎ 四、师生互动、课堂小结 ‎1.两个相似三角形周长的比等于它们的相似比，对应高的比等于它们的相似比，面积比等于相似比的平方.‎ ‎2.相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.‎ ‎3.能够利用相似三角形的性质解决问题.‎ ‎1.布置作业：教材“习题4.12”中第2 、3 题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 160‎ 本节课从实际问题引入课题，强调自主学习，让学生在探究过程中进行观察分析、合理猜想、解决问题，体验并感悟相似三角形的性质，使学生感受到学习的快乐，真正成为学习的主人.‎ ‎8 图形的位似 第1课时 位似图形及其画法 ‎【知识与技能】‎ ‎1.了解图形的位似的概念，会判断简单的位似图形和位似中心.‎ ‎2.理解位似图形的性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，解决一些简单的实际问题.‎ ‎【过程与方法】‎ 采用引导、启发、合作、探究等方法，经历观察、发现、动手操作、归纳、交流等数学活动，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习.‎ ‎【情感态度】‎ 使学生亲身经历位似图形的概念形成过程和位似图形性质的探索过程，感受数学知识的实用性.‎ ‎【教学重点】‎ 图形的位似概念、位似图形的性质及利用位似把一个图形放大或缩小.‎ ‎【教学难点】‎ 探索位似概念、位似图形的性质及利用位似准确地把一个图形通过不同的方法放大或缩小.‎ 一、情境导入,初步认识 下列图片是形状相同的一组图形.在图①上取一点A与图②上取相应点B的连线是否经过镜头中心P？换其它点呢？‎ ‎【教学说明】展示现实生活中的位似图形，让学生体会本课的价值，激发学生的兴趣.启发学生寻找图形的特点.‎ 160‎ 二、思考探究，获取新知 观察下面图形，有相似图形吗？如果有，有什么特征？‎ ‎【教学说明】教师演示引导学生观察对应点连线、对应边有什么特点.‎ ‎【归纳总结】如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,并且对应边平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心. 显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.‎ 注意：同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形.三条件缺一不可：‎ ‎①两图形相似；‎ ‎②每组对应点所在直线都经过同一点；‎ ‎③对应边互相平行（或在同一直线上）.‎ ‎2.把下面的四边形缩小到原来的(相似比是或位似比是).‎ 解：（位似中心在图形外）作法略.‎ 四边形A′B′C′D′即为所求.‎ 你有其他画法吗？请互相交流.‎ ‎【教学说明】启发学生自己画，引导学生利用位似图形的性质画位似图形.组织学生讨论位似中心的位置有几种情况并画出图形.‎ ‎【归纳总结】画位似图形的方法：1.确定位似中心；2.找对应点；3.连线；4.下结论.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1. 下列说法中正确的是（ D ）‎ A.位似图形可以通过平移而相互得到 B.位似图形的对应边平行且相等 C.位似图形的位似中心不只有一个 D.位似中心到对应点的距离之比都相等 ‎ 160‎ ‎2.如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2cm，OA=60cm,OB=15cm，则AC的长度为8cm.‎ ‎3. 如图，五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE是位似图形，且位似比为. 若五边形ABCDE的面积为17cm2， 周长为20cm，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为 ，周长为 10 cm .‎ ‎4.如图，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与 △A′B′C′ 是位似图形，位似比为 7∶4 ；△OAB与 △OA′B′ 是位似图形，位似比为 7∶4 .‎ 答案：△A′B′C′ 7∶4 △OA′B′ 7∶4‎ ‎5.如图：三角形ABC，请你在网格中画出把三角形ABC以C为位似中心放大2倍的三角形.‎ ‎【教学说明】小组合作交流、探究，动手操作.通过例题、练习，让学生总结解决问题的方法，以培养学生良好的学习习惯.‎ 四、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？‎ ‎1.布置作业：教材“习题4.13”中第1、2 题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 160‎ 在学习图形的位似概念过程中，让学生用类比的方法认识到事物总是互相联系的，温故而知新.而通过“位似图形的性质”的探索，让学生认识到事物的结论必须通过大胆猜测、推理和归纳.在分析理解位似图形性质时，加强师生的互动，提高学生分析问题、解决问题的能力.‎ 第2课时 平面直角坐标系中的位似变换 ‎【知识与技能】‎ ‎1.理解位似图形的定义，能熟练地利用坐标变化将一个图形放大与缩小.‎ ‎2.理解平移、轴对称、旋转和位似四种变换的基本性质，会按要求画出经变换后的图形.‎ ‎【过程与方法】‎ 在具体活动操作中，培养学生的动手操作能力，进一步增强用位似变换来解决实际问题的能力.‎ ‎【情感态度】在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，进一步培养学生综合运用知识的能力，体验成功的喜悦，树立良好的数学自信心.‎ ‎【教学重点】‎ 用图形的坐标变化来表示图形的位似变换，能综合运用平移、轴对称、旋转和位似进行图案设计.‎ ‎【教学难点】‎ 体会用图形的坐标变化来表示图形的位似变换的变化规律.‎ 一、情境导入，初步认识 问题 如图，已知点A（0，3），B（2，0）是平面直角坐标系内的两点，连接AB. ‎ ‎（1）将线段AB向左平移3个单位得到线段A1B1，画出图形，并写出A1，B1的坐标；‎ ‎（2）作出线段AB关于y轴对称的线段A2B2，并写出A2，B2点的坐标；‎ ‎（3）将线段AB绕原点O旋转180°得到线段A3B3，画出图形，并写出A3，B3的坐标.‎ ‎（4）以原点O为位似中心，位似比为，把线段AB缩小，得到线段A4B4，请在图中画出线段A4B4，写出A4，B4坐标.观察对应点坐标的变化，你有什么发现？‎ 160‎ ‎【教学说明】问题（1）、（2）、（3），从学生已有的知识入手，以问题为载体，自然复习平移、轴对称、旋转等变换.而问题（4），则是承上启下为新课的学习做好铺垫，同时，与问题（1）、（2）、（3）一起形成了完整的知识结构，这样以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系.对问题（1）、（2）、（3）的处理，可采用灵活多样形式，既可自主探究，也可小组讨论相互交流，教师也可适时参与讨论.在处理问题（4）时，教师可给学生充裕的探讨时间，让学生自己发现结论.‎ 二、思考探究，获取新知 通过上面的问题（4）思考，可以发现：在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点坐标的比为k或-k.这一结论是否正确呢？下面我们再通过探究来验证一下.‎ 问题 如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，3），B（2，1），C（4，3），以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，得到△A1B1C1. ‎ ‎（1）请在图中画出所有满足要求的△A1B1C1;‎ ‎（2）写出A、B、C的对应点A1，B1，C1的坐标；‎ ‎（3）观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？‎ 分析与解 （1）作直线OA，OB，OC，在射线OA、OB、OC上，截取A1，B1，C1，使，依次连接A1，B1，C1，得△A1B1C1，则△A1B1C1是适合要求的图形；类似地，在第三象限可画△A2B2C2，使得△A2B2C2是以O为位似中心，位似比为2的放大图形，如图所示：‎ ‎（2）把△ABC放大后，A，B，C的对应点为A1（4，6），B1（4，2），C1（8，6）；A2（-4，-6），B2（-4，-2），C2（-8，-6）；‎ ‎（3）观察对应点坐标的变化，可以发现，各顶点的横、纵坐标均是其对应点横、纵坐标的k倍或-k倍.‎ ‎【教学说明】通过对上述问题的探究思考，让学生主动参与数学知识的“再发现”，在动手——猜想——交流——归纳过程中进一步体验坐标平面内的位似变换性质.‎ 性质 在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比为k或-k.‎ 三、典例精析，掌握新知 例1 △OEF是△OAB以点O为位似中心；由△‎ 160‎ OAB放大而得到的，若点A、B坐标分别为（-1，4）和（3，2），且相似比为3∶1，求点E、F的坐标.‎ 分析与解 由坐标平面内以原点O为位似中心的两个图形的对应顶点坐标之间的关系可以知道，点E，F的坐标应为（-1×3，4×3）和（3×3，2×3）或（-1×（-3），4×（-3））和（3×（-3），2×（-3）），即E、F的坐标为（-3，12）和（9，6）或（3，-12）和（-9，-6）.‎ 例2 如图，四边形ABCD的坐标分别为A（-6，6），B（-8，2），C（-4，0），D（-2，4），画出它的一个以原点O为位似中心，相似比为的位似图形. ‎ 分析与解 问题的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标.根据前面的规律，点A的对应点A′的坐标为（-6×，6×），即（-3，3）.类似地，可以确定其他顶点的坐标.‎ 如图，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取A′（-3，3），B′（-4，1），C（-2，0），D′（-1，2）.依次连接A′，B′，C′，D′，四边形A′B′C′D′就是要求的四边形ABCD的位似图形.‎ ‎【教学说明】这里的两道题都可让学生自主探究，教师巡视，发现问题及时指导，最后教师再展示解题过程，锻炼学生的解题能力.在例2中，还可以画出四边形ABCD类似原点O在第四象限的位似图形，可让学生试一试.‎ 四、运用新知，深化理解 ‎1.如图表示△AOB和把它缩小后得到的△OCD，求△AOB与△COD的相似比.‎ ‎2.如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，-2），B（4，-5），C（5，-2），以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍.‎ ‎【教学说明】 所选的两道题是前面知识的延续，学生可自主完成，教师巡视，对优秀者应给予鼓励，增强他们学习兴趣.‎ 五、师生互动，课堂小结 ‎1.通过本节课的学习，你有哪些收获？‎ ‎2.列举出生活中的位似图案.‎ ‎【教学说明】 ‎ 160‎ 针对问题1，学生可发表各自看法，这样一方面可提炼本节知识点，另一方面也可对所存在的问题进行探讨，完善知识技能.而问题2则可让学生感受数学来源于生活，从而更深理解本节知识.‎ ‎1.布置作业：从教材P51习题27.3中选取.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 本课时可类比上一课时的教学方式进行，只不过本课时涉及到了平面直角坐标系，教学时教师应让学生充分参与，体会平面直角坐标系中的位似变换，以培养学生的动手操作能力和用位似变换解决实际问题的能力.本课的难点是用图形的坐标变化来表示图形的位似变换的变化规律，教师可让学生以小组为单位进行讨论，争取让学生自己发现规律，教师再予以适当点拨，以培养学生的探究能力.‎ 第四章 图形的相似 ‎【知识与技能】‎ 掌握本章知识，能熟练运用有关性质和判定解决具体问题.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过回顾和梳理本章知识了解图形的相似有关知识.‎ ‎【情感态度】‎ 在应用本章知识解决具体问题过程中提高学生分析问题、解决问题的能力.‎ ‎【教学重点】‎ 相似图形的特征与识别，相似三角形的有关概念及相似的表示方法和相似比的概念.‎ ‎【教学难点】‎ 能熟练运用有关性质和判定解决实际问题.‎ 一、知识框图，整体把握 ‎【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，使学生系统地了解本章知识及其之间的关系.‎ 二、释疑解惑，加深理解 ‎1.比例的基本性质：线段的比；成比例线段；黄金分割.‎ 160‎ ‎2.图形的相似：相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方.‎ ‎3.三角形相似：两个三角形相似的条件.‎ ‎4.图形的位似：能够利用位似将一个图形放大或缩小.‎ ‎5.利用相似解决实际问题（如：测量旗杆的高度）.‎ ‎【教学说明】通过对重点知识的回顾为本节课的学习内容做好铺垫.‎ 三、典例精析，复习新知 ‎1.若，则m=±1.‎ 解析：分a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况.‎ ‎2.如图，在△ABC中，AB=AC=27，D在AC上，且BD=BC=18，DE∥BC交AB于E，则DE＝10. ‎ 解析：由△ABC∽△BCD，列出比例式，求出CD，再用△ABC∽△AED求DE.‎ ‎3.已知：如图，F是四边形ABCD的对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD.求证：=1.‎ 分析：利用AC=AF+FC.‎ 解：∵EF∥BC，FG∥AD，‎ ‎∴‎ ‎4.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC的中点，延长AC、DE相交于点F，求证：.‎ 160‎ 分析：过F点作FG∥CB，只需再证GF=DF.‎ 解：如图（2），作FG∥BC交AB延长线于点G.∵BC∥GF，‎ ‎∴.‎ 又∠BDC=90°，BE=EC，‎ ‎∴BE=DE.‎ ‎∵BE∥GF，∴=1.‎ ‎∴DF=GF.∴.‎ 四、复习训练，巩固提高 ‎1.如图，AB∥CD，图中共有6对相似三角形.‎ ‎2.如图，已知AD∥EF∥BC，且AE=2EB，AD=8cm，BC=14cm，则S梯形AEFD︰S梯形BCFE=.‎ 解析：延长EA，与CD的延长线交于P点，则△APD∽△EPF∽△BPC.‎ ‎3.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，在BC边上取一点D，使BD=BA，连接AD.求证：（1）△ADC∽△BAC；（2）点D是BC的黄金分割点.‎ 证明：（1）∵AB=AC，∠BAC=108°，‎ ‎∴∠B=∠C=36°，‎ ‎∵BD=BA，∴∠BAD=72°，‎ ‎∴∠CAD=36°，‎ ‎∴∠CAD=∠B，‎ ‎∵∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC； ‎ ‎（2）∵△ADC∽△BAC，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC2＝BC·CD，‎ ‎∵AC=AB=BD，‎ 160‎ ‎∴BD2＝BC·CD，‎ ‎∴点D是BC的黄金分割点.‎ ‎4.如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？‎ 图（1） 图（2）‎ 分析：如图（2），由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP，即可由相似三角形的性质求解.‎ 解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP.∴，即=，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5-1.5=3.5米.‎ ‎【教学说明】解此题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出式子，即而得出结论.‎ 五、师生互动，课堂小结 这节课知识方面你收获了什么？数学思想方法方面你收获了什么？学习习惯方面你又收获了什么？‎ 布置作业：教材P119~123“复习题”.‎ 通过本节课的学习，使学生能够掌握用图形的相似的有关知识解决实际问题.经过不断地练习，使学生能够将本章的内容很好的融合的一起.‎ 第五章 投影与视图 ‎1 投影 第1课时 投影与中心投影 ‎【知识与技能】‎ 160‎ 让学生体会投影的含义，理解中心投影的概念.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历研究投影的定义、画中心投影的过程，在现实生活中体会投影现象.‎ ‎【情感态度】‎ 通过举例说明我国古代对投影的应用，渗透德育于数学教学当中.‎ ‎【教学重点】‎ 中心投影的概念及识别.‎ ‎【教学难点】‎ 中心投影的画法.‎ 一、情境导入，初步认识 举例或展示利用光线产生影子的生活现象和应用：‎ ‎（1）物体在日光或灯光的照射下，会在地面、墙面留下影子（可用教室灯光作试验）.‎ ‎（2）驴皮影是利用灯光的照射，把影子的形态反映到银幕上的表演艺术.‎ ‎（3）我国古代的计时器日晷，也是利用日影来观测时间的.‎ ‎（4）电影或幻灯片.‎ ‎【教学说明】学生可以用自己的手指在墙面上投影来表演某些动物，可让学生来说说日晷的构成和大致原理.同时，再请学生举一些利用光线产生影子的例子.从而激起学生的好奇心和探索欲望.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.归纳总结投影的含义.‎ 投影：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影.照射的光线叫投影线，投影所在的平面叫投影面.‎ 物体的投影和物体的形状有密切关系.‎ ‎【教学说明】通过观察图片，建立感性认识，再通过语言描述建立理性认识(概念).‎ ‎2.在所举的几个投影的例子中，投影线有什么不同？‎ ‎【教学说明】‎ 学生：观察思考，提出自己的想法.‎ 160‎ 教师：总结归纳，给出中心投影的概念.‎ 从一个点发出的光线所形成的投影称为中心投影.‎ ‎3.如图，BE、DF是甲、乙两人在路灯下形成的影子，请在图中画出灯泡的位置.‎ 分析：连结EA、FC，它们的延长线的交点即为灯泡的位置.‎ ‎【教学说明】通过练习巩固提高.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.皮影戏是在哪种光照射下形成的（ A ）‎ A.灯光 B.太阳光 C.平行光 D.都不是 ‎2.小刚走路时发现自己的影子越走越长，这是因为（ A ）‎ A.从路灯下走开，离路灯越来越远 B.走到路灯下，离路灯越来越近 C.人与路灯的距离与影子长短无关 D.路灯的灯光越来越亮 ‎3.两个物体映在地上的影子有时在同侧，有时在异侧，则这可能是 中心 投影.‎ ‎4.如图，在平面直角坐标系内，一个点光源位于点A（0，5）处，线段CD⊥x轴，点D为垂足，C（3，1），则CD在x轴上的影长为 0.75 ，点C的影子的坐标为 （3.75，0） .‎ 分析：连接AC并延长，交x轴于点B.‎ 因为CD⊥x轴，‎ 所以△BCD∽△BAO，所以.‎ 因为OA=5，CD=1，OD=3，‎ 所以.‎ 解得BD=0.75，‎ 即CD在x轴上的影长为0.75，点C的影子B的坐标为（3.75，0）.‎ ‎5.路灯下站着小赵，小芳，小刚三人，小芳和小刚的影长如图，确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子.‎ 160‎ 解：如图所示，连接DC、FE并延长相交于点O，则点O即为路灯灯泡的位置，AB即为小赵在灯光下的影子.‎ ‎6.如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点沿OA所在的直线行走14米到B点时，影子的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？‎ 解：影子的长度变短了.∵CA∥PO， ‎ ‎∴△MCA∽△MPO，‎ ‎∴，‎ 即 ，解得 MA=5（米）.‎ 同理，‎ 即，解得 BN=1.5（米）.‎ ‎5-1.5=3.5(米).‎ 所以变短了3.5米.‎ ‎7.如图1，在一间黑屋里用一白炽灯照射一个球（球在灯的正下方）.‎ ‎（1）球在地面上的阴影是什么形状？‎ ‎（2）当把白炽灯向上移时，阴影的大小会怎样变化？‎ ‎（3）若白炽灯到球心距离为1m，到地面的距离是3m，球的半径是0.2m，求球在地面上阴影的面积是多少？‎ 160‎ 分析：（1）球在灯光的正下方，所以阴影是圆形；‎ ‎（2）根据中心投影的特点可知：在灯光下，物体离点光源越远它的影长越短，所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；‎ ‎（3）先根据相似求出阴影的半径，再求面积.‎ 解：（1）因为球在灯光的正下方，所以阴影是圆形；‎ ‎（2）白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；‎ ‎（3）如图2，依题意得，球在地面上的投影为⊙O1，设光线与⊙O相切于点A，连接AO，则AO⊥BM，∵MO1⊥BO1，∠BMO1=∠OMA，∴△AOM∽△O1BM，∴.‎ 设球在地面上投影的半径为r m，‎ 而OM=1m，MO1=3m，AO=0.2m，‎ 在Rt△AOM中，，‎ 则，∴，‎ 则.‎ ‎【教学说明】解答本题的关键是利用中心投影的特点构造相似三角形，利用其对应边成比例求出阴影的半径表达式，从而求出面积.‎ 四、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.‎ ‎1.布置作业：教材“习题5.2”中第2、3题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 本节课采用实物的投影来画视图，通过实物的讲解，学生的了解程度有了一定的提升.不仅能激发学生的学习兴趣，也能为数学问题的解决提供相应的信息和依据.‎ 第2课时 平行投影 ‎【知识与技能】‎ 体会平行投影的含义，掌握正投影的概念，了解投影的分类.‎ ‎【过程与方法】‎ 160‎ 经历观察、思考的过程，感受生活中的投影广泛存在着，从中体会平行投影与中心投影的联系和区别.‎ ‎【情感态度】‎ 使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学应用意识.‎ ‎【教学重点】‎ 投影的分类和正投影的含义及画法.‎ ‎【教学难点】‎ 立体图形的正投影画法.‎ 一、情境导入，初步认识 物体在日光或灯光的照射下，会在地面、墙壁等处形成影子.请观察下面三幅图片，感受日常生活中的一些投影现象.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.观察下图，这三个图分别表示同一块三角尺在光照射下形成的投影，其中图（1）与图（2）（3）的投影线有什么区别？图（2）（3）的投影线与投影面的位置关系有什么区别？‎ ‎【教学说明】学生独立思考，在思考的基础上进行讨论和交流，最后得到正确答案；教师讲述：图（1）的投影线集中于一点，形成中心投影，图（2）、图（3）中，投影线相互平行，形成平行投影.图（2）中，投影线斜着照射投影面；图（3）中投影线垂直照射投影面（即投影线正对投影面）.‎ ‎【归纳结论】我们称投影线垂直照射投影面的平行投影为正投影.‎ ‎ 2.把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同的位置：‎ ‎（1）铁丝平行于投影面；‎ ‎（2）铁丝倾斜于投影面；‎ ‎（3）铁丝垂直于投影面.‎ 三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？‎ 160‎ ‎6.把一块正方形硬纸板P（例如正方形ABCD）放在三个不同的位置：‎ ‎（1）纸板平行于投影面；‎ ‎（2）纸板倾斜于投影面；‎ ‎（3）纸板垂直于投影面.‎ 三种情形下纸板的正投影各是什么形状？‎ ‎【归纳结论】当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.‎ ‎【教学说明】结合图片对比辨析，加深理解和印象，让学生亲自进行观察、分析、探究，得到结论，培养学生的分析判断能力.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.李华的弟弟拿着一个菱形木框在阳光下玩，李华发现菱形木框在阳光照射下，在地面上形成了各种图形的阴影，但以下一种图形始终没有出现，没有出现的图形是( D )‎ 分析：阳光下物体的投影是平行投影，其特点是：在同一时刻，物体中平行且相等的两条边的影子也平行且相等，在阳光下摆弄菱形木框时，菱形木框的对边的投影应该相等，它不可能是梯形.‎ ‎2.下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是( A )‎ 分析：A选项影子平行，且较高的树的影长大于较矮的树的影长，故A正确；B、C选项影子的方向不相同，故B、C错误；D选项树高与影长不成比例，故D错误.‎ ‎【教学说明】太阳光是平行光线，因而投影是平行投影，同一时刻的平行投影的规律是：物大影大，影子同向.‎ ‎3.如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，则按照时间的先后顺序排列正确的是( B )‎ 160‎ A.①②③④ B.④①③②‎ C.④②③① D.④③②①‎ 解析：根据题意，太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方，然后影长逐渐变小，过了正午，影子又逐渐变长，因此先后顺序为④①③②.‎ ‎【教学说明】平行投影的特点和规律：在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小不同；不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变.从早晨到傍晚影子的指向是：正西→西北→正北→东北→正东，影长由长变短，再变长.‎ ‎4.若线段AB在投影面上的正投影为A1B1，则线段AB与线段A1B1的大小关系是（ D ）‎ A.AB=A1B1 B.AB>A1B1‎ C.ABA1B1；当线段AB垂直于投影面时，A1与B1重合，即A1B1=0，也就是AB>A1B1.综上所述，AB≥A1B1.‎ ‎【教学说明】本题的主要目的是考察正投影的性质之一：当线段平行于投影面时，它的正投影长短不变；当线段倾斜于投影面时，它的正投影变短；当线段垂直于投影面时，它的正投影为一个点.‎ 教师在讲解此题时，应引导学生体会到正投影的其它性质：‎ 当平面图形的面平行于投影面时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，当平面图形的面倾斜于投影面时，它的正投影相对这个平面图形的形状、大小发生变化；当平面图形的面垂直于投影面时，它的正投影为一条线段.‎ 一个物体（立体图形）的正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.立体图形的正投影可以归结为点、线段及平面图形的正投影.‎ ‎5.如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5米，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3米，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6米，则DE的长为 10m .‎ ‎6.下面两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影.请在图中画出形成投影的光线.它们是平行投影还是中心投影？并说明理由.‎ 160‎ 解：第（1）幅图为平行投影，因为其投影线互相平行；第（2）幅图为中心投影，因为其投影线相交于一点.‎ 四、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.‎ ‎1.布置作业：教材“习题5.2”中第2、3题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 本课时是在上一课时的基础上进一步学习投影的有关知识.教学时要注意让学生自主动手操作，在经历观察、探究、思考、归纳的过程中，掌握平行投影、正投影的特征，此外还要充分提升学生的空间想象力.‎ ‎2 视图 第1课时 物体的三视图 ‎【知识与技能】‎ 理解并掌握三视图的投影规律——长对正、高平齐、宽相等.‎ ‎【过程与方法】‎ 能绘制简单的三视图.‎ ‎【情感态度】‎ 通过观察探究等活动使学生知道物体的三视图与正投影的相互关系及三视图的位置关系、大小关系.‎ ‎【教学重点】‎ 从投影的角度加深对三视图的理解和会画简单的三视图.‎ ‎【教学难点】‎ 简单的三视图的绘制.‎ 一、情境导入,初步认识 如图，直三棱柱的侧棱与水平投影面垂直.请与同伴一起探讨下面的问题：‎ ‎（1）以水平投影面为投影面，在正投影下这个直三棱柱的三条侧棱的投影是什么图形？‎ ‎（2）画出直三棱柱在水平投影面的正投影，得到的投影是什么图形？它与直三棱柱的底面有什么关系？‎ 160‎ ‎【教学说明】先让学生自己独立尝试画图，同时每组两名学生在黑板上画图， 教师点评.引出三视图的概念.‎ 二、思考探究，获取新知 上面的这个水平投影能完全反映这个物体的形状和大小吗？如不能，那么还需哪些投影面？‎ 物体的正投影从一个方向反映了物体的形状和大小，为了全面地反映一个物体的形状和大小，我们常常还要选择正面和侧面两个投影面，画出物体的正投影.‎ ‎【归纳结论】从正面得到的视图叫做主视图，从上面得到的视图叫做俯视图，从左面得到的视图叫做左视图.主视图、俯视图、左视图三者合在一起叫做三视图.‎ ‎【教学说明】通过活动，让学生成为课堂学习的主人，通过活动，让学生自主学习，合作交流，并能合理清晰地表达自己的思维过程，教师成为真正的组织者、引导者、合作者.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.画出下图所示的一些基本几何体的三视图.‎ 分析：画这些基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们.具体画法为：‎ ‎①确定主视图的位置，画出主视图；‎ ‎②在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；‎ ‎③在主视图正右方画出左视图.注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.‎ 解： ‎ 160‎ ‎2.如图，从不同方向看下面左图中的物体，右图中三个平面图形分别是从哪个方向看到的？‎ 解答：分别是从上面，正面，侧面看到的.‎ ‎3.如图所示，右面水杯的俯视图是(D)‎ ‎4.图中①表示的是组合在一起的模块，在②③④⑤四个图形中，是这个模块的俯视图的是(A)‎ A.② B.③ C.④ D.⑤‎ ‎【教学说明】让学生感受从空间物体到平面图形的转换过程，让同学们学会识别三视图.培养学生的画图能力，在巡视过程中遇见问题当场解决.‎ 四、师生互动，课堂小结 在画三视图时，三个视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等.‎ ‎1.布置作业：教材“习题5.3”中第1题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 本节课让学生主体参与，探索新知，充分体现了以学生为主体的新理念.让学生感受到数学和生活的联系，感受到数学确实就在我们的身边.‎ 第2课时 直棱柱的三视图的画法 160‎ ‎【知识与技能】‎ 使学生想象直三棱柱和直四棱柱的三种视图，经历由直三棱柱和直四棱柱到其三种视图的转化过程.‎ ‎【过程与方法】‎ 使学生想象直三棱柱和直四棱柱的三种视图，经历由直三棱柱和直四棱柱到其三种视图的转化过程.‎ ‎【情感态度】‎ 在教学过程中培养学生的动手操作能力和合作交流意识.‎ ‎【教学重点】‎ 能绘制直棱柱的三视图.‎ ‎【教学难点】‎ 引导学生发现同一个几何体三种视图之间的关系.‎ 一、情境导入,初步认识 画出下列几何体的三种视图.‎ ‎【教学说明】先让学生自己独立尝试画图，同时每组两名学生在黑板上画图， 教师点评.引出三视图的概念.‎ 二、思考探究，获取新知 你能画出一个长方体的三视图吗？‎ 160‎ 观察：主视图与物体的长和高有什么关系？与宽呢？ 俯视图与物体的长和宽有什么关系？与高呢？左视图与物体的高和宽有什么关系？与长呢？‎ ‎【归纳结论】在物体的三视图中，主视图可反映出物体的长和高，俯视图可反映出物体的长和宽，左视图可反映出物体的高和宽.‎ ‎【教学说明】通过学生独立观察思考，小组合作，寻找物体的三视图的长和高与物体自身的长、宽、高之间的内在关系.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.下列物体是由四个小正方形搭成的，请画出它的主视图，左视图和俯视图.‎ 解答：‎ 160‎ ‎2.如图为一个槽形工件，它是长方体中间切去了一个小的三角块，工人师傅要得到它的平面图形，请你画出它的三视图.‎ 解答：‎ ‎【教学说明】让学生经历这一环节对三视图的特点有了全面的认识，使学生经历由圆柱、圆锥和球三种视图的转化过程，发展学生的空间观念.‎ 四、师生互动，课堂小结 从基本的几何体、组合几何体三视图的画图和探究三种视图之间的关系等方面对本节内容展开教学，进而突破难点.‎ ‎1.布置作业：教材“习题5.4”中第1题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 本节课让学生主体参与，探索新知，充分体现了以学生为主体的新理念.让学生感受到数学和生活的联系，感受到数学确实就在我们的身边.‎ 第3课时 由三视图确定几何体 ‎【知识与技能】‎ 能够识别并描述三视图所表示的立体模型.‎ ‎【过程与方法】‎ 160‎ 经历探索三视图还原实物图的过程，掌握由平面到空间的转换方法，进一步发展空间想象能力和综合分析能力.‎ ‎【情感态度】‎ 培养学生学习立体几何的兴趣以及勇于探索实践的精神，体会本节知识对后续知识学习以及未来工作、生活的重要作用.‎ ‎【教学重点】‎ 由三视图想象实物模型，并画出模型草图.‎ ‎【教学难点】‎ 由三视图还原出实物图.‎ 一、情境导入,初步认识 一个空间几何体的结构形状可以通过画它的三视图准确完整地表示出来，实际工作中，也经常需要根据三视图还原实物图，比如工人要根据三视图加工零件就得由三视图还原出实物图.这节课我们就来研究如何由三视图还原出实物图.‎ ‎【教学说明】引入生活情境激发学生的学习欲望，自然地引入新课.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.已知某几何体的三视图如图（1）所示，那么这个几何体是什么？若将图（1）中的俯视图改为图（2），那么这个几何体是什么？‎ 分析：图（1）中，由主视图和左视图可以看出此几何体可能是四棱锥或圆锥，再由俯视图判断此几何体应是四棱锥.若将图（1）中的俯视图改为图（2），则此几何体是圆锥.‎ ‎【教学说明】从本题可以看出，要确定一个立体图形，必须具备主视图、左视图、俯视图三个视图；反之，给出三视图就能唯一确定一个空间图形.‎ ‎2.根据三视图，描述立体图形的形状，并画出几何体的草图.‎ 提示：上图是圆台的三视图，草图略.‎ ‎【教学说明】根据三视图还原实物原型时，必须将各视图综合起来看，弄清三个视图之间的对应关系.‎ 160‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.下面是一些立体图形的三视图，请在括号内填上立体图形的名称.‎ 答案：圆柱 正三棱锥 ‎2.下列图形都是几何体的平面展开图，你能说出这些几何体的名称吗？‎ 答案：圆锥 圆柱 正方体 三棱柱 ‎3.若干桶方便面摆放在桌子上，如图是它的三视图，则这一堆方便面共有(B)‎ A.5桶 B.6桶 C.9桶 D.12桶 ‎4.下面是一个几何体的三视图，则这个几何体的形状是（B）‎ A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.三棱柱 ‎5.已知几何体的主视图和俯视图如图所示.‎ ‎（1）画出该几何体的左视图；‎ ‎（2）该几何体是几面体？它有多少条棱？多少个顶点？‎ ‎（3）该几何体的表面有哪些你熟悉的平面图形？‎ 160‎ 答案：（1）略（2）六面体，12条，8个（3）正方形，等腰梯形 ‎6.一个由几个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图如图所示，方格里的数字表示该位置的小立方体的个数，请你画出这个几何体的主视图和左视图.‎ 提示：可摆实物进行分析.‎ 答案：略.‎ ‎7.由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，求x，y的值.‎ 答案：x=1或x=2，y=3.‎ ‎8.由几个小立方体叠成的几何体的主视图和左视图如图，求组成几何体的小立方体个数的最大值与最小值.‎ 提示：可摆实物进行分析.‎ 答案：12个，7个 ‎【教学说明】巩固提高.有些题目可以摆实物进行分析.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎1.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.‎ ‎2.总结要点：‎ ‎（1）要确定物体的空间形状，三个视图缺一不可.‎ ‎（2）根据三视图还原实物原型时，必须将各视图综合起来看，弄清三个视图之间的对应关系.‎ ‎（3）要学会由三视图还原成实物图，必须熟悉基本几何体的三视图，在此基础上对具体问题多思考、多想象、多探索.‎ ‎（4）画实物模型时只需画出草图即可，但要在练习中注意体会和总结画法，以便更好的表现出立体图的结构形状.‎ 160‎ ‎1.布置作业：教材“习题5.5”中第2题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 通过本节的学习,不仅为后续学习直观图奠定基础,同时有利于培养学生空间想象能力、几何直观能力，有利于培养学生学习立体几何的兴趣.‎ 第五章 投影与视图 ‎【知识与技能】‎ 通过复习系统掌握本章知识.‎ ‎【过程与方法】‎ 提高解决问题分析问题的能力，培养空间想象能力.‎ ‎【情感态度】‎ 体会到数学来源于生活，应用于生活.‎ ‎【教学重点】‎ 投影和三视图.‎ ‎【教学难点】‎ 画三视图.‎ 一、知识结构 ‎ ‎ ‎【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.‎ 二、释疑解惑，加深理解 ‎(一)投影 160‎ ‎1.中心投影：灯光的光线可以看成是从一点发出的（即为点光源），像这样的光线所形成的投影称为中心投影.‎ ‎2.平行投影：‎ 太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影.‎ ‎3.中心投影光源的确定：分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，这两条直线的交点即为光源的位置.‎ ‎4.如何判断平行投影与中心投影 分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若两直线平行，则为平行投影；若两直线相交，则为中心投影，其交点是光源的位置.‎ ‎(二)视图 ‎1.三种视图的内在联系 主视图反映的是物体的长和高；俯视图反映的是物体的长和宽；左视图反映的是物体的高和宽. 因此，在画三种视图时，主、俯视图要长对正，主、左视图要高平齐，俯、左视图要宽相等.‎ ‎2.三种视图的位置关系 一般地，首先确定主视图的位置，画出主视图，然后在主视图的下面画出俯视图，在主视图的右边画出左视图.‎ ‎3.三种视图的画法 首先观察物体，画出视图的外轮廓线，然后将视图补充完整，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线.‎ ‎【教学说明】1.以问题串的形式呈现,既可以帮助学生梳理知识,又增强了学生回答问题的针对性，增进师生的交流,促进学生回顾反思;2.意在让学生温故知新，为下一步巩固训练，形成技能作铺垫.‎ 三、典例精析，复习新知 ‎1.一个用于防震的L形包装塑料泡沫如图所示，则该物体的俯视图是（ ）‎ 解：从上面看该组合体，俯视图是一个矩形，并且被一条棱隔开，故选B.‎ ‎2.如图所示几何体的主视图是（ ）‎ 160‎ 解：从正面看，此图形的主视图由3列组成，从左到右小正方体的个数是：1，3，1.‎ 故选B.‎ ‎3.下列四幅图形中，表示两颗小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ）‎ 解：因为太阳光的光线是平行的. 过大树的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过小树的顶端及其影子的顶端作一条直线，两直线平行的就是阳光下的影子，因而选D.‎ ‎4.（1）如图①是同一时刻两棵小树的影子，请你在图中画出形成树影的光线，并判断它是太阳光还是灯光的光线？若是灯光，请确定光源的位置.‎ ‎（2）请判断如图②的两棵小树影子是太阳光还是灯光下形成的？并画出同一时刻旗杆的影子（用线段表示）.‎ 解：（1）如图①是过大树的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过小树的顶端及其影子的顶端作一条直线，两直线相交，故是灯光，交点A就是光源.‎ ‎（2）如图②所示，是太阳光的光线. 原因是过大树的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过小树的顶端及其影子的顶端作一条直线，两直线平行. 然后再过旗杆的顶端作一条与已知光线平行的直线，交地面于一点，连结这点与旗杆底端的线段就是旗杆的影子.‎ ‎【教学说明】通过设置学习小组，以任务驱动式，引导学生进行小组竞学，探求解题规律技巧，培养学生分析问题和解决实际问题的能力，提高课堂效率.‎ 四、复习训练，巩固提高 ‎1.下面是空心圆柱在指定方向上的视图，正确的是（C）‎ ‎2.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（D）‎ A.小明的影子比小强的影子长 160‎ B.小明的影长比小强的影子短 C.小明的影子和小强的影子一样长 D.无法判断谁的影子长 ‎3.请写出三种视图都相同的两种几何体：正方体、球体.‎ ‎4.身高相同的甲、乙两人分别在距同一路灯2米处、3米处，路灯亮时，甲的影子比乙的影子短（填“长”或“短”）.‎ ‎5.下列左图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则该几何体的主视图为（C）‎ ‎6.分别画出下图中立体图形的三视图：‎ 解：‎ ‎7.确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子.‎ ‎8.已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根石柱.AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m. ‎ ‎（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；‎ ‎（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长.‎ 解：（1）如图，EF即为DE在阳光下的投影.‎ 160‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴DE==10（m）.‎ ‎【教学说明】通过设置学习小组，引导学生进行小组竞学，探求解题规律技巧，培养学生分析问题和解决实际问题的能力，提高课堂效率.‎ 五、师生互动，课堂小结 今天我们共同复习了视图与投影，知道了视图与投影之间的关系（在特殊位置下物体的平行投影即是物体的三种视图）.如何画三视图、利用投影的性质可以测量旗杆、建筑物、路灯等物体的高度，即利用“平行投影时不同物体在同一时刻，物体与物体的影长成比例”或相似三角形的性质进行求解.那么你在哪些方面存在疑惑呢？‎ ‎【教学说明】该环节是为了提高学生归纳问题的能力，鼓励学生积极表达自己的观点，充分体现以学生为主体，教师为主导的教学原则.本环节的设置使学生学会从系统的角度把握学习方法，努力使知识结构化、网络化，引导学生注意各知识点之间的联系.‎ 布置作业：教材“复习题”中第3、5、9题.‎ 本节课采用“问题助学、基本题组导学”的自助式学习模式，让学生在解决问 题中梳理知识，提炼思想方法，形成技能.本节课的习题设置由浅入深、层层深入，体现基础性、变式性、层次性、导学性.教师只讲易混点、易错点、易漏点，重在点拨、规范.真正体现了“以学生为主体,以教师为主导，以练习为主线 ,以能力发展为主轴”的教学原则.立足于基础知识、基本技能、基本数学思想、基本活动经验的巩固和提高.符合学生的认知规律和教学活动规律，有效地提高了课堂效率和教学质量.‎ 第六章 反比例函数 ‎1 反比例函数 ‎【知识与技能】‎ 经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识.‎ ‎【情感态度】‎ 160‎ 经历抽象反比例函数概念的过程，体会数学学习的重要性，提高学生学习数学的兴趣.‎ ‎【教学重点】‎ 理解和领会反比例函数的概念．‎ ‎【教学难点】‎ 领悟反比例函数的概念．‎ 一、情境导入，初步认识 我们在前面学过一次函数和正比例函数，知道一次函数的表达式为y=kx+b（其中k,b为常数且k≠0），正比例函数的表达式为y=kx（k为常数且k≠0），在现实生活中，并不是只有这两种类型的表达式，如从A地到B地的路程为1200km,某人开车从A地到B地，汽车的速度v(km/h)和时间t（h）之间的关系式为vt=1200,则t=中，t和v之间肯定不是正比例函数和一次函数关系，那么它们之间究竟是什么关系呢?这就是本节课我们要揭开的奥秘.‎ ‎【教学说明】通过对一次函数和正比例函数的概念、解析式的复习，引出本节课的内容.‎ 二、思考探究，获取新知 问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？‎ ‎(1)京沪线铁路全程为1318km，乘坐某次列车所用时间t（单位：h）随该列车平均速度v（单位：km/h）的变化而变化；‎ ‎(2)某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y随宽x的变化；‎ ‎(3)已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有土地面积S（单位：平方千米/人）随全市人口n（单位：人）的变化而变化．‎ 解：（1）t=；（2）y=；（3）S=，‎ 其中v是自变量，t是v的函数；x是自变量，y是x的函数；n是自变量，S是n的函数.‎ 上面的函数关系式，都具有y=的形式，其中k是常数.‎ ‎【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式．‎ 教师组织学生讨论，提问学生，师生互动．‎ ‎【归纳结论】‎ 160‎ 一般地，如果两个变量x,y之间可以表示成y=（k为常数且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数式表示？‎ ‎（1）一个游泳池的容积为2000m3，注满游泳池所用的时间随注水速度v的变化而变化；‎ ‎（2）某立方体的体积为1000cm3，立方体的高h随底面积S的变化而变化；‎ ‎（3）一个物体重100牛顿，物体对地面的压强p随物体与地面的接触面积S的变化而变化．‎ 解答：‎ ‎（1）t=； （2）h=； （3）p=.‎ ‎2.下列哪个等式中的y是x的反比例函数：‎ y=4x,=3，y=6x+1，xy=123‎ 解答：只有xy=123是反比例函数.‎ ‎3.已知函数y=，当x＝1时，y＝－3，那么这个函数的解析式是(B)．‎ A.y= B.y=－‎ C.y= D.y=－‎ ‎4.已知y与x成反比例，当x＝3时，y＝4，那么y＝3时，x的值等于(A)．‎ A.4 B.－4‎ C.3 D.－3‎ ‎5.若函数y=(m是常数)是反比例函数，则m＝2，解析式为y=．‎ ‎6.写出下列各题中所要求的两个相关量之间的函数关系式，并指出函数的类别．‎ ‎(1)商场推出分期付款购电脑活动，每台电脑12000元，首付4000元，以后每月付y元，x个月全部付清，则y与x的关系式为__________，__________是函数．‎ ‎(2)某种灯的使用寿命为1000小时，它的使用天数y与平均每天使用的小时数x之间的关系式为__________，__________是函数．‎ ‎(3)设三角形的底边、对应高、面积分别为a、h、S．‎ 当a＝10时，S与h的关系式为__________，__________是函数；‎ 当S＝18时，a与h的关系式为__________，__________是函数．‎ 160‎ ‎(4)某工人承包运输粮食的总数是w吨，每天运x吨，共运了y天，则y与x的关系式为，是函数．‎ 解答：(1)y=，反比例；‎ ‎(2)y=，反比例；‎ ‎(3)S＝5h，正比例，a=，反比例；‎ ‎(4)y=，反比例．‎ ‎7.已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6.‎ ‎(1)写出y与x的函数关系式；‎ ‎(2)求当x=4时，y的值．‎ 分析：因为y是x的反比例函数，所以可设y=kx，再把x=2和y=6代入上式就可求出常数k的值．‎ 解：（1）设y=k/x，因为x=2时，y=6，所以有6=k/2，解得k=12，因此y=12/x.‎ ‎（2）把x=4代入y=12/x，得y=12/4=3.‎ ‎【教学说明】学生独立思考，然后小组合作交流．教师巡视，查看学生完成的情况，并及时给予引导.‎ 四、师生互动、课堂小结 通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.‎ ‎1.布置作业:教材“习题6.1”中第2 、3题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 反比例函数概念形成的过程中，大家要充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相互关系及变化规律，逐步加深理解．在概念的形成过程中，逐步建立从概念的感性认识到理性认识.‎ ‎2 反比例函数的图象与性质 第1课时 反比例函数的图象与性质（1）‎ ‎【知识与技能】‎ 160‎ ‎1.会用描点法画反比例函数图象；‎ ‎2.理解反比例函数的性质.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过观察反比例函数图象，分析和探究反比例函数的性质.‎ ‎【情感态度】‎ 在动手画图的过程中体会乐趣，养成勤于动手，乐于探索的习惯．‎ ‎【教学重点】‎ 画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质.‎ ‎【教学难点】‎ 理解反比例函数的性质，并能灵活应用．‎ 一、情境导入，初步认识 ‎1.一次函数y=kx＋b(k、b是常数，k≠0)的图象是什么形状？其性质有哪些？‎ ‎2.反比例函数y =的图象会是什么形状呢？请大家猜猜看，我们可以采用什么方法画？‎ ‎【教学说明】学生思考、交流并回答问题，教师根据学生活动情况进行补充和完善.由此引入新课.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.教师先引导学生思考，示范画出反比例函数y=的图象，再让学生尝试画出反比例函数y=－的图象.‎ ‎2.在作图过程中，启发学生类比画一次函数的图象的过程；探索反比例函数的图象作图步骤：‎ ‎①列表；②描点； ③连线.‎ ‎【教学说明】教师在活动中应重点关注：‎ ‎（1）启发学生反比例函数与一次函数的作图基本步骤是一致的.但是在具体的作图过程中又有它自己的特点，和学生一起体会其中的共性和特性.‎ ‎（2）①列表时，关注学生是否注意到自变量的取值应使函数有意义（即x≠0），同时，所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或是太小，以便于描点和全面反映图象的特征；②描点时，一般情况下所选的点越多则图象越精细；③‎ 160‎ 连线时，让学生根据已经描好的点先思考：图象有没有可能是直线.学生自主探究发现图象特点后，引导学生用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接各点，得到反比例函数的图象.‎ ‎3.比较y=与y=-的图象，它们有什么共同特征？它们之间有什么关系？‎ ‎【教学说明】引导学生观察思考，回答问题，让学生了解反比例函数的图象是一种双曲线，并且让学生切实认识和理解：反比例函数曲线的两个分支是断开的，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.在同一坐标系内两个反比例函数图象的对称关系.‎ ‎4.观察函数y=和y=-以及y=和y=-的图象.‎ ‎（1）你能发现它们的共同特征以及不同点吗？‎ ‎（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？‎ ‎（3）在每一个象限内，y随x的变化如何变化？‎ ‎【教学说明】学生小组讨论，观察思考后进行分析、归纳，得到反比例函数的性质.‎ ‎【归纳结论】‎ 反比例函数y= (k为常数，k不为零)的图象是一种双曲线；当k ＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，当k ＜ 0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.如果函数y＝2xk＋1的图象是双曲线，那么k＝-2.‎ ‎2.如果点(1，－2)在双曲线y=上，那么该双曲线在第二、四象限.‎ ‎3.如果反比例函数y=的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数k的值是1，2.‎ ‎4.反比例函数y=－1/x的图象大致是图中的(D)‎ ‎5.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是(C)‎ 160‎ A.y= B.y= ‎ C.y= D.y=－‎ ‎6.已知直线y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，则函数y=的图象在第二、四象限.‎ ‎7.已知一次函数y＝kx＋b与反比例函数y=的图象交于点(－1，－1)，则此一次函数的解析式为y=2x+1，反比例函数的解析式为．‎ ‎8.作出反比例函数y=的图象，并根据图象解答下列问题：‎ ‎(1)当x＝4时，求y的值；‎ ‎(2)当y＝－2时，求x的值；‎ ‎(3)当y＞2时，求x的范围．‎ 解：列表：‎ 由图知：(1)y＝3；(2)x＝－6；(3)0＜x＜6.‎ ‎9.作出反比例函数y=－的图象，结合图象回答：（1)当x＝2时，y的值；‎ ‎(2)当1＜x≤4时，y的取值范围；‎ ‎(3)当1≤y＜4时，x的取值范围．‎ 解：列表：‎ 160‎ 由图知：(1)y＝－2；(2)－4＜y≤－1；‎ ‎(3)－4≤x＜－1.‎ ‎【教学说明】为了让学生灵活的运用反比例函数的性质解决问题，在研究题目时，要紧扣性质进行分析，达到理解性质的目的.‎ 四、师生互动、课堂小结 本节课学习了哪些知识？在知识应用过程中要注意什么？你有什么收获？‎ ‎1.布置作业:教材“习题6.2”中第2、3题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质，并掌握了用描点法画函数图象的方法，同时也为后面的学习奠定了基础.‎ 第2课时 反比例函数的图象与性质（2）‎ ‎【知识与技能】‎ 探索反比例函数的主要性质.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历观察、归纳、交流的过程，提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.‎ ‎【情感态度】‎ 让学生进一步体会用反比例函数刻画现实生活问题的作用．‎ ‎【教学重点】‎ 准确掌握并能运用反比例函数图象的性质．‎ ‎【教学难点】‎ 160‎ 准确掌握并能运用反比例函数图象的性质．‎ 一、情境导入，初步认识 上一节课我们已经学习了反比例函数的定义和图象的画法，及图象所在的象限.今天我们继续来探究反比例函数的图象和它的性质.‎ ‎【教学说明】通过类比正比例函数的学习，提出本节课所要研究的问题及其研究方法，并引导学生的研究思路．‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.画一画反比例函数y=和y=-的图象.‎ 思考：随着x的增大,y值是怎样变化的？‎ ‎【教学说明】加深学生对作反比例函数图象的认识，并在列表、画图过程中进一步感知反比例函数的性质.‎ ‎【归纳结论】反比例函数y=（k≠0）的图象：当k＞0时，在每一象限内，y的值随着x值的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内，y的值随着x值的增大而增大.‎ ‎2.在反比例函数y=的图象上取两点Ｐ（1，6），Ｑ（6，1），过点Ｐ分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1=______；过点Ｑ分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2=______；S1与S2有什么关系？为什么？‎ ‎【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力.‎ ‎【归纳结论】反比例函数y=（k≠0）中比例系数k的几何意义：过反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点引x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.若点A(7，y1)，B(5，y2)在双曲线y=－上，则y1、y2中较小的是y2．‎ ‎2.若反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是(A)‎ A.k＜0 B.k＞0‎ C.k≤0 D.k≥0‎ ‎3.下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是(B)‎ A.y＝x B.y=‎ 160‎ C.y=－ D.y＝‎ ‎4.反比例函数y＝ ，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的值是(C)‎ A.±1 B.小于1/2的实数 C.－1 D.1‎ ‎5.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y=(k＞0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有(A)‎ A.y1＜0＜y2 B.y2＜0＜y1‎ C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜0‎ ‎6.一次函数y＝kx＋b与反比例函数y=的图象如图所示，则下列说法正确的是(C)‎ A.它们的函数值y随着x的增大而增大 B.它们的函数值y随着x的增大而减小 C.k＜0‎ D.它们的自变量x的取值为全体实数 ‎ ‎ 第6题图 第8题图 ‎7.当k＜0时，反比例函数y=和一次函数y＝kx＋2的图象大致是(B)‎ ‎8.如图，A、B是函数y=的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则(B)‎ 160‎ A.S＝2 B.S＝4‎ C.2＜S＜4 D.S＞4‎ ‎9.已知点A(m，2)、B(2，n)都在反比例函数y=的图象上．‎ ‎(1)求m、n的值；‎ ‎(2)若直线y＝mx－n与x轴交于点C，求C关于y轴对称点C′的坐标.‎ 解：（1）m=n=3； （2）C′（-1，0）.‎ ‎10.已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3，3)．‎ ‎(1)求正比例函数和反比例函数的解析式；‎ ‎(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6，m)，求m的值和这个一次函数的解析式；‎ ‎(3)在(2)中的一次函数图象与x轴、y轴分别交于C、D，求四边形OABC的面积.‎ 解：(1)y=x,y=；‎ ‎(2)m=；y=x－;‎ ‎(3)S四边形OABC＝．‎ ‎11.如图，反比例函数y=kx的图象与直线y＝x－2交于点A，且A点纵坐标为1，求该反比例函数的解析式.‎ 解：将yA=1代入y=x-2‎ 得xA=3，‎ 故A的坐标为（3，1）.‎ 将A(3,1)代入y=得 k=3，‎ 所以反比例函数的解析式为y=.‎ 160‎ ‎【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，以基本题为主，也有少量综合问题，可使不同水平的学生均有机会获得成功的体验．‎ 四、师生互动、课堂小结 通过本节课的学习你有哪些收获，还有哪些疑惑？请与同伴交流.‎ ‎1.布置作业:教材“习题6.3”中第1、2题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 本节课是在学生已学完一次函数，并初步认识、感知反比例函数概念之后，对反比例函数的图象和性质的进一步掌握.在教学过程中通过自主探究、小组研讨、学生设计问题等环节充分激发学生的学习兴趣．‎ ‎3反比例函数的应用 ‎【知识与技能】‎ 使学生对反比例函数和反比例函数的图象意义理解加深.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历分析实际问题中变量之间的关系、建立反比例函数模型，进而解决问题的过程.‎ ‎【情感态度】‎ 调动学生参与数学活动的积极性，体验数学活动充满着探索性和创造性.‎ ‎【教学重点】‎ 建立反比例函数的模型，进而解决实际问题.‎ ‎【教学难点】‎ 经历探索的过程，培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.‎ 一、情境导入，初步认识 复习回顾：‎ ‎1.什么是反比例函数？‎ ‎2.反比例函数的图象是什么？‎ ‎3.反比例函数图象有哪些性质?‎ ‎4.反比例函数的图象对称性如何？‎ ‎【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.‎ 二、思考探究，获取新知 160‎ ‎1.某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S（m2）的变化，人和木板对地面的压强p（Pa）将如何变化？‎ 如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么人和木板对地面的压强p（Pa）将如何变化？（见书P142） ‎ ‎(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？‎ ‎(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？‎ ‎(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？‎ ‎(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象.‎ ‎(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进行交流.‎ 解：（1）p= (S>0)，p是S的反比例函数.‎ ‎（2）p=3000Pa（3）至少0.1m2‎ ‎【教学说明】在（4）中，要启发学生思考：为什么只需在第一象限作函数图象？此外，还要注意单位长度所表示的数值.在（5）中，要留有充分时间让学生交流，领会实际问题的数学意义，体会数与形的统一.‎ ‎2.蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示.(见书P142)‎ ‎(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？‎ ‎(2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？‎ 160‎ ‎3.如图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y=的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为（，2）. ‎ ‎(1)分别写出这两个函数的表达式；‎ ‎(2)你能求出点B的坐标吗?你是怎样求的?‎ ‎ 【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力，提高感知水平；此外，在解决实际问题时，要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.一个水池装水12m3，如果从水管中每小时流出x（m3）的水，经过y（h）可以把水放完，那么y与x的函数关系式是，自变量x的取值范围是x＞0.‎ ‎2.若梯形的下底长为x，上底长为下底长的，高为y，面积为60，则y与x的函数关系是 (不考虑x的取值范围)．‎ ‎3.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200 cm2的矩形学具进行展示．设矩形的宽为xcm，长为ycm，那么这些同学所制作的矩形的长ycm与宽xcm之间的函数关系的图象大致是(A)‎ ‎4.下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是(D)‎ A.小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系 B.长方形的面积为24，它的长y与宽x之间的关系 C.压力为600N时，压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系 D.一个容积为25L的容器中，所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系 ‎5.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：‎ 则可以反映y与x之间的关系的式子是(D)‎ A.y＝3000x B.y＝6000x C.y=3000/x D.y=6000/x 160‎ ‎6.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是(A) ‎ ‎7．一个长方体的体积是100cm3，它的长是ycm，宽是5cm，高是xcm.‎ ‎(1)写出长ycm关于高xcm的函数关系式，以及自变量x的取值范围；‎ ‎(2)画出(1)中函数的图象；‎ ‎(3)当高是3cm时，求长．‎ 解：(1)y=20/x(x>0)； (2)图象略；(3)长为20/3cm.‎ ‎【教学说明】用函数观点来处理实际问题的应用，加深对函数的认识.‎ 四、师生互动、课堂小结 今天这节课学习了什么？你掌握了什么？‎ ‎1.布置作业:教材“习题6.4”中第2题.‎ ‎2.完成练习册中相应练习.‎ 本节课我们学习了反比例函数的应用，具体步骤是：认真分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而用反比例函数的有关知识解决实际问题．‎ 第六章 反比例函数 ‎【知识与技能】‎ 理解反比例函数及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历探索反比例函数的概念、性质、图象的过程，了解数学与实际问题相结合.‎ ‎【情感态度】‎ 初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性.‎ ‎【教学重点】‎ 160‎ 能根据所给信息确定反比例函数的表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题.‎ ‎【教学难点】‎ 反比例函数的应用.‎ 一、知识结构 ‎【教学说明】通过回顾知识点，使学生掌握各知识点之间的联系.‎ 二、释疑解惑，加深理解 ‎1.反比例函数的概念 ‎ 一般地，如果两个变量x,y之间可以表示成y=（k为常数且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数.‎ ‎2.反比例函数的性质 反比例函数y= (k为常数，k不为零)的图象是一种双曲线；当k ＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y的值随着x值的增大而减小；当k ＜ 0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y的值随着x值的增大而增大.过双曲线上任一点作x轴，y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|.‎ ‎3.画反比例函数图象时要注意以下几点：‎ a.列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于描点；‎ b.列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线；‎ c.在连线时要用光滑的曲线，不能用折线.‎ ‎4.反比例函数的应用 ‎【教学说明】让学生通过知识性内容的小结，尽快掌握课堂所学的知识.‎ 三、典例精析，复习新知 ‎1.下列函数中，哪些是反比例函数？‎ ‎（1）y=－x/3；（2）y=－8/x；（3）y=4x－5；（4）y=5x－1；（5）xy=1/8.‎ 分析：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义y= (k≠0)，它也可变形为y=kx 160‎ ‎－1及xy=k的形式，（4）、（5）就是这两种形式.‎ 解：其中反比例函数有（2），（4），（5）.‎ ‎2.已知反比例函数y=，y随x的增大而减小，求a的值及解析式．‎ 分析:根据反比例函数的定义及性质来解此题．‎ 解:因为y=是反比例函数，且y随x的增大而减小，‎ 所以 ‎ 解得 ‎ 所以a=，解析式为y=．‎ ‎3.已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，当x=1时，y=4；当x=3时，y=5，求x=－1时，y的值．‎ 分析:先求出y与x之间的关系式，再求x=－1时，y的值.不可草率地将k1、k2都写成k而导致错误，题中给出了两对数值，决定了k1、k2的值.‎ ‎ ‎ ‎4.已知函数y=是反比例函数，且其函数图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，求反比例函数的解析式．‎ 分析：此题根据反比例函数的定义与性质来解反比例函数y= (k≠0)，当k>0时，y随x增大而减小，当k<0时，y随x增大而增大.‎ 160‎ 解：因为y是x的反比例函数，‎ 所以4m2－2=－1，所以m=或m=－.‎ 因为此函数图象在每一象限内，y随x的增大而减小，‎ 所以m+>0，所以m>－，所以m=，‎ 所以反比例函数的解析式为y=.‎ ‎5.一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米．‎ ‎（1）写出用高表示长的函数关系式；‎ ‎（2）写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）当x=3厘米时，求y的值.‎ 分析:本题依据长方体的体积公式列出方程，然后变形求出长关于高的函数关系式．‎ 解:（1）因为长方体的长为y厘米，宽为5厘米，高为x厘米，‎ 所以5xy=100，所以y=．‎ ‎（2）因为x是长方体的高，所以x>0，即自变量x的取值范围是x>0．‎ ‎（3）当x=3时，y==（厘米）.‎ ‎【教学说明】通过例题讲解可以提高学生的观察、分析、综合应用及推理能力.‎ 四、复习训练，巩固提高 ‎1.一次函数y=－x+1与反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是下图中的（A）‎ 解：∵y=－x+1的图象经过第一、二、四象限，故排除B、C；又y=‎ 160‎ 的图象两支在第一、三象限，故排除D．∴答案应选A.‎ ‎2.如图，P是反比例函数y=上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，求这个反比例函数的解析式.‎ 分析：求反比例函数的解析式，就是求k的值．此题可根据矩形的面积公式及坐标与线段长度的转化来解．过反比例函数图象上的一点作两条坐标轴的垂线，可得到一个矩形，这个矩形的面积等于y=中的|k|．‎ 解:设P点坐标为(x,y)．‎ 因为P点在第二象限，所以x<0,y>0．‎ 所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为－x,y．‎ 又－xy=2，所以xy=－2．因为k=xy，所以k=－2．‎ 所以这个反比例函数的解析式为y=．‎ ‎3. 当n取什么值时，y=是反比例函数？它的图象在第几象限内？在每个象限内，y随x增大而增大还是减小？‎ 分析:根据反比例函数的定义y= (k≠0)可知，要使y=是反比例函数，必须n2+2n≠0且n2+n－1=－1．‎ 解：y=是反比例函数，‎ 则 ∴ ‎ 即n=－1．‎ 故当n=－1时，y=表示反比例函数：y=．‎ ‎∵k=－1<0，‎ ‎∴双曲线两支分别在二、四象限内，并且在每个象限内，y随x的增大而增大 ‎4.一个圆台形物体的上底面积是下底面积的.如果放在桌上，对桌面的压强是200Pa，翻过来放，对桌面的压强是多少？‎ 160‎ 解：设下底面是S0，则由上底面积是S0，由p=，且S=S0时，p=200，有F=pS=200×S0=200S0.‎ 因为是同一物体，所以F=200S0是定值．‎ 所以当S=S0时，‎ p===300(Pa).‎ 五、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？‎ 布置作业:教材“复习题”中第1~6题.‎ 本节课的学习是学生对函数的概念、图象与性质一个整合的过程，可以帮助学生形成解决问题的一些基本策略，提高分析问题，解决问题的能力，培养学生的创新精神.‎ 160‎